Условная квантовая динамика и логические гейты
А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт
(Adriano Barenco, David Deutsch and Artur Ekert) ${ }^{1}$
Р. Джозса
(Richard Jozsa) ${ }^{2}$
Квантовые логические гейты представляют собой фундаментальные примеры условной квантовой динамики. Они могли бы служить строительными блоками для общих квантовых систем передачи информации, которые, как было недавно показано, обладают множеством интересных неклассических свойств. Мы опишем простейший квантовый логический гейт, квантовое управляемое НЕ, и проанализируем некоторые их применения. Мы обсудим также две возможных реализации такого гейта; одна из них основана на атомной интерферометрии Рамзая, а другая – на селективном управлении оптическими резонансами двух подсистем с диполь-дипольным взаимодействием.
Тот факт, что квантово-механические процессы в принципе допускают новые типы передачи информации, известен уже около десяти лет $[1,2]$. Беннетт и Вайснер показали, что возможности квантовых каналов могут быть удвоены [3], и недавние исследования в квантовой теории сложности [4] привели к выводу, что вычислительная мощность квантовых компьютеров превосходит таковую машины Тьюринга. Таким образом, экспериментальная реализация этих процессов является весьма интересной задачей. В этой статье мы заостряем внимание на
${ }^{1}$ Clarendon Laboratory, Physics Department, University of Oxford, Parks Road, Oxford OX1 3PU, United Kingdom.
${ }^{2}$ School of Mathematics \& Statistics, University of Plymouth, Plymouth PL4 8AA, United Kingdom.
Перевод И. о. Чередникова.
основных составляющих квантового устройства для передачи информации, а именно, логических квантовых гейтах. Мы хотим подчеркнуть возникновение условной квантовой динамики, в которой одна подсистема проходит по этапам когерентной эволюции, зависящей от состояния другой подсистемы. Унитарный оператор эволюции для составной системы имеет вид
\[
U=|0\rangle\left\langle 0\left|\otimes U_{0}+\right| 0\right\rangle\left\langle 0\left|\otimes U_{1}+\ldots+\right| k\right\rangle\langle k| \otimes U_{k},
\]

где проекторы относятся к квантовым состояниям контрольной подсистемы и унитарные операции $U_{i}$ выполняются на рабочей подсистеме. Простейшей нетривиальной операцией такого рода является квантовое управляемое НЕ. Мы опишем этот гейт, проанализируем некоторые его применения и обсудим физические реализации.

Классическое управляемое $\mathrm{HE}$ является обратимым логическим гейтом на двух битах $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2} ; \varepsilon_{1}$ называется контрольным битом, а $\varepsilon_{2}$ – рабочим битом. Значение $\varepsilon_{2}$ отрицается, если $\varepsilon_{1}=1$, в противном случае $\varepsilon_{2}$ остается прежним. В любом случае контрольный бит $\varepsilon_{1}$ не изменяется. Определим квантовое управляемое $\mathrm{HE} \mathscr{C}_{12}$ как осуществляющее унитарную операцию на двух кубитах (двухуровневых квантовых системах), что в выбранном ортонормальном базисе $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ в $\mathscr{H}_{2}$ воспроизводит операцию управляемое $\mathrm{HE}$ :
\[
\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{2}\right\rangle \xrightarrow{\mathscr{C}_{12}}\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{1} \oplus \varepsilon_{2}\right\rangle,
\]

где $\oplus$ означает сложение по модулю 2 . Здесь и далее первый индекс в $\mathscr{C}_{i j}$ всегда относится к контрольному биту, а второй – к рабочему. Например, $\mathscr{C}_{21}$ осуществляет следующую унитарную операцию:
\[
\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{2}\right\rangle \xrightarrow{\mathscr{C}_{21}}\left|\varepsilon_{1} \oplus \varepsilon_{2}\right\rangle\left|\varepsilon_{2}\right\rangle .
\]

Квантовое управляемое НЕ следует отличать от классического управляемого HE, реализованного на существующих компьютерах. Квантовое управляемое НЕ – это когерентная операция на квантовых состояниях двух кубитов. Унитарная операция, определяемая (2), не является единственной, воспроизводящей классическое управляемое НЕ на базисных состояниях $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Можно ввести дополнительные фазы, так что в наиболее общем виде такая квантовая операция выглядит так:
\[
\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{2}\right\rangle \longrightarrow \exp \left(i \theta_{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}\right)\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{1} \oplus \varepsilon_{2}\right\rangle .
\]
А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса
Эта фаза не имеет отношения к классическим операциям, но приводит к появлению семейства неэквивалентных квантовых гейтов.

