1. Со времени Ампера (1775-1836) магнетизм был сведен к электрическим токам, которые, по его представлениям, циркулируют внутри мельчайших частиц вещества (атомов и молекул). Природа этих токов была установлена с появлением электронных представлений о строении вещества и теории Бора. Считалось, что амперовы молекулярные токи создаются электронами, вращающимися вокруг ядра атома. Однако классическая физика до введения квантовых представлений была не в состоянии объяснить не только движение электронов вокруг ядра, но и сам факт существования атомов. Методами статистической физики было строго показано, что $c$ классической точки зрения в установившемся состоянии вещество не может быть намагничено, т. е. не может иметь отличный от нуля магнитный момент (Бор, Лорентц, Ван-Лёвен; см. т. III, § 75). Это не значит, что его нельзя намагнитить вообще. Электрические заряды можно привести во вращение, т. е. возбудить в вецестве круговые токи. А в таком случае появится магнитный момент, т. е. намагничивание вещества. Смысл приведенного утверждения состоит в том, что если намагниченное вещество предоставить самому себе, поддерживая температуру его постоянной, то оно самопроизвольно придет в равновесное состояние, в котором всякая намагниченность исчезнет, даже если вещество помещено в магнитное поле. Это не согласуется с фактами.

Понимание природы магнетизма пришло только после создания квантовой механики. Магнетизм, как и существование атомов и молекул, оказался квантовым эффектом. Классические теории намагничивания (Ланжевен) имели известный успех, и притом немалый, только потому, что они молчаливо вводили допущения существенно квантового характера, а именно существование у атомов готовых магнитных моментов, или стационарных орбит, по которым вращаются электроны. А это, в сущности, и должна была бы объяснить теория.
2. Поскольку электроны, образующие оболочку атома, заряжены и обладают массами, с их движением в оболочке (оно называется орбитальным) связан не только момент количества движения, но и магнитный момент атома. Связь между этими двумя моментами уже рассматривалась в т. III ( $§ 75)$-в той мере, как это можно было сделать до введения квантовых представлений. Та же связь сохраняется и в квантовой механике. Но ее смысл, а потому и обоснование-несколько иные, чем в классической механике, так как понятие момента количества движения (углового момента) не может быть перенесено автоматически из классической теории в квантовую. Это делается посредством введения соответствующего оператора. Так же надо
Рис. 63 поступить и с понятием магнитного момента. Отправным пунктом при этом должно служить классическое рассмотрение, с которого мы и начнем.

Согласно электродинамике (см. т. III, § 75) замкнутый виток постоянного тока $I$ (рис. 63) обладает магнитным моментом
\[
\mathbf{m}=\frac{I}{c} S,
\]

где $S$ – вектор площади, натянутой на контур тока. Этот вектор иыражается формулой
\[
S=\frac{1}{2} \oint[r d r]
\]

и не зависит от выбора начала координат $O$, поскольку контур тока замкнут. Направление обхода контура предполагается совпадающим с направлением тока. Оно находится в правовинтовом соотношении с вектором $S$. Таким образом, магнитный момент замкнутого постоянного тока можно представить в виде
\[
\mathbf{m}=\frac{1}{2 c} \oint I[\boldsymbol{r} d \boldsymbol{r}] .
\]

Но ток I образуется движущимися зарядами. Последние и являются непосредственными создателями магнитного момента m. Қаждый заряд, если он движется, создает магнитный момент. Полный магнитный момент тела образуется векторной суперпозицией магнитных моментов отдельных зарядов, движущихся в нем. Преобразуем поэтому контурный интеграл (35.2) в интеграл по всем движущимся зарядам тела. Пусть $d q$-заряд, проходящий за время $d t$ через поперечное сечение витка с током (в случае постоянного тока эта величина не зависит от того, в каком месте взято сечение витка). Тогда $l=d q / d t$,
\[
\mathbf{m}=\frac{1}{2 c} \oint \frac{d q}{d t}[\boldsymbol{r} d \boldsymbol{r}]=\frac{1}{2 c} \oint\left[\boldsymbol{r} \frac{d \boldsymbol{r}}{d t}\right] d q .
\]

