В этом разделе мы предлагаем посмотреть, как квантовые вычисления можно реализовать на практике. Подчеркнем, что по крайней мере на этих нескольких первых шагах необходимые операции связаны с хорошо известными процедурами в экспериментальной физике. В основе всей этой конструкции лежит кубит (или квантовый бит) [5] квантовая система, которая, как и обыкновенный компьютерный бит, имеет два возможных состояния, но, в отличие от обыкновенного бита, может находится в суперпозиции этих двух состояний. В физике известно много таких систем, однако здесь будет использована модель элементарной частицы со спином $\frac{1}{2}$, такой, как электрон или протон. В этом случае можно различить состояние «спин вверх», обозначаемое как $|1\rangle$, и «спин вниз», обозначаемое как $|0\rangle$. Как и в булевой логике, операции в квантовой логике будут строиться из небольшого набора квантовых гейтов, в которых состояния входных кубитов (в последующих примерах один или два кубита) преобразуются вполне определенным образом и покидают гейты в определенных конечных состояниях. В соответствии с законами квантовой механики изолированных систем, все возможные операции над этими системами являются унитарными операторами, описывающими эволюшию начального состояния квантовой системы.

Например, квантовый аналог однобитного булевого NOT-гейта, или гейт-инвертора, можно реализовать с помощью хорошо известной с пятидесятых годов спектроскопической техники. Почти в любой из элементарных книг по квантовой механике [6] показано, что эволюцией системы со спином $1 / 2$ можно весьма точно управлять с помощью разумного применения зависящих от времени магнитных полей. Инверсия
Рис. 1. Действие NOT-гейта или гейт-инвертора. Гамильтониан, описывающий магнитно-резонансное воздействие, результатом которого является действие NOT, имеет вид $H=g \mu\left[H_{0} \sigma_{z}+H_{1}(t) \sigma_{y}\right]$. (A) Временная зависимость магнитного поля опрокидывающего импульса в данном случае представляет собой синусоиду с частотой $\omega$, умноженная на ступенькообразную функцию $P(t)$, отличную от нуля только на промежутке от $t=0$ до $t=T$. (B) Диаграммы энергетических уровней для кубита. Опрокидывающий импульс находится в резонансе с соответствующей разностью энергий между двумя стационарными уровнями $|0\rangle$ и $|1\rangle$. (C) Диаграмма эволюции состояний, показывающая пути эволюции двух основных состояний. $\pi$ на диаграмме означает, что выделенный этой буквой путь приобретает сдвиг фаз, равный $180^{\circ}$ (в предположении, что $\omega T=0$ и $\Omega T=\pi$ ).

состояний, при которой состояние «спин вверх» переходит в состояние «спин вниз» и наоборот, осуществляется с помощью хорошо известного опрокидывающего импульса. Предположим, что мы имеем изолированное спиновое состояние, находящееся под воздействием комбинации стационарного и зависящего от времени магнитных полей, описываемое гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} g \mu\left[H_{0} \sigma_{z}+H_{1} \sigma_{y} P(t) \sin \omega t\right],
\]

где $g \mu$ – магнитный дипольный момент частицы ( $\mu=e h /(2 \pi m c$ ) в единицах сантиметр-грамм-секунда, $h$ – константа Планка, $m$ – масса частицы, $c$ – скорость света), статическое магнитное поле $H_{0}$ направлено по оси $z$, а импульс переменного магнитного поля $H_{1}$ направлен по оси $y ; \sigma_{y}$ и $\sigma_{z}$ – спиновые матрицы Паули, а $P(t)$ – огибающая импульса, показанная как прямоугольный импульс на рис. 1. Временная эволюция (по $t$ ) под действием этого гамильтониана подробно описывается во многих местах (например, в [6]). Во время действия опрокидывающего импульса переменное магнитное поле находится в резонансе с разностью энергий между двумя спиновыми состояниями: $h \omega=2 \pi g \mu H_{0}$. Тогда унитарная матрица $2 \times 2$, описывающая временную эволюцию спиновой системы начиная с $t=0$ до $t=T$, в базисе из состояний «спин вверх», «спин вниз» просто имеет вид матрицы вращения (здесь опущены фазовые множители)
\[
U=\left(\begin{array}{cc}
e^{i \omega T / 2} & 0 \\
0 & e^{-i \omega T / 2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
\cos \Omega T / 2 & -\sin \Omega T / 2 \\
\sin \Omega T / 2 & \cos \Omega T / 2
\end{array}\right),
\]

