1. К задаче о квантовании энергии в потенциальных ямах примыкает задача о прохождении частицы через потенциальные барьеры Ограничимся рассмотрением одномерных потенциальных барьеров, когда потенциальная функция $U$ зависит только от одной координаты $x$. Потенциальным барьером такого типа называется ограниченная параллельными плоскостями область пространства, в которой потенциальная функция $U(x)$ больше, чем в примыкающих областях.

Начнем с простейшего идеализированного случая прямоугольного потенциального барьера, когда одна из его стенок удалена в бесконечность (рис. 50). Такой барьер может быть назван ступенчатым, так как потенциальная функция $U(x)$ в этом случае представляется ступенчатой линией:
\[
U(x)=\left\{\begin{array}{l}
U_{1}=\text { const в области } I, \text { где } x<0, \\
U_{2}=\text { cons } 1 \text { в области } I, \text { где } x>0,
\end{array}\right.
\]

причем $U_{2}>U_{1}$. На границу барьера слева с постоянной скоростью налетает частица или поток частиц. С классической точки зрения частица ведет себя по-разному в зависимости от того, будет ли ее полная энергия $\mathscr{E}$ больше или меньше $U_{2}$. В первом случае, когда $\mathscr{E}>U_{2}$, частица, достигнув границы барьера, будет продолжать движение в прежнем направлении, но с меньшей кинетической энергией. Во втором случае, когда $\mathscr{E}<U_{2}$, частица вообще не может проникнуть через границу барьера. Она отразится от него и начнет движение в обратном направ„ении с той же кинетической энергией.
2. Совсем иное решение задачи дает квантовая механика. Здесь движение частицы, хотя и символически, связано с распространением волны. Основное уравнение квантовой механики – уравнение Шредингера – описывает (и притом детерминистически) распространение именно волн, а не движение частиц. Переход же от поведения волн к движению частиц устанавливается вероятностными законами. Поэтому поставленная нами задача должна быть переформулирована, а затем решена для волн на основе уравнения Шредингера. Последнее мы будем записывать в виде
\[
\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+k^{2} \psi=0
\]

где
\[
k^{2}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}(\mathscr{E}-U) \text {, }
\]

причем $U$ имеет разные, но постоянные значения $U_{1}$ и $U_{2}$ по разные стороны границы барьера. Соответствующие им значения $k$ обозначаются через $k_{1}$ и $k_{2}$.

Вместо потока частиц теперь надо предположить, что в области I к границе барьера распространяется плоская монохроматическая волна
\[
\psi_{1}=e^{i\left(k_{1} x-\omega t\right)} .
\]

Чтобы удовлетворялись граничные условия для $\psi$ и $d \psi / d x$ на границе барьера, в области $I$ должна существовать отраженная волна
\[
\psi_{i}^{\prime}=r e^{-i\left(k_{1} x+\omega t\right)},
\]

а в области $I I$ – прошедшая волна
\[
\psi_{2}=d e^{i\left(k_{2} x-\omega t\right)} .
\]

Амплитуда падающей волны принята равной единице, что, очезидно, не нарушает общности получаемых ниже результатов. Постоянные $r$ и $d$ называются амплитудными козффициентами лтражения и пропускания волн. Для их определения заметим, что функция $\psi$ и ее производная по $x$ на границе барьера должны быть непрерывны. Это значит, что при $x=0$ должны выполняться соотношения
\[
\left(\psi_{1}+\psi_{1}^{\prime}\right)=\psi_{2}, \quad \frac{d}{d x}\left(\psi_{1}+\psi_{1}^{\prime}\right)=\frac{d \psi_{2}}{d x},
\]

нли
Отсюда находим
\[
1+r=d, \quad k_{1}-k_{1} r=k_{2} d .
\]
\[
r=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}, \quad d=\frac{2 k_{1}}{k_{1}+k_{2}} .
\]

