1. В $\mathrm{\S }27$ была рассмотрена задача о квантовании водородного (или водородоподобного) атома в предположении, что волновая функция $\psi$ радиально симметрична, т. е. зависит только от r. В таком случае угловой момент электрона в атоме равен нулю, так как оператор момента действует только на угловые переменные $\vartheta$ и $\phi$, но не действует на $r$. Уравнение же Шредингера для стационарных состояний записывается в виде
$${\hat{H}}_r\psi =\mathcal{E}\psi ,$$

где оператор $A_r$ определяется выражением
$${\hat{H}}_r=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r})+U(r)$$

и описывает только радиальное квантовое движение электрона в атоме. Учтем теперь зависимость функции $\psi$ также от угловых координат $\vartheta$ и $\phi$. Для этого к оператору ${\hat{A}}_r$ надо добавить оператор $\frac{1}{2m{r}^2}{\hat{\mathit{l}}}^2$, соответствующий кинетической энергии вращения электрона вокруг ядра:
$$\hat{H}={\hat{H}}_r+\frac{1}{2{\pi }^2}{\hat{l}}^2$$

Ясно, что оператор ${\hat{H}}_r$ коммутирует с операторами ${\hat{l}}^2$ и ${\hat{l}}_z$, поскольку последние не действуют на $r$, а действуют только на угловые переменные $\vartheta$ и $\phi$. То же относится к оператору $\left(1/2m{r}^2\right){\hat{l}}^2$, так как наличие множителя $1/2m{r}^2$ не отражается на такой коммутации. Следовательно, и полный оператор $A$ коммутирует с ${\hat{l}}^2$ и ${\hat{l}}_z$, и стационарное состояние электрона в водородном или водородоподобном атоме можно характеризовать его энергией $\mathcal{E}$, квадратом углового момента ${\mathit{l}}^2$ и его проекцией $l_z$ на избранное направление — ось $Z$.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний теперь запишется в виде
$$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}+\frac{2m}{{\hslash }^2}(\mathcal{E}-U-\frac{{\hat{\mathit{L}}}^2}{2m{r}^2})\psi =0.$$

Здесь применяется частное дифференцирование по $r$, поскольку волновая функция $\psi$ может зависеть не только от $r$, но и от угловых переменных $\vartheta$ и $\phi$. Но какова бы ни была зависимость от $\vartheta$ и $\phi$, для стационарных состояний с определенным значением квадрата углового момента ${\hat{\mathit{L}}}^2\psi ={\mathit{L}}^2\psi ={\hslash }^{2}l(l+1)\psi$. Поэтому в таких случаях
$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}+\frac{2m}{{\hslash }^2}(\mathcal{E}-U-\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2m{r}^2})\psi =0.$$

Это уравнение отличается от уравнения (33.1) наличием в скобках дополнительного члена $-{\hslash }^{2}l(l+1)/\left(2m{r}^2\right)$. Формально уравнение (33.5) имеет вид уравнения Шредингера в радиально-симметричном силовом поле с пөтенциальной силовой функцией
$$U(r)+\frac{{\hslash }^{2}i(i+1)}{2m{r}^2}.$$

На второе слагаемое этого выражения можно смотреть как на потенциальную функцию электрона в поле центробсжной силы, причем само уравнение (33.5) можно рассматривать как уравнение движения электрона во «вращающейся» системе отсчета.

Поскольку, однако, независимые переменные $\vartheta$ и $\phi$ в уравнение (33.5) не входят, волновая функция $\psi$ должна иметь вид $f(\vartheta ,\phi )\psi (r)$. Во всех вычислениях функция $f(\vartheta ,\phi )$ будет всюду входить в виде множителя, который не зависит от $r$, т. е. ведет себя как постоянная. Поэтому ради краткости множитель $f(\vartheta ,\phi )$ мы будем всіоду опускать, т. е. рассуждать так, как если бы функция $\psi$ зависела только от $r$. Это, очевидно, не нарушает общности рассуждений и их результатов.
2. До сих пор явный вид потенциальной функции $U(r)$ не использовался. Имея теперь в виду водородоподобный атом, положим $U(r)=-Z{e}^2/r$ и введем такие же обозначения, как в $\mathrm{\S }27$, т. е.
$${\beta }^2=-2m\mathcal{E}/{\hslash }^2,q=2mZ{e}^2/{\hslash }^2.$$

Тогда уравнение (33.5) запишется в виде
$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial \psi }{\dot{\partial r}}+(\frac{q}{r}-{\beta }^2-\frac{l(l+1)}{r^2})\psi =0.$$

Для его исследования применяем такой же метод, что и для исследования уравнения (27.1), т. е. вводим новую функцию $u(r)$ с помощью соотношения
$$\psi =\frac{u(r)}{r}{e}^{-\beta r}.$$

