5.3.2. ФУНКЦИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОДНОСТОРОННЕГО КРИТЕРИЯ ДЛЯ ВЫБОРКИ ИЗ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, КОГДА ЗНАЧЕНИЕ «сигма» НЕИЗВЕСТНО

При изложении материала в разделе 5.3.1 мы стремились разъяснить принципы, составляющие содержание анализа чувствительности, по возможности без математических подробностей. Это удалось, поскольку речь шла о проверке гипотез относительно величины математического ожидания 0 распределения — единственного нормального распределения, встретившегося в вычислениях. Теперь кратко наметим вычисления для более реальной ситуации, когда исходное распределение — , а величина о неизвестна.

Определим как независимые случайные величины, каждая из которых нормальна с параметрами , и пусть

Положим

Мы проверяем гипотезу

которая ничего не предполагает относительно о.

Пусть — типичная реализация случайных величин Предположим, что вектор наблюдений и соответствующие статистики для нашей выборки приняли значения . Тогда — оценка — оценка при этом — значение отношения Стьюдента. Если то последняя величина представляет собой реализацию распределения Стьюдента с степенями свободы; ее значение будет с гораздо большей вероятностью находиться около нуля, чем увеличиваться (при условии, что так что мы будем считать, что большие значения приводят к отклонению нулевой гипотезы.

Таким образом, в качестве области значимости выбирается множество вида

Уровень значимости (SL) вектора выборки равен

где обозначает функцию распределения Стьюдента с

пенями свободы, вычисленную в точке . Так что случайная величина уровня значимости равна:

[ср. с (5.3.5)], функция чувствительности — это

Здесь Когда случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, так что Т подчиняется нецентральному распределению Стьюдента с степенями свободы, а параметр нецентральности определяется формулой

[см. раздел 2.8.3]. Обозначим функцию этого распределения в точке символом

так что

[ср. с (5.3.7)]. Когда эта величина превращается в

поскольку а нецентральное распределение Стьюдента с функцией становится обычным «центральным» распределением Стьюдента, имеющим функцию распределения Таким образом,

откуда представляет собой уровень значимости, как и в ранних примерах с (5.3.6)].

Например, то уровень значимости равен

(из таблиц). Это малая величина; вероятность получить столь малое значение, если бы была верна, составляет 0,022 и, что эквивалентно, сила доводов против равна 0,978. Поэтому результат не может быть следствием тем самым получен существенный довод против гипотезы, а значит, ее можно считать отвергнутой.

Вероятность получить довод силы против когда равна вероятности получения уровня значимости или менее; эта вероятность выражается функцией , численные значения которой можно найти в таблицах нецентрального распределения Стьюдента с степенями свободы и параметром нецентральности X. Поведение функции показано на рис. 5.3.1.