Показано, что квантовое отображение пекаря – прототип отображений, применяемых при теоретическом изучении квантового хаоса – очень просто реализуется с помощью квантовых гейтов. Хаос в квантовом преобразовании пекаря можно исследовать экспериментально на квантовом компьютере, состоящем только из 3 кубитов.
После открытия того, что квантовый компьютер может в принципе факторизовать большие числа за полиномиальное время $[1,2]$, квантовая информация стала важной теоретической и экспериментальной темой исследования, фиксирующей свое внимание на свойствах, использовании, создании и сохранении скрещенных квантовых состояний [3]. Хотя не ясно, будет ли когда-нибудь реализован полномасштабный квантовый компьютер $[4,5]$, эксперименты с квантовыми гейтами проводятся уже сейчас [6-9]. Важно найти применение для современных квантовых компьютеров, которые не способны выполнять такие крупномасштабные вычисления, как факторизация.

Оказывается, они хорошо подходят для изучения квантовой динамики простых квантовых отображений. Квантовое отображение пекаря [10], одно из простейших квантовых отображений, используемых для изучения квантового хаоса, интенсивно изучалось в последние годы [11-16]. До сих пор оно рассматривалось как чисто теоретическая игрушка. Однако, как следствие недавнего прогресса в области квантовых компьютеров [6-9], экспериментальная реализация квантового отображения пекаря кажется возможной в очень близком будущем.
${ }^{1}$ Departament of Mathematics, Royal Holloway, University of London Edham, Surrey TW20 OEX, UK.
E-mail: r.schack@rhbnc.ac.uk.
Перевод О.Д. Тимофеевской.

Любой унитарный оператор можно аппроксимировать последовательностью простых квантовых гейтов [17-19]. Основной результат этой статьи состоит в том, что особенно простую реализацию в терминах квантовых гейтов имеет квантовое отображение пекаря. Оно проявляет свои наиболее существенные свойства уже в гильбертовом пространстве малой размерности. Численное моделирование [13] в гильбертовом пространстве размерности $D=16$ подтверждает, что рудиментарный квантовый компьютер, состоящий всего лишь из трех битов (т. е. трех систем с двумя состояниями, порождающих $D=8$-мерное гильбертово пространство), можно было бы использовать для изучения хаоса в квантовом отображении пекаря. В частности, вполне возможно найти экспериментальное доказательство для сверхчувствительности к возмущениям – предполагаемой теоретико-информационной характеристики квантового хаоса $[13,20-22]$.

Классическое преобразование пекаря [23] отображает единичный квадрат $0 \leqslant q, p \leqslant 1$ в себя по формуле
\[
(q, p) \longrightarrow\left\{\begin{array}{ll}
\left(2 q, \frac{1}{2} p\right), & 0 \leqslant q \leqslant \frac{1}{2}, \\
\left(2 q-1, \frac{1}{2}(p+1)\right), & \frac{1}{2}<q \leqslant 1 .
\end{array}\right.
\]

Это соответствует сжатию единичного квадрата в $p$-направлении и растяжению в $q$-направлении при сохранении площади, затем разрезанию его по вертикали и, наконец, водружению правой части на вершину левой части – примерно так пекарь месит тесто.

Для определения квантового отображения пекаря [10] мы квантуем единичный квадрат согласно $[11,24]$. Чтобы представить единичный квадрат в $D$-мерном гильбертовом пространстве, мы начинаем с унитарных операторов «сдвига» $U$ и $V$, которые производят сдвиг в «импульсном» и «координатном» направлениях соответственно, и которые подчиняются коммутационным соотношениям [24]:
\[
\hat{U} \hat{V}=\hat{V} \hat{U} \varepsilon
\]

где $\varepsilon^{D}=1$. Мы выберем $\varepsilon=e^{\frac{2 \pi i}{D}}$. Далее предположим, что $\hat{V}^{D}=$ $=\hat{U}^{D}=1$, т. е. примем периодические граничные условия. Отсюда следует $[11,24]$, что операторы $\hat{U}$ и $\hat{V}$ могут быть записаны как
\[
\hat{U}=e^{2 \pi i \hat{q}} \quad \text { и } \quad \hat{V}=e^{-2 \pi i \hat{p}} .
\]

Операторы координаты и импульса оба имеют собственные значения $j / D, \quad j=0, \ldots, D-1$.