В этой формуле интегрирование производится еще по $\boldsymbol{d} \boldsymbol{r}$, так что интеграл остается контурным. Выберем, однако, элемент контура $d \boldsymbol{r}$ так, чтобы за время $d t$ заряд $d q$ перемещался на $d \boldsymbol{r}$. Тогда $d \boldsymbol{r}=\boldsymbol{v} d t$, и мы получим
\[
\mathbf{m}=\frac{1}{2 c} \int[\boldsymbol{r} \boldsymbol{v}] d q=\frac{1}{2 \mu c} \int[\boldsymbol{r} \boldsymbol{p}] d q,
\]

где $\boldsymbol{v}$-скорость, $\boldsymbol{p}$ – импульс, а $\mu$-масса, связанная с движущимся зарядом $d q$. (Для массы используется обозначение $\mu$, так как через $m$ обозначается магнитное квантовое число.)

Но при сделанном выборе $d q$ есть как раз заряд, содержа. щийся в рассматриваемый момент времени на элементе контура $d \boldsymbol{r}$. При таком истолковании заряда $d q$ время $d t$ выпало из формулы (35.3). Из нее выпало и всякое упоминание о витке с постоянным током (поэтому-то и опущен кружок у знака интеграла). Осталась только система зарядов, каждый из которых, помимо своей величины, характеризуется положением и скоростью движения. Только это и существенно для создания магнитного момента тела. Қак создаегся система зарядов и ее состояние – это не имеет значения.

Формула (35.3) и представляет магнитный момент тела как суперпозицию магнитных моментов движущихся зарядов. Ее можно обобщить и записать в виде
\[
\mathbf{m}=\frac{1}{2 c} \sum_{i} q_{i}\left[\boldsymbol{r}_{i} \boldsymbol{v}_{i}\right]
\]

предпблагая, что имеется в виду система точечных зарядов $q_{i}$, движущихся в рассматриваемый момент со скоростями $\boldsymbol{v}_{i}$. Никаких предположений о характере движения при этом не вводится.
3. Классическое выражение (35.4) для магнитного момента системы движущихся зарядов зависит от выбора начала координат. Действительно, если $\boldsymbol{a}$ – радиус-вектор нового (штрихованного) начала относительно старого (нештрихованного), то для всех зарядов $\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}}=\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}}^{\prime}+\boldsymbol{a}$, так что
\[
\mathbf{m}=\boldsymbol{m}^{\prime}+\frac{1}{2 c} \sum_{i} q_{i}\left[\boldsymbol{a} \boldsymbol{v}_{i}\right] .
\]

Отсюда видно, что старый $\mathbf{m}$ и новый $\mathbf{m}^{\prime}$ магнитные моменты только тогда будут всегда одинаковы, когда для любого вектора $\boldsymbol{a}$ векторное произведение $\left[\boldsymbol{a} \sum q_{i} \boldsymbol{v}_{i}\right]$ обращается в нуль. В частности, это имеет место для всякого замкнутого неподвижного витка постоянного тока, так как тогда $\sum q_{i} v_{i}=0$.
4. Для одиночного точечного заряда, движущегося со скоростью $v$
\[
\mathbf{m}=\frac{q}{2 c}[\boldsymbol{r} \boldsymbol{v}]=\frac{q}{2 \mu c}[\boldsymbol{r} \boldsymbol{p}],
\]

где $\mu$-масса, а $\boldsymbol{p}$ – импульс частицы, несущей этот заряд. Таким образом, классическая физика приводит к соотношению
\[
\mathbf{m}=\Gamma \boldsymbol{L},
\]

где
\[
\Gamma=q / 2 \mu c .
\]

Эти формулы более примитивным путем уже были получены в т. III (см. § 75). Для электрона $q=-e$,
\[
\Gamma=-e / 2 \mu_{\mathrm{e}} c .
\]

В этом случае отношение $\Gamma$ магнитного момента электрона к механическому называется гиромагнитным отношением для орбитального движения электрона.

