1. До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в заданном силовом поле. Более реальным является случай двул частиц, взаимодействующих между собой. В классической механике в этом случае движение распадается на движение системы как целого в отсутствие внешних сил (движение центра масс) и на движение одной частицы относительно другой под действием сил взаимодействия между ними (относительное движение). Последнее формально сводится к движению одной частицы с заменой ее истинной массы на приведенную массу
\[
m=m_{1} m_{2}^{\prime}\left(m_{1}+m_{2}\right),
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$ – массы первой и второй частиц. Совершенно так же обстоит дело и в квантовой механике при рассмотрении стационарных состояний.

Исходным служит уравнение Шредингера для стационарных состояний двух частиц. Оно является естественным обобщением уравнения (21.7) и имеет вид
\[
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m_{1}}
abla_{1}^{2}-\frac{\hbar^{2}}{2 m_{2}}
abla_{2}^{2}+U\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)\right] \psi=\mathscr{E} \psi
\]

Здесь
\[

abla_{1}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{1}^{2}}, \quad
abla_{2}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{2}^{2}} .
\]

а через $\boldsymbol{r}_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $\boldsymbol{r}_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ обозначены координаты рассматриваемых частиц. Потенциальная функция взаимодействия $U\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)$ зависит только от разностей координат первой и второй частиц. Обычно (в случае центральных сил) она является функцией только расстояния между ними $r \equiv\left|r_{1}-r_{2}\right|$.
2. Преобразуем уравнение (26.2) к новым независимым переменным: координатам центра масс
\[
\boldsymbol{R}(X, Y, Z)=\frac{m_{1} \boldsymbol{r}_{1}+m_{2} \boldsymbol{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\]

и координатам первой частицы относительно второй
\[
\boldsymbol{r}(x, y, z)=\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2} .
\]

Величина $\psi$ теперь является функцией шести переменных: $\psi=$ $=\psi\left(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}\right)$. Но мы для сокращения выкладок (без нарушения общности) произведем их только для функции $\psi\left(x_{1}, x_{2}\right)$ двух переменных $x_{1}$ и $x_{2}$ и соответственно для $\psi(X, x)$, где
\[
X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \quad x=x_{1}-x_{2} .
\]

На основании инвариантности полного дифференциала
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial \psi}{\partial x_{2}} d x_{2}=\frac{\partial \psi}{\partial X} d X+\frac{\partial \psi}{\partial x} d x .
\]

Подставим в правую часть
\[
d X=\frac{m_{1} d x_{1}+m_{2} d x_{2}}{m_{1}+m_{2}} . \quad d x=d x_{1}-d x_{2} .
\]

Сравнением коэффициентов получаем
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x_{1}}=\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}-\frac{\partial}{\partial \bar{X}}+\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi, \frac{\partial \psi}{\partial x_{2}}=\left(\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial}{\partial X}-\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi .
\]

Мы представили результат дифференцирования в операторной форме. Это позволяет сразу написать выражения для вторых производных:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{1}^{2}}=\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial x}\right)^{2} \psi= \\
==\frac{m_{1}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial X^{2}}+2 \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}, \\
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{2}^{2}}=\left(\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial X}-\frac{\partial}{\partial x}\right)^{2} \psi= \\
=\frac{m_{2}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial X^{2}}-2 \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} . \\
\end{array}
\]

Поделив эти соотношения соответственно на $m_{1}$ и $m_{2}$ и сложив, получим
\[
\frac{1}{m_{1}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{1}{m_{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{2}^{2}}=\frac{1}{m_{1}+m_{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial X^{2}}+\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} .
\]

Теперь уже легко перейтй к трем переменным, а затем представить уравнение Шредингера в виде
\[
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}
abla_{R}^{2}-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+U\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)\right] \psi=\mathscr{E} \psi,
\]

где $\mathrm{V}_{R}^{2}$ и $\mathrm{V}^{2}$ – операторы Лапласа соответственно в переменных $X, Y, Z$ и $x, y, z$.
3. Оператор, действующий на $\psi$ в левой части (26.5), распадается на сумму двух независиметх членов, один из которых зависит только от $\boldsymbol{R}$, а другой только от $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}$. В соответствии с этим решение уравнения (26.5) сводится к решению двух уравнений:
\[
\begin{aligned}
-\frac{\hbar^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}
abla_{R}^{2} \psi(\boldsymbol{R}) & =\mathscr{E}_{\boldsymbol{R}} \psi(\boldsymbol{R}), \\
\left.-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \psi^{\prime} \boldsymbol{r}\right)+U(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{r}) & =\mathscr{E}_{\boldsymbol{r}} \psi(\boldsymbol{r}),
\end{aligned}
\]

