1. Oператорный метод широко распространен в болышинстве исследований квантовой механики, а потому необходимо сообщить краткие сведения о нем. Это тем более необходимо для того, чтобы дать законченную форму связи символов квантовой механики с реально наблюдаемыми величинами.

Под оператором понимают символ, который при действии на функцию некоторых переменных дает новую функцию тех же переменных. Примерами такого действия могут служить умножение на $x$ или на какую-либо функцию $f(x)$. Рассматриваемые с этой точки зрения символы $x$. и $f(x)$ являются олераторами. Для отличия от чисел их обозначают черезз $\hat{x}$ и $\hat{f}(x)$, т. е. ставят Шляпку над $x$ и $f(x)$. Другим примером оператора может служить дифференцирование по $x$, т. е. $\frac{\partial }{\partial x},\frac{{\partial }^2}{\partial x^2},\dots$

Операторы можно складывать. Под суммой операторов $\hat{A}+B$ понимают такой оператор, лействие которого на любую функцию $f(x)$ дает результат $\hat{A}f(x)+\hat{B}f(x)$. Под произведением операторов $\hat{A}\hat{B}$ понимают оператор, результат действия которого на любую функцию $f(x)$ равен $\hat{A}[\hat{B}f(x)]$. Здесь функция $f(x)$ сначала подвергается действию оператора $\hat{B}$, а затем на полученный результат действует оператор $\hat{A}$. Частным случаем произведения операторов является произведение оператора $\widehat{\text{AA}}$ на число $\lambda$, т. е. либо $\lambda \hat{A}$, либо $\hat{A}\lambda$, ибо всякое число можно рассматривать как частный случай оператора. В алгебре операторов не всегда соблюдается коммутативный закон относительно умножения. Это значит, что не всегда $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$. Если такое равенство соблюдается, то говорят, что операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют друг с другом. Иначе их называют коммутирующими операторами. В противном случае операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ не коммутируют и называются некоммутирующими или антикоммутирующими. Примером некоммутирующих операторов могут служить умножение на $x$ и дифференцирование по $x$. Действительно,
$$\left(x\frac{\partial }{\partial x}\right)f=x\frac{\partial f}{\partial x},\left(\frac{\partial }{\partial x}x\right)f=\frac{\partial }{\partial x}(xf:=f+x\frac{\partial f}{\partial x},$$

так что
$$\frac{\partial }{\partial x}x-x\frac{\partial }{\partial x}=1\text{. }$$

Эти определения позволяют по заданным операторам $\dot{A}$ и $\hat{B}$ строить другие операторы $\mathcal{L}(\hat{A},\hat{B})$, являющиеся их функциями. Определение это имеет смысл только для целых рациональных функций операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$. Достаточность такого ограничения в этом построении связана с тем, что именно при таком ограничении в классической физике определяют новые физические величины через другие, ранее введенные физические величины.

Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел. Единственное отличие состоит в том, что при умножении операторов не всегда можно переставлять порядок сомножителей. Например, всегда
$$(\hat{A}+\hat{B}{)}^2=(\hat{A}+\hat{B})(\hat{A}+\hat{B})={\hat{A}}^2+\hat{B}\hat{A}+\widehat{AB}+{\hat{B}}^2.$$

В общем виде было бы неправильно писать
$$(\hat{A}+\hat{B}{)}^2={\hat{A}}^2+2\hat{A}\hat{B}+{\hat{B}}^2.$$

Такая формула верна только тогда, когда операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют между собой, ибо при $\hat{B}\hat{A}=\hat{A}\hat{B}$ она получается из предыдущей. Но в случае некоммутирующих операторов эта формула неверна, ибо в этом случае $\hat{B}\hat{A}eq\hat{A}\hat{B}$.

