Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Oператорный метод широко распространен в болышинстве исследований квантовой механики, а потому необходимо сообщить краткие сведения о нем. Это тем более необходимо для того, чтобы дать законченную форму связи символов квантовой механики с реально наблюдаемыми величинами. Под оператором понимают символ, который при действии на функцию некоторых переменных дает новую функцию тех же переменных. Примерами такого действия могут служить умножение на $x$ или на какую-либо функцию $f(x)$. Рассматриваемые с этой точки зрения символы $x$. и $f(x)$ являются олераторами. Для отличия от чисел их обозначают черезз $\hat{x}$ и $\hat{f}(x)$, т. е. ставят Шляпку над $x$ и $f(x)$. Другим примером оператора может служить дифференцирование по $x$, т. е. $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}, \ldots$ Операторы можно складывать. Под суммой операторов $\hat{A}+B$ понимают такой оператор, лействие которого на любую функцию $f(x)$ дает результат $\hat{A} f(x)+\hat{B} f(x)$. Под произведением операторов $\hat{A} \hat{B}$ понимают оператор, результат действия которого на любую функцию $f(x)$ равен $\hat{A}[\hat{B} f(x)]$. Здесь функция $f(x)$ сначала подвергается действию оператора $\hat{B}$, а затем на полученный результат действует оператор $\hat{A}$. Частным случаем произведения операторов является произведение оператора $\hat{\AA}$ на число $\lambda$, т. е. либо $\lambda \hat{A}$, либо $\hat{A} \lambda$, ибо всякое число можно рассматривать как частный случай оператора. В алгебре операторов не всегда соблюдается коммутативный закон относительно умножения. Это значит, что не всегда $\hat{A} \hat{B}=\hat{B} \hat{A}$. Если такое равенство соблюдается, то говорят, что операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют друг с другом. Иначе их называют коммутирующими операторами. В противном случае операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ не коммутируют и называются некоммутирующими или антикоммутирующими. Примером некоммутирующих операторов могут служить умножение на $x$ и дифференцирование по $x$. Действительно, так что Эти определения позволяют по заданным операторам $\dot{A}$ и $\hat{B}$ строить другие операторы $\mathcal{L}(\hat{A}, \hat{B})$, являющиеся их функциями. Определение это имеет смысл только для целых рациональных функций операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$. Достаточность такого ограничения в этом построении связана с тем, что именно при таком ограничении в классической физике определяют новые физические величины через другие, ранее введенные физические величины. Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел. Единственное отличие состоит в том, что при умножении операторов не всегда можно переставлять порядок сомножителей. Например, всегда В общем виде было бы неправильно писать Такая формула верна только тогда, когда операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют между собой, ибо при $\hat{B} \hat{A}=\hat{A} \hat{B}$ она получается из предыдущей. Но в случае некоммутирующих операторов эта формула неверна, ибо в этом случае $\hat{B} \hat{A} Оператор $\hat{A}$ называется линейным, если для любых двух функций $f$ и $\varphi$ и любых постоянных $\lambda$ и $\mu$ соблюдается соотношение В квантовой механике применяются только линейные операторы. В противном случае нарушался бы принцип суперпозиции состояний. ибо $\Psi^{*} \Psi d x$ есть вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале $x, x+d x$. При этом необходимо оговорить, что функция $\Psi(x)$ всюду конечна, отлична от нуля в ограниченной области пространства и нормирована к единице, т. е. где интегрирование производится по всему пространству, в котором $\Psi$ отлична от нуля. Выражение для среднего значения $\langle x\rangle$ мы нредпочитаем занисать в виде Совершенно гак же вычисляется среднее значение функции $f(x)$, т. е. по формуле в которой $\hat{f}(x)$ рассматривается как оператор. Указанная замена не может существенно отразиться на явлениях, протекающих в рассматриваемое время в рассматриваемой нами области пространства. Действительно, различие между функциями $\Phi(x)$ и $\Psi(x)$ относится только к достаточно удаленным областям пространства, которые не могут оказать существенное влияние на протекание изучаемого нами явления. В пределе, когда $l \rightarrow \infty$, небольшие искажения явлений, вызванные заменой $\Psi$ на $Ф$, совсем исчезают. где Чтобы определить коэффициент $c_{m}$ этого ряда, надо обе части (30.6) умножить на $e^{-i k_{m} x}$ и проинтегрировать по $x$ от 0 до $l$. При этом так как С учетом этого получаем С учетом того же условия нормировка приводится к виду Выведем еще одну вспомогательную формулу. Имеем или после перестановки порядка суммирования и интегрирования Входящий сюда интеграл уже был вычислен выше. Воспользовавшись вычисленным значением, получим где частоты $\omega_{n}$ определяются законом дисперсии $\omega_{n}=\omega_{n}\left(k_{n}\right)$ по формуле (19.6). Этот ряд представляет собой разложение функции $\Phi(x, t)$ по плоским волнам де Бройля $\left.