2.6. АССИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫБОРОЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ х И НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ х
Наиболее богатые результаты получаются в выборочной теории (как показано на примерах в разделе 2.5), когда в ее основе лежит нормальное распределение. Хотя на практике абсолютная нормальность никогда не встречается, выборочная теория нормального распределения может применяться с некоторой приемлемой степенью приближенности благодаря следующим результатам (и их многомерным обобщениям). Они во многих случаях формулируются в терминах асимптотической нормальности, которая определяется ниже.
Определение 2.6.1. Асимптотическая нормальность при больших значениях
Говорят, что статистика
основанная на выборке объема
асимптотически нормальна с математическим ожиданием
и дисперсией
если
где
— случайная величина, индуцированная
[см. определение 2.2.1], а Ф - функция стандартного нормального распределения.
Это определение практически можно интерпретировать как утверждение, что при больших
распределение
с разумной точностью аппроксимируемо с помощью нормального распределения с параметрами
Например, отношение Стьюдента с
степенями свободы асимптотически нормально с параметрами (0,1), что можно трактовать как распределенное
с хорошей степенью приближения при
Теорема 2.6.1 (теорема Хинчина). Если
— выборка из распределения, которое имеет конечное математическое ожидание
то выборочное среднее х сходится по вероятности к
[см. определение 3.3.1].
Это означает, что при больших значениях
маловероятно, чтобы х существенно отличалось от
Теорема 2.6.2 (теорема Линдеберга). Если
— выборка из распределения с конечным математическим ожиданием
и с конечной дисперсией
то выборочное распределение среднего значения выборки х будет ассиметрически нормальным с математическим ожиданием
и дисперсией
при растущих
Этот результат является частным случаем центральной предельной теоремы [см. II, раздел 17.3]. Его практическая интерпретация состоит в том, что при больших
выборочное распределение среднего значения выборки х хорошо аппроксимируется (в разумных пределах) нормальным распределением с параметрами
Теорема 2.6.3 (теорема Муавра—Лапласа). Если случайная переменная
имеет распределение
[см. II, раздел 5.2.1], то
— асимптотически нормальна с математическим ожиданием
и дисперсией
[см. II, раздел 11.4.7].
Среди приведенных здесь и подобных им теорем исключительную практическую важность имеет следующая теорема (она представлена в форме, предложенной в работе [Wilks (1961), гл. 9 — С].
Теорема 2.6.4. Асимптотическое выборочное распределение
. Если
— выборка из распределения, которое имеет конечное математическое ожидание
и конечную дисперсию
— определенная функция х, то при соблюдении условий, устанавливаемых ниже, выборочное распределение
будет асимптотически нормальным с математическим ожиданием и дисперсией
[см. определение 2.6.1].
Условия, налагаемые на функцию
состоят в том, что
должна существовать в некоторой окрестности
и что
На основании этого результата можно показать, например, что в выборках объема
из различных распределений соответствующие асимптотически нормальные выборочные распределения для выборочного среднего х или для определенной функции
оказываются такими, как это показано в табл. 2.6.1.
Таблица 2.6.1 (см. скан)