Оператор $\hat{A}$ называется линейным, если для любых двух функций $f$ и $\phi$ и любых постоянных $\lambda$ и $\mu$ соблюдается соотношение
$$\hat{A}(\lambda f+\mu \phi )=\lambda \hat{A}f+\mu \hat{A}\phi \text{. }$$

В квантовой механике применяются только линейные операторы. В противном случае нарушался бы принцип суперпозиции состояний.
2. Предположим теперь, что многократно производится измерение координаты $x$ частицы, причем частица, поскольку это позволяет опыт, всякий раз приводится в одинаковые макроскопические условия. Тогда состояние частицы в этих опытах можно характеризовать волновой функцией $\mathrm{\Psi }(x)$, которую мы ради простоты будем считать функцией только одной пространственной координаты $x$. Среднее значение координаты, которое будет найдено в результате измерений, можно записать в виде
$$⟨x⟩=\int x^2{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\Psi }dx,$$

ибо ${\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\Psi }dx$ есть вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале $x,x+dx$. При этом необходимо оговорить, что функция $\mathrm{\Psi }(x)$ всюду конечна, отлична от нуля в ограниченной области пространства и нормирована к единице, т. е.
$$\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\Psi }dx=1$$

где интегрирование производится по всему пространству, в котором $\mathrm{\Psi }$ отлична от нуля. Выражение для среднего значения $⟨x⟩$ мы нредпочитаем занисать в виде
$$⟨x⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }\hat{x}\mathrm{\Psi }dx$$

Совершенно гак же вычисляется среднее значение функции $f(x)$, т. е. по формуле
$$⟨f(x)⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }(x)\hat{f}(x)\mathrm{\Psi }(x)dx,$$

в которой $\hat{f}(x)$ рассматривается как оператор.
Если состояние $\mathrm{\Psi }$ меняется во времени, то формула (30.4) дает среднее значение для определенного момента времени. В этом случае в функции $\mathrm{\Psi }(x,t)$ следует время $t$ рассматривать как параметр, т. е. при взятии интеграла его следует считать постоянным.
3. Как же вычислять по волновой функции $\mathrm{\Psi }(x)$ средние значения импульса частицы или средние значения целых рациональных функций от импульса? Будем предполагать, что в каждый момент времени функция $\mathrm{\Psi }(x)$ всюду копечна и отлична от нуля в ограниченной области пространства, а потому может быть нормирована согласно формуле (30.2). В целях математического упрощения применим искусственный прием. Заменим истинную волновую функцию $\mathrm{\Psi }(x)$ другой периодической функцией $\mathrm{\Phi }(x)$ с периодом $l$, гак что при любом $x\mathrm{\Phi }(x+l)=$ $=\mathrm{\Phi }(x)$. Функция $\mathrm{\Psi }(x)$ оглична от нуля только на небольшом участке где-то в середине интервала $0<x<l$ (основного периода). В этом интервале обе функции $\mathrm{\Psi }(x)$ и $\mathrm{\Phi }(x)$ совпадают. Вне интервала $0<x<l$ функция $\mathrm{\Psi }(x)$ обращается в нуль. Поэтому из нормировки (30.2) следует нормировка для функции $\mathrm{\Phi }(x)$ :
$${\int }_0^l{\mathrm{\Phi }}^{\ast }(x)\mathrm{\Phi }(x)dx=1.$$

Указанная замена не может существенно отразиться на явлениях, протекающих в рассматриваемое время в рассматриваемой нами области пространства. Действительно, различие между функциями $\mathrm{\Phi }(x)$ и $\mathrm{\Psi }(x)$ относится только к достаточно удаленным областям пространства, которые не могут оказать существенное влияние на протекание изучаемого нами явления. В пределе, когда $l\to \mathrm{\infty }$, небольшие искажения явлений, вызванные заменой $\mathrm{\Psi }$ на $Ф$, совсем исчезают.
Периодическую функцию $Ф(x)$ разложим в ряд Фурье:
$$\mathrm{\Phi }(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{n=+\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{ik}{n}^x,$$

где
$$k_n=(2\pi /l)n$$

Чтобы определить коэффициент $c_m$ этого ряда, надо обе части (30.6) умножить на $e^{-i{k}_{m}x}$ и проинтегрировать по $x$ от 0 до $l$. При этом

так как
$$e^{i(k_n-k_m)l}=e^{i2\pi (n-m)}=1=e^0.$$

С учетом этого получаем
$$c_m=\frac{1}{l}{\int }_0^l\mathrm{\Phi }(x)e^{-i{k}_{m}x}dx=\frac{1}{l}{\int }_0^l\mathrm{\Psi }(x)e^{-i{k}_{m}x}dx.$$

С учетом того же условия нормировка приводится к виду
$${\int }_0^l{\mathrm{\Phi }}^{\ast }\mathrm{\Phi }dx={\int }_0^l{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\Psi }dx=l\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{n=+\mathrm{\infty }}{\left|c_n\right|}^2=1.$$

