Из описания действий робота следует, что без дополнительных ограничений на $T$ итерации $T$ будут описывать решение и конечное состояние всей системы, не имеющие отношения к основной цели задачи, задаваемой уравнением (4). Чтобы пояснить это утверждение, предположим, что $\Psi(0)=\Theta(0) \phi_{p}$ представляет начальное состояние с $о$ и $c$ в состоянии $|m r 1,0\rangle$, положение квантового робота и частицы $p$ на решетке определяется состоянием $|x\rangle \phi_{p}$ с $\phi_{p}=\sum_{y} c_{y}|y\rangle$. Другие величины начального состояния можно получить из рис. 1 . После $k$ шагов вероятность, что часть поиска задачи завершена и в постоянную память записано $\underline{n}$, дается выражением
\[
P_{k}(n)=\left\langle\Psi(k)\left|P_{\underline{n}}^{s t}\left(1-P_{m r 1}^{o}\right)\right| \Psi(k)\right\rangle=\sum_{y}\left|c_{y}\right|^{2} P_{k}(n, y),
\]

где
\[
P_{k}(n, y)=\left\langle y, \Theta_{k}(y)\left|P_{\underline{n}}^{s t}\left(1-P_{m r 1}^{o}\right)\right| y, \Theta_{k}(y)\right\rangle .
\]

В этих уравненииях $\Psi(k)=T^{k} \Psi(0)=\sum_{y} c_{y} \Theta_{k}(y)|y\rangle$, где $\Theta_{k}(y)$ — состояние квантового робота после $k$ шагов, соответствующее $p$ в состоянии $|y\rangle$. Проекционный оператор $P_{\underline{n}}^{s t}=|\underline{n}\rangle\langle\underline{n}|$, где $|\underline{n}\rangle$ — состояние строки кубитов постоянной памяти, соответствующее числу $n$. Равенство правых частей уравнений (6) и (7) выражает условие, что $p$ неподвижна и ее состояние, за исключением возможного скрещения состояний, остается неизменным в течение всего выполнения задачи.
Вероятность $P_{k}(n, y)$ выбирает все фазовые траектории в уравнении (3), содержащие $2 n+1$ фазы ( $n$ фазы действий и $n+1$ фаз вычисления) в завершенной части поиска. Эти траектории объединяет то свойство, что во всех фазах вычисления, кроме последней, $p$ не была обнаружена квантовым роботом. В части поиска суммы по фазовым траекториям это соответствует ограничению для всех фаз, кроме двух последних, выражающемуся в том, что состояния, в которых находятся квантовый робот и $p$, не описывают одно и то же их местоположение. Сумма по выходным состояниям для последних ( $n$-х ) фаз действия поиска ограничены для состояний, в которых квантовый робот и $p$ имеют одно и то же местоположение $y$.

Зависимость $P_{k}(n)$ от $k$ введена условием, по которому траектории в суммах по фазовым траекториям для $\Theta_{k}(y)|y\rangle$, дающие вклад в уравнение (7), содержали бы $n$ фаз действия в выполненной части задачи поиска через $k$ шагов. Зависимость от $k$ входит через сумму $h$ уравнения (3), которое выражает квантовую дисперсию длительности различных фаз. Она существенно зависит от свойств $T$ и от расстояния $y-x$. Для достаточно больших $k$ амплитуды траекторий, которые все еще в части поиска задачи с $<n+1$ выполненными фазами вычислений, должны быть очень малы. В этом случае, если $T_{a}$ разумные, (например, локальные и т. д.) и $\phi$ — волновой пакет, локализованный в окрестности некоторой величины $y_{0}$, то для величин $y$ близких к $y_{0}$ должен существовать предел при времени, стремящемся к бесконечности $P_{\infty}(n, y)$. Его значение должно быть достаточно близким к $P_{k}(n, y)$ для больших $k$, если $0 \leqslant y_{0}-x<2^{N}$.

Может случиться, что для больших $k$ распределение $P_{k}(n, y)$ как функция $n$ имеет максимум, и функция сосредоточена около этого максимума. Однако без дополнительных ограничений на $T_{a}$ максимум может и не иметь отношения к расстоянию между $p$ и квантовым роботом. Один из способов исправить такое положение — потребовать, чтобы матричные элементы $T_{a}$ имели форму $\left\langle m r 1, x^{\prime}, i\left|T_{a}\right| 1, x, m r 1\right\rangle=$ $=a_{i} e^{-\alpha\left(x^{\prime}-x-1+i\right)^{2}}$, где $a_{i}$ — коэффициент, зависящий от $i$. В этом случае для больших $\alpha$ и $k P_{k}(n, y)$ должна иметь пик при $n=y-x$ с малой дисперсией (задаваемой соотношением $0 \leqslant y-x<2^{N}$ ). В пределе $\alpha, k=\infty$ измерение расстояния будет абсолютно точным, без дисперсии. В этом случае $P_{\infty}(n, y)=\delta_{n, y}$, что согласуется с уравнением (4). Предел $k \rightarrow \infty$ необходим, поскольку дисперсия продолжительности фазы присутствует в сумме по фазовым траекториям (экспонента равна 0 , если $x^{\prime}=x+1$ и $i=0$, либо $x^{\prime}=x$ и $i=1$ ).

Обобщение для случая, когда применяется уравнение (5), получается непосредственно. В этом случае правая часть уравнения (6) заменяется $\sum_{x, x^{\prime}, y} d_{x^{\prime}}^{*} d_{x}\left|c_{y}\right|^{2} P_{k}\left(n, x^{\prime}, x, y\right)$. Сумма недиагональна по $x$ и диагональна по $y$, поскольку в этом простом примере квантовый робот движется, а частица $p$ неподвижна. Для больших величин $\alpha, k P_{k}\left(n, x^{\prime}, x, y\right)$ должны быть очень малы при $x^{\prime}
eq x$. В пределе $\alpha=\infty P_{\infty}\left(n, x^{\prime}, x, y\right)=$ $=\delta_{x^{\prime}-x} \delta_{n, y-x}$, что согласуется с уравнением (5) для $0 \leqslant y-x<2^{N}$.