В этом разделе будут подытожены описания частных моделей квантовых роботов с окружающей средой. Некоторые детали можно найти в [8]. Квантовый робот состоит из встроенного квантового компьютера, системы для конечных состояний о и контрольного кубита $c$. Динамика системы и ее взаимодействия с окружающей средой может быть описана последовательностью, состоящей из сменяющих друг друга фаз вычислений и действий. Целью каждой вычислительной фазы является определение последующего действия путем генерирования нового состояния $о$. Входные данные состоят из предыдущего состояния $o$, каких-то данных в памяти и данных наблюдения за состоянием ближайшего окружения. В течение последующей фазы действий производится действие, определяемое состоянием $о$. Состояние всех встроенных систем остается неизменным. Действие включает движение квантового робота и изменение состояния окружения. Функция контрольного кубита $c$ – включать и выключать два типа фазы. Фаза вычисления (действия) неактивна, когда $c$ в состоянии $|1\rangle[|0\rangle]$. Каждая фаза заканчивается после изменения состояния $c$.

С каждой задачей связывается унитарный оператор $T=T_{a}+T_{c}$, описывающий динамические изменения всей системы в течение одного промежутка времени (время и пространство предполагаются дискретными). Если $\Psi(0)$ есть общее состояние квантового робота и окружающей среды в момент времени 0 , то состояние после $n$ временных шагов дается выражением $\Psi(n)=T^{n} \Psi(0)$. Операторы фаз действия и вычисления удовлетворяют условиям $T_{a}=T P_{1}^{c}$ и $T_{c}=T P_{0}^{c}$, где проекционные операторы $P_{i}^{c}$ относятся к состоянию $c$.
Оператор $T_{c}$ может зависеть от местоположения $\underline{x}=x, y, z$ квантового робота, но не изменяет его. Это можно выразить условием диагональности
\[
T_{c}=\sum_{\underline{x}} P_{\underline{x}}^{q r} T_{c} P_{\underline{x}}^{q r} P_{0}^{c} .
\]

Условие того, что $T_{a}$ не изменяет состояния $o$, дается похожим выражением:
\[
T_{a}=\sum_{l} P_{l}^{o} T_{a} P_{l}^{o} P_{1}^{c} .
\]

Независимость $T_{a}$ от состояния квантового компьютера $|b\rangle$ выражается условием коммутативности $T_{a}$ с проекционным оператором $P_{b}^{q c}$.

Как $T_{c}$, так и $T_{a}$ приводят только к локальным изменениям в состоянии окружающей среды. Однако вызываемые $T_{c}$ изменения ограничены скрещением состояний встроенной системы и других изменений, являющихся прямым результатом наблюдения взаимодействий. Изменения, сделанные $T_{a}$, не приводят к такому скрещению и не ограничены результатами наблюдений взаимодействий. Подробности, касающиеся условий локальности, заданных в терминах окрестностей квантовых роботов, приведены в [8].

Описания $T$ до сих пор применялись к неподвижным невзаимодействующим окружающим системам, для которых гамильтониан окружающей среды $H_{E}=0$. Обобщение на случай движущихся взаимодействующих систем может быть сделано с помощью замены $T$ на другой оператор $\mathcal{T}=T_{E}^{1 / 2} T T_{E}^{1 / 2}=T_{E}^{1 / 2} T_{a} T_{E}^{1 / 2}+T_{E}^{1 / 2} T_{c} T_{E}^{1 / 2}=\mathcal{T}_{a}+\mathcal{T}_{c}$. Здесь $T_{a}$ и $T_{c}$ определены выше, и $T_{E}=e^{-i H_{E} \Delta}-$ унитарный оператор изменения для окружающей среды. Замена $T$ на $\mathcal{T}$ становится точной в пределе $\Delta \rightarrow 0[14]$.