Выведем еще одну вспомогательную формулу. Имеем
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^l{\mathrm{\Phi }}^{\ast }\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{\Phi }dx& ={\int }_0^l\sum _m\sum _n{c}_m^{\ast }{c}_n{e}^{-ik}{m}^x\frac{\partial }{\partial x}{e}^{ik}{n}^{x}dx=\\ & =i{\int }_0^l\sum _m\sum _n{c}_m^{\ast }{c}_n{k}_n{e}^{i(k_n-k_m)x}dx,\end{array}$$

или после перестановки порядка суммирования и интегрирования
$${\int }_0^l{\mathrm{\Phi }}^{\ast }\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{\Phi }dx=i\sum _m\sum _n{c}_m^{\ast }{c}_n{k}_n{\int }_0^l{e}^{i(k_n-k_m)x}dx.$$

Входящий сюда интеграл уже был вычислен выше. Воспользовавшись вычисленным значением, получим
$$-i{\int }_0^l{\mathrm{\Phi }}^{\ast }\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{\Phi }dx=l\sum {\left|c_n\right|}^2{k}_n.$$
4. До сих пор мы не обращали внимания на зависнмость фунжции $\mathrm{\Psi }$, а с ней и функции $\mathrm{\Phi }$, от времени $t$. Наши вычисления, в сущности, относились к функциям $\mathrm{\Psi }(x,t)$ и $\mathrm{\Phi }(x,t)$ при фиксированном значенни $t$, — время $t$ рассматривалось как параметр. Временная зависимость определится из требования, чтобы функции $\mathrm{\Psi }$ и Ф удовлетворялн временному уравнению Шредингера (21.5). Такому условию удовлетворяет функция
$$\mathrm{\Phi }(x,t)=\sum _n{c}_n{e}^{i\left(k{n}^{x-\omega }{n}^t\right)},$$

где частоты ${\omega }_n$ определяются законом дисперсии ${\omega }_n={\omega }_n\left(k_n\right)$ по формуле (19.6). Этот ряд представляет собой разложение функции $\mathrm{\Phi }(x,t)$ по плоским волнам де Бройля ${}^1)$.

Волне де Бройля $e^{i\left(k_n{x}^{(\text{»}}{n}^t\right)}$ соответствует импульс $p_n=\hslash k_n$. Значения импульса дискретны. Но эта дискретность искусственная и получилась в резульгате замены истинной волновой функции $\mathrm{\Psi }(x,t)$ на всіомогательную периодическую функцию $\mathrm{\Phi }(x,t)$. Истинные значения импульса непрерывны. Й действительно, чем длиннее взять период $l$, тем меньше расстояние между соседними значениями дискретного спектра импульса. В пределе, когда $l\to \mathrm{\infty }$, это расстояние стремится к нулю, так что фактически импульс становится величиной, меняющейся непрерывно. Измерение импульса в состоянии $\mathrm{\Phi }(x,t)$ дает одно из значений $p_n$. Вероятнисть элого значения, в силу условия пормировки (30.9), равна $l{\left|c_n\right|}^2$. Поэтому среднее значение импульса, которое получится в результате измерения, будет равно
$$⟨p⟩=\sum l{\left|c_n\right|}^2{p}_n,$$

или в силу соотношения (30.10)
$$⟨p⟩={\int }_0^l{\mathrm{\Phi }}^{\ast }(-i\hslash \frac{\partial }{\partial x})\mathrm{\Phi }dx.$$

Теперь можно выполнить предельный переход к $l\to \mathrm{\infty }$ и получить формулу
$$⟨p⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }(-i\hslash \frac{\partial }{\partial x})\mathrm{\Psi }dx,$$

в которой всякая неопределенность, связанная с введением вспомогательной функции Ф, исчезла. При этом интегрирование распространяется уже по всему бесконечному пространству, так как большие значения $x$ не вносят никакого вклада в интеграл.
1) Произвольную функцию $\mathrm{\Phi }(x,t)$, периодичную по $x$, можно разложить в ряд Фурье по $x$, коэффициенты которого будут функциями $t$. Распространено ошибочное мнение, что это и есть разложение по плоским волнам де Бройля. Ошибка состоит в том, что периодическая функция $\mathrm{\Phi }(x,t)$ не может быть произвольной, а должна удовлетворять уравнению Шредингера (21.5). Это накладывает ограничения на коэффициенты разложения как функции времени $t$.

