Простой пример для иллюстрации работы квантового робота включает окружающую среду с единственной неподвижной частицей $p$ на одномерной решетке (т. е. $T_{E}=1$ и $\mathcal{T}=T$ ). Задача – измерить расстояние между квантовым роботом и $p$, изменяя движение квантового робота при локальных наблюдениях за частицей $p$, и подсчитывая число ненаблюдений, пока частица $p$ не будет найдена (часть поиска). В части возврата квантовый робот возвращается на то же число шагов, и задача заканчивается равновесной частью. Она вводится для сохранения унитарности $T$.

Окончательную цель исследования можно сформулировать как условие на $T$ и выразить следующим образом: пусть $\phi=\sum_{y} c_{y}|y\rangle$ обозначает состояние $p$ на решетке, тогда как квантовый робот характеризуется местоположением и состоянием внутренней памяти $|x, \underline{0}\rangle$. Оператор $T$ для такой задачи должен быть таков, чтобы итерации генерировали бы с хорошей точностью известное скрещение
\[
\phi|x, \underline{0}\rangle \longrightarrow \sum_{y}^{\prime} c_{y}|y\rangle|x, \underline{y-x}\rangle
\]

на ограниченном промежутке величины $y$ ( $0 \leqslant y-x<2^{N}-$ см. ниже), обозначенном ‘ в знаке суммы $\sum$. Здесь $|\underline{y-x}\rangle$ – состояние связки кубитов с постоянной памятью, соответствующее расстоянию на решетке $y-x$ (число узлов) только в одном направлении между $p$ и квантовым роботом. Это уравнение легко обобщить на случай, когда состояние квантового робота представляет собой волновой пакет координатных состояний $\theta_{q r}=\sum_{x} d_{x}|x\rangle$ и получить
\[
\phi_{p} \theta_{q r}|\underline{0}\rangle \longrightarrow \sum_{x, y}^{\prime} c_{y} d_{x}|y\rangle|x, \underline{y-x}\rangle .
\]

В данной задаче квантовый компьютер содержит два циклических квантовых регистра: один с $N+2$ кубитами, а другой с $N+1$ кубитами, и головку, передвигающуюся по регистрам. Оба регистра вмещают числа до $2^{N}-1$ с одним тернарным кубитом в каждом состоянии $|2\rangle$, которое считается начальным. $N+2$-кубитный регистр служит текущей памятью для расчетов в части поиска (с $o$ в состоянии $|m r 1\rangle$ ) и включает знаковый кубит. В остальных размещаются на длительный срок копии чисел из текущей памяти, когда местонахождение $p$ обнаружено. Когда бы ни была обнаружена $p$, вычислительная фаза заканчивает часть поиска, изменяя состояния $o$ на $|m l 1\rangle$, копируя и извлекая 1 из текущей памяти для начала части возврата. В этой части вычислительные фазы из текущей памяти вычитается единица (наблюдений за окружающей средой нет), пока не будет получено число – 1 . Состояние $o$ теперь изменяется на $|d n\rangle$ для того, чтобы начать равновесную часть. Вычислительные фазы вычитают из текущей памяти 1 , пока не будет достигнуто $-\left(2^{N}-1\right)$, когда состояние $о$ становится равным $|m l>\rangle$. Состояние $o|m r>\rangle$ достигается, если частица не обнаружена во время части поиска задачи (т. е. частицу не удалось обнаружить менее чем в $2^{N}-1$ итерациях поисковой фазы действия). При точных измерениях это происходит, если $y-x<0$ или $y-x>2^{N}-1$.