Полезно выразить динамику системы с помощью фейнмановской [13] суммы по траекториям фаз вычислений и действий, т. е. как сумму по фазовым траекториям. Для этого рассмотрим матричный элемент $\left\langle w, i\left|\mathcal{T}^{n}\right| w_{1}, 0\right\rangle$, который задает амплитуду перехода из состояния $\left|w_{1}, 0\right\rangle$ в состояние $|w, i\rangle$ за $n$ шагов. Здесь через $|w\rangle$ обозначены состояния всех систем, кроме контрольного кубита. Можно использовать $\mathcal{T}^{n}=\left(\mathcal{T}\left(P_{0}^{c}+P_{1}^{c}\right)\right)^{n}$ для получения
\[
\begin{aligned}
\left\langle w, i\left|\mathcal{T}^{n}\right| w_{1}, 0\right\rangle= & \sum_{t=1}^{n} \sum_{\substack{\text { путь } p \\
\text { данын } t+1}} \sum_{\substack{ \\
h_{1} \cdots h_{t}=1}}^{\delta\left(\sum, n\right)}\left\langle p(t+1), i\left|\left(\mathcal{T}_{v_{t}}\right)^{h_{t}}\right| p(t)\right\rangle \cdots \\
& \left\langle p(3)\left|\left(\mathcal{T}_{a}\right)^{h_{2}}\right| p(2)\right\rangle\left\langle p(2)\left|\left(\mathcal{T}_{c}\right)^{h_{1}}\right| p(1), 0\right\rangle
\end{aligned}
\]

Каждое слагаемое этой большой суммы дает амплитуду, определяющую $t$ чередующихся фаз в первых $n$ шагах, где $j$-ая фаза начинается, когда вся система (кроме $c$ ) находится в состоянии $|p(j)\rangle$, и заканчивается после $h_{j}$ шагов, когда все системы находятся в состоянии $|p(j+1)\rangle$. Верхний предел в сумме по $h$ указывает на следующее ограничение: $h_{1}+\cdots+h_{t}=n$. Начальные и конечные состояния траектории $|p(1)\rangle$ и $|p(t+1)\rangle$ есть $\left|w_{1}\right\rangle$ и $|w\rangle$.

Уравнение (3) приведено для случая, когда начальная фаза есть фаза вычисления, т. е. $c$ находится в начальном состоянии $|0\rangle$. Подобные же уравнения имеют место, если начальная фаза есть фаза действия. Смена фаз выражается для этого случая индексом $v_{j}$ : если $j$ четное, то $v_{j}=c$, если $j$ нечетное, то $v_{j}=a$. Точно также ограничения в уравнениях (2) и (1) на $T_{a}$ и $T_{c}$, которые сохраняются для $\mathcal{T}_{a}$ и $\mathcal{T}_{c}$, показывают, что если $j$ четное, $|p(j)\rangle$ и $|p(j+1)\rangle$ дают состояние робота с одинаковыми координатами. Если $j$ нечетное, $|p(j)\rangle$ и $|p(j+1)\rangle$ дают одно и то же состояние квантового компьютера и системы $o$.

Уравнения ясно показывают, что для любого $n$ состояние всей системы есть линейная комбинация множества состояний фазовых траекторий чередующихся фаз вычислений и действий задачи, представленная $\mathcal{T}$. Для каждой величины $t$ и $p$ уравнение дает амплитуду фазовой траектории $p$, содержащую $t-1$ полных фаз, и одну, которая может быть полной, а может и не быть. Сумма $h$ дает распределение по продолжительностям или количеству временных шагов в каждой фазе $p$.

Из уравнения (3) следует, что состояние всей системы $\Psi(n)$ может быть выражено для каждой компоненты начального состояния как экспоненциально растущее (вместе с $n$ ) дерево фазовых траекторий. Каждая вершина дерева соответствует состоянию $|p(j)\rangle$. Сумма $t$ показывает, что некоторые ветви дерева имеют очень мало узлов, и есть такие, которые имеют только один узел ( $t=1$ ).