Рассуждая аналогичным образом, можем без труда получить для произвольного целого положительного $n$
$$⟨p^n⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }{(-i\hslash \frac{\partial }{\partial x})}^n\mathrm{\Psi }dx,$$

а для целой рациональной функции импульса
$$⟨F(p)⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }F(\hat{p})\mathrm{\Psi }dx,$$

где через $\hat{p}$ обозначен оператор
$$\hat{p}\equiv {\hat{p}}_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}.$$

называемый оператором импульса, точнее- оператором проекции импульса ${\hat{p}}_x$.
5. Квантовая механика постулативно обобщает полученные результаты на любье физические величины, являющиеся функциями координат и импульсов. Иначе говоря, она полагает
$$⟨Fx,p)⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }(x)F(\hat{x},\hat{p})\mathrm{\Psi }(x)dx.$$

Здесь $F(x,p)$—целая рацнональная функция координат и импульсов, как она определяется классически, а $F(\hat{x},\hat{p})$ — соответствующий ей оператор. Формула (30.17) и может быть положена в основу введения операторов в квантовую механику. Заметим, что поскольку мы располагаем операторами $\hat{x}$ и $\hat{p}$ в прямоугольных координатах, при нахождении оператора $F(\hat{x},\hat{p})$ надо исходить из соответствующей классической формулы также в прямоугольных координатах или в векторной форме.

Нелишне подчеркнуть, что под $x$ и $p$ в формуле (30.17) нельзя понимать значения координаты $x$ и импульса $p$, получениые в результате одного и того же измерения. Такое понимание іротиворечит принципу неопределенностей Гейзеноверга. Под $x$ и $p$ следуег понимать координату и импульс в классическом смысле. Квантовая механика заменяет эти величины операторами $\hat{x}$ и $\hat{p}$ и вводит новые операторы $F(\hat{x},\hat{p})$. Оператор $F(\hat{x},\hat{p})$ получается в результате применения к $\hat{x}$ и $\hat{p}$ тех же операций сложения и умножения, с помощью которых в классической физике по значениям $x$ и $p$ находится значение функции $F(x,p)$. Здесь нет еще никакой статистичности, свойственной квантовой механике. Статистичность появляется при переходе к формуле (30.17), ибо она дает только среднее значение функции $F(x,p)$, а не ее истинное значение (которое в квантовой механике, вообще говоря, может не иметь никакого смысла из-за невозможности характеризовать состояние частищы одновременным заданием $x$ и $p$ ). Получение оператора $F(\hat{x},\hat{p})$ из классической функции $F(x,p)$ обусловливает, наряду с другими соображениями, тесную связь между классической и квантовой механиками. Получается парадоксальное утверждение, что обоснование квантовой механики принципиально невозможно без механики классической, хотя квантовая механнка и является более общей теорией, в которой классическая механика содержится как предельный частный случай. Этот предельный случай получается из квантовой механики, когда постоянная Планка $\hslash$ пренебрежимо мала по сравнению со всеми величинами той же размерности, играющими роль в рассматриваемом явлении.

Все полученныс результаты выведены для одномерного случая. Это сделано только в целях простоты и сокращения записи формул. Но эти результаты без труда обобщаются и на трехмерный случай. Так, оператором трехмерного импульса частицы является символический вектор
$$\hat{\mathit{p}}=-i\hslash (\frac{\partial }{\partial x}\mathit{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathit{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathit{k})=-i\hslash abla,$$

а формула для среднего значения такого импульса принимает вид
$$⟨\mathit{p}⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }(-i\hslash abla)\mathrm{\Psi }dV,$$

где интегрирование производится по всему пространству $V$, а функция $\mathrm{\Psi }$ предполагается нормированной к единице:
$$\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\Psi }dV=1.$$

Таким образом, всякой классической величине $F(\mathit{r},\mathit{p})$ квантовая механика сопоставляет оператор $F(\hat{\mathit{r}},\hat{\mathit{p}})$, получающийся заменой классических величин $\mathit{r}$ и $\mathit{p}$ на соответствующие операторы $\hat{\mathit{r}}$ и $\hat{\mathit{p}}$. При этом связь с реально наблюдаемыми величинами устанавливается статистически с помощью формулы
$$⟨F(\mathit{r},\mathit{p})⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }F(\hat{\mathit{r}},\hat{\mathit{p}})\mathrm{\Psi }dV.$$
6. Поставим теперь вопрос, не существует ли таких состояний, что при измерении величины $L$, соответствующей оператору $\mathcal{L}$, всегда получается определенное значение $L$. Легко видеть, что такому условию удовлетворяют волновые функции, являющиеся решениями уравнения
$$\hat{L}\mathrm{\Psi }=L\mathrm{\Psi }\text{. }$$