{ }^{1}\right)$. Волне де Бройля $e^{i\left(k_{n} x^{(\»} n^{t}\right)}$ соответствует импульс $p_{n}=\hbar k_{n}$. Значения импульса дискретны. Но эта дискретность искусственная и получилась в резульгате замены истинной волновой функции $\Psi(x, t)$ на всіомогательную периодическую функцию $\Phi(x, t)$. Истинные значения импульса непрерывны. Й действительно, чем длиннее взять период $l$, тем меньше расстояние между соседними значениями дискретного спектра импульса. В пределе, когда $l \rightarrow \infty$, это расстояние стремится к нулю, так что фактически импульс становится величиной, меняющейся непрерывно. Измерение импульса в состоянии $\Phi(x, t)$ дает одно из значений $p_{n}$. Вероятнисть элого значения, в силу условия пормировки (30.9), равна $l\left|c_{n}\right|^{2}$. Поэтому среднее значение импульса, которое получится в результате измерения, будет равно или в силу соотношения (30.10) Теперь можно выполнить предельный переход к $l \rightarrow \infty$ и получить формулу в которой всякая неопределенность, связанная с введением вспомогательной функции Ф, исчезла. При этом интегрирование распространяется уже по всему бесконечному пространству, так как большие значения $x$ не вносят никакого вклада в интеграл. Рассуждая аналогичным образом, можем без труда получить для произвольного целого положительного $n$ а для целой рациональной функции импульса где через $\hat{p}$ обозначен оператор называемый оператором импульса, точнее- оператором проекции импульса $\hat{p}_{x}$. Здесь $F(x, p)$—целая рацнональная функция координат и импульсов, как она определяется классически, а $F(\hat{x}, \hat{p})$ — соответствующий ей оператор. Формула (30.17) и может быть положена в основу введения операторов в квантовую механику. Заметим, что поскольку мы располагаем операторами $\hat{x}$ и $\hat{p}$ в прямоугольных координатах, при нахождении оператора $F(\hat{x}, \hat{p})$ надо исходить из соответствующей классической формулы также в прямоугольных координатах или в векторной форме. Нелишне подчеркнуть, что под $x$ и $p$ в формуле (30.17) нельзя понимать значения координаты $x$ и импульса $p$, получениые в результате одного и того же измерения. Такое понимание іротиворечит принципу неопределенностей Гейзеноверга. Под $x$ и $p$ следуег понимать координату и импульс в классическом смысле. Квантовая механика заменяет эти величины операторами $\hat{x}$ и $\hat{p}$ и вводит новые операторы $F(\hat{x}, \hat{p})$. Оператор $F(\hat{x}, \hat{p})$ получается в результате применения к $\hat{x}$ и $\hat{p}$ тех же операций сложения и умножения, с помощью которых в классической физике по значениям $x$ и $p$ находится значение функции $F(x, p)$. Здесь нет еще никакой статистичности, свойственной квантовой механике. Статистичность появляется при переходе к формуле (30.17), ибо она дает только среднее значение функции $F(x, p)$, а не ее истинное значение (которое в квантовой механике, вообще говоря, может не иметь никакого смысла из-за невозможности характеризовать состояние частищы одновременным заданием $x$ и $p$ ). Получение оператора $F(\hat{x}, \hat{p})$ из классической функции $F(x, p)$ обусловливает, наряду с другими соображениями, тесную связь между классической и квантовой механиками. Получается парадоксальное утверждение, что обоснование квантовой механики принципиально невозможно без механики классической, хотя квантовая механнка и является более общей теорией, в которой классическая механика содержится как предельный частный случай. Этот предельный случай получается из квантовой механики, когда постоянная Планка $\hbar$ пренебрежимо мала по сравнению со всеми величинами той же размерности, играющими роль в рассматриваемом явлении. Все полученныс результаты выведены для одномерного случая. Это сделано только в целях простоты и сокращения записи формул. Но эти результаты без труда обобщаются и на трехмерный случай. Так, оператором трехмерного импульса частицы является символический вектор а формула для среднего значения такого импульса принимает вид где интегрирование производится по всему пространству $V$, а функция $\Psi$ предполагается нормированной к единице: Таким образом, всякой классической величине $F(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{p})$ квантовая механика сопоставляет оператор $F(\hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{p}})$, получающийся заменой классических величин $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{p}$ на соответствующие операторы $\hat{\boldsymbol{r}}$ и $\hat{\boldsymbol{p}}$. При этом связь с реально наблюдаемыми величинами устанавливается статистически с помощью формулы Действительно, в этом случае Функции $\Psi$, удовлетворяющие уравнению (30.22), называются собственными функциями оператора $\mathcal{L}$, а числа $L$ — его собственными значениями. В квантовой механике принимается, что при измерении физической величины могут получиться ( с той или иной вероятностью) только собственные значения соответствующего