4.2. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Оценка
параметра в есть реализация соответствующей случайной величины [см. определение 2.2.1]
, поведение которой может быть описано в терминах ее распределения, т. е. в терминах выборочного распределения оценки. Это распределение, разумеется, будет зависеть от неизвестного значения в.
Можно применить к этому распределению концепцию, развитую в разделе 4.1, и получить обобщенное описание поведения
на языке вероятностных интервалов, которые а свою очередь будут зависеть от
Даке принимая во внимание что значение
неизвестно, эти сведения
бесполезны. Обычно все же требуется более прямая информация о точности оценки. Один из способов дать такую информацию состоит в придании точной формы (формализации) интуитивному подходу, продемонстрированному в примере 4.1.1, и в построении, если это возможно, интервала, который с заданной вероятностью содержит
. Поскольку понятие вероятности применимо только к случайным величинам и (исключая байесовскую точку зрения) в не является случайной величиной, видно, что это может быть достигнуто только в том случае, если концы интервала сами окажутся случайными величинами. Такие интервалы называются доверительными, а их конечные точки — доверительными пределами. Прежде чем перейти к формальным определениям, приведем простой пример (он может показаться несколько искусственным, так как основан на нормальном
распределении, где общий вид распределения известен и единственным неизвестным параметром является математическое ожидание; однако его искусственность оправдана простотой и частой встречаемостью соответствующего выборочного распределения).
Пример. 4.2.1. Доверительные интервалы для математического ожидания нормального распределения при известном значении дисперсии. Пусть
— реализация случайной величины X, распределенной нормально с параметрами
статистика
есть реализация случайной величины X, также распределенной по нормальному закону с параметрами
Соответствующая стандартизованная случайная величина
распределена нормально с параметрами
. Так же, как в примере 4.1.2, можно построить симметричный вероятностный интервал для
уровня 0,95 (или любого другого); это будет интервал
Таким образом,
Соотношение
равносильно двум соотношениям:
и
выполняющимися одновременно, или соотношениями
и
или соотношению
Равенство (4.2.1) поэтому может быть записано в «обращенном»
ему можно придать такой смысл: с вероятностью 0,95 случайный интервал
«накрывает» (неизвестное) истинное значение
. (Под случайным интервалом понимается интервал, границы которого — случайные величины.) Взяв х, наблюдаемое выборочное значение, за реализацию X, можно утверждать, что интервал
границы которого (при фиксированном
— известные числа, представляет собой реализацию случайного интервала
с примером 4.1.2]. Эта реализация называется доверительным интервалом для в с коэффициентом доверия 0,95, или, короче, 95%-ным доверительным интервалом для 0. Повторения выборочной процедуры будут
Рис. 4.2.1. Примеры доверительных интервалов для параметра в нормального
распределения, построенных по выборке из 25 значений давать новые значения элементам выборки
, очевидно, другие реализации случайного интервала (4.2.6). При большом числе повторений этой процедуры в 95% случаев значение в будет попадать внутрь доверительного интервала. Иными словами, 95% всех реализаций доверительного интервала будут содержать неизвестную нам точку в. В этом смысле можно «быть уверенным на
что в будет внутри доверительного интервала, построенного по какой-то одной выборке объема
Ситуация проиллюстрирована на рис. 4.2.1.
Доверительные интервалы для
когда X есть
(при известном а). Стандартные обозначения для математического ожидания нормального распределения и его стандартного отклонения есть
соответственно. Если X распределена по нормальному закону с параметрами
, симметричный 95%-ный доверительный интервал для
имеет вид
Теперь дадим формальное определение доверительного интервала и (в следующем разделе) формализацию процедуры, использованной в примере 4.2.1 для его построения.
Определение 4.2.1. Доверительный интервал, доверительные пределы. Доверительным интервалом параметра
распределения случайной величины X с уровнем доверия
порожденным выборкой
называется интервал с границами
которые являются реализациями случайных величин
таких, что
Граничные точки доверительного интервала и
называются доверительными пределами (здесь
— статистические копии X [см. определение 2.2.1]).
Так же, как в случае вероятностных интервалов [см. раздел 4.1.1], интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если
велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение в.