где $\mathscr{E}_{R}$ и $\mathscr{E}_{r}$ – постоянные, удовлетворяющие условию $\mathscr{E}_{R}+\mathscr{E}_{r}=\mathscr{E}$. Из них первое описывает свободное движение центра масс системы-воображаемой частицы с массой $m_{1}+m_{2}$. Второе же описывает относительное движение первой частицы относительно второй, в нем кстинная масса частицы заменена приведенной массой $m=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$. В самом деле, произведение $\psi(\boldsymbol{r}) \psi(\boldsymbol{R})$, в котором переменны является $\boldsymbol{R}$, а $\boldsymbol{r}$ рассматривается как параметр, т. е. в суцнссти как постоянная, описывает то же движение центра масс, что и функция $\psi(\boldsymbol{R})$. Аналогично, то же произведение $\psi(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{R})$ будет описывать относительное движение, если за переменную принять $\boldsymbol{r}$, а $\boldsymbol{R}$ рассматривать как параметр. Если тегіерь (25.6) умножить на $\psi(\boldsymbol{r})$, а (26.7) на $\psi(\boldsymbol{R})$ и оба уравнения сложить почленно, то мы получим, что функция $\phi=: \boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{r}) \dot{\psi}(\boldsymbol{R})$ будет общим решением уравнения (26.5). Таким образом, общая волновая функция, описьвающая независімые движения центра масс и относительное движение частиц, рсіспадается на произведение двух функций от различных переменных: $\psi(\boldsymbol{r})$ и $\psi(\boldsymbol{R})$. При этом, как и в классической механике, гіллая энергия распадается на сумму энергий, связанной с движением центра масс системы, и энергии относительного движения частиц.

Если отвлечься от движения центра масс, считая его как бы неподвижным, то уравнение $(26,6)$ отпадает. Остается только уравнение (26.7) для относительного движения частиц.

Поэтому это уравнение мы будем писать просто в виде
\[
-\frac{\hbar^{2}}{\Omega_{m}}
abla^{2} \psi+U(\boldsymbol{r}) \psi=\mathscr{E} \psi .
\]

З А ДА Ч А
Дейтрон состоит из связаиных протона и нейтрона. Онн удерживают друг друга посредством короткодействующих ядерных сил. Потенциальную функцию взаимодействия можно апп́роксимировать пространственной потенциальной ямой прямоугольной формы с глубиной $-U_{0}$ и радиусом а (расстояние между центрами протона и нейтрона). Дейтрон имеет только одно связанное состояние. Энергия связи дейтрона, измеренная экспериментально, составляст $2,225 \mathrm{M}$ В. Этого недостаточно для определения двух неизвестных $U_{0}$ и $a$. Зададим $a=2 \cdot 10^{-13}$ см (это недалеко от истины). Мы не настаиваем, что это есть точное значение $a$. Наша цель – привести только схему расчета. Из этих данных определить глубину потенциальной ямы $-U_{0}$.

Решение. Представляет интерес только относительное движение протона и нейтрона. Поэтому можно воспользоваться уравнением (26.8), понимая под $m$ приведенную массу системы. Если пренебречь различием масс протона и нейтрона, то приведенная масса будет $m / 2$, где $m$ – масса одной из частии (например, протона). В дальнейших вычислениях используются следуюцие постоянные:
\[
m c^{2}=938,28 \mathrm{M} \mathrm{B}, \quad \hbar c=1,97329 \cdot 10^{-11} \mathrm{M}_{
i} \mathrm{B} \cdot \mathrm{cm} .
\]

Так как у дейтрона только одно связанное состояние, то его энергия в этом состояпии $\mathscr{E}=-2,225 \mathrm{M}$ Э. Это позволяет по формулам (24.6) и (24.12) найти $\eta$. Только в формуле (24.6) $m$ следует заменить на $m / 2$. Это дает
\[
\eta^{2}=-m \mathscr{E} a^{2} / \hbar^{2}=-m c^{2} \mathscr{E} a^{2} / \hbar^{2} c^{2}=0,21437 \quad \eta=0,463099 .
\]

Величину 5 находим из уравнения
\[
\eta=-\xi \operatorname{ctg} \xi .
\]

Сначала решаем это уравнение грубо графически, пользуясь крайней левой кривой на рис. 46,6 . Затем уточняем решение аналитически с использованисм интерполирования. Таким путем без труда находим
\[
\xi=1,81993 \text {. }
\]

Искомая глубина потенциальной ямы
\[
-U_{0}=\frac{\hbar^{2} c^{2}}{m c^{2} a^{2}}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)=36,61 \mathrm{M} \circ \mathrm{B} .
\]