1. До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в заданном силовом поле. Более реальным является случай двул частиц, взаимодействующих между собой. В классической механике в этом случае движение распадается на движение системы как целого в отсутствие внешних сил (движение центра масс) и на движение одной частицы относительно другой под действием сил взаимодействия между ними (относительное движение). Последнее формально сводится к движению одной частицы с заменой ее истинной массы на приведенную массу
$$m=m_1{m}_2^{\prime }(m_1+m_2),$$

где $m_1$ и $m_2$ — массы первой и второй частиц. Совершенно так же обстоит дело и в квантовой механике при рассмотрении стационарных состояний.

Исходным служит уравнение Шредингера для стационарных состояний двух частиц. Оно является естественным обобщением уравнения (21.7) и имеет вид
$$[-\frac{{\hslash }^2}{2m_1}abl{a}_1^2-\frac{{\hslash }^2}{2m_2}abl{a}_2^2+U({\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2)]\psi =\mathcal{E}\psi$$

Здесь
\[

abla_{1}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{1}^{2}}, \quad
abla_{2}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{2}^{2}} .
\]

а через ${\mathit{r}}_1(x_1,y_1,z_1)$ и ${\mathit{r}}_2(x_2,y_2,z_2)$ обозначены координаты рассматриваемых частиц. Потенциальная функция взаимодействия $U({\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2)$ зависит только от разностей координат первой и второй частиц. Обычно (в случае центральных сил) она является функцией только расстояния между ними $r\equiv |r_1-r_2|$.
2. Преобразуем уравнение (26.2) к новым независимым переменным: координатам центра масс
$$\mathit{R}(X,Y,Z)=\frac{m_1{\mathit{r}}_1+m_2{\mathit{r}}_2}{m_1+m_2}$$

и координатам первой частицы относительно второй
$$\mathit{r}(x,y,z)={\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2.$$

Величина $\psi$ теперь является функцией шести переменных: $\psi =$ $=\psi ({\mathit{r}}_1,{\mathit{r}}_2)$. Но мы для сокращения выкладок (без нарушения общности) произведем их только для функции $\psi (x_1,x_2)$ двух переменных $x_1$ и $x_2$ и соответственно для $\psi (X,x)$, где
$$X=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2},x=x_1-x_2.$$

На основании инвариантности полного дифференциала
$$\frac{\partial \psi }{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial \psi }{\partial x_2}d{x}_2=\frac{\partial \psi }{\partial X}dX+\frac{\partial \psi }{\partial x}dx.$$

Подставим в правую часть
$$dX=\frac{m_{1}d{x}_1+m_{2}d{x}_2}{m_1+m_2}.dx=d{x}_1-d{x}_2.$$

Сравнением коэффициентов получаем
$$\frac{\partial \psi }{\partial x_1}=(\frac{m_1}{m_1+m_2}-\frac{\partial }{\partial \overline{X}}+\frac{\partial }{\partial x})\psi ,\frac{\partial \psi }{\partial x_2}=(\frac{m_2}{m_1+m_2}\frac{\partial }{\partial X}-\frac{\partial }{\partial x})\psi .$$

Мы представили результат дифференцирования в операторной форме. Это позволяет сразу написать выражения для вторых производных:
$$\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_1^2}={(\frac{m_1}{m_1+m_2}\frac{\partial }{\partial X}+\frac{\partial }{\partial x})}^2\psi =\\ ==\frac{m_1^2}{{(m_1+m_2)}^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial X^2}+2\frac{m_1}{m_1+m_2}\frac{\partial \psi }{\partial x}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2},\\ \frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_2^2}={(\frac{m_2}{m_1+m_2}\cdot \frac{\partial }{\partial X}-\frac{\partial }{\partial x})}^2\psi =\\ =\frac{m_2^2}{{(m_1+m_2)}^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial X^2}-2\frac{m_2}{m_1+m_2}\frac{\partial \psi }{\partial x}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}.\end{array}$$

Поделив эти соотношения соответственно на $m_1$ и $m_2$ и сложив, получим
$$\frac{1}{m_1}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_1^2}+\frac{1}{m_2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_2^2}=\frac{1}{m_1+m_2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial X^2}+(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2})\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}.$$

Теперь уже легко перейтй к трем переменным, а затем представить уравнение Шредингера в виде
$$[-\frac{{\hslash }^2}{2(m_1+m_2)}abl{a}_R^2-\frac{{\hslash }^2}{2m}abl{a}^2+U({\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2)]\psi =\mathcal{E}\psi ,$$

где ${\mathrm{V}}_R^2$ и ${\mathrm{V}}^2$ — операторы Лапласа соответственно в переменных $X,Y,Z$ и $x,y,z$.
3. Оператор, действующий на $\psi$ в левой части (26.5), распадается на сумму двух независиметх членов, один из которых зависит только от $\mathit{R}$, а другой только от $\mathit{r}={\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2$. В соответствии с этим решение уравнения (26.5) сводится к решению двух уравнений:
$$\begin{array}{rl}-\frac{{\hslash }^2}{2(m_1+m_2)}abl{a}_R^2\psi (\mathit{R})& ={\mathcal{E}}_{\mathit{R}}\psi (\mathit{R}),\\ -\frac{{\hslash }^2}{2m}abl{a}^2{\psi }^{\prime }\mathit{r})+U(\mathit{r})\psi (\mathit{r})& ={\mathcal{E}}_{\mathit{r}}\psi (\mathit{r}),\end{array}$$

