4.5. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ПРИ НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРАХ

Из числа вопросов, возникающих при переходе к доверительным интервалам для нескольких параметров, выделим следующие:

1) можно ли получить индивидуальные (отдельные) доверительные интервалы для каждого из параметров?

можно ли получить доверительные интервалы для различных комбинаций параметров, таких, как их сумма, разность, отношение и т. д.?

3) можно ли получить (многомерные) доверительные области для нескольких параметров сразу?

Эти и близкие им проблемы излагаются в гл. 8 в аспекте дисперсионного анализа. Вопросы 1) и 2) мы коротко обсудим в этом разделе. Более глубокое рассмотрение, затрагивающее также вопрос 3), содержится в разделе 4.9.

4.5.1. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

Прежде всего мы приведем примеры индивидуальных доверительных интервалов для каждого из одномерных параметров, взяв дисперсию и математическое ожидание семейства [см. пример 4.5.1], а также каждый из трех параметров, рассматриваемых в теории линейной регрессии [см. пример 4.5.3].

Пример 4.5.1. Доверительные интервалы для дисперсии (или для стандартного отклонения) распределения. Пусть — выборка из нормального распределения. Тогда при статистика несмещенная оценка есть реализация случайной величины , где — независимые случайные величины, . Тогда величина распределена по закону , т. е. по закону степенями свободы [см. раздел 2.5.4, II, раздел 11.4.11].

Для нее мы можем построить симметричный -ный вероятностный интервал , где определяются так, чтобы

Значения могут быть найдены по таблицам распределения [см. приложение 6]. Тогда с вероятностью

или, что равносильно,

Это в свою очередь равносильно

Таким образом, -ные доверительные интервалы для следующие:

а для

В этом примере наличие второго неизвестного параметра ничуть не изменило нашего вывода [ср. с примером 5.8.6]. Данные, представленные в табл. 4.5.1, связаны с эффективностью двух разных видов снотворного [см. Fisher (1970)-С]. Пациенты принимали каждый из этих препаратов через промежутки времени достаточно большие, чтобы можно было считать его действие независимым.

Таблица 4.5.1. (см. скан) Перепечатано с разрешения Macmillan Publishing Company из книги Statistical Methods foi Research Vorkers, 14th edition, by Sir Ronald A. Fischer, copyright 1970 University of Adelaide

Числа в последнем столбце могут рассматриваться как независимые наблюдения над мерой сравнительной эффективности препаратов, за которую здесь взята разность их действия. Мы предполагаем, что — распределены нормально с параметрами , и берем качестве оценки для статистику

с

Итак, оценки для есть соответственно. Симметричный 95%-ный вероятностный интервал для с 9 степенями свободы следовательно, 95%-ный доверительный интервал для т. е. (0,716, 5,044). Соответствующий интервал для

Пример 4.5.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения.

а) Значение дисперсии известно. Этот случай рассмотрен в примере 4.2.1 для выборки -ный доверительный интервал для есть , где х — среднее выборки.

б) Значение дисперсии неизвестно. Вот метод оценки «на скорую руку» с использованием стандартной ошибки: заменяем неизвестное значение а в его оценкой . В более общем случае предположим, что — несмещенная оценка параметра в и выборочное распределение приближенно нормальное; тогда, грубо говоря, 95%-ный доверительный интервал для есть

где означает стандартную ошибку в (т. е. подходящую оценку выборочного стандартного отклонения . Это имеет некоторое отношение к методу наибольшего правдоподобия.

в) Значение дисперсии неизвестно. Вычисление точных доверительных интервалов с помощью распределения Стьюдента. Здесь возникает новое осложнение: мы ищем доверительный интервал для одного параметра когда значение другого неизвестно. Эта задача была блестяще решена на основе идеи Стьюдента, которая состоит в исключении с помощью процесса, известного теперь как «стьюдентизация». Если выборка из и

то величина инвариантна относительно изменения значений если о заменить на то тем не менее

Удобнее использовать величину

которую называют величиной Стьюдента с степенями свободы. Она имеет не зависящее от параметра выборочное распределение [см. раздел 2.5.5] и, следовательно, является опорной для .

Это распределение симметрично, и если а — значение, которое не превосходит с вероятностью то -ный доверительный интервал для есть

Значения а, соответствующие рассматриваемым могут быть найдены из таблиц [см. приложение 5, ср. с примером 5.8.2]. Если, например, , то число степеней свободы 9, и, взяв мы получим для а значение 2,262. Если взять те же исходные данные, что в примере 4.5.1, то мы будем иметь . Таким образом, 95%-ный доверительный интервал для будет

или

Это показывает, что разница в действии лекарств существует: добавочное время сна после приема препарата В превышает время после приема препарата А в среднем на (или, более точно, на (с 95%-ной точностью)). Численные значения, использованные здесь, показаны на графике распределения Стьюдента на рис. 4.5.1.

Интуитивный подход, продемонстрированный в примере 4.1.1, находит применение и здесь: нужно только заменить плотность

Рис. 4.5.1. Плотность распределения Стьюдента с 9 степенями свободы

Рис. 4.5.2. — неправдоподобно большое отрицательное значение величины — слишком сильно превосходит Аналогично соответствует слишком малому значению соответствует правдоподобному значению

нормального распределения из примера 4.1.1 на плотность распределения Стьюдента.

На рисунке 4.5.2 изображен график плотности распределения Стьюдента с 9 степенями свободы, при разных значениях,

Значение для и, следовательно, соответствующее значение а именно слишком маловероятно, чтобы можно было его принять. То же относится и к . Значение лежит в зоне больших значений плотности, так что совместимо с исходными данными. Условная граница между «приемлемыми» и «неприемлемыми» значениями -ной точностью) определяется точками и на рис. 4.5.1, где — квантиль уровня 0,025 и — квантиль уровня 0,975 распределения Стьюдента с 9 степенями свободы. Эти значения следующие: а доверительный интервал — где

Пример 4.5.3. Простая линейная регрессия. Если пара случайных величин имеет совместное распределение [см. II, раздел 13.1.1], то условное математическое ожидание [см. II, раздел 8.9] называется регрессией на X. Если линейна по х, скажем, , то мы имеем простую линейную регрессию. Если наблюдаемое значение У соответствующее заранее заданному значению есть , то удобно переписать формулу для в виде

где Если условное распределение У при фиксированном при любом х, то оценки наибольшего правдоподобия для [см. пример 6.4.4] будут следующими:

а соответствующая несмещенная оценка для равна:

Легко видеть, что величины

и

будут иметь распределение Стьюдента [см. раздел 2.5.5] с степенями свободы, в то время как величина имеет распределение степенями свободы. Таким образом, 95%-ные доверительные интервалы для будут следующими:

[ср. с примером 4.2.2] и

[ср. с примером 4.4.1], где — верхняя -нач точка распределения Стьюдента с степенями свободы, — нижняя и верхняя -ные точки случайной величины, распределенной по закону степенями свободы [см. также пример 4.5.4 и раздел 5.8.5]. Численный пример и более подробное обсуждение линейной регрессии содержатся в разделе 6.5.