Уравнения (2) или (3) определяют операции $\mathscr{C}_{12}$ по отношению к специальному выбору базиса, именно – к вычислительному базису $\{|0\rangle,|1\rangle\}$. Полезно обсудить обобщения $\mathscr{C}_{12}$, которые действуют на контрольный и рабочий биты в базисах, отличных как от вычислительного, так и, возможно, друг от друга. Например, легко показать, что гейты $\mathscr{C}_{12}$ в базисе $\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle \pm|1\rangle)\right\}$ (для двух кубитов) идентичны $\mathscr{C}_{21}$ в базисе $\{|0\rangle,|1\rangle\}$, т. е. при такой простой замене базиса меняются роли кубитов. В дальнейшем, если не оговорено обратное, будет использоваться вычислительный базис.

Квантовый гейт управляемое НЕ обладает разнообразными интересными свойствами и приложениями:
(1) $\mathscr{C}_{12}$ преобразует суперпозиции в скрещения
\[
\mathscr{C}_{12}:(a|0\rangle+b|1\rangle)|0\rangle \longleftrightarrow a|0\rangle|0\rangle+b|1\rangle|1\rangle .
\]

Таким образом он действует как измерительный гейт, поскольку если рабочий бит $\varepsilon_{2}$ находится в начальном состоянии $|0\rangle$, то этот бит вместе с гейтом равносилен аппарату, реализующему совершенно точное невозмущающее (квантовое неразрушающее [5]) измерение $\varepsilon_{1}$.
(2) Это преобразование суперпозиций в скрещения может быть обращено с помощью такой же операции управляемое НЕ. Следовательно, оно может быть использовано для реализации так называемого измерения Белла [6] на двух битах путем распутывания состояний Белла. Из четырех состояний Белла мы получаем четыре производных состояния:
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{C}_{12} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|0\rangle \pm|1\rangle|1\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle \pm|1\rangle)|0\rangle, \\
\mathscr{C}_{12} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|1\rangle \pm|1\rangle|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle \pm|1\rangle)|1\rangle .
\end{array}
\]

Таким образом, измерение Белла на двух кубитах осуществляется последовательно двумя независимыми двумерными измерениями: в вычислительном базисе для рабочего кубита и в базисе $\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle \pm|1\rangle)\right\}$ для контрольного кубита. Реализация измерения Белла является главной трудностью на пути практического осуществления квантовой телепортации [7] и плотного квантового кодирования [3].

—————————————————————-
0008ru_fiz_kvan_book16 — no photo_page-0064.jpg.txt

Условная квантовая динамика и логические гейты
63
(3) Транспозиция квантовых состояний выполняется с помощью каскада из трех квантовых гейтов управляемое HE:
\[
\mathscr{C}_{12} \mathscr{C}_{21} \mathscr{C}_{12}|\psi\rangle|\phi\rangle=|\phi\rangle|\psi\rangle,
\]

для произвольных состояний $|\psi\rangle$ и $|\phi\rangle$ (см. также [8]).
(4) Квантовый гейт управляемое НЕ можно использовать для переноса удаленных состояний при наличии канала, переносящего только классическую информацию. Это полностью отлично от описанной выше замены состояния, которая требует применения гейтов к двум состояниям на входе, так что они не могут быть сильно разделены друг от друга во времени. Пусть удаленные друг от друга Алиса и Боб владеют состояниями $|\alpha\rangle$ в $\mathscr{H}_{0}$ и $|\beta\rangle$ в $\mathscr{H}_{5}$ соответственно, которыми они хотят обменяться (предполагается, что они не знают, что это за состояния). Чтобы это сделать, они должны (в предыдущем случае они находились рядом или имели доступ к квантовому коммуникационному каналу) обладать двумя парами кубитов, одной в состоянии $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|0\rangle+|1\rangle|1\rangle)$ в $\mathscr{H}_{1} \otimes \mathscr{H}_{3}$ и другой в том же максимально скрещенном состоянии в $\mathscr{H}_{2} \otimes \mathscr{H}_{4}$. Состояния в $\mathscr{H}_{0}, \mathscr{H}_{1}, \mathscr{H}_{2}$ локализованы около Алисы и состояния в $\mathscr{H}_{3}, \mathscr{H}_{4}, \mathscr{H}_{5}$ – около Боба. Пусть $\mathscr{M}$ обозначает полное измерение в вычислительном базисе $\{|0\rangle,|1\rangle\}$.