Действительно, в этом случае
$$⟨L⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }\hat{L}\mathrm{\Psi }dx=\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }L\mathrm{\Psi }dx=L\int {\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\Psi }dx=L,$$
т. е. среднее значение $⟨L⟩$ всегда равно $L$. А это возможно тогда и только тогда, когда результат каждого измерения равен $L$. Мы доказали достаточность условия (30.22). Немного сложнее доказывается и его необходимость, но на этом мы не будем осганавливаться.

Функции $\mathrm{\Psi }$, удовлетворяющие уравнению (30.22), называются собственными функциями оператора $\mathcal{L}$, а числа $L$ — его собственными значениями. В квантовой механике принимается, что при измерении физической величины могут получиться ( с той или иной вероятностью) только собственные значения соответствующего ей оператора. Так как физические величины существенно вещественны, то операторы $L$ физических величин должны быть такими, чтобы их собственные значения были также вещественными. Но мы не будем углубляться в обсуждение условий, при которых это требование выполняется.

Уравнение (30.22) является обобщением на случай любых физических величин правила квантования энергии, рассмотренного в предыдущей главе. Чтобы убедиться в этом, найдем оператор $A$, соответствующий полной энергии частицы. Согласно изложенному такой оператор представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергий, т. е.
$$\hat{H}=\frac{1}{2m}{\hat{p}}^2+\hat{U}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}abl{a}^2+U.$$

Следовательно, (30.22) переходит в
$$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}abl{a}^2+U)\psi =\mathcal{E}\psi$$

Это уравнение Шредингера (21.7) для стационарных состояний. Таким образом, сокращенно его можно записать в символической форме
$$\hat{H}\psi =\mathcal{E}\psi ,$$

отличающейся от (30.22) только обозначениями. Общее уравнение Шредингера (21.5) для нестационарных состояний также можно записать символически:
$$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\hat{H}\mathrm{\Psi }$$

Для полноты заметим, что уравнение (30.25) справедливо не только в случае потенциальных сил, но и в случае, когда силы потенциалом не обладают (например, магнитные силы). Требуется только, чтобы соответствующие классические уравнения могли быть записаны в форме уравнений Гамильтона. В этом случае $\hat{A}$ называют оператором Гамильтона или гамильтонианом. Если силы потенциальны, то гамильтониан тождественно совпадает с оператором энергии.

Приведем второй пример на применение уравнения (30.22). Найдем собственные функции и собственные значения олератора импульса. Ограничиваясь одномсрным случаем, положим

$\mathcal{L}=\hat{p}=-i\hslash \partial /\partial x$ и получим
$$-i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}=p\mathrm{\Psi }$$

Отсюда
$$\mathrm{\Psi }=C(t)e^{ipx/\hslash }=C(t)e^{ikx}.$$

Чтобы удовлетворить общему уравнению Шредингера (30.25), следует положить $C(t)=C{e}^{-i\omega t}$, т. е.
$$\mathrm{\Psi }=C{e}^{i(kx-\omega t)}.$$

Таким образом, собственными функциями оператора импульса являются плоские волны де Бройля. Параметр $p$ может принимать любые значения, т. е. спектр собственных значений оператора $\hat{p}$ непрерывный.

