Мэнни Нилл и я обсуждали на этой встрече замечательный прогресс в теории отказоустойчивых квантовых вычислений. Даже до последних достижений можно было надеяться, что будут получены методы исправления ошибок, которые смогут противостоять процессам некогерентности и управлять накоплением и распространением ошибок в квантовом компьютере, но такие мысли обычно отклонялись как искушающие. Теперь ситуация изменилась, и, в принципе, нет никаких фундаментальных препятствий для создания функционирующего квантового компьютера, способного к выполнению интересных в вычислительном отношении задач. Серж Хароч и Рольф Ландауэр красноречиво обсудили на этой встрече, насколько оптимистична эта точка зрения, и возможно ли это. Хароч считает, что оптимисты чрезвычайно недооценивают влияния некогерентности и трудности его преодоления (Haroche, 1997; Haroche \& Ramond, 1996). Хароч отметил, что сильно скрещенное состояние многих кубитов исключительно чувствительно к эффектам некогерентности – единственная ошибка, влияющая только на один из кубитов, может разрушить когерентность целого состояния. Действительно, это так: в функционирующем квантовом компьютере исправление квантовой ошибки должно осуществляться настолько эффективно, чтобы ни один логический (кодируемый) кубит не пропал в процессе вычисления. Он также подчеркнул, что коды с исправлением ошибок влекут за собой огромную избыточность в квантовых вычислениях, как в числе требуемых кубитов (чтобы обеспечить необходимую избыточность для исправления ошибок), так и числа необходимых квантовых гейтов (чтобы обрабатывать резервно кодируемые данные, диагностировать и обращать ошибки); но увеличение числа кубитов и гейтов увеличивает вероятность ошибки. Так оно и есть, и я обсудил это в другом моем докладе на этой конференции (Preskill, 1997). Но теперь показано, что, если вероятность ошибки на гейт меньше некоторого критического значения («порог точности»), то исправление ошибки может все же работать достаточно эффективно, даже для вычислений с произвольной длительностью (Knill \& Laflamme, 1996; Knill et al., 1996,
1997; Aharonov \& Ben-Or, 1996a; Kitaev, 1996b; Gottesman et al., 1996; Zalka, 1996b; Preskill, 1997).

Отказоустойчивые методы призваны улучшить надежность квантового компьютера, но за них приходится расплачиваться возрастающими требованиями по хранению информации и скорости вычисления. Однако эта цена может быть вполне приемлемой. При заданном оборудовании с фиксированной долей ошибки на гейт следует просто увеличить размер кодирующего блока кода. Но размер блока не вполне приемлемо зависит от громоздкости вычислений:
\[
\text { размер блока } \sim[\log \text { (длина вычисления) }]^{\text {степень }} .
\]
(В схеме, описанной в (Preskill, 1997), степень $=\log _{2} 7 \simeq 2.8$.) Обработка информации, кодируемой в этих блоках, потребует большего числа гейтов (их число растет приблизительно линейно с размером блока). Однако, в принципе, многие из этих гейтов могли бы работать параллельно. Если предположить, что квантовое оборудование высоко параллелизуемо, то время вычислений слабо зависит от размера блока.

До сих пор предполагалось, что отказоустойчивые процедуры не имеют ошибок, связанных с «просачиванием» кубитов из гильбертова пространства, в котором работает квантовый компьютер (Plenio \& Knight, 1996). Например, в ионной ловушке один из ионов может совершить нежелательный переход в долгоживущее инертное состояние, которое не воздействует на квантовые гейты машины. Такие ошибки будут неизбежны, но они не должны представлять основное препятствие. Возможная стратегия заключается в том, чтобы систематически очищать уровни, которые являются главными кандидатами для просачивания. Кроме того, ошибки просачивания могут быть легко обнаружены в принципе с помощью простой матрицы, соответствующей квантовому гейту (Preskill, 1997). Ион, идентифицированный как дефектный, может быть устранен из блока кода и заменен стандартным ионом в основном состоянии. После замены ошибка утечки становится ошибкой в известном положении, с которой легко иметь дело, используя стандартные процедуры исправления ошибок (Grassl et al., 1996).