Тогда
$$\frac{d^{2}u}{d{r}^2}-2\beta \frac{du}{dr}+[\frac{q}{r}-\frac{l(l+1)}{r^2}]u=0.$$

Ищем решение этого уравнения в виде ряда
$$u=\sum _{k=\gamma }^{\mathrm{\infty }}{a}_k{r}^k$$

и путем сравнения коэффициентов находим
$$\begin{array}{rl}\gamma (\gamma -1)& -l(l+1)=0,\\ [k(k+1)-l(l+1)]a_{k+1}& =(2\beta k-q)a_k\text{ при }keq\gamma .\end{array}$$

Из первого уравнения получается либо $\gamma =l+1$, либо $\gamma =-l$. Значение $\gamma =-l$ должно быть отброшено по тем же соображениям, которые применялись при решении аналогичного вопроса в $\mathrm{\$}27$. Таким образом, следует воспользоваться значением $\gamma =l+1$.

Для исследования сходимости ряда (33.10) из формулы (33.11) находим
$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{2\beta k-q}{k(k+1)-l(l+1)}.$$

Асимптотически
$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{2\beta }{k+1}.$$

Это выражение в точности совпадает с соответствующим выражением из § 27. Поэтому, как и раньше, заключаем, что ряд (33.10) должен обрываться. Из условия обрыва получаем прежнюю формулу (27.8) для энергии атома:
$$\mathcal{E}=-m{Z}^2{e}^4/\left(2{\hslash }^2{n}^2\right)$$
3. Из изложенного следует, что значения энергии в стационарных состояниях водородоподобного атома зависят только от главного квантового числа $n$. Но состояния с заданным $n$ (т. е. с заданной энергией $\mathcal{E}$ ) могут отличаться одно от другого различными значениями квантовых чисел $l$ и $m$ (не путать с массой). Таким образом, одному и тому же значению $\mathcal{E}$ соответствуют несколько различных квантовых состояний. В этом случае говорят, что состояние с энергией $\mathcal{E}$ вырождено. Энергетический уровень $\mathcal{E}$ пазывают также вырожденным.

Число независимых состояний, суперпозицией которых может быть получено заданное состояние с энергией $\mathcal{E}$, называется степенью или кратностью вырождения. Найдем степень вырождения для водородоподобного атома в состоянии с заданным главным квантовым числом $n$.

Рассмотрим сначала состояния, в которых (наряду с $n$ ) имеет определенное значение и число $l$. Воспользуемся формулой $\gamma =l+1$, которая до сих пор еще не принималась во внимание. Имея в виду, что ряд (33.10) должен обрываться на члене $n$-й степени, запишем его в виде конечной суммы:
$$u=\sum _{k=i+1}^n{a}_k{r}^k=r^{l+1}\sum _{\alpha =0}^{\alpha =n-l-1}{a}_{l+\alpha +1}{r}^{\alpha }.$$

Отсюда видно, что главное квантовое число $n$ имеет смысл старшего показателя степени в полиноме (33.13). Чйсло $l$ называется орбитальным квантовым числом. Оно определяет квадрат углового момента,
$$l^2=l(l+1)\text{ (в единицах }{\hslash }^2\text{ ). }$$

Фиксируя $n$, подсчитаем число квантовых состояний, отличающихся одно от другого значениями $l$. Наименьшее значение $l$ есть $l=0$, наибольшее $l=n-1$, так как в этом случае сумма (33.13) сводится к одному члену. Следовательно, при заданном $n$ число $l$ может принимать значения
$$l=0,1,2,\dots ,(n-1),$$
т. е. всего $n$ значений и соответствующих им квантовых состояний с определенными $n$ и $l$. Функция $u$, как видно из (33.13), имеет $n_r=n-l-1$ узлов, если исключить из рассмотрения узел $r=0$. Но число узлов, как пзвестно (см. § 25, пункт 1), определяет номер волновой функции с заданным $n$. Поэтому главное квантовое число $n$ можно также определить соотношением
$$n=n_r+l+1\text{. }$$

Қвантовое число $n_r$ было введено еще Зоммерфельдом в старой квантовой теории и получило название радиального квантового числа.

Заметим теперь, что в состоянии с определенным $l$ может иметь различные значения квантовое число $m$, определяющее проекцию углового момента на ось $Z$ (оно называется магнитным ). Именно:
$$m=-l,-(l-1),\dots ,-1,0,+1,\dots ,+(l-1),+l\text{, }$$
т. е. всего $2l+1$ значений. Поэтому полное число квантовых состояний, с помощью которых может реализоваться состояние с заданным $n$, равно
$$N=\sum _{l=0}^{l=n-1}(2l+1)=n^2.$$

В действительности, как будет показано в § 36 , это число следует удвоить из-за наличия спина электрона. Таким образом, кратность вырождения энергетического уровня в водородоподобном атоме равна $2n^2$.