В связи с этим заметим, что к уравнению (30.22) мы пришли на основе уравнения (30.21). Наш вывод последнего предполагал выполнение условия нормировки (30.20), т. е. обращения функции $\mathrm{\Psi }$ в нуль на бесконечности. Собственные функции (30.26) этому условию не удовлетворяют. Да и в случае оператора энергии при $\mathcal{E}>0$ собственные значения образуют непрерывный спектр, и нормировка (30.20) не может быть выполнена. В этих случаях наше доказательство формулы (30.22) не проходит. Однако сама формула (30.22) остается верной. Можно так обобщить нормировку (30.20), чтобы распространить доказательство и на такие случаи. Но для этого надо пользоваться обобщенными функциями. На этом формальном вопросе мы останавливаться не будем. В физике в принципе достаточно ограничиться волновыми функциями, обращающимися в нуль на бесконечности, для которых нормировка (30.20) всегда выполняется.
7. Остановимся в заключение еще на одном вопросе, специфическом только для квантовой, но не классической механики. Пусть $\hat{A}$ иा $\hat{B}$ — два квантовомеханических оператора, каждому из которых соответствует свой спектр собственных значений. Всегда ли существует состояние $\mathrm{\Psi }$, в котором оба оператора имеют определенные собственные значения $A$ и $B$ ? Иными словами, существует ли состояние $\mathrm{\Psi }$, в котором обе величины $A$ и $B$ нзмеримы одновременно? Для ответа на этот вопрос допустим, что ${\mathrm{\Psi }}_n$ явтяется собственной функцией как операгора $\hat{A}$, так и оператора $\hat{B}$, т. е.
$$\hat{A}{\mathrm{\Psi }}_n=A_n{\mathrm{\Psi }}_n^{\prime },\hat{B}{\mathrm{\Psi }}_n=B_n{\mathrm{\Psi }}_n,$$

где $A_n$ и $B_n$ — числа, представляющие собой собственџые значения операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$ в одном и том же состоянии ${\mathrm{\Psi }}_n$. Умножим первое равенство слева на оператор $B$ Получим
$$\hat{B}\hat{A}{\mathrm{\Psi }}_n=\widehat{B{A}_n}{\mathrm{\Psi }}_n=A_n\hat{B}{\mathrm{\Psi }}_n=A_n{B}_n{\mathrm{\Psi }}_n.$$

Аналогично
$$\hat{A}\hat{B}{\mathrm{\Psi }}_n=B_n{A}_n{\mathrm{\Psi }}_n.$$

Отсюда $(\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}){\mathrm{\Psi }}_n=0$. На этом основании нельзя еще заключить, что $\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=0$, так как ${\mathrm{\Psi }}_n$ — не произвольная функция, а лишь одна из общих собственных функций операторов $\hat{A}$ и ${\hat{B}}^1)$.

Допустим, однако, что каждая собственная функция оператора $\hat{A}$ является также собственной функцией оператора $\hat{B}$ и насборот. Существует математическая теорема, которую мы доказывать не будем, что пронзвольная волновая функция ‘ $P$ может быть разложена по собственным функциям оператора $\hat{A}$ (или, что то же самое, оператора $\hat{B}$ ), т. е.
$$\mathrm{\Psi }=\sum c_n{\mathrm{\Psi }}_n$$
(предполагается, что спектр дискретный, что несущественно). Из этой формулы и из соотношения ( $\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}){\mathrm{\Psi }}_n=0$ следует
$$(\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A})\mathrm{\Psi }=0.$$

Теперь уже ввиду произвольности $\mathrm{\Psi }$ можно заключить, что
$$\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A},$$
т. е. операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутативны. Действительно, единственный оператор, обращающий в нуль произвольную функцию, есть оператор умножения на нуль.

Итак, если все собственные функции операторов $\hat{A}$ и $\widehat{\text{ сов }}$ падают, то эти операторы коммутируют. Справедлива и обратная теорема: если операторы $\overrightarrow{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют, то совпадают и их собственные функции. Эту теорему мы также примем без доказательства.

Приведенной теореме можно придать и другую формули. ровку. Две величины $A$ и $B$ измеримы одновременно, вообще говоря, тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ коммутируют. Это правило может нарушаться только в отдельных исключительных случаях (см. § 31, пункты 1 и 4).

Например, координаты $x$ и $y$ можно измерить одновременно, так как операторы $\hat{x}$ и $\hat{y}$ коммутируют. Напротив, координата $x$ и соответствующий ей импульс $p_x$ одновременно измерены быть не могут, поскольку операторы $\hat{x}$ и ${\hat{p}}_x$ не коммутируют, как это видно из формулы (30.1). Именно этого требует принцип неопределенностей Гейзенберга. Координата $x$ и импульс $p_y$, соответствующий другой координате $y$, измеримы одновременно,
1) Например, из равенства $(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^3}{\partial x^3})x=0$ не следует, что $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-$ $-\frac{{\partial }^{\prime }}{\partial x^2}=0$

ибо операторы $\hat{x}$ и ${\hat{p}}_y=-i\hslash \partial /\partial y$ коммутируют, поскольку при дифференцировании по $y$ координата $x$ ведет себя как посто янная.