Это такие же соотношения, но записанные в иной форме, которые были получены в оптике для коэффициентов Френеля (1788-1827) при нормальном падении света на границу раздела сред (см. т. IV, $\S \S 65,69$ ). Они справедливы не только при $U_{2}>U_{1}$ (потенциальный барьер), но и при $U_{2}<U_{1}$ (потенциальная яма).
3. Принципиальное отличие квантовомеханического решения от классического состоит в том, что в классической физике частица локализована, а в квантовой механике – нет. В классической физике говорят об энергии и состоянии частицы, когда она находится в определенном месте пространства, независимо от того, что происходит в остальных местах пространства. В квантовой механике это не так. Решение, даваемое квантовой механикой, волна, есть понятие, относящееся ко всему пространству. Падающая волна органически связана с отраженной и прошедшей волнами. Нельзя выделить одну из этих волн, отвлекаясь от остальных. Полная энергия $\mathscr{E}$ относится не к какой-либо одной волне, а к состоянию частицы в целом, определяемому всеми тремя функциями $\psi_{1}, \psi_{1}^{\prime}, \psi_{2}$. Понимание этого обстоятельства позволяет избежать многих парадоксальных выводов, связанных с прохождением частиц через потенциальные барьеры.

Заметим еще, что задача об определении амплитудных коэффициентов отражения и пропускания волн есть чисто детерминистическая задача. Она формулируется и решается в стиле классической физики – на основе точно сформулированного уравнения Шредингера и соответствующих ему граничных условий. Но не эти коэффициенты определяют реальные величины, с которыми приходится иметь дело на опыте. На опыте измеряются коэффициенты отражения и пропускания не для волн, а для частиц. Они же связаны с амплитудными коэффициентами отражения и пропускания волн вероятностными соотношениями. Коэффициенты отражения и пропускания для частиц опреде ляются ниже. Таким образом, отражение частиц от потенциаль ного барьера и прохождение через него определяются вероят ностными законами.
4. При сравнении квантовомеханического решения с классическим рассмотрим сначала случай $\mathscr{E}>U_{2}$. В этом случае все три волны – падающая, отраженная и прошедшая – однородны. Отличие квантового случая от классического состоит прежде всего в том, что в классическом случае нет отраженного потока частиц. В’ квантовом же случае неизбежно появляется отраженная волна, а с ней и вероятность обнаружить частицу, движущуюся навстречу падающему потоку. Для однородной волны можно ввести понятие плотности вероятности потока вещества. В самом деле, однородный поток не локализован, он характеризуется определенной плотностью импульса, тогда как его координата совершенно не определена. Можно говорить и о скорости распространения вероятности такого потока. Она просто совпадает с классической скоростью и равна $v=p / m=\hbar k / m$. Наконец, плотность вероятности потока массы вещества равна $m v \psi^{*} \psi=\hbar k \psi^{*} \psi$. В падающей волне эта величина равна $\hbar k_{1} \psi_{1}^{*} \psi_{1}=\hbar k_{1}$. Аналогично, плотности вероятности потока вещества в отраженной и прошедшей волнах равны соответственно $|r|^{2} \hbar k_{1}$ и $|d|^{2} \hbar k_{2}$. Отношение плотности вероятности потока массы в отраженной волне к плотности вероятности потока массы в падающей волне называется коэффициентом отражения частицы $R$. Аналогично определяется коэффициент пропускания частицы $D$. Он называется также пропускаемостью или прозрачностью барьера. Для этих величин находим
\[
R=|r|^{2}=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right|^{2} . \quad D=\frac{k_{2}}{k_{1}}|d|^{2}=\frac{4 k_{1} k_{2}}{\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}},
\]

так что $R+D=1$, в согласии с законом сохранения вещества.
5. Обратимся теперь к случаю, когда $\mathscr{E}<U_{2}$. В этом случае формулы (28.4), конечно, также остаются справедливыми. Остается справедливой и первая формула (28.5), поскольку отраженная волна по-прежнему однородна. Однако величина $k_{2}$ будет чисто мнимой, так что волна во второй области станет неоднородной. В первой же формуле (28.5) числитель и знаменатель будут величинами комплексно сопряженными. Значит, $R=1$, т. е. отражение частиц становится полным, как и в аналогичном случае в оптике. Однако волна во второй области не исчезает. Действительно, полагая $k_{2}=i \alpha$, для этой волны получаем
\[
\psi_{2}=\frac{2 k_{1}}{k_{1}+k_{2}} e^{-\alpha x} e^{-i \omega t},
\]
т. е. амплитуда волны в области $/$ экспоненциально затухает при удалении от границы раздела областей. Глубина проникновения $l$ определяется как расстояние, на котором плогность вероятности потока вещества убывает в $е$ раз. Для нее полунаем
\[
l=1 / 2 \alpha=\lambda_{2} / 4 \pi \text {. }
\]

