В этом разделе будут подытожены описания частных моделей квантовых роботов с окружающей средой. Некоторые детали можно найти в [8]. Квантовый робот состоит из встроенного квантового компьютера, системы для конечных состояний о и контрольного кубита $c$. Динамика системы и ее взаимодействия с окружающей средой может быть описана последовательностью, состоящей из сменяющих друг друга фаз вычислений и действий. Целью каждой вычислительной фазы является определение последующего действия путем генерирования нового состояния $о$. Входные данные состоят из предыдущего состояния $o$, каких-то данных в памяти и данных наблюдения за состоянием ближайшего окружения. В течение последующей фазы действий производится действие, определяемое состоянием $о$. Состояние всех встроенных систем остается неизменным. Действие включает движение квантового робота и изменение состояния окружения. Функция контрольного кубита $c$ — включать и выключать два типа фазы. Фаза вычисления (действия) неактивна, когда $c$ в состоянии $|1⟩[|0⟩]$. Каждая фаза заканчивается после изменения состояния $c$.

С каждой задачей связывается унитарный оператор $T=T_a+T_c$, описывающий динамические изменения всей системы в течение одного промежутка времени (время и пространство предполагаются дискретными). Если $\mathrm{\Psi }(0)$ есть общее состояние квантового робота и окружающей среды в момент времени 0 , то состояние после $n$ временных шагов дается выражением $\mathrm{\Psi }(n)=T^n\mathrm{\Psi }(0)$. Операторы фаз действия и вычисления удовлетворяют условиям $T_a=T{P}_1^c$ и $T_c=T{P}_0^c$, где проекционные операторы $P_i^c$ относятся к состоянию $c$.
Оператор $T_c$ может зависеть от местоположения $\underset{―}{x}=x,y,z$ квантового робота, но не изменяет его. Это можно выразить условием диагональности
$$T_c=\sum _{\underset{―}{x}}{P}_{\underset{―}{x}}^{qr}{T}_c{P}_{\underset{―}{x}}^{qr}{P}_0^c.$$

Условие того, что $T_a$ не изменяет состояния $o$, дается похожим выражением:
$$T_a=\sum _l{P}_l^o{T}_a{P}_l^o{P}_1^c.$$

Независимость $T_a$ от состояния квантового компьютера $|b⟩$ выражается условием коммутативности $T_a$ с проекционным оператором $P_b^{qc}$.

Как $T_c$, так и $T_a$ приводят только к локальным изменениям в состоянии окружающей среды. Однако вызываемые $T_c$ изменения ограничены скрещением состояний встроенной системы и других изменений, являющихся прямым результатом наблюдения взаимодействий. Изменения, сделанные $T_a$, не приводят к такому скрещению и не ограничены результатами наблюдений взаимодействий. Подробности, касающиеся условий локальности, заданных в терминах окрестностей квантовых роботов, приведены в [8].

Описания $T$ до сих пор применялись к неподвижным невзаимодействующим окружающим системам, для которых гамильтониан окружающей среды $H_E=0$. Обобщение на случай движущихся взаимодействующих систем может быть сделано с помощью замены $T$ на другой оператор $\mathcal{T}=T_E^{1/2}T{T}_E^{1/2}=T_E^{1/2}{T}_a{T}_E^{1/2}+T_E^{1/2}{T}_c{T}_E^{1/2}={\mathcal{T}}_a+{\mathcal{T}}_c$. Здесь $T_a$ и $T_c$ определены выше, и $T_E=e^{-i{H}_E\mathrm{\Delta }}-$ унитарный оператор изменения для окружающей среды. Замена $T$ на $\mathcal{T}$ становится точной в пределе $\mathrm{\Delta }\to 0[14]$.

Полезно выразить динамику системы с помощью фейнмановской [13] суммы по траекториям фаз вычислений и действий, т. е. как сумму по фазовым траекториям. Для этого рассмотрим матричный элемент $⟨w,i\left|{\mathcal{T}}^n\right|w_1,0⟩$, который задает амплитуду перехода из состояния $|w_1,0⟩$ в состояние $|w,i⟩$ за $n$ шагов. Здесь через $|w⟩$ обозначены состояния всех систем, кроме контрольного кубита. Можно использовать ${\mathcal{T}}^n={\left(\mathcal{T}(P_0^c+P_1^c)\right)}^n$ для получения
$$\begin{array}{rl}⟨w,i\left|{\mathcal{T}}^n\right|w_1,0⟩=& \sum _{t=1}^n\sum _{\begin{array}{c}\text{ путь }p\\ \text{ данын }t+1\end{array}}\sum _{\begin{array}{c}\\ h_1\cdots h_t=1\end{array}}^{\delta (\sum ,n)}⟨p(t+1),i\left|{\left({\mathcal{T}}_{v_t}\right)}^{h_t}\right|p(t)⟩\cdots \\ & ⟨p(3)\left|{\left({\mathcal{T}}_a\right)}^{h_2}\right|p(2)⟩⟨p(2)\left|{\left({\mathcal{T}}_c\right)}^{h_1}\right|p(1),0⟩\end{array}$$

Каждое слагаемое этой большой суммы дает амплитуду, определяющую $t$ чередующихся фаз в первых $n$ шагах, где $j$-ая фаза начинается, когда вся система (кроме $c$ ) находится в состоянии $|p(j)⟩$, и заканчивается после $h_j$ шагов, когда все системы находятся в состоянии $|p(j+1)⟩$. Верхний предел в сумме по $h$ указывает на следующее ограничение: $h_1+\cdots +h_t=n$. Начальные и конечные состояния траектории $|p(1)⟩$ и $|p(t+1)⟩$ есть $|w_1⟩$ и $|w⟩$.

Уравнение (3) приведено для случая, когда начальная фаза есть фаза вычисления, т. е. $c$ находится в начальном состоянии $|0⟩$. Подобные же уравнения имеют место, если начальная фаза есть фаза действия. Смена фаз выражается для этого случая индексом $v_j$ : если $j$ четное, то $v_j=c$, если $j$ нечетное, то $v_j=a$. Точно также ограничения в уравнениях (2) и (1) на $T_a$ и $T_c$, которые сохраняются для ${\mathcal{T}}_a$ и ${\mathcal{T}}_c$, показывают, что если $j$ четное, $|p(j)⟩$ и $|p(j+1)⟩$ дают состояние робота с одинаковыми координатами. Если $j$ нечетное, $|p(j)⟩$ и $|p(j+1)⟩$ дают одно и то же состояние квантового компьютера и системы $o$.

Уравнения ясно показывают, что для любого $n$ состояние всей системы есть линейная комбинация множества состояний фазовых траекторий чередующихся фаз вычислений и действий задачи, представленная $\mathcal{T}$. Для каждой величины $t$ и $p$ уравнение дает амплитуду фазовой траектории $p$, содержащую $t-1$ полных фаз, и одну, которая может быть полной, а может и не быть. Сумма $h$ дает распределение по продолжительностям или количеству временных шагов в каждой фазе $p$.

Из уравнения (3) следует, что состояние всей системы $\mathrm{\Psi }(n)$ может быть выражено для каждой компоненты начального состояния как экспоненциально растущее (вместе с $n$ ) дерево фазовых траекторий. Каждая вершина дерева соответствует состоянию $|p(j)⟩$. Сумма $t$ показывает, что некоторые ветви дерева имеют очень мало узлов, и есть такие, которые имеют только один узел ( $t=1$ ).