Далее мы ограничимся обсуждением случая $D=2^{L}$, т. е. размерность гильбертова пространства – это степень двух. Для согласования единиц выберем квантовый масштаб в «фазовом пространстве» как $2 \pi h=1 / D=2^{-L}$. Преобразование между координатным базисом $\left|q_{i}\right\rangle$ и импульсным базисом $\left|p_{i}\right\rangle$ осуществляется дискретным преобразованием Фурье $F_{L}^{\prime}$, определяемым матричными элементами
\[
\left(F_{L}^{\prime}\right)_{k j}=\left\langle p_{k} \mid q_{j}\right\rangle=\sqrt{2 \pi h} e^{-i p_{k} q_{j} / h}=\frac{1}{\sqrt{D}} e^{-2 \pi i k j / D} .
\]

Это не единственный способ квантования классического квадрата. Здесь мы выбираем квантованное отображение пекаря, предложенное Балазом и Воросом [10] и определяемое матрицей
\[
T^{\prime}=F_{L}^{-1}\left(\begin{array}{cc}
F_{L-1}^{\prime} & 0 \\
0 & F_{L-1}^{\prime}
\end{array}\right),
\]

где матричные элементы вычисляются в координатном базисе $\left|q_{j}\right\rangle$. Сарацено [1] ввел квантовое отображение пекаря с более сильными свойствами симметрии, используя антипериодические граничные условия, но в этой статье мы ограничимся обсуждавшимися периодическими условиями, которые использовались и в [10].

Дискретное преобразование Фурье, которое используется в определении квантового отображения пекаря (5), играет решающую роль в квантовых вычислениях и может быть легко реализовано как квантовая схема, использующая простые квантовые гейты. Последующее обсуждение квантового преобразования Фурье близко следует [2]. Моделирующее единичный квадрат $D=2^{L}$-мерное гильбертово пространство можно реализовать как прямое произведение $L$-кубитов (т. е. $L$-двумерных систем), так что
\[
\left|q_{j}\right\rangle=\left|j_{L-1}\right\rangle \otimes\left|j_{L-2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes\left|j_{0}\right\rangle,
\]

где $j=\sum j_{k} 2^{k}, j_{k} \in 0,1(k=0, \ldots, L-1)$ и где каждый кубит имеет состояния $|0\rangle$ и $|1\rangle$.
Чтобы построить квантовое Фурье преобразование, потребуются два квантовых гейта: гейт $A_{m}$, действующий на $m$-й кубит, и определенный на базисе $|0\rangle,|1\rangle$ матрицей
\[
A_{m}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)
\]

и гейт $B_{m n}$, оперирующий с $m$-м и с $n$-м кубитами и определенный как
\[
B_{m n}\left|j_{L-1}\right\rangle \otimes \cdots \otimes\left|j_{0}\right\rangle=e^{i \Phi_{m n}}\left|j_{L-1}\right\rangle \otimes \cdots \otimes\left|j_{0}\right\rangle,
\]

где
\[
\Phi_{m n}=\left\{\begin{array}{ll}
\pi / 2^{n-m}, & \text { если } j_{m}=j_{n}=1 \\
0, & \text { если не так. }
\end{array}\right.
\]

Определим дополнительно гейт $S_{m n}$, который переставляет $m$-й и $n$-й кубиты.

Дискретное преобразование Фурье $F_{L}$ может быть теперь выражено в терминах трех типов гейтов как
\[
\begin{aligned}
F_{L}= & S \times\left(A_{0} B_{01} \ldots B_{0, L-1}\right) \times \cdots \times\left(A_{L-3} B_{L-3, L-2} B_{L-3, L-1}\right) \times \\
& \times\left(A_{L-2} B_{L-2, L-1}\right) \times\left(A_{L-1}\right),
\end{aligned}
\]

где
\[
S=\left\{\begin{array}{ll}
S_{0, L-1} S_{1, L-2} \cdots S_{L / 2-1, L / 2}, & \text { если } L \text { четно, } \\
S_{0, L-1} S_{1, L-2} \cdots S_{(L-3) / 2,(L+1) / 2}, & \text { если } L \text { нечетно }
\end{array}\right.
\]

обращает порядок кубитов. Квантовое отображение пекаря (5) теперь дается
\[
T=F_{L}^{-1}\left(I \otimes F_{L-1}\right),
\]

где $F_{L-1}$ действует на $L-1$ наименее значительные кубиты, и $I$ тождественный оператор, действующий на наиболее значительный кубит. Гейты, соответствующие оператору перестановки битов $S$, можно сохранить, если менять метки кубитов в тензорном произведении (6) после выполнения $F_{L}$ или $F_{L-1}$.

В $D=8=2^{3}$-мерном гильбертовом пространстве одна итерация квантового отображения пекаря представляется короткой последовательностью гейтов
\[
T=S_{02} A_{0} B_{01}^{+} B_{02}^{+} A_{1} B_{12}^{+} A_{2} S_{01} A_{0} B_{01} A_{1} .
\]

Такую реализацию квантового отображения пекаря можно рассматривать с двух дополняющих друг друга точек зрения. С одной стороны она оказывает, что квантовое отображение пекаря может быть эффективно симулировано на квантовом компьютере. 30-битный квантовый компьютер мог бы выполнить моделирование, которое фактически невозможны на современных классических компьютерах.

С другой стороны, итерация последовательности гейтов (12) на $L$-кубитном компьютере – это физическая реализация квантового отображения пекаря. Это открывает возможности для экспериментальных исследований хаоса в физических системах в чисто квантовом режиме.