5.4.2. КРИТЕРИИ НЕЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ТАБЛИЦ СОПРЯЖЕННОСТИ 2x2. ТОЧНЫЙ КРИТЕРИЙ ФИШЕРА

Таблица сопряженности представляет собой двумерный (или с двумя входами) массив частот, как в приведенном ниже примере, где анализируется успеваемость заданного числа студентов а) по экзаменационным результатам в конце семестра и б) по проводимым в течение семестра испытаниям:

Здесь, например, — число студентов, получивших на экзаменах оценки в диапазоне 50—69 и показавших удовлетворительную успеваемость при испытаниях. Таблица содержит также суммы по строкам и суммы по столбцам си как и общее количество студентов Поскольку приведенные данные расположены (если не считать «суммы» по строкам и по столбцам) в 3 строках и в 4 столбцах, ее можно назвать таблицей сопряженности Простейшие таблицы сопряженности — это таблицы [см. также раздел 7.4.1]. Они могут быть построены разными способами, но, возможно, наиболее важны те, которые приведены ниже в примерах.

а) Перекрестная классификация (например, школьники классифицируются по цвету волос и степени веснушчатости):

б) Две обработки (например, пациентам назначают или не назначают лекарство от ревматизма):

в) Две совокупности (например, из двух совокупностей извлекаются выборки для выявления В-отрицательной группы крови, причем к первой относятся жители Эксетера, а ко второй — Эдинбурга):

В частных случаях совокупность данных не обязательно принадлежит к одному и только к одному из таких типов. К счастью, методы исследования во всех трех случаях одинаковы.

Представляет интерес вопрос о зависимости признаков, указанных в строках и в столбцах, т. е. в примере а): связан ли цвет волос со степенью веснушчатости или же он никак не влияет на нее (признаки независимы)? В примере б): облегчает ли аспирин ревматические боли либо, напротив, боли одинаковы как при приеме аспирина, так и при отказе от него? В примере в): содержат ли обе совокупности разные доли носителей В-отрицательной группы крови или же эти доли равны?

В примере в) мы интересуемся, отличается ли доля индивидуумов с В-отрицательной группой крови в одной совокупности (где она встречается раз из извлечений) от соответствующей доли в другой (где выборочная частота составила из Если объемы выборок достаточно малы по сравнению с генеральными совокупностями, то к каждой из двух выборок применима биномиальная аппроксимация, а вопрос сводится к анализу значимости различия параметров биномиальных распределений. Критерий (условный) для проверки этой гипотезы описан в примере 5.4.1.

В примере б) с «двумя обработками» тем же способом проверяется, значимо ли отличается частота ослабления болей у пациентов, которым назначен аспирин, от аналогичной доли в группе плацебо.

Пример а) правильной перекрестной классификации в принципе иной, но оказывается, что он поддается точно такому же анализу. Чтобы убедиться в этом, примем более общие обозначения, при которых таблица из примера а) заменится следующей:

[А служит обозначением для «не А» и т. д.). Например, здесь обозначает частоту появлений индивидуумов т. е. обладающих свойствами А и В. Предположим, что случайно выбранный индивидуум обладает свойством А с вероятностью а свойством В — с вероятностью так что маргинальные вероятности двумерного распределения [см. II, раздел 6.3] следующие:

Соответствующая нулевая гипотеза (цвет волос не влияет на веснушчатость) состоит в том, что А и В статистически независимы [см. II, раздел 3.5), так что

Таким образом, при нулевой гипотезе связанные с четырьмя, клетками таблицы распределения вероятностей имеют вид:

Для выборок объема из определенной такими вероятностями совокупности совместное распределение частот в клетках будет мулыийомиальным (или полиномиальным) [см. II, раздел 6.4.2} с функцией плотности вероятности

Понйтйо, что достаточной статистикой для параметра а служит а для параметра с примером 5.4.1]. Поэтому свободное от параметра условное распределение при фиксированных к с получается таким:

Где — плотность совместного выборочного распределения и с. Поскольку при свойства А и В независимы, то

Свободное от параметра условное нулевое распределение принимает вид

На самом деле это распределение одномерное, и (принимая в качестве переменной его можно с помощью введенных в (5.4.8) обозначений записать следующим образом:

а нулевую гипотезу мы проверяем, вычисляя уровень значимости наблюденного значения при этом гипергеометрическом распределении. Следовательно, проверка сводится к точно такой же процедуре, что и При сравнении двух биномиальных вероятностей. Эта процедура описана в примере 5.4.1.

