В этом разделе мы предлагаем посмотреть, как квантовые вычисления можно реализовать на практике. Подчеркнем, что по крайней мере на этих нескольких первых шагах необходимые операции связаны с хорошо известными процедурами в экспериментальной физике. В основе всей этой конструкции лежит кубит (или квантовый бит) [5] квантовая система, которая, как и обыкновенный компьютерный бит, имеет два возможных состояния, но, в отличие от обыкновенного бита, может находится в суперпозиции этих двух состояний. В физике известно много таких систем, однако здесь будет использована модель элементарной частицы со спином $\frac{1}{2}$, такой, как электрон или протон. В этом случае можно различить состояние «спин вверх», обозначаемое как $|1⟩$, и «спин вниз», обозначаемое как $|0⟩$. Как и в булевой логике, операции в квантовой логике будут строиться из небольшого набора квантовых гейтов, в которых состояния входных кубитов (в последующих примерах один или два кубита) преобразуются вполне определенным образом и покидают гейты в определенных конечных состояниях. В соответствии с законами квантовой механики изолированных систем, все возможные операции над этими системами являются унитарными операторами, описывающими эволюшию начального состояния квантовой системы.

Например, квантовый аналог однобитного булевого NOT-гейта, или гейт-инвертора, можно реализовать с помощью хорошо известной с пятидесятых годов спектроскопической техники. Почти в любой из элементарных книг по квантовой механике [6] показано, что эволюцией системы со спином $1/2$ можно весьма точно управлять с помощью разумного применения зависящих от времени магнитных полей. Инверсия
Рис. 1. Действие NOT-гейта или гейт-инвертора. Гамильтониан, описывающий магнитно-резонансное воздействие, результатом которого является действие NOT, имеет вид $H=g\mu [H_0{\sigma }_z+H_1(t){\sigma }_y]$. (A) Временная зависимость магнитного поля опрокидывающего импульса в данном случае представляет собой синусоиду с частотой $\omega$, умноженная на ступенькообразную функцию $P(t)$, отличную от нуля только на промежутке от $t=0$ до $t=T$. (B) Диаграммы энергетических уровней для кубита. Опрокидывающий импульс находится в резонансе с соответствующей разностью энергий между двумя стационарными уровнями $|0⟩$ и $|1⟩$. (C) Диаграмма эволюции состояний, показывающая пути эволюции двух основных состояний. $\pi$ на диаграмме означает, что выделенный этой буквой путь приобретает сдвиг фаз, равный ${180}^{\circ }$ (в предположении, что $\omega T=0$ и $\mathrm{\Omega }T=\pi$ ).

состояний, при которой состояние «спин вверх» переходит в состояние «спин вниз» и наоборот, осуществляется с помощью хорошо известного опрокидывающего импульса. Предположим, что мы имеем изолированное спиновое состояние, находящееся под воздействием комбинации стационарного и зависящего от времени магнитных полей, описываемое гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}g\mu [H_0{\sigma }_z+H_1{\sigma }_{y}P(t)\sin \omega t],$$

где $g\mu$ — магнитный дипольный момент частицы ( $\mu =eh/(2\pi mc$ ) в единицах сантиметр-грамм-секунда, $h$ — константа Планка, $m$ — масса частицы, $c$ — скорость света), статическое магнитное поле $H_0$ направлено по оси $z$, а импульс переменного магнитного поля $H_1$ направлен по оси $y;{\sigma }_y$ и ${\sigma }_z$ — спиновые матрицы Паули, а $P(t)$ — огибающая импульса, показанная как прямоугольный импульс на рис. 1. Временная эволюция (по $t$ ) под действием этого гамильтониана подробно описывается во многих местах (например, в [6]). Во время действия опрокидывающего импульса переменное магнитное поле находится в резонансе с разностью энергий между двумя спиновыми состояниями: $h\omega =2\pi g\mu H_0$. Тогда унитарная матрица $2\times 2$, описывающая временную эволюцию спиновой системы начиная с $t=0$ до $t=T$, в базисе из состояний «спин вверх», «спин вниз» просто имеет вид матрицы вращения (здесь опущены фазовые множители)
$$U=\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\omega T/2}& 0\\ 0& e^{-i\omega T/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}\cos \mathrm{\Omega }T/2& -\sin \mathrm{\Omega }T/2\\ \sin \mathrm{\Omega }T/2& \cos \mathrm{\Omega }T/2\end{array}\right),$$

где $\mathrm{\Omega }=g\mu H_1/4\hslash$ — частота Раби. Так как и $\mathrm{\Omega }$, и $T$ зависят от параметров опрокидывающего импульса, мы можем получить любой угол поворота. При угле поворота в 180 градусов, когда $\mathrm{\Omega }T=\pi$, эволюция будет соответствовать операции NOT: если система в начале находилась в состоянии $|0⟩$, в конце она перейдет в состояние $|1⟩$, и наоборот. Конечно, эта классическая операция имеет неклассические черты, выражающиеся в фазовых факторах: ассоциируемых с временной эволюцией. В общем, они могут быть выбраны равными единице, хотя, так как обычно $\omega \gg \mathrm{\Omega }$, учет этих фаз является, вероятно, самой сложной особенностью метода опрокидывающих импульсов унитарных преобразований при контроле точности.

Только что описанная операция опрокидывания на угол $\pi$ ничем не выделяется среди других спин-резонансных операций, можно привести полное непрерывное (трехпараметрическое) семейство операций, связанное с произвольной $SU(2)$ матрицей [7]. Такие операции представляют собой сущность квантовых вычислений и придают им огромные потенциальные возможности.