где
\[
\lambda_{2}=\frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 m\left(U_{2}-\mathscr{E}\right)}}=\frac{h}{\sqrt{2 m\left(U_{2}-\mathscr{E}\right)}} .
\]

Таким образом, волна проникает в область $I I$, несмотря на го, что она отражаегся полностью, а вероятность отражения частицы обращается в единицу. Разрешение возникающего здесь кажущегося парадокса в точности такое же, как и в. случае полного отражения света (см. т. IV, § 66). Наше решение относится к стационарному состоянию, поскольку оно основано на уравнении IIIредингера именно для таких состояний. Проникновение же волны во вторую область происходит в переходный период, когда состояние во времени еще не установилось. В этот переходный период полного отражения волны еще не можез быть. Исследование же переходного периода может быть осуществлено на основе уравнения Шредингера, но уже дтя нестационарных состояний (21.5).
6. Подчеркнем еще раз, что в найденном нами стационарном состоянин, описываемом тремя волновыми функциями $\boldsymbol{\psi}_{1}, \Psi_{1}^{\prime}, \Psi_{2}$, частица не локализована. Она может с той или иной вероятностью находиться в любой точке пространства. Общим для всего этого состояния является параметр $\mathscr{E}$, названный нами полной энергией частицы. Следует с осторожностью отождествлять это понятие с полной энергией, как она понимается в классической механике. Так, мы уже указывали, что в квантовой механике не всегда имеет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенцнальную (см. § 20 , пункт 8). Чтобы определить параметр $\mathscr{E}$, надо произвести измерение, т. е. как-то воздействовать на частицу.
7. Рассмотрим сначала состояние частицы в части пространства I. Оно представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн $\psi_{1}$ и $\psi_{1}^{\prime}$, распространяюшихся навстречу друг другу. Их волновые числа имеют определенные значения, одинаковые по величине. Поэтому одинаковы по величине и импульсы, соответствующие обеим волнам. Измеряя импульс, когда частица находится в части пространства $I$, мы найдем, что он с той или иной вероятносгью равен либо $p_{1}=\hbar k_{1}$, либо $p_{1}^{\prime}=-\hbar k_{1}$. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга определенность импульса в каждой волне связана с тем, что частица не локализована. Действительно, неопределенность координаты $\Delta x$ бесконечно велика, и потому, согласно соотношению (20.2), неопределенность импульса $\Delta p$ для каждой волны обрацается в нуль. Учитывая соотношение $p=\hbar k$, формулу (28.3) можно переписать в виде
\[
\mathscr{E}=\frac{p^{2}}{2 m}+U
\]
т. е. $\mathscr{E}$, как и в классической механике, равна сумме кинетической и потенциальной энергии. Такое совпадение с классической механикой обусловлено тем, что потенциальная функция $U_{1}$ во всем пространстве $/$ постоянна, т. е. это пространство свободно от сил. К тому же результату мы придем и в пространстве $I I$, если только в этом пространстве $\mathscr{E}>U_{2}$, и, следовательно, волна однородна.
8. Рассмотрим геперь область $I /$ в случае, когда $\mathscr{E}<U$. Вероятность обнаружить частицу в области $I I$ в этом случае рассматривалась как парадокс. Основанием для этого является соотношение (28.9), из которого следует, что всегда $\mathscr{E}>U$, так как кинетическая энергия $p^{2} / 2 m$ существенно положительна. Однако, как уже неоднократно подчеркивалось, формула (28.9) есть соотношение классической механики и неприменима при $\mathscr{E}<U$. В этом случае волна де Бройля неоднородна и обычные выражения импульса и кинетической энергии частицы теряют смысл. Однако обнаружить частицу в области // возможно, поскольку вероятность такого обнаружения не обращается в нуль, а лишь экспоненциально убывает по мере удаления от границы барьера в сторону положительных $x$. Обнаружить частицу – это значит указать границы, между которыми она окажется в результате обнаружения. Практически частицу можно обнаружить только в тонком поверхностном слое вблизи границы барьера, толщина которого порядка глубины проникновения $l$. Величина $l$ и может быть принята за неопределенность координаты после обнаружения частицы. Неопределенность импульса обозначим через $\Delta p$. Тогда в силу соотношения неопределенностей (20.4)
\[
\overline{\Delta p^{2}} \cdot l^{2} \geqslant \hbar^{2} / 4 .
\]

