Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. В $\S 27$ была рассмотрена задача о квантовании водородного (или водородоподобного) атома в предположении, что волновая функция $\psi$ радиально симметрична, т. е. зависит только от r. В таком случае угловой момент электрона в атоме равен нулю, так как оператор момента действует только на угловые переменные $\vartheta$ и $\varphi$, но не действует на $r$. Уравнение же Шредингера для стационарных состояний записывается в виде где оператор $A_{r}$ определяется выражением и описывает только радиальное квантовое движение электрона в атоме. Учтем теперь зависимость функции $\psi$ также от угловых координат $\vartheta$ и $\varphi$. Для этого к оператору $\hat{A}_{r}$ надо добавить оператор $\frac{1}{2 m r^{2}} \hat{\boldsymbol{l}}^{2}$, соответствующий кинетической энергии вращения электрона вокруг ядра: Ясно, что оператор $\hat{H}_{r}$ коммутирует с операторами $\hat{l}^{2}$ и $\hat{l}_{z}$, поскольку последние не действуют на $r$, а действуют только на угловые переменные $\vartheta$ и $\varphi$. То же относится к оператору $\left(1 / 2 m r^{2}\right) \hat{l}^{2}$, так как наличие множителя $1 / 2 m r^{2}$ не отражается на такой коммутации. Следовательно, и полный оператор $A$ коммутирует с $\hat{l}^{2}$ и $\hat{l}_{z}$, и стационарное состояние электрона в водородном или водородоподобном атоме можно характеризовать его энергией $\mathscr{E}$, квадратом углового момента $\boldsymbol{l}^{2}$ и его проекцией $l_{z}$ на избранное направление – ось $Z$. Уравнение Шредингера для стационарных состояний теперь запишется в виде Здесь применяется частное дифференцирование по $r$, поскольку волновая функция $\psi$ может зависеть не только от $r$, но и от угловых переменных $\vartheta$ и $\varphi$. Но какова бы ни была зависимость от $\vartheta$ и $\varphi$, для стационарных состояний с определенным значением квадрата углового момента $\widehat{\boldsymbol{L}}^{2} \psi=\boldsymbol{L}^{2} \psi=\hbar^{2} l(l+1) \psi$. Поэтому в таких случаях Это уравнение отличается от уравнения (33.1) наличием в скобках дополнительного члена $-\hbar^{2} l(l+1) /\left(2 m r^{2}\right)$. Формально уравнение (33.5) имеет вид уравнения Шредингера в радиально-симметричном силовом поле с пөтенциальной силовой функцией На второе слагаемое этого выражения можно смотреть как на потенциальную функцию электрона в поле центробсжной силы, причем само уравнение (33.5) можно рассматривать как уравнение движения электрона во «вращающейся» системе отсчета. Поскольку, однако, независимые переменные $\vartheta$ и $\varphi$ в уравнение (33.5) не входят, волновая функция $\psi$ должна иметь вид $f(\vartheta, \varphi) \psi(r)$. Во всех вычислениях функция $f(\vartheta, \varphi)$ будет всюду входить в виде множителя, который не зависит от $r$, т. е. ведет себя как постоянная. Поэтому ради краткости множитель $f(\vartheta, \varphi)$ мы будем всіоду опускать, т. е. рассуждать так, как если бы функция $\psi$ зависела только от $r$. Это, очевидно, не нарушает общности рассуждений и их результатов. Тогда уравнение (33.5) запишется в виде Для его исследования применяем такой же метод, что и для исследования уравнения (27.1), т. е. вводим новую функцию $u(r)$ с помощью соотношения Тогда Ищем решение этого уравнения в виде ряда и путем сравнения коэффициентов находим Из первого уравнения получается либо $\gamma=l+1$, либо $\gamma=-l$. Значение $\gamma=-l$ должно быть отброшено по тем же соображениям, которые применялись при решении аналогичного вопроса в $\$ 27$. Таким образом, следует воспользоваться значением $\gamma=l+1$. Для исследования сходимости ряда (33.10) из формулы (33.11) находим Асимптотически Это выражение в точности совпадает с соответствующим выражением из § 27. Поэтому, как и раньше, заключаем, что ряд (33.10) должен обрываться. Из условия обрыва получаем прежнюю формулу (27.8) для энергии атома: Число независимых состояний, суперпозицией которых может быть получено заданное состояние с энергией $\mathscr{E}$, называется степенью или кратностью вырождения. Найдем степень вырождения для водородоподобного атома в состоянии с заданным главным квантовым числом $n$. Рассмотрим сначала состояния, в которых (наряду с $n$ ) имеет определенное значение и число $l$. Воспользуемся формулой $\gamma=l+1$, которая до сих пор еще не принималась во внимание. Имея в виду, что ряд (33.10) должен обрываться на члене $n$-й степени, запишем его в виде конечной суммы: Отсюда видно, что главное квантовое число $n$ имеет смысл старшего показателя степени в полиноме (33.13). Чйсло $l$ называется орбитальным квантовым числом. Оно определяет квадрат углового момента, Фиксируя $n$, подсчитаем число квантовых состояний, отличающихся одно от другого значениями $l$. Наименьшее значение $l$ есть $l=0$, наибольшее $l=n-1$, так как в этом случае сумма (33.13) сводится к одному члену. Следовательно, при заданном $n$ число $l$ может принимать значения Қвантовое число $n_{r}$ было введено еще Зоммерфельдом в старой квантовой теории и получило название радиального квантового числа. Заметим теперь, что в состоянии с определенным $l$ может иметь различные значения квантовое число $m$, определяющее проекцию углового момента на ось $Z$ (оно называется магнитным ). Именно: В действительности, как будет показано в § 36 , это число следует удвоить из-за наличия спина электрона. Таким образом, кратность вырождения энергетического уровня в водородоподобном атоме равна $2 n^{2}$.
|
1 |
Оглавление
|