ей оператора. Так как физические величины существенно вещественны, то операторы $L$ физических величин должны быть такими, чтобы их собственные значения были также вещественными. Но мы не будем углубляться в обсуждение условий, при которых это требование выполняется. Уравнение (30.22) является обобщением на случай любых физических величин правила квантования энергии, рассмотренного в предыдущей главе. Чтобы убедиться в этом, найдем оператор $A$, соответствующий полной энергии частицы. Согласно изложенному такой оператор представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергий, т. е. Следовательно, (30.22) переходит в Это уравнение Шредингера (21.7) для стационарных состояний. Таким образом, сокращенно его можно записать в символической форме отличающейся от (30.22) только обозначениями. Общее уравнение Шредингера (21.5) для нестационарных состояний также можно записать символически: Для полноты заметим, что уравнение (30.25) справедливо не только в случае потенциальных сил, но и в случае, когда силы потенциалом не обладают (например, магнитные силы). Требуется только, чтобы соответствующие классические уравнения могли быть записаны в форме уравнений Гамильтона. В этом случае $\hat{A}$ называют оператором Гамильтона или гамильтонианом. Если силы потенциальны, то гамильтониан тождественно совпадает с оператором энергии. Приведем второй пример на применение уравнения (30.22). Найдем собственные функции и собственные значения олератора импульса. Ограничиваясь одномсрным случаем, положим $\mathcal{L}=\hat{p}=-i \hbar \partial / \partial x$ и получим Отсюда Чтобы удовлетворить общему уравнению Шредингера (30.25), следует положить $C(t)=C e^{-i \omega t}$, т. е. Таким образом, собственными функциями оператора импульса являются плоские волны де Бройля. Параметр $p$ может принимать любые значения, т. е. спектр собственных значений оператора $\hat{p}$ непрерывный. В связи с этим заметим, что к уравнению (30.22) мы пришли на основе уравнения (30.21). Наш вывод последнего предполагал выполнение условия нормировки (30.20), т. е. обращения функции $\Psi$ в нуль на бесконечности. Собственные функции (30.26) этому условию не удовлетворяют. Да и в случае оператора энергии при $\mathscr{E}>0$ собственные значения образуют непрерывный спектр, и нормировка (30.20) не может быть выполнена. В этих случаях наше доказательство формулы (30.22) не проходит. Однако сама формула (30.22) остается верной. Можно так обобщить нормировку (30.20), чтобы распространить доказательство и на такие случаи. Но для этого надо пользоваться обобщенными функциями. На этом формальном вопросе мы останавливаться не будем. В физике в принципе достаточно ограничиться волновыми функциями, обращающимися в нуль на бесконечности, для которых нормировка (30.20) всегда выполняется. где $A_{n}$ и $B_{n}$ — числа, представляющие собой собственџые значения операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$ в одном и том же состоянии $\Psi_{n}$. Умножим первое равенство слева на оператор $B$ Получим Аналогично Отсюда $(\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}) \Psi_{n}=0$. На этом основании нельзя еще заключить, что $\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}=0$, так как $\Psi_{n}$ — не произвольная функция, а лишь одна из общих собственных функций операторов $\hat{A}$ и $\left.\hat{B}^{1}\right)$. Допустим, однако, что каждая собственная функция оператора $\hat{A}$ является также собственной функцией оператора $\hat{B}$ и насборот. Существует математическая теорема, которую мы доказывать не будем, что пронзвольная волновая функция ‘ $P$ может быть разложена по собственным функциям оператора $\hat{A}$ (или, что то же самое, оператора $\hat{B}$ ), т. е. Теперь уже ввиду произвольности $\Psi$ можно заключить, что Итак, если все собственные функции операторов $\hat{A}$ и $\hat{\text { сов }}$ падают, то эти операторы коммутируют. Справедлива и обратная теорема: если операторы $\vec{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют, то совпадают и их собственные функции. Эту теорему мы также примем без доказательства. Приведенной теореме можно придать и другую формули. ровку. Две величины $A$ и $B$ измеримы одновременно, вообще говоря, тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют. Это правило может нарушаться только в отдельных исключительных случаях (см. § 31, пункты 1 и 4). Например, координаты $x$ и $y$ можно измерить одновременно, так как операторы $\hat{x}$ и $\hat{y}$ коммутируют. Напротив, координата $x$ и соответствующий ей импульс $p_{x}$ одновременно измерены быть не могут, поскольку операторы $\hat{x}$ и $\hat{p}_{x}$ не коммутируют, как это видно из формулы (30.1). Именно этого требует принцип неопределенностей Гейзенберга. Координата $x$ и импульс $p_{y}$, соответствующий другой координате $y$, измеримы одновременно, ибо операторы $\hat{x}$ и $\hat{p}_{y}=-i \hbar \partial / \partial y$ коммутируют, поскольку при дифференцировании по $y$ координата $x$ ведет себя как посто янная.
|
1 |
Оглавление
|