5.6. АППРОКСИМАЦИЯ УРОВНЯ ЗНАЧИМОСТИ КРИТЕРИЯ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ВЫБОРОК
Для описанной в разделе 5.5 процедуры проверки гипотезы выборочное распределение при Н статистики критерия
вида (5.5.6) аппроксимируется распределением хи-квадрат с к степенями свободы, где к — число точно определяемых при нулевой гипотезе параметров. (Предполагается, что вероятностная модель удовлетворяет некоторым условиям регулярности.) На практике приближение может оказаться удивительно хорошим, как показывает следующий пример.
так что
В то же время при отсутствии ограничений наибольшее значение
равно
где
так что
Тогда статистика отношения правдоподобия (5.5.5) принимает значение
Для упомянутых в примере 5.4.4 данных о преступности среди близнецов таблица была такой:
откуда
и
Поскольку нулевая гипотеза определяет значение только одного параметра, асимптотическая теорема (если бы ее можно было применять к столь малой выборке) утверждала бы, что при Н это значение 14 нужно считать реализацией распределения хи-квадрат с одной степенью свободы. При такой интерпретации, следовательно, уровень значимости будет равен
где
— стандартная нормальная случайная величина (так как
подчиняется распределению
). Поэтому уровень значимости
Полученный в примере 5.4.4 для условного критерия уровень значимости составил 0,0004. Таким образом, ошибка при приближении отношения правдоподобия с помощью асимптотики для больших выборок составляет всего 0,0002.