Предложенный Р. А. Фишером критерий часто называют точным критерием Фишера в отличие от более простого в вычислительном отношении критерия, основанного на распределении хи-квадрат и описанного в разделе 7.4.1. Эти вопросы изложены Фишером в книге раздел При сравнении двух биномиальных частот в примере 5.4.1 был необходим двухсторонний критерий. Критерий независимости для таблиц также предполагает двухстороннюю альтернативу. Однако возможно рассмотрение и односторонней ситуации. Для примера в) (две совокупности) уместен двухсторонний критерий, поскольку нулевая гипотеза об однородности совокупностей была бы противоречивой как в случае, когда доля эксетерцев с В-отри-цательной группой крови превышает долю эдинбуржцев, так и в случае, когда доля эдинбуржцев превышает долю эксетерцев.

Однако в примере б) (две обработки) «эффект», каким бы он ни был, оказывается односторонним, так как если бы данные опровергали нулевую гипотезу, то число в них было бы столь же мало или еще меньше, чем ожидаемое при нулевой гипотезе значение. Таким образом, уровень значимости здесь оказывается обычной «хвостовой» вероятностью

где определена так же, как в (5.4.10).

Пример 5.4.4. Эффективность прививки от холеры. Ситуация, в которой нужен односторонний критерий, характеризуется следующими данными о числе членов некоторой общины, заболевших холерой после того, как им была привита противохолерная вакцина, и о численности непривитых и заболевших (данные Гринвуда и Юла):

Мы интересуемся эффективностью прививки для предупреждения инфекции, т. е. значимо ли мало число заболевших, несмотря на прививку. Примем обозначения, как в (5.4.8):

Уровень значимости нулевой гипотезы о бесполезности прививки в силу (5.4.1) составляет

Входящее в это выражение гипергеометрическое распределение удовлетворяет приведенным в (5.4.3) условиям применимости биномиального приближения (5.4.2), так что уровень значимости примерно равен

Вычислим

и тогда, как в (5.4.4), найдем

откуда получаем уровень значимости

Это довольно малая величина (около одного шанса из 70), чтобы принять нулевую гипотезу. Вывод таков: количество заболевших среди прошедших прививку значительно меньше, чем среди прочих с примером 7.4.1, где к тем же данным применяется критерий хи-квадрат].

Пример 5.4.5. Преступность среби близнецов. Известный пример таблицы приведен в книге [Fisher (1970)-С]. Выборка содержит 30 преступников, у каждого из которых имеется брат-близнец. Эти 30 человек были подвергнуты перекрестной классификации, при которой один признак относился к природе близнецов (13 идентичных и 17 неидентичных), а другой — к виновности или невиновности брата (12 виновных, 18 — невиновных):

По нулевой гипотезе преступность среди идентичных близнецов не будет значимо более частой, чем среди неидентичных. Подтверждается ли это данными? Здесь нам нужен односторонний вариант условного критерия. Условное нулевое распределение (5.3.10) принимает такой вид:

а уровень значимости равен сумме вероятностей, размещаемых согласно этому распределению в точках не меньших наблюденного значения, т. е. в точках 10, 11, 12. Таким образом,

Получается, что данные имеют высокую значимость — нулевая гипотеза абсолютно отклоняется.

Рационализация труда при анализе таблиц Представленные выше вычисления можно выполнить с помощью небольшого калькулятора. Но существует два альтернативных метода. Один из них ориентирован на использование таблиц Финни для проверки значимости в таблицах [см. Pearson and Hartley, (1966), т. 1, табл. Другой связан с применением рассмотренного в разделе 7.4.1 приближения хи-квадрат. Конечно, таблицы Финни дают точный уровень значимости не для всех возможных таблиц а только в случаях, когда

объемы выборки При этом они позволяют судить о том, что меньше, чем 0,005, или заключен между 0,005 и 0,01, между 0,01 и 0,05, больше 0,05; немного меньше сведений приведено для

Условные критерии для таблиц Изложенные выше методы анализа таблиц можно распространить и на таблицы а Сводка точных условных критериев содержится в работе [Kalbfleisch (1979) т. II-С]. Часто достаточным оказывается применение изложенного в гл. 7 приближения хи-квадрат.