Заметим еще, что при выводе всех полученных соотношений применялась нерелятивистская механика (зависимость массы от скорости не учитывалась), а частицы считались точечными. Впрочем, частицы могут быть и протяженными, так как их можно мысленно разбить на малые части и рассматривать последние как точки. Однако чтобы отношение $\mathfrak{m} / L$ не изменилось, необходимо предположить, что заряды и массы распределены в пространстве по одному и тому же закону. Для заряженного шарика, например, вращающегося вокруг диаметра с нерелятивистской скоростью, классическая физика приводит к формулам (35.7) и (35.8) независимо от того, как распределены в нем заряды и массы; важно только, чтобы обе величины были распределены одинаково. Но, конечно, результат получится иной, если, например, заряд будет находиться в центре, а масса равномерно распределена по объему шарика.
5. Теперь следует классические представления заменить квантовыми. В квантовой механике формула (35.5) не может служить определением магнитного момента, поскольку не существует никакого состояния частицы, которое характеризовалось бы и ее точным положением $\boldsymbol{r}$, и ее точным импульсом $\boldsymbol{p}$. Как и в случае углового момента, от классической формулы (35.5) квантовая механика переходит к операторному соотношению
\[
\hat{\mathbf{m}}=\frac{q}{2 c}[\hat{\boldsymbol{r}} \hat{\boldsymbol{v}}]=\frac{q}{2 \mu c}[\hat{\boldsymbol{r}} \hat{\boldsymbol{p}}]
\]

или
\[
\widehat{\mathbf{u}}=\Gamma \widehat{\boldsymbol{L}} .
\]

Изучение магнитного момента частицы тем самым сводится к изучению свойств оператора $\hat{\mathbf{m}}$. Поскольку операторы $\hat{\mathbf{m}}$ и $\hat{\boldsymbol{L}}$ отличаются только постоянным множителем, их свойства совершенно аналогичны. В частности, оператор $\hat{\mathbf{m}}$, как и $\widehat{\boldsymbol{L}}$, совершенно не зависит от выбора начала координат. Магнитный и угловой моменты квантуются по одинаковым правилам. Составляющие магнитного момента на любые два различных направления не могут одновременно иметь определенные значения. В стационарном состоянии определенные значения могут иметь квадрат магнитного момента и одна из его проекций на координатные оси. За таковую обычно принято принимать ось Z. Из формул (35.8) и (35.10) для орбитального движения электрона непосредственно вытекает
\[
\mathfrak{m}_{z}=-\frac{e}{2 \mu_{\mathrm{e}} c} L_{z}=-\mathfrak{m}_{{ }_{5}} m,
\]

где
\[
\mathfrak{m}_{\mathrm{B}}=\frac{e \hbar}{2 \mu_{\mathrm{e}} c}=9,274 \cdot 10^{-21} \text { эрг } \cdot \Gamma_{\mathrm{c}}{ }^{-1} .
\]

Постоянная $\mathfrak{m}_{5}$ носит название магнетона Бора. Магнетон Бора можно рассматривать как квант магнитного момента (точнее, его проекции на избранное направление).

Возможен другой способ вывода формулы (35.11). Из временного уравнения Шредингера получают уравнение непрерывности $\partial \rho / \partial t-\operatorname{div} j=0$, где $\rho$ и $j$ – плотность вероятности и плотность тока вероятности. По значению последней и по волновой функции находят плотность вероятности электрического тока в стационарном состоянии атома, а затем непосредственным интегрированием находят и средний магнитный момент, создаваемый этим током. Этот прямой способ рассуждения обладает тем принципиальным недостатком, что плотность тока вероятности $j$ определяетгя нерелятивистским уравнением Шредингера не однозначно: к полученному выраженню можно добавить любое слагаемое внда $\operatorname{rot} \boldsymbol{a}$ (поскольку div $\operatorname{rot} \boldsymbol{a} 0$ ), не меняя значения полного потока вероятности через любую замкнутую поверхность, который только и доступен наблюдению. Плотность самого элекгрического тока в атоме, в отличие от потока вєроятности, конечно, – велична наблюдаемая, по для ее однозиачного определения одного нерелятивистского уравнения Шредингера недостаточно. Неоднозначность можно устранить, но для этого надо перейти к релятивистской теории. В самом деле, величина $\rho$ по своему смыслу есть величина однознатная. А в релятивистской теорни скаляр $\rho$ и три компоненты вектора $j$ объединяются в один релятивистски инвариантный четырехмерный вектор, временной компонентой которого является $\rho$.