Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Определение значений энергии атома $\mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}, \mathscr{E}_{3}, \ldots 1$ стационарных состояния называется квантованием, точнее квантованием энергии атома. Бор предложил правило квантования для водородного атома, приводящее к правильным результатам. Проблема квантования в общем виде была сформулирована в квантовой механике, и притом не только для водородного атома, но и для любьіх атомных систем (см. § 22). Она довольно сложна. Правнло квантования Бора представляет только исторический итерес. Тем не менее полезно привести простое решение задачи о квантовании для атома водорода нли водородоподобного атома, близко примыкающее к идеям Бора. В основе такого решения лежит аналогия с классической механикой и эмпирически установленное выражение для спектральных термов атома водорода. Примем, что спектральные термы и соответствующие им уровни энергии атома водорода имеют бальмеровский вид: где $R$ — постоянная Ридберга, а зарядовое число $Z$ ядра введено ради удобства. Целое число $n$ называется главным квантовым числом. С возрастанием $n$ соседние уровни энергии атома сближаются, и при $n \rightarrow \infty$ расстояние между ними стрсмится к нулю. Дискретность энергетического спектра становится все менее и менее заметной. Поэтому можно ожидать, что в таком предельном случае квантовая система будет вести себя, как классическая. Это положение было выдвинуто Бором и названо им принципом соответствия. Принцип соответствия позволяет выразить постоянную Ридберга $R$ через фундаментальные постоянные, характеризующюе атом. Для общности будем рассматривать водородоподобны: атом. Так называется ион с зарядом ядра $+Z e$, вокруг которого вращается один электрон. При $Z=1$ он переходит в обычиый нейтральный атом водорода $H$, при $Z=2$ — однократно ионизованный атом гелия $\mathrm{He}^{+}$, при $Z=3$ — в дважды ионизованный атом лития $\mathrm{Li}^{++}$и т. д. Разумеется, наше рассуждение будет предполагать справедливость выражения (13.2) и для водородоподобного атома. Одинакова ли постоянная Ридберга для различных водородоподобных атомов — это будет выяснено в дальнейшем. откуда $\omega=Z e^{2} /(L r)$, где $L=m r^{2} \omega-$ момент количества движения электрона. Полная энергия электрона слагается из кинетической и потенциальной и равна Следовательно, по классической теории должно быть С другой стороны, уровни энергии водородоподобного атома должны иметь бальмеровский вид (13.2). Отсюда следует, что при переходах атома с одного уровня на другой величина $\mathscr{E}_{n} n^{2}$ должна сохраняться: $\mathscr{E}_{n} n^{2}=$ const. Поэтому при больших квантовых числах $n$ и малых их изменениях $\Delta n$ должно выполняться соотношение Отсюда с учетом правила частот Бора $\Delta \mathscr{E}=\hbar \omega$ получается причем у $\mathscr{E}$ мы опустили индекс $n$ и считаем $\Delta n>0$, чтобы не вводить отрицательных частот. Наименьшая частота соответствует переходу $\Delta n=1$. Это-основная частота. Значениям $\Delta n=2,3, \ldots$ соответствуют ее гармоники, или обертоны. По принципу соответствия основная частота в формуле (13.5) должна совпадать с классической частотой (13.4). Это возможно только тогда, когда Значит, по теории Бора момент количества движения, по крайней мере при больших квантовых числах $n$, квантуется, т. е. может принимать только избранные значения (13.6). Отсюда а следовательно, Сравнением этой формулы с (13.2) находим Мы снабдили $R$ индексом $\infty$, чтобы указать, что при получении формулы (13.9) масса ядра $M$ считалась бесконечной, а само ядро неподвижным. В этом приближении постоянная Ридберга одинакова для всех водородоподобных атомов. Теоретическое значение постоянной Ридберга (13.9), хотя и очень близко к экспериментальному значению для атомов водорода $R_{\mathrm{H}}=109677,576 \mathrm{~cm}^{-1}$, но при спектроскопической точности измерений их различие все же очень велико. Оно связано с тем, что при