Для транспозиции $|\alpha\rangle$ и $|\beta\rangle$ Алиса и Боб следуют такому протоколу. Шаг 1: Алиса выполняет $\mathscr{C}_{10}$, а затем $\mathscr{C}_{02}$, в то время как Боб выполняет $\mathscr{C}_{54}$, а затем $\mathscr{C}_{35}$. Шаг 2: Алиса измеряет $\mathscr{M}$ в $\mathscr{H}_{2}$, и Боб измеряет $\mathscr{M}$ в $\mathscr{H}_{4}$. Каждый из участников сообщает результат (один бит информации) другому. Если результаты одинаковы, переходим к шагу 3 . Если они различны, Алиса и Боб отрицают значения всех принадлежащих им битов, т. е. применяют унитарную операцию
\[
\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\]

к каждой частице. Шаг 3: Алиса выполняет вращение
\[
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right)
\]

в $\mathscr{H}_{1}$ и Боб делает то же самое в $\mathscr{H}_{3}$. Шаг 4: Алиса выполняет измерение $\mathscr{M}$ в $\mathscr{H}_{1}$ и Боб делает это в $\mathscr{H}_{3}$. Они сообщают друг другу результаты. Если результаты одинаковы, состояния меняются. В противном А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса
случае Алиса применяет унитарное преобразование
\[
\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)
\]

к $\mathscr{H}_{0}$ и Боб делает то же для $\mathscr{H}_{5}$, после чего состояния меняются. Аналогичный процесс описан Вайдманом [9].

Интересно сравнить этот протокол с квантовой телепортацией [7], когда Алиса и Боб в начале владеют одной максимально скрещенной парой, и Алиса может передать произвольное состояние $|\xi\rangle$ Бобу, посылая ему только два классических бита информации. Тогда, используя те же средства, что и в нашем протоколе, т. е. совместное владение двумя скрещенными парами и пересылку двух битов друг другу, мы может альтернативно поменять состояния $|\alpha\rangle$ и $|\beta\rangle$ с помощью двух телепортаций (для двух направлений переноса). Однако такой процесс не может быть разделен на два последовательных переноса. Отличительной чертой всех таких процессов является то, что при наличии скрещения произвольное состояние $|\xi\rangle$ может быть перенесено в результате пересылки только нескольких битов классической информации, несмотря на то, что $|\xi\rangle$ зависит от двух непрерывных параметров, соответствующих бесконечному количеству классической информации.

Квантовая операция управляемое НЕ не является универсальной. Однако, наряду с относительно тривиальными однокубитными гейтами, она образует адекватное множество квантовых гейтов, т. е. множество, из элементов которого могут быть построены любые квантовые гейты [10]. Таким образом, в реальных технологиях условная динамика типа квантового управляемого НЕ достаточна для построения любого квантового передающего устройства. Универсальные двубитовые квантовые гейты, основанные на аналогичным образом контролируемой динамике, описаны в [11].

Далее будут предложены два способа экспериментальной реализации квантового управляемого HE. Мы не утверждаем, что именно эти технологии помогут на практике получить соответствующее устройство. Они служат, однако, для иллюстрации физических идей, которые будут использоваться при построении таких устройств при любой технологии.

Первая технология – атомная интерферометрия Рамзая $[12,13,14$, 15], а вторая основана на селективном управлении оптическими резонансами двух кубитов с диполь-дипольным взаимодействием [16].
В методе атомной интерферометрии Рамзая рабочий кубит является атомом с двумя круговыми состояниями Ридберга $\left|\varepsilon_{2}\right\rangle$, где $\varepsilon_{2}=0,1$; контрольный кубит – это квантованное электромагнитное поле в полости $C$ с высоким $Q$.

Поле в полости содержит самое большее один фотон некоторой моды, так что его можно рассматривать как двухуровневую систему с вакуумным $|0\rangle$, и однофотонным состояниями $|1\rangle$ в качестве базиса. Полость $C$ находится между двумя вспомогательными микроволновыми полостями $R_{1}$ и $R_{2}$, в которых классические микроволновые поля порождают вращения на $\pi / 2$ атомного вектора Блоха,
\[
\left|\varepsilon_{1}\right\rangle_{\text {field }}\left|\varepsilon_{2}\right\rangle_{\text {atom }} \longrightarrow\left|\varepsilon_{1}\right\rangle_{\text {field }} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|\varepsilon_{2}\right\rangle+(-1)^{\varepsilon_{2}} e^{i \alpha}\left|1-\varepsilon_{2}\right\rangle\right)_{\text {atom }},
\]

