2.6. АССИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫБОРОЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ х И НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ х

Наиболее богатые результаты получаются в выборочной теории (как показано на примерах в разделе 2.5), когда в ее основе лежит нормальное распределение. Хотя на практике абсолютная нормальность никогда не встречается, выборочная теория нормального распределения может применяться с некоторой приемлемой степенью приближенности благодаря следующим результатам (и их многомерным обобщениям). Они во многих случаях формулируются в терминах асимптотической нормальности, которая определяется ниже.

Определение 2.6.1. Асимптотическая нормальность при больших значениях Говорят, что статистика основанная на выборке объема асимптотически нормальна с математическим ожиданием и дисперсией если

где — случайная величина, индуцированная [см. определение 2.2.1], а Ф - функция стандартного нормального распределения.

Это определение практически можно интерпретировать как утверждение, что при больших распределение с разумной точностью аппроксимируемо с помощью нормального распределения с параметрами Например, отношение Стьюдента с степенями свободы асимптотически нормально с параметрами (0,1), что можно трактовать как распределенное с хорошей степенью приближения при

Теорема 2.6.1 (теорема Хинчина). Если — выборка из распределения, которое имеет конечное математическое ожидание то выборочное среднее х сходится по вероятности к [см. определение 3.3.1].

Это означает, что при больших значениях маловероятно, чтобы х существенно отличалось от

Теорема 2.6.2 (теорема Линдеберга). Если — выборка из распределения с конечным математическим ожиданием и с конечной дисперсией то выборочное распределение среднего значения выборки х будет ассиметрически нормальным с математическим ожиданием и дисперсией при растущих

Этот результат является частным случаем центральной предельной теоремы [см. II, раздел 17.3]. Его практическая интерпретация состоит в том, что при больших выборочное распределение среднего значения выборки х хорошо аппроксимируется (в разумных пределах) нормальным распределением с параметрами

Теорема 2.6.3 (теорема Муавра—Лапласа). Если случайная переменная имеет распределение [см. II, раздел 5.2.1], то — асимптотически нормальна с математическим ожиданием и дисперсией [см. II, раздел 11.4.7].

Среди приведенных здесь и подобных им теорем исключительную практическую важность имеет следующая теорема (она представлена в форме, предложенной в работе [Wilks (1961), гл. 9 — С].

Теорема 2.6.4. Асимптотическое выборочное распределение . Если — выборка из распределения, которое имеет конечное математическое ожидание и конечную дисперсию — определенная функция х, то при соблюдении условий, устанавливаемых ниже, выборочное распределение будет асимптотически нормальным с математическим ожиданием и дисперсией [см. определение 2.6.1].

Условия, налагаемые на функцию состоят в том, что должна существовать в некоторой окрестности и что

На основании этого результата можно показать, например, что в выборках объема из различных распределений соответствующие асимптотически нормальные выборочные распределения для выборочного среднего х или для определенной функции оказываются такими, как это показано в табл. 2.6.1.

Таблица 2.6.1 (см. скан)