Подставляя сюда значение $l$ из (28.7) и (28.8), получим
\[
\overline{\overline{\Delta p^{2}}} \geqslant U_{2}-\mathscr{E} \text {, }
\]
т. е. для локализации частицы в области $/ /$ в слое толцины $l$ ей необходимо сообщить кинетическую энергию, величина которой во всяком случае не меньше $U_{2}-\mathscr{E}$, т. е. положительна. Такую энергию частица может, например, получить при освещении ее световым квантом достаточно короткой длины волны (эффект Комптона). Понятно, что такая локализация меняет квантовое состояние частицы. После взаимодействия со световым квантом волновая функция частицы будет отличаться от нуля только внутри выбранного нами слоя толщины $l$, обращаясь в нуль вне этого слоя.

Не обязательно, чтобы слой толщины $l$, в котором обнаруживается частица, располагался у края барьера. Он может быть расположен где угодно в области II. От его положения зависит лишь величина вероятности обнаружения частицы в слое. Но энергия, которую надо сообщить частице при ее локализации в слое толщины $l$, зависит только от толщины слоя, а не от его положения. Толщина же слоя определяется экспонентой $e^{-2 \alpha l}$ и от положения слоя не зависит.

Иллюстрируем роль измерения еще на следующем примере. Частица должна быть локализована внутри слоя толщины $l$. С этой целью осветим ее пучком света, распространяюцимся вдоль слоя перпендикулярно к оси $X$. Если произойдет рассеяние света, то это и будет означать, что частица в момент рассеяния была локализована внутри рассматриваемого слоя. Из оптики известно, что длина световой волны для локализации должна быть короче $l$, т. е. $\lambda<l$. Из формул (28.7) и (28.8) получаем
\[
\lambda<\frac{h}{4 \pi \sqrt{2 m\left(U_{2}-\mathscr{E}\right)}},
\]

или
\[
\left(h c / \lambda^{2} \equiv h v\right)^{2}>32 \pi^{2} m c^{2}\left(U_{2}-\mathscr{E}\right) .
\]

Нерелятивистская механика применима к процессам, когда энергия светового кванта $h v$ мала по сравнению с собственной энергией частицы $m c^{2}$. Поэтому, разделив левую часть предыдущего неравенства на меньшую величину $h v$, а правую на болышую $32 \pi^{2} m c^{2}$, получим тем более
\[
h v>U_{2}-\mathscr{E} .
\]