Хароч сомневается также в том, окажется ли возможным достигнуть столь малых ошибок на гейт, что квантовые компьютеры смогут работать точно. Фундаментальная трудность состоит в том, что если мы моделируем квантовый гейт, кубиты должны сильно взаимодействовать, но это взаимодействие может стимулировать кубиты к взаимодействию с другими степенями свободы (с окружающей средой), что приведет к некогерентности. Например, чтобы улучшить работу компьютера, основанного на ионной ловушке, следует увеличить интенсивность лазера для ускорения работы гейта. Но при увеличении интенсивности возрастает вероятность возбуждения других, не нужных нам уровней иона. Конкуренция между этими двумя эффектами приводит к внутреннему пределу точности гейта, которая не зависит от выбора используемого иона (Plenio \& Knight, 1996). Согласно довольно общим предположениям, можно заключить, что вероятность ошибки на гейт имеет по крайней мере порядок $10^{-6}$. Этот предел можно изменить с помощью героических усилий – например, размещая ионы в маленьких кавернах, спроектированных так, чтобы подавить нежелательные переходы. Тем не менее, такие аргументы бесспорно полезны, и имеют большой интерес для формулировки общих пределов, ограничивающих возможные типы переходов или возможности другого мыслимого оборудования ${ }^{1}$.

Даже если трудно улучшить указанную величину ошибки порядка $10^{-6}$ на гейт, устройство, которое приближается к этому уровню точности, уже может быть пригодным для настоящих крупномасштабных квантовых вычислений. Действительно, в моем докладе по отказоустойчивым квантовым вычислениям на этой конференции (Preskill, 1997) я предположил, что величина ошибки порядка $10^{-6}$ на гейт является вполне приемлемой целью, чтобы стремиться к ней – правдоподобно, что эта величина ошибки должна быть достаточно ниже порога точности, так что очень интересные квантовые вычисления станут возможны при некоторой доле находчивости ${ }^{2}$.
${ }^{1}$ Очень слабое общее ограничение для реализации квантового оборудования существует благодаря вакуумным колебаниям электромагнитного поля, как было подчеркнуто Брагинским, Халили и Сажиным (Braginsky, Khalili, и Sazhin, 1995). В контексте ионной ловушки, их предел возникает потому, что фонон в ионной ловушке может в принципе распадаться с эмиссией фотонов. (См. также (Garg, 1996).
2 Любое утверждение относительно допустимых величин ошибок бессмысленно, если модель для ошибок не определена строго. В работе (Preskill, 1997) приняты некоррелированные случайные ошибки. Согласно этому предположению, все ошибки возникают благодаря некогерентности, ошибкам фазы и разрядным ошибкам триггера с равной вероятностью, и ошибки, влияющие на различные кубиты, независимы. «Вероятность ошибки на гейт» $\varepsilon \sim 10^{-6}$ может быть интерпретирована как квантовая надежность воспроизведения – то есть, если компьютер, находящийся в состоянии $|\psi\rangle$, имеет некоторый идеальный гейт, и если фактическое состояние определяемое после этого гейта $-\rho$, то $F \equiv\langle\psi|\rho| \psi\rangle=1-\varepsilon$.
Я не хочу создать впечатление, что эта требуемая точность будет незыблема; это было бы слишком консервативно по ряду причин. Прежде всего, эта оценка была получена согласно предположению, что ошибки фазы и амплитуды в кубитах равновероятны. С более реалистической моделью ошибок, лучше представляющей вероятности ошибок в реальном приборе, схему исправления ошибок можно сделать более совершенной, благодаря чему может быть терпима и более высокая степень ошибки. Кроме того, отказоустойчивая схема не проанализирована до конца даже при высказанных предположениях; при более внимательном анализе можно ожидать, что найдется даже несколько более высокий порог точности, возможно, значительно более высокий. Реальные усовершенствования могли бы быть достигнуты за счет либо изменения отказоустойчивой схемы, либо более эффективного способа реализации универсальных отказоустойчивых гейтов, либо более эффективных средств измерения признака ошибки. И я не буду удивлен, если окажетсн, что с учетом различных усовершенствований квантовый компьютер может работать эффективно с вероятностью ошибки на гейт, скажем, порядка $10^{-4}$. (Так что $10^{-4}$ вполне может оказаться ниже порога точности. Фактически, оценка порога точности, которая является более оптимистической, чем моя, были выдвинуты Залкой (Zalka, 1996b). См. также (Steane, 1997).) Другая точка зрения, которую необходимо подчеркнуть, – это то, что, благодаря улучшению положения с ошибками, становится возможным более эффективное использование пространства памяти, используя коды, которые хранят много логических кубитов в единственном блоке. Готтсман (Gottesman, 1997) недавно показал, как можно проводить отказоустойчивые вычисления, используя такие коды, правда, ценой увеличения времени вычислений. Рольф Ландауэр в своих замечаниях на этой встрече и предыдущих работах (Landauer, $1995,1996,1997$ ) обращает внимание на то, что предложенные новые технологии редко реализуют розовые проекты, предлагаемые их сторонниками. Он неоднократно отмечал критичность проблемы контроля ошибок (см. также (Unruh, 1995). Ландауэр совершенно правильно подчеркивает, что цифровые приборы могут достигать замечательной надежности, потому что цифровой сигнал может быть легко стандартизирован повторно – то есть при легком отклонении от требуемого значения его можно вернуть туда, где он должен быть. Эта рестандартизация, которая предотвращает маленькие ошибки от накопления и в конечном счете – появление больших ошибок, обязательно
является диссипативным процессом. Легкость рестандартизации является основным преимуществом, которым обладают цифровые приборы по сравнению с аналоговыми. Квантовые вычисления (или в более общем смысле обратимые вычисления) с этой точки зрения выглядят недоработанным возвращением к аналоговым вычислениям, со всеми сопутствующими проблемами.