где $\Omega=g \mu H_{1} / 4 \hbar$ – частота Раби. Так как и $\Omega$, и $T$ зависят от параметров опрокидывающего импульса, мы можем получить любой угол поворота. При угле поворота в 180 градусов, когда $\Omega T=\pi$, эволюция будет соответствовать операции NOT: если система в начале находилась в состоянии $|0\rangle$, в конце она перейдет в состояние $|1\rangle$, и наоборот. Конечно, эта классическая операция имеет неклассические черты, выражающиеся в фазовых факторах: ассоциируемых с временной эволюцией. В общем, они могут быть выбраны равными единице, хотя, так как обычно $\omega \gg \Omega$, учет этих фаз является, вероятно, самой сложной особенностью метода опрокидывающих импульсов унитарных преобразований при контроле точности.

Только что описанная операция опрокидывания на угол $\pi$ ничем не выделяется среди других спин-резонансных операций, можно привести полное непрерывное (трехпараметрическое) семейство операций, связанное с произвольной $S U(2)$ матрицей [7]. Такие операции представляют собой сущность квантовых вычислений и придают им огромные потенциальные возможности.

Для связанной двуспиновой системы можно составить аналогичный спин-резонансный протокол $[8,9,10]$, хорошо известный в физике двойного резонанса, который позволяет построить функцию «исключающего или» (XOR) $[11,12]$. «Исключающее или» (XOR) двух битов это сумма их булевых значений, взятая по модулю 2. Новым компонентом, который необходим для создания «исключающего или» (XOR) с помощью спин-резонансной техники, является ненулевой гамильтониан взаимодействия двух спинов между собой. Протокол может быть наиболее просто объяснен в случае взаимодействия Изинга [9], при этом гамильтониан взаимодействия примет вид
\[
H=\frac{1}{2} g_{f} \mu H_{0} \sigma_{a z}+\frac{1}{2} g_{b} \mu H_{0} \sigma_{b z}+J \sigma_{a z} \sigma_{b z}+\mathscr{H}(t),
\]

хотя построение XOR-протокола не зависит от явного вида взаимодействия между спинами $a$ и $b$. Здесь $\mathscr{H}(t)$ – зависящий от времени гамильтониан, описывающий последовательность опрокидывающих импульсов. Без опрокидывающих импульсов такой гамильтониан описывает просто стационарную квантовую систему с четырьмя энергетическими уровнями (рис. $2 \mathrm{~A}$ ). Из-за спин-спинового взаимодействия разности энергий между любой парой энергетических уровней этой четырехуровневой системы будут различными. Это позволяет подобрать для каждого конкретного резонанса свою последовательность опрокидывающих импульсов. Таким образом, если в момент $t_{1}$ приложить импульс, частота которого настроена на $\omega_{1}$ (она определяется расстоянием между первым и третьим уровнем спектра (рис. $2 \mathrm{~A}$ )), а угол поворота выбрать равным $\pi$, то к окончанию импульса $t_{2}$, будет выполнен желаемый XOR-гейт. Опрокидывая спин $a$, если спин $b$ находится в состоянии $|1\rangle$, и ничего не предпринимая в противном случае, этот импульс переводит спин $a$ в XOR начальных состояний $a$ и $b$, оставляя спин $b$ в первоначальном состоянии, как показано в первых двух столбцах таблицы истинности на рис. 2C. Обозначение операции, выполняющей XOR-гейт, показано на рис. $2 \mathrm{D}$.

