Любая унитарная операция на системе кубитов может быть представлена как совокупность универсальных квантовых гейтов $[15,16]$. Имеется в виду, что любое унитарное преобразование в $2^{n}$-мерном гильбертовом пространстве, натянутом на $n$-кубитов, может быть разложена в сеть таких универсальных гейтов, последовательно применяемых к этим кубитам. Две определенные ранее операции, однобитный поворот и двубитный XOR-гейт, обладают этим универсальным свойством [12]. Поэтому, даже несмотря на то, что это выходит за рамки наших сегодняшних экспериментальных возможностей, мы можем построить любое квантовое вычисление (которые включают все обыкновенные булевы операции и нечто большее), применяя эти операции, последовательно действующие на определенные кубиты и пары кубитов для построении сетей любой сложности.

В качестве примера использования этих гейтов для эффективного квантового вычисления, рассмотрим построение квантового AND-гейта, показанного на рисунке $3[12,17]$. Эта операция включает в себя три бита потому, что начальные биты $a$ и $c$ остаются неизменными во время операции. Рабочий бит $b$ в начале находится в состоянии $|0\rangle$, а в результате операции переходит в состояние ( $a$ AND $c$ ). (Булева операция AND – произведение значений двух битов.) Хорошо известно, что двубитная операция AND необратима, но ее можно сделать обратимой, если ввести в рассмотрение еще один бит $[18,19]$. Поскольку унитарные операции, которые используются в квантовых вычислени-
Рис. 3. Конструкция AND-гейта. (A) Обозначение для AND-гейта, а также конструкция AND-гейта, использующая три XOR-гейта и четыре однобитных вращения. Этот $\pi / 4$ гейт связан с действиями, описанными формулой (3) с параметрами $\omega T=0$ и $\Omega T=\pi / 4$. Если рабочий кубит будет в начальный момент в состоянии $|0\rangle$, то в конечный момент он перейдет в состояние $|a * b\rangle$. $(B)$ Полная таблица истинности для трехбитного AND-гейта. (C) Диаграмма эволюции состояний для AND-гейта, отмеченных в промежуточных состояниях времени, указаны на рисунке ( $A$ ). Здесь появилась новая особенность: для некоторых начальных состояний промежуточное состояние представляет собой суперпозицию двух вычислительных путей, но конечное состояние снова становится определенным, так как конструктивная интерференция разрешает существовать только одному конечному значению, а те пути, которые интерферируют деструктивно – исчезают.

ях, обратимы, квантовый AND-гейт также должен содержать три бита. Изображенный на рис. 3A AND-гейт содержит три XOR-гейта, в каждом из них результат размещается в $b$-кубите, который при этом проходит сквозь однобитные гейты, каждый из которых поворачивает кубит на $\pm 45^{\circ}$. При описанной реализации AND-гейта конечные состояния приобретают фазовые факторы, которые (кроме одного) можно привести к единице, а состояние $|110\rangle$ переходит в $-|110\rangle$. Во многих случаях эти изменения фазы могут быть приемлемы при построении гейтов (например, если известно, что начальный кубит $b$ может быть всегда переведен в $|0\rangle$ ), но если необходимо, чтобы все фазовые факторы были равными единице, тогда реализация AND-гейта будет сложнее и потребует шести XOR-гейтов и восьми однобитных гейтов [12].

Диаграммы типа тех, что изображены на рис. 3А, дают обманчивое представление о простоте, с которой элементарные квантовомеханические манипуляции могут быть использованы для проведения квантовых вычислений. При реализации AND-гейта мы предположили, что знаем, как связываются между собой три XOR-гейта и несколько однобитных гейтов. Теперь мы рассмотрим, что следует понимать под этими связями. Пока действует XOR-гейт, связывающий кубиты $b$ и $c$, спины $b$ и $c$ должны взаимодействовать предписанным им способом (например, с помощью изингова взаимодействия, представленного в 4), в то время как взаимодействие между спинами $a$ и $b$, как, впрочем, и между спинами $a$ и $c$, должно быть равно нулю. Когда же начнет действовать второй XOR-гейт, микроскопическое взаимодействие должно быть переупорядочено, теперь взаимодействие $a$ и $b$ спинов должно быть ненулевым. Это непросто сделать, и такая процедура не проделывалась ни в экспериментах Фехера, ни в других подобных экспериментах в пятидесятых годах.

Эта проблема «взаимосвязи», вероятно, будет решена, но это одна из тех задач, предлагаемых в настоящее время, решение которых требует спекулятивных и необычных методов. С помощью устройства, представленного на рис. 4 , в будущем возможно решить эту проблему для квантовых компьютеров. На этом рисунке изображен щуп атомного силового микроскопа (AFM) [20], проходящий над поверхностью кристалла. Предположим, что и щуп микроскопа, и поверхность кристалла удовлетворяют следующим критериям:
– Спины ядер атомов водорода, один из которых расположен на самом кончике щупа, а другие периодически расположены на поверхности кристалла, воспринимаются нами как кубиты.
– Все электроны связаны, как внутри кристалла (кристаллический кремний является изолятором), так и на поверхности. В этом случае не происходит переворота спина электрона или переноса спиновых состояний, потому что такие возбуждения требуют слишком много энергии.
– Все ядра системы (кроме водорода) имеют нулевой спин, поэтому только протон ядра водорода оказывается доступным для взаимодействия. (В конце статьи мы коснемся следствий потерь квантовых степеней свободы в квантовых компьютерах, принципиальную роль в которой играет потеря квантовой фазовой когерентности.)

Рис. 4. На этом рисунке показана атомная структура, необходимая для реализации квантового компьютера на основе AFM. Она представляет собой щуп из кристаллического кремния, с помощью которого исследуется поверхность, тоже из кристаллического кремния. Кубитами являются спины протонов ядра водорода, один из которых расположен на самом конце щупа, а другие периодически размещаются на поверхности. Взаимодействие между кубитом на щупе и кубитами на поверхности можно включать и выключать, просто перемещая щуп вдоль поверхности, и таким образом осуществлять протокол гейтов, такой, например, как на рисунке 3А. Находящиеся на поверхности химические связи должны быть полностью нейтрализованы, чтобы избежать нежелательных кубитов от случайных электронных спинов. Случайных кубитов, происходящих от ядерных спинов, можно также избежать, если поблизости от атома водорода будут находиться только изотопы с нулевым спином. Щуповый кубит может быть спектроскопические выделен благодаря другим молекулярным связям, которые в свою очередь обеспечивают химический сдвиг спектра. Этот факт может быть полезен при построении селективных магнитно-резонансных процедур.
– Как и в любом AFM, предполагается возможным передвигать атом на кончике щупа так, чтобы он мог взаимодействовать с любым атомом на поверхности. Это свойство и обеспечит необходимое выборочное взаимодействие: когда будет реализовываться
первый XOR-гейт, изображенный на рис. 3A, щуп микроскопа будет контактировать с атомом водорода, расположенным справа на поверхности, изображенной на рис. 4 ; когда будет производится второй XOR-гейт, щуп будет находиться над левым атомом, и так далее.

В настоящее время атомные силовые микроскопы не могут удовлетворить всем этим критериям, однако в последние несколько лет был сделан большой прорыв в области использования AFM для проведения спин-резонансных манипуляций и измерений малых групп спинов $[20,21]$.