Во время всех фаз действия квантовые роботы движутся с действием, определяемым состоянием $о$. Наблюдений не проводится. Состояние $O|m l>\rangle,|m r>\rangle$ соответствует незаконченным фазам действия как финальным частям задачи. Динамика задачи может быть представлена схематично с помощью диаграммы решения, в которой учитываются свойства $T_{a}$ и $T_{c}$. Это показано на рис. 1 (подробности на подписи к рисунку). Диаграмма составлена так, что она может быть применена к части дерева, растущей из любого узла дерева фазовых траекторий, описываемого уравнением (3). То есть она показывает, что происходит в части дерева, исходя из общего состоянии всей системы, описывающего узел. Это следует из факта, что в диаграмме нет ссылок на то, где именно квантовый робот или $p$ находятся на решетке. Соотношение $x_{Q R}=x_{p}$ ? относится только к присутствию или отсутствию $p$ в точке локации робота, где бы он ни находился. Также нет определенных длин временных промежутков, связанных либо с фазами действий (окружности), либо с компонентами фазы вычислений (квадраты).

В более ранних работах требовалось, чтобы $T$ было таким, чтобы вклад в сумму по фазовым траекториям уравнения (3) вносила только одна фазовая траектория. Существовала дисперсия в длине фазовой траектории ( $t$ сумма) и длительности фазы ( $h$ суммы). Здесь эти ограничения будут сохранены только для фазы вычислений. Для $T_{c}$ условие единственности траектории выражено в уравнении 3 следующим требованием: если $j$ четное, то для каждого вводимого состояния $|p(j)\rangle$ для $j / 2$ вычислительной фазы существует единственное выводимое состояние фазовой траектории $|p(j+1)\rangle$. Размытость или квантовая дисперсия от $|p(j)\rangle$ до $|p(j+1)\rangle$, которая сохраняется, ограничена суммой $h_{j}$ (и суммой $t$ ).

В данной задаче требуется, чтобы матричные элементы $T_{a}$ $\left\langle x^{\prime}, l, i\left|T_{a}\right| x, l, 1\right\rangle$ были локальными в том смысле, что их величины быстро убывали с увеличением расстояния $\left|x^{\prime}-x\right|$. Состояние $c$ обозначено
Рис. 1. Диаграмма решения для приведенного примера. Движение по этапам задачи отражено стрелками. Окружности $m r 1, m r>, m l 1, m l>$ и $d n$ обозначают фазы действия. Квадраты обозначают состояния памяти системы ( $d=$ текущая память и $s t=$ постоянная память), вопросы, операции сложения ( $d=d+1$ ) и извлечения $(d=d-1)$ числа 1. Прямоугольники и стрелки между успешными действиями показывают действия каждой фазы вычислений. Столбец слева показывает динамику части поиска задачи. Центральный столбец с только горизонтальными стрелками показывает изменения состояния памяти, когда найдено $p$, и столбец справа показывает динамику части возврата. Действия балластной части показаны отдельно внизу рисунка. Изменения состояния системы $o$, указывающие на окончание частей задачи, не показаны, поскольку их легко найти из диаграммы.

через $i=0,1$. Обобщим приведенный выше пример [8], в котором рассматривалась только фазовая траектория, наложив требование, чтобы матричные элементы $T_{a}$ были равны 0 , пока $x^{\prime}=x$ и $i=1$, или $x^{\prime}=x+1$
и $i=0$ для $|l\rangle=|m r 1\rangle$. Для $|l\rangle=|m l 1\rangle$ второе условие заменено на $x^{\prime}=x-1$ и $i=0$.

Дисперсия фазовой траектории введена так, что матричные элементы $\left\langle l, x^{\prime}, i\left|T_{a}\right| l, x, 1\right\rangle
eq 0$ для различных значений $x^{\prime}-x$. Это порождает много различных выходных состояний фазы действия для каждого входного состояния с амплитудой, определяемой суммой произведений матричных элементов $T_{a}$ по всем траекториям внутри фазы действия. Зависимость матричных элементов от различных конечных состояний с $|i\rangle$ показывает вклад фазы действия в дисперсию числа фаз в траектории (сумма $t$ ) и длительности каждой фазы действия (сумма $h$ ) в сумме по фазовым траекториям уравнения (3).