XOR-протокол тесно связан с процедурами, давно изобретенными в резонансной спектроскопии [13]. В 1956 году Фехер предложил процедуру по переносу поляризации в электронно-ядерном двойном резонансе (ENDOR), которая содержит обсуждаемый выше XOR-протокол. В первоначальных экспериментах Фехера спин $a$ принадлежал внешнему, наиболее удаленному неспаренному электрону, принадлежащему примеси фосфора (P) в кристаллическом кремнии ( $\mathrm{Si}$ ), а спин $b$ принадлежит близлежащему ядру ${ }^{29} \mathrm{Si}$ (кстати, давшего название технологии). ENDOR- и XOR-протоколы различаются только тем, что процедура, предложенная Фехером, использует второй импульс, начинающийся в момент времени $t_{2}$ и поворачивающий спин на угол $\pi$. Этот второй импульс имеет резонансную частоту $\omega_{2}$, соответствующую разности энергий между первым и вторым уровнями спектра, изображенного на рис. 2 A. По окончании второго импульса в момент времени $t_{3}$ операция ENDOR завершена. Таблица истинности для этой операции представлена в первом и третьем столбцах рис. 2 C. В результате действия
Рис. 2. Действие двубитного XOR-гейта. (A) Диаграмма энергетических уровней для двубитной системы, на которой показаны четыре стационарных состояния гамильтониана (4). Эти состояния обозначены по направлению спинов $|a b\rangle$. ( $B$ ) Временные эволюционные пути квантовой системы под действием протокола опрокидывающих импульсов, описанного в тексте. Снова, под буквой $\pi$ обозначается сдвиг фаз на $180^{\circ}$ вдоль обозначенного ей пути. ( $C$ ) Таблица истинности, суммирующая результаты временной эволюции операции от начального состояния (время $t_{1}$ ), после первого (время $t_{2}$ ) и после второго (время $t_{3}$ ) опрокидывающих импульсов. ( $D$ ) Обозначение гейта, производящего XOR-гейт, получаемого путем использования первых двух импульсов ENDOR-протокола. В результате действия этого гейта состояние кубита $b$ не изменяется, а состояние кубита $a$ становится равным сумме $a$ и $b$ по модулю 2.

этой операции спин $a$ (спин Р-электрона в эксперименте Фехера) содержит результат действия XOR-гейта на начальные состояния $a$ и $b$. В дополнение к этому, спин $b$ находится в том состоянии, в котором находился спин $a$ в начальный момент времени. Это и есть эффект переноса поляризации, которым интересовался Фехер. Для многих целей в физике, химии и биологии желательно перенести спиновое состояние электрона на ближайшее ядро, но тот факт, что эта процедура производит такой интересный логический гейт, как XOR, не отмечался ранее в ENDOR-спектроскопии. Для построения как однобитных, так и двубитных гейтов требуются высокоточные методы экспериментальной физики. Необходимо точно контролировать время действия опрокидывающего импульса, чтобы набегающая фаза $\omega T$ была в точности равна нулю (или некоторой другой величине). Для двубитных операций также необходимо, чтобы гамильтониан взаимодействия, который определяет расщепление энергетических уровней четырехуровневого спектра, был точно известен и контролируем. К тому же частота, соответствующая повороту на угол $\pi$, должна производится так, чтобы импульс, имеющий номинально частоту $\omega_{1}$, не имел остаточной малозаметной составляющей с частотой $\omega_{2}$, а это требует аккуратного выбора формы импульса (прямоугольный импульс, изображенный на рис. 1А невозможен). Многие из упомянутых аспектов, в особенности форма импульсов и частотная стабильность, активно обсуждается в литературе по магнитным резонансам [14].