Ошеломляющим было открытие того, что, используя квантовое исправление ошибок, можно рестандартизировать когерентный квантовый сигнал (Shor, 1995; Steane, 1996ab; Calderbank \& Shor, 1996). Koнечно, квантовое исправление ошибок, как и любая техника исправления ошибок, – диссипативный процесс, сопровождающийся выделением тепла, которое должно удаляться из устройства. В схеме квантового исправления ошибок информация относительно происходящих ошибок накапливается в наборе вспомогательных кубитов. Если эти вспомогательные кубиты будут использоваться многократно, то каждый раз они должны быть сначала очищены, что означает выброс энтропии, связанной с накопленными ошибками, в окружающую среду. Эта потребность в охлаждении для устранения энтропии, связанной с ошибками, может являться важным техническим ограничением на квантовые компьютеры будущего.

Ландауэр признает, что в проблеме контроля над ошибками достигнут значительный прогресс, но он поднимает также некоторые беспокоящие вопросы. Вот один из таких вопросов: как может кодирование предохранять квантовые гейты от небольших ошибок, если код и прибор не могут узнать, какой гейт выполняет ту или иную работу? Если при обработке гейтом кодированных кубитов совершена небольшая ошибка, то конечное состояние кубита может все еще находится в закодированном подпространстве, но его значение будет немного отличаться от предполагаемого. Ошибки такого рода недетектируемы и неисправимы. Почему бы таким ошибкам со временем не накопиться и привести к большой ошибке? (Эта проблема не связана с декогерентностью; даже если эволюция состояния компьютера унитарна a priori, нет гарантии, что она приведет к желаемому результату).

Можно оценить серьезность этого возражения в случае тривиального гейта, когда унитарное преобразование, которое мы хотим применить, – тождественное ${ }^{1}$.
Пусть преобразования, каждое из которых лишь немного отлича-
${ }^{1}$ Эти рассуждения легко перенести на случай нетривиального гейта.

ется от единичного, воздействует на каждый из элементарных кубитов блока, так что если кубиты последовательно измерять, то вероятность ошибки фазы или разрядной ошибки триггера каждого из них будет порядка $\varepsilon \ll 1$. Выясним, какова будет вероятность недетектируемой ошибки, т. е. вероятность того, что блок все еще находится в закодированном подпространстве, но закодированный кубит имеет ложное направление. Для кода, который выдерживает однокубитную ошибку в произвольном месте блока, эта вероятность имеет порядок $\varepsilon^{3}$; нужно совершить три независимых ошибки указанного типа, чтобы значение кода подпространства отличалось от первоначального ${ }^{1}$.

При анализе нетривиальных гейтов важно заметить, что отказоустойчивые операции, которые могут быть выполнены на (так сказать) отдельном закодированном кубите, не образуют континуум; безопасно можно выполнить только дискретный набор преобразований. Таким образом, причиной детектируемых ошибок, которые можно исправить, будут, скорее всего, малые ошибки в работе гейта, а не замена одного гейта из отказоустойчивого множества на другой. Конечно, даже если набор отказоустойчивых гейтов дискретен, он все еще может быть универсальным; а если мы обладаем универсальным набором отказоустойчивых схем, мы можем уверенно использовать их, чтобы сконструировать преобразование, которое является произвольно близким к вращению единственного кубита на любой желаемый угол, но в таком устройстве придется использовать некоторые из многокубитовых гейтов.