Таким образом, для локализации должны применяться световые кванты, энергия которых во всяком случае не меньше разности между потенциальной и полной энергиями частицы. Это находится в согласии с тем, что было сказано выше.
9. Заканчивая рассмотрение ступенчатого барьера, выведем некоторые общие соотношения, связывающие амплитудные коэффициенты отражения и пропускания волн де Бройля на границе барьера. Если переменить на противоположные направления распространения всех волн де Бройля без изменения их амплитуд, то уравнение Шредингера и соответствующие ему граничные условия будут по-прежнему удовлетворены. Отсюда следует, что если возникло состояние, изображенное на рис. $51, a$, то возможно также и состояние, изображенное на рис. 51 , б. На этих рисунках каждая волна де Бройля представлена двумя символами. Первый из них представляет амплитуду, а второй – волновое число соответствующей волны, распространяющейся в положительном или отрицательном направлении оси $X$. Направления распространения волн обозначены стрелками. На рис. $51, a$ есть только одна, а на рис. 51 , б – две падающие волны. Обозначим через $r^{\prime}$ и $d^{\prime}$ амплитудные коэффициенты отражения и пропускания, когда падающая волна распространяется справа налево из области $I I$ к области $I$. Падающая волна $\left(r, k_{1}\right)$ дает отраженную волну $\left(r^{2},-k_{1}\right)$. Падаюшая волна ( $d,-k_{2}$ ) возбуждает проходящую волну ( $\left.d d^{\prime},-k_{1}\right)$. Обе возбужденные волнь должны при наложении дать уходящую волну $\left(1,-k_{1}\right.$ ). Таким образом, должно бытв
\[
r^{2}+d d^{\prime}=1 \text {. }
\]

Аналогично, волна $\left(r, k_{1}\right)$ возбуждает проходящую волну ( $\left.r d, k_{2}\right)$, а волна $\left(d,-k_{2}\right)$ – отраженную волну $\left(d r^{\prime}, k_{2}\right)$. Обе возбужден-

ные волны должны гасить друг цруга, т. е. $r d+d r^{\prime}=0$, откуда
\[
r^{\prime}=-r \text {. }
\]

Соотношения (28.10a) и (28.10б) справедливы как для однородных, так и для неоднородных волн. Они были уже получены в т. IV (§67) для световых волн. Прнменим их к прямоугольному потенциальному барьеру (или яме) конечной ширины.

Барьер вместе с падающей волной изображен на рис. $52, a$. Более детальная картина падающей, прошедших н ограженных
Рис. 52 волн представлена на рис. 52, б. Для волн и их направлений примем те же обозначения, что и на рис. 51. Амплитудные коэффициенты отражения и прохождения волн (слева направо) на первой границе обозначим через $r_{1}$ и $d_{1}$, на второй – через $r_{2}$ и $d_{2}$. Дпя обратного направления волн (справа налево) те же коэффициенты обозначим через $r_{1}^{\prime}, d_{1}^{\prime}, r_{2}^{\prime}$, $d_{2}^{\prime}$. Результирующие амплитудные коэффициенты отражения и пропускания волн для всего барьера обозначим соответ-

ственно через $r$ и $d$. Все волны, которые возникнут внутри и вне барьера, представлены на рис. 52,6 . Внутри барьера в противоположных направлениях будут распространяться две волны: $(a, k)$ и $(b,-k)$. На левой границе барьера, как видно из рисунка, сходятся четыре волны, а на правой – три волны. Написав граничные условия – непрерывность $\psi$ и $d \psi / d x$ на каждой границе барьера,-мы получим четыре уравненпя первой степени, из которых могут быть найдены все неизвестные амплитуды $r, a, b, d$. Однако выкладки упростятся, а результаты выразятся в более краткой и компактной форме, если поступить несколько иначе.
10. Рассмотрим сначала условия на левой эранице барьера. Примем эту границу за начало координат. $\mathrm{K}$ ней подходят две волны: $\left(1, k_{1}\right)$ слева и ( $b,-k$ ) справа. Обе волны отражаются от рассматриваемой границы барьера и частично проходят через нее. В результате наложения отраженной и прошедшей волн в первой области должна получиться результирующая отраженная волна ( $\left.r,-k_{1}\right)$, а внутри барьера — волна ( $a, k$ ). Таким образом, должно быть
\[
r=r_{1}+d_{1}^{\prime} b, \quad a=d_{1}+r_{1}^{\prime} b .
\]