где ${\mathcal{E}}_R$ и ${\mathcal{E}}_r$ — постоянные, удовлетворяющие условию ${\mathcal{E}}_R+{\mathcal{E}}_r=\mathcal{E}$. Из них первое описывает свободное движение центра масс системы-воображаемой частицы с массой $m_1+m_2$. Второе же описывает относительное движение первой частицы относительно второй, в нем кстинная масса частицы заменена приведенной массой $m=m_1{m}_2/(m_1+m_2)$. В самом деле, произведение $\psi (\mathit{r})\psi (\mathit{R})$, в котором переменны является $\mathit{R}$, а $\mathit{r}$ рассматривается как параметр, т. е. в суцнссти как постоянная, описывает то же движение центра масс, что и функция $\psi (\mathit{R})$. Аналогично, то же произведение $\psi (\mathit{r})\mathit{\psi }(\mathit{R})$ будет описывать относительное движение, если за переменную принять $\mathit{r}$, а $\mathit{R}$ рассматривать как параметр. Если тегіерь (25.6) умножить на $\psi (\mathit{r})$, а (26.7) на $\psi (\mathit{R})$ и оба уравнения сложить почленно, то мы получим, что функция $\varphi =:\mathit{\psi }(\mathit{r})\dot{\psi }(\mathit{R})$ будет общим решением уравнения (26.5). Таким образом, общая волновая функция, описьвающая независімые движения центра масс и относительное движение частиц, рсіспадается на произведение двух функций от различных переменных: $\psi (\mathit{r})$ и $\psi (\mathit{R})$. При этом, как и в классической механике, гіллая энергия распадается на сумму энергий, связанной с движением центра масс системы, и энергии относительного движения частиц.

Если отвлечься от движения центра масс, считая его как бы неподвижным, то уравнение $(26,6)$ отпадает. Остается только уравнение (26.7) для относительного движения частиц.

Поэтому это уравнение мы будем писать просто в виде
$$-\frac{{\hslash }^2}{{\mathrm{\Omega }}_m}abl{a}^2\psi +U(\mathit{r})\psi =\mathcal{E}\psi .$$

З А ДА Ч А
Дейтрон состоит из связаиных протона и нейтрона. Онн удерживают друг друга посредством короткодействующих ядерных сил. Потенциальную функцию взаимодействия можно апп́роксимировать пространственной потенциальной ямой прямоугольной формы с глубиной $-U_0$ и радиусом а (расстояние между центрами протона и нейтрона). Дейтрон имеет только одно связанное состояние. Энергия связи дейтрона, измеренная экспериментально, составляст $2,225\mathrm{M}$ В. Этого недостаточно для определения двух неизвестных $U_0$ и $a$. Зададим $a=2\cdot {10}^{-13}$ см (это недалеко от истины). Мы не настаиваем, что это есть точное значение $a$. Наша цель — привести только схему расчета. Из этих данных определить глубину потенциальной ямы $-U_0$.

Решение. Представляет интерес только относительное движение протона и нейтрона. Поэтому можно воспользоваться уравнением (26.8), понимая под $m$ приведенную массу системы. Если пренебречь различием масс протона и нейтрона, то приведенная масса будет $m/2$, где $m$ — масса одной из частии (например, протона). В дальнейших вычислениях используются следуюцие постоянные:
$$m{c}^2=938,28\mathrm{M}\mathrm{B},\hslash c=1,97329\cdot {10}^{-11}{\mathrm{M}}_i\mathrm{B}\cdot \mathrm{cm}.$$

Так как у дейтрона только одно связанное состояние, то его энергия в этом состояпии $\mathcal{E}=-2,225\mathrm{M}$ Э. Это позволяет по формулам (24.6) и (24.12) найти $\eta$. Только в формуле (24.6) $m$ следует заменить на $m/2$. Это дает
$${\eta }^2=-m\mathcal{E}{a}^2/{\hslash }^2=-m{c}^2\mathcal{E}{a}^2/{\hslash }^2{c}^2=0,21437\eta =0,463099.$$

Величину 5 находим из уравнения
$$\eta =-\xi \mathrm{ctg}\xi .$$

Сначала решаем это уравнение грубо графически, пользуясь крайней левой кривой на рис. 46,6 . Затем уточняем решение аналитически с использованисм интерполирования. Таким путем без труда находим
$$\xi =1,81993\text{. }$$

Искомая глубина потенциальной ямы
$$-U_0=\frac{{\hslash }^2{c}^2}{m{c}^2{a}^2}({\xi }^2+{\eta }^2)=36,61\mathrm{M}\circ \mathrm{B}.$$