где фазовый множитель $\alpha$ различен для двух полостей $R_{1}$ и $R_{2}$. В центральной полости $C$ дисперсивное взаимодействие с квантованным полем приводит к сдвигам фазы, зависящим от состояния атома $\left|\varepsilon_{2}\right\rangle$ и числа фотонов в полости $\left|\varepsilon_{1}\right\rangle$. Взаимодействие сохраняет число фотонов в полости:
\[
\left|\varepsilon_{1}\right\rangle_{\text {field }}\left|\varepsilon_{2}\right\rangle_{\text {atom }} \longrightarrow \exp \left(i(-1)^{1-\varepsilon_{2}}\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}\right) \theta\right)\left|\varepsilon_{1}\right\rangle_{\text {field }}\left|\varepsilon_{2}\right\rangle_{\text {atom }},
\]

где $\theta$ – фазовый сдвиг для фотона, который может быть выбран равным $\pi$ ( $\theta$ зависит от времени, требующегося атому, чтобы пройти $C$, и расстроить атом-поле).

В целом процесс может рассматриваться как последовательность: полупереворот в $R_{1}$, фазовые сдвиги в $C$, и полупереворот в $R_{2}$. В зависимости от сдвигов фаз второй полупереворот может либо вернуть атом в начальное состояние, либо полностью перевернуть его в ортогональное состояние. Интерферометр может быть настроен так, что когда атом проходит последовательно через полости $R_{1}, C$ и $R_{2}$, два кубита, т. е. поле и атом, подвергаются преобразованию
\[
\left|\varepsilon_{1}\right\rangle_{\text {field }}\left|\varepsilon_{2}\right\rangle_{\text {atom }} \longrightarrow\left|\varepsilon_{1}\right\rangle_{\text {field }}\left|\varepsilon_{1} \oplus \varepsilon_{2}\right\rangle_{\text {atom }} .
\]

Состояние поля в $C$ также может быть перенесено со (или на) вспомогательного ридберговского атома, настроенного на резонансную частоту полости таким образом, что оно испытает действие резонанса, а не дисперсивного взаимодействия в $C$. Этот процесс позволяет создать гейты, действующие на два кубита одного типа, т. е. два ридберговские А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса
атома, а не на поле и атом. Давидович и др. [13] показали, как можно использовать интерферометрию Рамзая для квантовой телепортации. Их экспериментальная установка эффективно включает условную динамику обсуждаемого нами типа, имеющую гораздо более широкие приложения в квантовой передаче информации, чем просто в квантовой телепортации. Практическая реализация квантового управляемого $\mathrm{HE}$ может быть осуществлена путем некоторой модификации экспериментов, как описано в $[13,14,15]$. Типичная резонансная частота должна быть порядка $\sim 2 \times 10^{10}$ Гц, время взаимодействия атома с полем в полости $\sim 3 \times 10^{-5} \mathrm{c}$, и время жизни поля в полости может быть сделано порядка $\sim 0.5 \mathrm{c}$.

Наиболее трудной частью экспериментальной реализации является, вероятно, приготовление изолированного атома. Обычно это осуществляется с помощью приготовления пучка атомов с весьма малой вероятностью обнаружения отдельного атома в пучке; обнаружение же двух атомов подрнд в пучке еще менее веронтно. С нашей точки зренин, недостатком данного метода является то, что он приводит к обратной зависимости между вероятностью того, что точно один атом (как требуется) взаимодействует с полем в данном цикле, и надежностью гейта. Хотя в нашем примере мы прежде всего фокусировали внимание на микроволновых полостях, может быть также рассмотрена экспериментальная реализация в оптическом режиме [15].

Второе наше предложение по реализации квантовых гейтов управляемое НЕ основано на диполь-дипольном взаимодействии между двумя кубитами. Для целей данной модели кубиты могут быть либо магнитными диполями, например, ядерными спинами во внешних магнитных полях, либо электрическими диполями, например, одноэлектронными квантовыми точками в статических электрических полях. Здесь мы опишем модель, основанную на взаимодействии квантовых точек, однако математически оба случая изоморфны.

Пусть две одноэлектронных квантовых точки, находящиеся на расстоянии $R$ друг от друга, погружены в полупроводник. Рассмотрим основное и первое возбужденное состояния каждой точки как состояния вычислительного базиса $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Первая квантовая точка с резонансной частотой $\omega_{1}$ будет использована в качестве контрольного кубита, а вторая, с резонансной частотой $\omega_{2}$, как рабочий кубит. В присутствие внешнего статического электрического поля, которое может включаться и выключаться адиабатически во избежание переходов между уров-
Рис. 1. Плотность заряда в квантовой яме в направлении $x$ приложенного поля. Дипольный момент индуцируется, когда электрическое поле включается (B), и равен нулю в отсутствие электрического поля (A).