Аналогично поступаем на второй границе барьера. Только теперь начало координат надо перенести на вторую границу и соответственно этому преобразовать амплитуды сходящихся на ней волн. Амплитуды волн, изображенных на рис. 52,6 , отнесены к началу координат, помещенному на левой границе. Соответствующие координаты обозначены через $x$, а координаты относительно начала, помещенного на второй границе, обозначим через $x^{\prime}$. Эти координаты связаны соотношением $x=x^{\prime}+l$. При прежнем выборе начала координат волны, сходящиеся на правой границе барьера, представляются выражениями
\[
a e^{i k x}, \quad b e^{-i k x}, d e^{i k_{2} x}
\]
(временной множитель $e^{-i \omega t}$ мы опускаем). При замене $x$ через $x^{\prime}$ те же выражения преобразуются в
\[
\left(a e^{i k l}\right) e^{i k x^{\prime}}, \quad\left(b e^{-i k l}\right) e^{-i k x^{\prime}}, \quad\left(d e^{i k_{n} l}\right) e^{i k_{2} x^{\prime}} .
\]

Теперь роль амплитуд волн играют выражения, заключенные в круглых скобках. В результате условия на правой границе барьера принимают вид
\[
d e^{i k_{2} l}=d_{2} a e^{i k l}, \quad b e^{-i k l}=r_{2} a e^{i k l} .
\]

Из уравнений (28.11) и (28.12) можно найти все неизвестные $r, d, a, b$. Из них представляют интерес прежде всего $r$ и $d$. С учетом соотношений $r_{1}^{\prime}=-r_{1}$ и $r_{1}^{2}+d_{1} d_{1}^{\prime}=1$ для них находим
\[
r=\frac{r_{1}+r_{2} e^{2 i k l}}{1+r_{1} r_{2} e^{2 i k l}}, \quad d=\frac{d_{1} d_{2} e^{-l\left(k_{2}-k\right) l}}{1+r_{1} r_{2} e^{2 i k l}} .
\]
11. Пользуясь этими формулами, можно рассчитать коэффициенты отражения и пропускания для частиц. Рассчитаем коэффициент пропускания $D$. Предполоким, что вне барьера $U_{1}<\mathscr{E}$ и $U_{2}<\mathscr{E}$, тогда как внутри барьера $U>\mathscr{E}$. Тогда обе величины
\[
k_{1}=\frac{1}{\hbar} \sqrt{2 m\left(\mathscr{E}-U_{1}\right)} \quad \text { и } \quad k_{2}=\frac{1}{\hbar} \sqrt{2 m\left(\mathscr{E}-U_{2}\right)}
\]

вещественны и положительны, внутри же барьера $k=i \alpha$, гле
\[
\alpha=\frac{1}{\hbar} \sqrt{2 m(U-\mathscr{E})} .
\]

Далее,
\[
\begin{array}{ll}
r_{1}=\frac{k_{1}-k}{k_{1}+k}=\frac{k_{1}-i \alpha}{k_{1}+i \alpha}, & r_{2}=\frac{k-k_{2}}{k+k_{2}}=\frac{i \alpha-k_{2}}{i \alpha+k_{2}}, \\
d_{1}=\frac{2 k_{1}}{k_{1}+k_{2}}=\frac{2 k_{1}}{k_{1}+i \alpha}, & d_{2}=\frac{2 k}{k+k_{2}}=\frac{2 i \alpha}{k_{7}+i \alpha} .
\end{array}
\]

Коэффициент пропускания частицы, согласно (28.5), вычисляется по формуле
\[
D=\frac{k_{2}}{k_{1}}|d|^{2}=\frac{k_{2}}{k_{1}} d d^{*} .
\]

Простые, но несколько длинные вычисления приводят к результату
\[
D=\frac{16 k_{1} k_{2} \alpha^{z}}{\left(k_{1}^{2}+\alpha^{2}\right)\left(k_{2}^{2}+\alpha^{2}\right)\left(e^{2 \alpha l}+e^{-2 \alpha l}\right)+2\left(\alpha^{2}-k_{1} k_{2}\right)} .
\]