Ландауэр также напоминает нам, что эффективность исправления ошибки будет уменьшаться, если ошибки имеют систематическую составляющую. Ошибки со случайными фазами накапливаются как в случайном блуждании, так что вероятность ошибки накапливается приблизительно линейно с числом выполненных гейтов. Но если ошибки имеют систематические фазы, то амплитуда ошибки может увеличиваться линейно с числом гейтов, а вероятность ошибки будет расти намного быстрее. Следовательно, чтобы наш квантовый компьютер хорошо работал, величина систематических ошибок должна удовлетворять более строгим требованиям, чем в случае случайных ошибок. Грубо говоря, если мы принимаем, что систематические фазы всегда объеди-
${ }^{1}$ Фактически более вероятно, примерно с вероятностью порядка $\varepsilon^{2}$, что при отказоустойчивом исправлении ошибки мы неправильно диагностируем ошибку в блоке и установим неправильное значение кубита.

няются, чтобы сложиться конструктивно, и если порог точности для случайных ошибок $-\varepsilon$, то порог точности для систематических ошибок будет приблизительно $\varepsilon^{2}$; скажем, порядка $10^{-10}$ вместо порядка $10^{-5}$. Хотя систематические ошибки могут, таким образом, бросать вызов квантовой инженерии будущего, они не должны, тем не менее, создавать непреодолимые препятствия. Во-первых, систематические фазы будут иметь тенденцию к угасанию в процессе длинных вычислений, так что на практике существенными будут только наиболее высокие величины ошибок (Obenland \& Despain, 1996, 1997; Miquel $u$ др., 1997). И кроме того, если ошибки действительно систематические, мы можем в принципе понять их источник и устранять их. Источниками внутренних ограничений при выполнении операций всегда будут случайные ошибки.

Имеется другой важный аспект, в котором модели ошибок, использовавшиеся в теоретических исследованиях отказоустойчивых квантовых вычислений, могут оказаться нереалистичными – обычно принимается, что ошибки, изменяющие различные кубиты, некоррелированы или слабо коррелированы. Фактически, это очень сильное и существенное предположение, поскольку квантовые отказоустойчивые коды не предназначены для работы с сильно коррелированными ошибками, распространяющимися на много кубитов. Когда мы говорим, что вероятность ошибки имеет порядок $\varepsilon \sim 10^{-6}$ на гейт, мы фактически подразумеваем, что вероятность двух ошибок, встречающихся в отдельном блоке, имеет порядок $\varepsilon^{2} \sim 10^{-12}$. Это в конечном счете экспериментальный вопрос, могут ли различные кубиты в одном блоке действительно быть независимыми. Следует заметить, тем не менее, что нет никаких причин, из-за которых два кубита, принадлежащих одному блоку кода, обязательно должны быть близки друг к другу в машине. Таким образом, мы имеем возможность расширить справедливость нашей модели ошибок с помощью подходящего выбора архитектуры компьютера.

Теперь, когда мы убеждены, что квантовое исправление ошибок возможно, следует найти способы реализовать его. Это важно, в частности, для более подробного анализа того, как методы исправления ошибки могут быть адаптированы к некоторым предложенным реализациям квантового оборудования, например – компьютерам, основанным на ионных ловушках и на КЭД-полостях (Pellizzari et al., 1996; Mabuchi \& Zoller, 1996; Van Enk et al., 1997).
Кроме того, в то время как большинство работ над схемами квантового исправления ошибок сосредоточилось на квантовой модели цепей – разработаны подходящие цепи, чтобы диагностировать и исправлять ошибки, – более производительной могла бы оказаться более широкая точка зрения. Одной из альтернативных работ могло бы стать изобретение «проектировочного гамильтониана», который имеет защищенное подпространство кода как сильно вырожденное основное состояние ${ }^{1}$.

Тогда ошибка, обычно появляющаяся при переходе системы к возбужденному состоянию, будет автоматически исправляться, когда система релаксирует к основному состоянию. Схемы этого вида были предложены Китаевым (Kitaev, 1996a). Китаев (Kitaev, 1997) также изобретательно предложил реализовать отказоустойчивые квантовые гейты в подходящей среде с помощью обмена квазичастицами, которые удовлетворяют экзотической версии двумерной квантовой статистики. Суть идеи состоит в том, что из-за наличия дальнодействующего топологического взаимодействия Ааронова-Бома квазичастиц нет необходимости выполнять гейт с высокой точностью для воздействия на квантовые числа квазичастиц предписанным способом.