выводе формулы (13.9) не учитывалась конечность массы ядра $M$. Чтобы учесть это, надо массу электрона $m$ заменить на приведенную массу $M m /(M+m)$. Тогда получится В этом приближении постоянная Ридберга зависит от массы ядра, а потому ее значения для различных водородоподобных атомов отличаются друг от друга, хотя и очень мало. Для атома водорода формула (13.10) дает $R=109677,6 \mathrm{~cm}^{-1}$, что хорошо согласуется с экспериментом. Формула (13.10) может служить для вычисления постоянной Ридберга $R_{\infty}$ для бесконечно тяжелого ядра. Для этого достаточно воспользоваться спектроскопическим значением $R$, например, для водорода, а также значением $m / M$ из масс-спектроскопических измерений. В спектроскопии спектральные термы и уровни энергин принято изображать горизонтальными линиями, а переходы между ними — стрелками. Стрелкам, направленным от высших уровней энергии к низшим, соответствуют линии излучения; стрелкам, проведенным в обратных направлениях, — линии поглощения. В качестве примера на рис. 21 таким путем изображен спектр водорода. Уровни энергии здесь нумеруются квантовым числом $n$. За нуль нрннята энергня уровня с $n=\infty$. Этот уровень изображен верхней горизонтальной пунктирной прямой. Все энергетические уровни, расположенные ниже, дискретны. Им соответствуют отрицательные значения полной энергии атома. Выше пунктирной линии энергия не квантуется, т. е энергетический спектр непрерывен. Но при $\mathscr{E}<0$ движение электрона финитно, а ири $\mathscr{E}>0$ ннфинитно. Это негісредственно следует из соответствующей теоремы классической механики (см. т. I, $\$ \$ 25$, 57), поскольку при больших $n$ ее можно применять. Соответствующая теорема может быть доказана и в последовательной квантовой механике (см. $\S 22$ ), т. е. совершенно строго. Наличие несвязанных электронов делает, однако, возможчыми квантовые переходы между состояниями непрерывного энергетического спектра, а также между такими состояниями и состояпиями дискретного спектра энергии. Это проявляется в виде сплошного спектра испускания или поглощения, накладывающегося на линейчатый спектр атома. Вот почему, в частноти, спектр атома не обрывается на границе серии, а продолжается за нее в сторону более коротких волн, где он становится млошиым. Қвантовые переходы из состояний непрерывного іргетигеского спектра, т. е. из состояний, в которых атом ионизован, в состояния дискретного сиектра сопровождаются рекомбинацией электронов с соответствующими положительными ионами. Излучение, возникающее при таких переходах, называется рекомбинационным. Переход атома из нормального состояния на болес высокий энергетический уровень дискретного спектра есть возбуждение атома. Переход же атома с одного из уровней дискретного спектра в область сплошного спектра превращает атом в несвязанную систему. Это есть процесс ионизации атома. Если вначале атом находился в нормальном состоянии, то, очевидно, минимальная энергия ионизации атома определяется выражением $\mathscr{E}_{\text {ион }}=\mathscr{E}_{\infty}-\mathscr{E}_{1}=-\mathscr{E}_{1}$, т. е. для водородоподобного атома или Серия (13.13) была открыта Фаулером (1889-1944) в смеси Н и Не, а серия (13.14) наблюдалась Пикерипгом в спектре планетарной туманности ( $\zeta$ Кормы). Однако, согласно теории Бора, линии этих серий принадлежат не водороду $\mathrm{H}$, а однократно ионизованному гелию $\mathrm{He}^{+}$. Они содержатся в спектральных сериях последнего: если пренебречь различием постоянных Ридберга для водорода и гелия. В действительности эти постоянные немного отличаются одна от другой, как видно из формулы Если, однако, не учитывать различие между $R_{\text {Не }}$ и $R_{\mathrm{H}}$, то в этом приближении линии серии (13.13) совпадут с линиями серии (13.13a) при четных $n$, а линии серии (13.14) — слиниями серии (13.14a) при нечетных $n$. И действительно, серии (13.13a) и (13.14a) получались экспериментально в чистом гелии. Конечно, нет никаких оснований делить единые серии (13.13a) и (13.14a) на две половины, выделяя из них серии Фаулера (13.13) и Пикеринга (13.14). В действительности $R_{\text {не }}$ пемного больше $R_{\mathrm{H}}$. Благодаря этому спектральные линии однократно ионизованного гелия Не— оказываются немного смещенными в коротковолновую сторону спектра относительно соответствующих бальмеровских линий водорода. Такой эффект называется изотопическим смещением спектральных линий. Разумєется, этот эффект существует и для других химических элементов и их ионов, хотя для многоэлектронных атомов его и нельзя трактовать столь же просто, как в случае атомов водородоподобных. Действительно, различные изотопы одного и того же химического элемента или иона отличаются только массами ядер. Но они имеют одинаковые заряды ядер, а потому и одинаковые электронные оболочки. Процессы же излучения света происходят как раз в электронных оболочках. Говорить об изотопическом смещении линий гелия относительно линий водорода на первый взгляд кажется нелогичным, поскольку гелий не является изотопом водорода. Однако в эффекте смещения спектральных линий речь идет не об атомах гелия, а о его однократно ионизованных атомах. Последние же в рассматриваемом вопросе ведут себя как изотопы водорода. Так же обстоит дело и в случае других элементов. Заметим, что изотопическое смещение спектральных линий обусловлено не только различием масс изотопов, но и различием размеров их атомных ядер. Забегая вперед, это нетрудно понять, если проблему квантования рассматривать на основе уравнения Шредингера (см. § 22). В самом деле, для различных изотопов кулоновские и ядерные силовые поля внутри ядра несколько отличаются друг от друга. Различны также размеры областей, занимаемых этими полями. Это ведет к небольшому различию волновых функций и соответствующих им собственных значений энергии. Влияние размеров ядра на изотопическое смещение спектральных линий особенно существенно для тяжелых ядер. Здесь изотопическое смещение, вызванное различием размеров ядер, того же порядка, что и изотопическое смещение, вызванное различием их масс. Отсюда следует, что для изотопического сдвига частот или длин волн дейтерия относительно водорода получается Так, бальмеровская линия $D_{\alpha}$ дейтерия смещена относительно соответствующей линии $H_{\alpha}$ водорода в коротковолновую сторону спектра всего на $|\Delta \lambda|=0,179$ нм. По порядку эта величина совпадает с размерами атомов, к которым ранее приводила кинетическая теория вещества. Напряженность электрического поля ядра на первой боровской орбите атома водорода Вообще, величина $E \sim 10^{8} \mathrm{~B} /$ см является характерным масштабом для напряженностей внутриатомных электрических полей. Во внешиих полях с напряженностью такого порядка атомы быстро ионизуются. Легко видеть, что скорость движения электрона по стацнонарной круговой орбите определяется выражением где $\alpha$ — безразмерная постоянная: называемая постоянной тонкой структуры. Для движения по первой боровской орбите атома водорода Если постоянную $\alpha$ ввести в формулу (13.8), то получится Ответ. $\lambda_{\text {Б } \infty} \leqslant \lambda<\lambda_{\text {БК }}$, где $\lambda_{\text {Б } \infty}=4 / R_{\mathrm{H}}=364,705$ нм $\lambda_{\text {Б } ;}=36 /\left(5 R_{\mathrm{H}}\right)=$ $=656,468$ нм (красная линия). Ответ. Для серии Лаймана $\lambda_{\text {J }}=\lambda_{5 \infty} / 4=91,1762$ нм. Для серии Пашена $\lambda_{\text {і1п } \infty} \Rightarrow{ }^{9} / 4 \lambda_{\text {Б }}=820,586$ нм. Ответ. $\lambda_{1}=4 / 3 R_{\mathrm{H}}=121,5682 \mathrm{нм}, \quad \lambda_{2}=9 / 8 R_{\mathrm{H}}=102,57317 \mathrm{нм}, \lambda_{3}=$ $=36 / 5 R_{\mathrm{n}} \Longrightarrow 656,46828 \mathrm{HM}$. Ответ. Такое поглощение происходит и сопровождается ионизацией атома. где $\alpha=e^{2 / \hbar c}=1 / 137-$ постоянная тонкой сгруктуры. 