В большинстве интересующих нас случаев экспонентой $e^{-2 \alpha l}$ в знаменателе можно пренебречь. Допустим, например, что $U-\mathscr{E}=50$ эВ $=0,8 \cdot 10^{-10}$ эрг. Тогда для электрона $\alpha=$ $=3,64 \cdot 10^{8} \mathrm{~cm}^{-1}, e^{2 \alpha l}=1,45 \cdot 10^{3}, e^{-2 \alpha l}=0,69 \cdot 10^{-3}$. Можно также пренебречь слагаемым $2\left(\alpha^{2}-k_{1} k_{2}\right)$, так как оно того же порядка, что и коэффициент $\left(k_{1}^{2}+\alpha^{2}\right)\left(k_{2}^{2}+\alpha^{2}\right)$. В результате получается простая формула
\[
D=D_{0} e^{-2 a l}=D_{0} \exp \left[-\frac{2 l}{\hbar} \sqrt{2 m(U-\mathscr{E})}\right],
\]

где коэффициент $D_{0}$ слабо меняется с изменением $l, \mathscr{E}, U_{1}, U_{2}$. Его можно принять постоянным и в большинстве интересных случаев считать порядка единицы.

Если частица падает на барьер с одной стороны, то по классическим представлениям при $U>\mathscr{E}$ она не может появиться с другой стороны. Напротив, согласно квантовой механике это возможно. Частица как бы проходит по туннелю через классически запрешенную область $U>\mathscr{E}$. Это явление получило название туннельного эффекта. Если при этом $U_{1}=U_{2}$ (симметричный прямоугольный потенциальный барьер), то кинетическая энергия, с которой частица появляется за барьером, равна начальной кинетической энергии, с которой она падала на барьер. Начало представления о туннельных переходах было заложено в 1927 г. Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовичем (1903-1981). Они на основе уравнения Шредингера рассмотрели проблему квантования для ангармонического осциллятора, у которого потенциальная функция $U=1 / 2 k x^{2}$ при $|x|<a$ и $U=$ const при $|x|>a$.
12. Мы рассмотрели потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 52). Это было сделано только с цельо математического упрощения задачи. Ничего принципиального при этом потеряно не было. Для полноты рассмотрим теперь потенциальный барьер, в котором $U$ является произвольной функцией $x$. Пример такого барьера приведен на рис. 53. Горизонтальная
Рис. 53

прямая $U(x)=\mathscr{E}$ пересекает кривую барьера в двух точка. с абсциссами $x_{1}$ и $x_{2}$. Аппроксимируем кривую барьера над этой прямой ступенчатой линией. Тогда вся площадь, где $\mathscr{E}<U$, разобьется на заштрихованные прямоугольники, каждый из которых можно рассматривать как прямоугольный потенциальный барьер. Пусть ширина одного из таких прямоугольников равна $d x$, а высота $U(x)$. Если $d x$ взять достаточно большим, то коэффициент пропускания такого прямоугольного барьера представится выражением
\[
D_{0}^{\prime} \exp \left[-\frac{2 d x}{\hbar} \sqrt{2 m(U-\mathscr{E})}\right] .
\]

Коэффициент пропускания всего барьера получится путем перемножения выражений такого вида. При этом показатели степеней сложатся, и мы придем к выражению вида
\[
D=D_{0} \exp \left\{-\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{2}{\hbar} \sqrt{2 m(U-\mathscr{E})} d x\right\} .
\]

Эту приближенную формулу можно обосновать и математически более строго.

Туннельным прохождением через потенциальный барьер объясняются многие физические явления. Сюда относятся разбираемые в следующем параграфе контактная разность потенциалов и холодная эмиссия электронов из металлов. Сюда же относятся такие явления, как $\alpha$-распад, спонтанное деление атомных ядер, ядерные реакции, когда по классическим представлениям кинетической энергии сталкивающихся ядер недостаточно для преодоления кулоновского потенциального барьера между ними, и т. д. Эти явления будут разобраны в ядерной физике.

ЗА Д А Ч А

В прямоугольном барьере (или яме) $U_{1}=U_{2}$. При каком условии частица не будет отражаться от потенциального барьера (ямы)?

Ответ. Полная энергия $\mathscr{E}$ лолжна быть больше потенциальной энергии $U$ частицы внутри барьера (ямы). Толщнна барьера (ямы) должна быть $l=$ $=1 / 4 \lambda, 8 / 4 \lambda, 5 / 4, \ldots$, где $\lambda=h / \sqrt{2 m(\varnothing-U)}$ – длина волны де Бройля вну. три барьера (ямы).