1. Гармоническим осциллятором в классической физике называют частицу, на которую действует сила, пропорциональная отклонению частицы из положения равновесия и направленная к нему. Осциллятор называется одномерным, если частица может двигаться только вдоль одной прямой. Последнюю мы примем за ось $X$, а положение равновесия за начало координат. Потенциальная функция частицы имеет вид
\[
U=1 / 2 k x^{2},
\]

где $k$ – постоянная (коэффициент упругости), а $x$-отклонение частицы от положения равновесия. Графиком функции $U(x)$ является парабола (рис. 43). Согласно классической механике осцилляРис. 43 тор совершает гармонические колебания с циклической частотой $\omega=\sqrt{k / m}$, где $m$ – масса частицы.

В квантовой механике понятие силы не используется. Поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как частицу с потенциальной функцией $U(x)$. Найдем энергии стационарных состояний осциллятора, следуя идеям предыдущего параграфа. Но здесь возникает следующая трудность. Функцию $U(x)$ нельзя нормировать так, чтобы она обращалась в нуль в бесконечности, так как при $x= \pm \infty$ она сама бесконечно велика. Но эта трудность искусственная. В реальных системах при возрастании $|x|$ начинают проявляться отступления от параболической формулы (23.1), так что $U( \pm \infty)$ становится конечной. Рассмотрим случай, когда $U(x)$ симметрична, так что $U(+\infty)=U(-\infty)$. Тогда методы предыдущего параграфа становятся применимыми. Но здесь удобнее за нуль $U(x)$ принять ее значение при $x=0$. Мы проведем решение, предполагая, что формула (23.1) справедлива при любых $x$. Однако для реального осциллятора полученные результаты будут справедливы для не слишком больших значений $|x|$.
2. Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора имеет вид
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+\frac{1}{2} k x^{2} \psi=\mathscr{E} \psi
\]

Если ввести безразмерные величины
\[
\lambda=2 \mathscr{E} / \hbar \omega, \quad \xi=x \sqrt{k / \hbar \omega},
\]

то оно преобразуется в
\[
-\frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}}+\xi^{2} \psi=\lambda \psi
\]

При определенном значении параметра $\lambda$ это уравнение имеет решение $\psi=e^{\alpha_{\xi^{2}}^{2}}$, где $\alpha$ – постоянная, которая сейчас будет определена вместе с $\lambda$. Действительно,
\[
\begin{aligned}
\frac{d \psi}{d \xi} & =2 \alpha \xi e^{\alpha \xi^{2}}=2 \alpha \xi \psi, \\
\frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} & =2 \alpha \psi+2 \alpha \xi \frac{d \psi}{d \xi}=\left(4 \alpha^{2 \xi} \xi^{2}+2 \alpha\right) \psi .
\end{aligned}
\]

Подставляя эти значения в (23.4), получим
\[
\left(1-4 \alpha^{2} \cdot \xi^{2}-2 \alpha=\lambda,\right.
\]

причем это соотношение должно выполняться тождественно по $\xi$. Это будет тогда и только тогда, когда $1-4 \alpha^{2}=0, \lambda=$ $=-2 \alpha$, т. е. $\alpha= \pm 1 / 2$. Знак плюс следует отбросить, так как в этом случае функция $\psi=e^{\alpha \xi^{2}}$ обращалась бы в бесконечность при $\xi= \pm \infty$. Таким образом, получается решение
\[
\psi=e^{-\xi^{2} / 2},
\]

если $\lambda=1$. Это решение не имеет узлов, а потому оно описывает основное состояние гармонического осциллятора. Ему соответствует нулевая энергия
\[
\mathscr{E}_{0}=(\lambda / 2) \hbar \omega=\hbar \omega / 2 .
\]
3. В стационарном состоянии с энергией $\mathscr{E}_{n}$ функция $\psi$ должна иметь $n$ узлов. Такое число узлов имеет функция
\[
\downarrow=P_{n}(\xi) e^{-\xi^{2} / 2},
\]

где $P_{n}(\xi)$ – полином $n$-й степени с некратными вещественными корнями. При избранных значениях параметра $\lambda$ такая функция действительно является решением уравнения (23.4) и обращается в нуль на бесконечности. При таких значениях $\lambda$ она и будет волновой функцией осциллятора. Дважды дифференцируя ее и подставляя $d^{2} \psi / d x^{2}$ в уравнение (23.4), получим
\[
-P_{n}^{\prime \prime}(\xi)+2 \xi P_{n}^{\prime}(\xi)+P_{n}(\xi)=\lambda P_{n}(\xi) .
\]

