Одну из простых квантовых систем, в которой имеется два уровня, представляет собой частица со спином $\frac{1}{2}$. Ее базисные состояния, спин вниз $|\downarrow\rangle$ и спин вверх $|\uparrow\rangle$, могут быть переобозначены для представления двоичных нуля и единицы, т. е., соответственно, $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Состояние одной такой частицы описывается волновой функцией $\psi=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$. Квадраты модуля комплексных коэффициентов $|\alpha|^{2}$ и $|\beta|^{2}$ задают вероятности найти частицу в соответствующих состояниях. Обобщая это на набор $k$ частиц спина $\frac{1}{2}$, получаем, что теперь имеется $2^{k}$ базисных состояний (квантовомеханических векторов, которые образуют гильбертово пространство), соответствующих, скажем, $2^{k}$ возможным двоичным строкам длины $k$. Например, $|25\rangle=|11001\rangle=|\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \uparrow\rangle-$ одно из таких состояний для $k=5$.

Размерность гильбертова пространства растет экспоненциально с увеличением $k$.

В самом общем смысле квантовые вычисления используют этот огромный объем, скрытый даже в самых малых системах.