Одну из простых квантовых систем, в которой имеется два уровня, представляет собой частица со спином $\frac{1}{2}$. Ее базисные состояния, спин вниз $|\downarrow ⟩$ и спин вверх $|\uparrow ⟩$, могут быть переобозначены для представления двоичных нуля и единицы, т. е., соответственно, $|0⟩$ и $|1⟩$. Состояние одной такой частицы описывается волновой функцией $\psi =\alpha |0⟩+\beta |1⟩$. Квадраты модуля комплексных коэффициентов $|\alpha {|}^2$ и $|\beta {|}^2$ задают вероятности найти частицу в соответствующих состояниях. Обобщая это на набор $k$ частиц спина $\frac{1}{2}$, получаем, что теперь имеется $2^k$ базисных состояний (квантовомеханических векторов, которые образуют гильбертово пространство), соответствующих, скажем, $2^k$ возможным двоичным строкам длины $k$. Например, $|25⟩=|11001⟩=|\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \uparrow ⟩-$ одно из таких состояний для $k=5$.

Размерность гильбертова пространства растет экспоненциально с увеличением $k$.

В самом общем смысле квантовые вычисления используют этот огромный объем, скрытый даже в самых малых системах.