Для связанной двуспиновой системы можно составить аналогичный спин-резонансный протокол $[8,9,10]$, хорошо известный в физике двойного резонанса, который позволяет построить функцию «исключающего или» (XOR) $[11,12]$. «Исключающее или» (XOR) двух битов это сумма их булевых значений, взятая по модулю 2. Новым компонентом, который необходим для создания «исключающего или» (XOR) с помощью спин-резонансной техники, является ненулевой гамильтониан взаимодействия двух спинов между собой. Протокол может быть наиболее просто объяснен в случае взаимодействия Изинга [9], при этом гамильтониан взаимодействия примет вид
$$H=\frac{1}{2}{g}_f\mu H_0{\sigma }_{az}+\frac{1}{2}{g}_b\mu H_0{\sigma }_{bz}+J{\sigma }_{az}{\sigma }_{bz}+\mathcal{H}(t),$$

хотя построение XOR-протокола не зависит от явного вида взаимодействия между спинами $a$ и $b$. Здесь $\mathcal{H}(t)$ — зависящий от времени гамильтониан, описывающий последовательность опрокидывающих импульсов. Без опрокидывающих импульсов такой гамильтониан описывает просто стационарную квантовую систему с четырьмя энергетическими уровнями (рис. $2\mathrm{A}$ ). Из-за спин-спинового взаимодействия разности энергий между любой парой энергетических уровней этой четырехуровневой системы будут различными. Это позволяет подобрать для каждого конкретного резонанса свою последовательность опрокидывающих импульсов. Таким образом, если в момент $t_1$ приложить импульс, частота которого настроена на ${\omega }_1$ (она определяется расстоянием между первым и третьим уровнем спектра (рис. $2\mathrm{A}$ )), а угол поворота выбрать равным $\pi$, то к окончанию импульса $t_2$, будет выполнен желаемый XOR-гейт. Опрокидывая спин $a$, если спин $b$ находится в состоянии $|1⟩$, и ничего не предпринимая в противном случае, этот импульс переводит спин $a$ в XOR начальных состояний $a$ и $b$, оставляя спин $b$ в первоначальном состоянии, как показано в первых двух столбцах таблицы истинности на рис. 2C. Обозначение операции, выполняющей XOR-гейт, показано на рис. $2\mathrm{D}$.

XOR-протокол тесно связан с процедурами, давно изобретенными в резонансной спектроскопии [13]. В 1956 году Фехер предложил процедуру по переносу поляризации в электронно-ядерном двойном резонансе (ENDOR), которая содержит обсуждаемый выше XOR-протокол. В первоначальных экспериментах Фехера спин $a$ принадлежал внешнему, наиболее удаленному неспаренному электрону, принадлежащему примеси фосфора (P) в кристаллическом кремнии ( $\mathrm{Si}$ ), а спин $b$ принадлежит близлежащему ядру ${}^{29}\mathrm{Si}$ (кстати, давшего название технологии). ENDOR- и XOR-протоколы различаются только тем, что процедура, предложенная Фехером, использует второй импульс, начинающийся в момент времени $t_2$ и поворачивающий спин на угол $\pi$. Этот второй импульс имеет резонансную частоту ${\omega }_2$, соответствующую разности энергий между первым и вторым уровнями спектра, изображенного на рис. 2 A. По окончании второго импульса в момент времени $t_3$ операция ENDOR завершена. Таблица истинности для этой операции представлена в первом и третьем столбцах рис. 2 C. В результате действия
Рис. 2. Действие двубитного XOR-гейта. (A) Диаграмма энергетических уровней для двубитной системы, на которой показаны четыре стационарных состояния гамильтониана (4). Эти состояния обозначены по направлению спинов $|ab⟩$. ( $B$ ) Временные эволюционные пути квантовой системы под действием протокола опрокидывающих импульсов, описанного в тексте. Снова, под буквой $\pi$ обозначается сдвиг фаз на ${180}^{\circ }$ вдоль обозначенного ей пути. ( $C$ ) Таблица истинности, суммирующая результаты временной эволюции операции от начального состояния (время $t_1$ ), после первого (время $t_2$ ) и после второго (время $t_3$ ) опрокидывающих импульсов. ( $D$ ) Обозначение гейта, производящего XOR-гейт, получаемого путем использования первых двух импульсов ENDOR-протокола. В результате действия этого гейта состояние кубита $b$ не изменяется, а состояние кубита $a$ становится равным сумме $a$ и $b$ по модулю 2.

этой операции спин $a$ (спин Р-электрона в эксперименте Фехера) содержит результат действия XOR-гейта на начальные состояния $a$ и $b$. В дополнение к этому, спин $b$ находится в том состоянии, в котором находился спин $a$ в начальный момент времени. Это и есть эффект переноса поляризации, которым интересовался Фехер. Для многих целей в физике, химии и биологии желательно перенести спиновое состояние электрона на ближайшее ядро, но тот факт, что эта процедура производит такой интересный логический гейт, как XOR, не отмечался ранее в ENDOR-спектроскопии. Для построения как однобитных, так и двубитных гейтов требуются высокоточные методы экспериментальной физики. Необходимо точно контролировать время действия опрокидывающего импульса, чтобы набегающая фаза $\omega T$ была в точности равна нулю (или некоторой другой величине). Для двубитных операций также необходимо, чтобы гамильтониан взаимодействия, который определяет расщепление энергетических уровней четырехуровневого спектра, был точно известен и контролируем. К тому же частота, соответствующая повороту на угол $\pi$, должна производится так, чтобы импульс, имеющий номинально частоту ${\omega }_1$, не имел остаточной малозаметной составляющей с частотой ${\omega }_2$, а это требует аккуратного выбора формы импульса (прямоугольный импульс, изображенный на рис. 1А невозможен). Многие из упомянутых аспектов, в особенности форма импульсов и частотная стабильность, активно обсуждается в литературе по магнитным резонансам [14].