нями, распределение заряда в основном состоянии каждой точки сдвигается в направлении поля, в то время как в первом возбужденном состоянии распределение заряда сдвигается в противоположном направлении (квантовый эффект Штарка) [17] (см. рис. 1). В простой модели, когда состояние кубита кодируется одним электроном в каждой квантовой точке, можно выбрать координаты, в которых дипольные моменты в состояниях $|0\rangle$ и $|1\rangle$ суть $\pm d_{i}$, где $i=1,2$ относятся к контрольной и рабочей точке соответственно. Для большей ясности мы изложим идею метода с использованием несколько упрощенной модели, тогда как более точная модель должна учитывать дырки в валентной зоне полупроводника. Состояние кубита определяется тогда возбуждениями с различными энергиями.

Электрическое поле электрона в первой квантовой точке может сдвинуть уровни энергии во второй точке (и наоборот), но в хорошем приближении это не приводит к переходам. Причиной является то, что в полном гамильтониане
\[
\hat{H}=\hat{H}_{1}+\hat{H}_{2}+\hat{V}_{12}
\]

доминирует диполь-дипольное взаимодействие $\hat{V}_{12}$, которое диагонально в четырехмерном пространстве состояний, натянутом на собственные состояния $\left\{\left|\varepsilon_{1}\right\rangle,\left|\varepsilon_{2}\right\rangle\right\}$ свободного гамильтониана $\hat{H}_{1}+\hat{H}_{2}$, где $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ принимают значения от 0 до 1 . Именно,
\[
\left(\hat{H}_{1}+\hat{H}_{2}\right)\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{2}\right\rangle=\hbar\left(\varepsilon_{1} \omega_{1}+\varepsilon_{2} \omega_{2}\right)\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{2}\right\rangle,
\]

и
\[
\hat{V}_{12}\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{2}\right\rangle=(-1)^{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}} \hbar \bar{\omega}\left|\varepsilon_{1}\right\rangle\left|\varepsilon_{2}\right\rangle,
\]

где
\[
\bar{\omega}=-\frac{d_{1} d_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} .
\]
А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса
Как показано на рис. 2 , в результате диполь-дипольного взаимодействия резонансная частота переходов между состояниями $|0\rangle$ и $|1\rangle$ одной точки зависит от состояния соседней точки. Это и есть искомая условная квантовая динамика. Резонансная частота первой точки становится равной $\omega_{1} \pm \bar{\omega}$, в соответствие с тем, находится ли вторая точка в состоянии $|0\rangle$ или $|1\rangle$. Аналогично, резонансная частота второй точки есть $\omega_{2} \pm \bar{\omega}$, в зависимости от состояния первой точки. Таким образом, $\pi$-импульс частоты $\omega_{2}+\bar{\omega}$ приводит к переходу $|0\rangle \leftrightarrow|1\rangle$ во второй точке тогда и только тогда, когда первая точка находится в состоянии $|1\rangle$.

Рис. 2. (a) Уровни энергии двух квантовых точек без и при наличии взаимодействия, индуцированного статическим электрическим полем $\mathbf{E}_{0}$. b) Peзонансный спектр двух квантовых точек. Разрывной линией показана длина волны, для которой две точки действуют как управляемое НЕ, при этом первая точка – контрольный кубит, а вторая – рабочий.

Для того, чтобы такие процессы были полезными для квантовой передачи информации, время декогерентности должно быть больше, чем характерное время оптического взаимодействия (см., например, [18]). Время декогерентности зависит частично от изменения запирающего потенциала, вызванного фононными возбуждениями. Существует также квантово-электродинамический вклад, вызванный взаимодействием с вакуумными модами. Для резонансных частот в инфракрасном режиме время декогерентности можно оценить как $\sim 10^{-6}$ с. Примеси и тепловые колебания (фононы) могут уменьшить время до $\sim 10^{-9}$ с или еще меньше, но в принципе такие эффекты могут быть минимизированы более точной технологией производства и охлаждением кристалла. Временной масштаб оптического взаимодействия может быть аппроксимирован длительностью $\pi$-импульса $\left(\sim 10^{-9}\right.$ с). Длительность импульса ограничена не столько существующим уровнем технологии, сколько требованием монохроматичности и достаточной селективности для $\pi$-импульса. Это приводит к тому, что длительность импульса должна быть больше обратной несущей частоты и обратной константы связи диполь-дипольного взаимодействия ( $1 / \bar{\omega} \sim 10^{-12}$ с в нашей модели). Возможно, эту модель сложнее осуществить, чем основанную на атомной интерферометрии Рамзая, но если она все же будет реализована, она позволит объединять квантовые гейты в сложные квантовые сети, что необходимо для более общей квантовой передачи информации.