Это соотношение должно выполняться тождественно по $\xi$. В нем все подчеркнутые члены являются полиномами степени $n$. Степень полинома $P_{n}^{\prime \prime}(\xi)$ на два меньше, т. е. равна $n-2(n \geqslant 2)$. Чтобы определить $\lambda$, достаточно сравнить коэффициенты при
старших членах подчеркнутых полиномов. Если коэффициент при $\xi^{n}$ в полиноме $P_{n}(\xi)$ равен $a_{n}$, то в полиноме $2 \xi P_{n}^{\prime}(\xi)$ coответствующий коэффициент равен . $2 n a_{n}$. Поэтому необходимо, чтобы выполнялось соотношение $2 n+1=\lambda$. Тогда
\[
-P_{n}^{\prime \prime}(\xi)+2 \xi P_{n}^{\prime}(\xi)=2 n P_{n}(\xi) .
\]

Полиномы, являющиеся решениями этого уравнения, называются полиномами Чебышева – Эрмита. Можно доказать (на чем мы не останавливаемся), что все корни полиномов Чебышева Эрмита некратные и вещественные. Это легко доказать для небольших $n$, фактически находя сами полиномы и вычисляя их корни (см. задачу к этому параграфу).

Подставляя $\lambda=2 n+1$ в (23.3), находим энергетические уровни осциллятора:
\[
\mathscr{E}_{n}=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \quad(n=0,1,2, \ldots) .
\]

Эти уровни эквидистантны, т. е. находятся на равных расстояниях друг от друга. На рис. 43 они изображены горизонтальными прямыми.

Классический осциллятор излучает свет только с одной частотой $\omega$. Қазалось бы, что в соответствии с правилом частот Бора в квантовом случае возможно излучение со всевозможными кратными частотами $N \omega$ ( $N$ – целое число). На самом деле при излучении фотона этого не происходит. Из этого затруднения в старой квантовой теории Бор вышел, руководствуясь принципом соответствия. Чтобы исключить кратные частоты, на переходы между уровнямн энергии осциллятора было наложено ограничение, называемое правилом отбора. Согласно этому правилу квантовое число $n$ осциллятора при излучении и поглощении фотона может меняться только на $\pm 1$, т. е.
\[
\Delta n= \pm 1 .
\]

Это правило отбора выводится и в последовательной квантовой механике, не обращаясь ни к какому принципу соответствия. Қвантовая механика позволяет вычислить вероятность перехода осциллятора с одного уровня на другой с излучением или поглощением фотона. Оказалось, что эта вероятность обращается в нуль, когда правило отбора (23.11) не соблюдается.

З А Д А Ч А

Найти полиномы Чебышева – Эрмита и волновые функцин одномерного гармонического осинлятора для $n=1,2,3,4,5$.

Решение. Ради примера рассмотрим случай $n=4$. Задача сводится к решению уравнения (23.9) в виде иолинома
\[
P_{4}(\xi)=a_{4} \xi^{4}+a_{3} \xi^{d}+a_{2} \xi^{2}+a_{1} \xi+a_{0} .
\]

Подставляя эго выражение в уравнение (23.9) и сравнивая коэффициенты, найдем, что оно удовлетворяется при любом значении $a_{4}$, как это и должно быть согласно общей теории. Далее, находим $a_{2}=-3 a_{4}, a_{0}=-1 / 4 a_{2}=3 / 4 a_{4}$, $a_{3}=a_{1}=0$. Итак,

Корни этого полинома
\[
P_{4}(\xi)=a_{4}\left(\xi^{4}-3 \xi^{2}+3 / 4\right)
\]
\[
\xi= \pm \sqrt{1 / 2(3 \pm \sqrt{6}}
\]

вещественны и некратны.
Аналогично,
\[
\begin{array}{l}
P_{1}(\xi)=a_{1} \xi, \\
P_{2}(\xi)=a_{2}\left(\xi^{2}-1 / 2\right), \\
P_{3}(\xi)=a_{3}\left(\xi^{3}-3 / 2 \xi\right), \\
P_{5}(\xi)=a_{5}\left(\xi^{5}-5 \xi^{3}+{ }^{15} / 4 \xi\right) .
\end{array}
\]

Волновые функции получаются умножением этих полиномов на $e^{-\xi^{2} / 2}$. Их обычно нормируют к единице, т. е. подчиняют условию
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\left|P(\xi) e^{-\xi^{2} / 2}\right|^{2} d \xi=1 .
\]