7. Найги потениналы ионизации ионов $\mathrm{He}^{+}$и $\mathrm{Li}^{++}$. Ответ. $V_{\mathrm{He}}=4 V_{\mathrm{H}}=54 \mathrm{~B} ; V_{\mathrm{LI}}=9 V_{\mathrm{H}}=122 \mathrm{~B}$. Ответ. $\mathscr{E}_{\text {кин }}=2 \mathscr{E}_{\text {н, ион }}=27,2$ эВ, где $\mathscr{E}_{\mathrm{H} \text {, ион }}$ — энергия ионизации атома водорода. Решени е. Водородные серии Лаймана, Бальмера, Пашена и т. д. излучаются изолированными атомами, г. е. практически тогда, когда диаметр боровской орбиты $2 r=2 n^{2} r_{E}$ не превосходит среднего расстояния между атомами $l=(k T / P)^{1 / 3}$. Пользуясь этим, максимально допустимый номер орбиты $n$ можно оценить по формуле $n \approx \sqrt{l /\left(2 r_{\mathrm{6}} !\right.}$ Максимально возможное число линий, которые можно наблюдать в трубке при давлении и температуре, указанных в условии задачи, будет равно: где $m_{x}$ — атомная масса неизвестного изотопа. Отсюда если пренебрсчь величиной $m_{e} / m_{x}$ по сравнению с единицей. (В пределах точности расчета под $\lambda$ можно понимать любое из значений $\lambda_{1}, \lambda_{2}$.) Следовательно, Так как $m_{\mathrm{e}} / m_{\mathrm{H}}=1 / 1835$, то отсюда получаем $m_{\mathrm{e}} / m_{x}=1 / 3727$. Следовательно, $m_{x} / m_{\mathrm{H}} \approx 2$. Линия $\lambda_{2}$ принадлежит дейтерию. Ответ. $\quad \lambda_{H_{\alpha}}-\lambda_{D_{\alpha}}=0,179 \mathrm{нм} \quad \lambda_{H_{\beta}}-\lambda_{D_{\beta}}=0,132$ нм. $\quad \lambda_{H_{\gamma}}-\lambda_{D_{\gamma}}=$ $=0,118 \mathrm{HM}, \lambda_{H_{\delta}}-\lambda_{D_{\delta}}=0,116 \mathrm{HM}$. 15. Определить разрешающую способность $R$ (не путать с постоянной Ридберга) спсктрального аппарата, необходимую для наблюдения изотопичсского смещения спектральных линий дейтерия относительно линий водорода. Қакова должна быть ширина $b$ основания призмы из тяжелого флиіта с дисперсией $d n / d \lambda=1000 \mathrm{~cm}^{-1}$ (в дналазоне красного света) в призменном спектрографе, ссли его применять для обнаружения изотопического смещения головной (длинноволновой) линии серии Бальмера? Ответ. Разрешающая способность должна быть не меньше $3 / 2 m_{\mathrm{p}} / m_{\mathrm{e}} \approx$ $\approx 2800$. Она одинакова для всех линий спектральных серий смеси. Разрешающая способность призмы $b d n / d \lambda=1000$, т. е. недостаточна для разрешения. молярными массами атомарных водорода и дейтерия п постоянной Фарадея Решение. Постоянные Ридберга для водорода и дейтерия: где $M_{\mathrm{H}}$ и $M_{\mathrm{D}}$ — массы ядер водорода и дейтерия. Отсюда получаем Умножая обе части этого соотношсния на $e$ и принимая во внимание, тто $\left(M_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{e}}\right) N_{\mathrm{A}}=\mathscr{M}_{\mathrm{H}},\left(M_{\mathrm{D}}+m_{\mathrm{e}}\right) N_{\mathrm{A}}=\mathscr{M}_{\mathrm{D}}$ (здесь $m_{\mathrm{e}}, M_{\mathrm{H}}$ и $M_{\mathrm{D}}-$ в граммах), $N_{\mathrm{A}} e=F$, найдем Так как масса электрона мала по сравнению с массой атома, то нет необходимости вычислять величину $N_{\mathrm{A}} m_{\mathrm{e}}$ с высокой точностью. Достаточно принять получаем Подставляя эти значения в предыдущую формулу, находим Точность этих вычислений теряется при определении разности $R_{\mathrm{D}}-R_{\mathrm{H}}$. Поэтому сами велпчины $R_{\mathrm{H}}$ и $R_{\mathrm{D}}$ надо знать с исключительно высокой точностью. Существенно, что постөянная Ридберга $R_{\infty}$ в вычислення не входит. Решение. Электронная оболочка атома практически не оказывает влияния на движение мюона в мезоатоме, так как последний находится либо очəіь близко от ядра, либо внутри ядра. Поэтому из-за сферической симметрии электронного облака создаваемое им э.лектрическое поле в месте нахождсния мюона может считаться равным нулю. Если орбита мюона проходит вне ядра, то для радиуса $K$-орбиты мюона получается что примерно в 200 раз меньше соответствующего значения $r_{1}$ для водородоподобного атома с тем же значением зарядового числа $Z$. В том же предположении для уровней энергии получаем Отсюда видно, что излучсние, возникающее при переходе мюона на $K$-орбиту с более высоких орбит, будет расположено в рентгеновской области
|
1 |
Оглавление
|