Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Ради простоты будем предполагать, что система состоит только из двух частиц: 1 и 2. Координаты (радиус-вектор) первой частицы обозначим через $\boldsymbol{r}_{1}$, второй – через $\boldsymbol{r}_{2}$. Оператором углового момента $\hat{l}$ системы называгот сумму операторов угловых моментов ее частей $\hat{l}_{1}$ и $\widehat{l}_{2}$ : Так же определяется и оператор проекции углового момента системы на избранное направление. Например, Будем предполагать, что частицы не взаимодействуют между собой. Тогда волновая функция первой частицы $\Psi_{1}\left(r_{1}\right)$ будет одна и та же независимо от того, есть вторая частица или нет. Эту функцию можно умножить на произвольную постоянную, которая может зависеть от $\boldsymbol{r}_{2}$ как от параметра. В частности, за нее можно принять волновую функцию $\Psi_{2}\left(r_{2}\right)$ второй частицы. Тогда волновая функция первой частицы представится произведением $\Psi=\Psi_{1}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right) \Psi_{2}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)$. Но очевидно из тех же соображений, что в таком же виде представится и волновая функция второй частицы. Поэтому $\Psi=\Psi_{1} \Psi_{2}$ можно рассматривать как волновую функцию системы невзаимодействующих частиц 1 и 2 . При этом для нее будет сохранена нормировка перестановочны. В самом деле, носкольку оператор $\hat{l}_{1}$ действует только на функцию $\Psi_{1}$ и не действует на функцию $\Psi_{2}$, а оператор $\hat{l}_{2}$, наоборот, действует только на $\Psi_{2}$ и не действует на $\Psi_{1}$, можно написать К тому же результату приводит и действие оператора $\hat{\boldsymbol{l}}_{2} \hat{\boldsymbol{l}}_{1}$. Значит, для функций вида $\Psi=\Psi_{1} \Psi_{2}$ справедливо операторное равенство $\widehat{\boldsymbol{l}}_{1} \widehat{\boldsymbol{l}}_{2}=\widehat{\boldsymbol{l}}_{2} \widehat{\boldsymbol{l}}_{1}$, что и доказывает наше утверждение. Таким же путем докажем для функций того же вида и перестановочность операторов проекций углового момента в случае системы независимых частиц, например $\hat{l}_{1 x}$ и $\hat{l}_{2 x}$. Из доказанного следует, что правила коммутации (31.6) и все следствия из них для отдельной частицы распространяются без всяких изменений и на системы независимых частиц. Ввиду коммутации операторов $\hat{\boldsymbol{l}}_{1}$ и $\hat{\boldsymbol{l}}_{2}$ оператор квадрата углового момента $\widehat{l}^{2}$ будет равен Теперь выясним, как коммутирует оператор квадрата углового момента $\widehat{l}^{2}=\widehat{l}_{x}^{2}+\widehat{l}_{y}^{2}+\widehat{l}_{z}^{2}$ с оператором одной из проскций его, например $l_{x}=\hat{l}_{1 x}+l_{2 x}$. Очевидно, операторы $\hat{l}_{1 x}$ и $\hat{l}_{2 x}$ коммутируют с $\boldsymbol{l}_{1}^{2}$ и с $\boldsymbol{l}_{2}^{2}$. Остается только проверить коммутативность операторов $\hat{l_{1}} \hat{l_{2}}$ и $\hat{l_{x}}$. Имеем Аналогично Если воспользоваться правилами коммутации (31.6) и тем обстоятельством, что операторы $\hat{l}_{1}$ и $\hat{l}_{2}$ действуют на волновые функции разных частиц, то последнее выражение легко привести к предыдущему. Итак, оператор $\widehat{\boldsymbol{l}}^{2}=\left(\hat{\boldsymbol{l}}_{1}+\widehat{\boldsymbol{l}}_{2}\right)^{2}$ коммутирует с операторами проекций $l$ на любое направление. Поэтому существует состояние системы, в котором $l^{2}$ и одна из проекций на любое направление имеют определенные значения. Но линейно независнмые состояния, из которых может быть составлено любое состояние системы с заданными $l_{1}$ и $l_{2}$, можно выбрать и иначе. Должно оставаться постоянным лишь общее число таких линейно независимых состояний, т. е. это число по-прежнему должно быть равно $\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right)$. Ввиду справедливости для всей системы правил коммутации (31.6) существуют при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$ состояния всей системы с определенными значениями квадрата $l(l+1)$ полного углового момента $l$ и его проекции $m$ на ось $Z$. Волновые функции таких состояний будем обозначать через $\psi_{l_{1} l_{2} m}$. Из иих путем линей . ных комбинаций можно составить волновую функцию любого состояния с заданными $l_{1}$ и $l_{2}$. Поэтому число линейно независимых функций типа $\psi_{l_{1} l_{2} l m}$ с заданными $l_{1}$ и $l_{2}$ должно быть равно $\left(2 l_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+1\right)$. Убедимся в этом путем прямого вычисления. Из формулы (32.2) непосредственно следует, что если проекции $m_{1}$ и $m_{2}$ имеют определенные значения, то и проекция $m$ также имеет определенное значение $m$, причем $m=m_{1}+m_{2}$. Ради определенности будем предполагать, что $l_{1}>l_{2}$. Тогда при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$ возможные положительные значения $m$, получаемые таким путем, представятся следующей таблицей: Отберем теперь всевозможные состояния (при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$ ), для которых максимальные значения проекции $m$ соответственно равны $\left(l_{1}+l_{2}\right),\left(l_{1}+l_{2}-1\right), \ldots$ Эго будут состояния с определенным значением $l$, равным Число таких состояний равно $2 l_{2}+1$. В каждом из этих состояний $m$ может принимать $(2 l+1)$ значений. Таким образом, число всевозможных состояний (при заданных $l_{1}$ и $l_{2}$ ) с линейно независимыми функциями типа $\psi_{l_{1} l_{2} l m}$ будет Это-арифметическая прогрессия с разностью -2 и общим числом членов $2 l_{2}+1$. Ее сумма равна что и требовалось доказать. Тогда квадрат результирующего углового момента всей системы может принимать значения $L(L+1)$, где $L$ меняется в пределах причем предполагается, что $L_{1}>L_{2}$. Соответствующие проекции на ось $Z$ могут принимать целочисленные значения от $M=-L$ до $M=+L$. Полученный результат называется $n p a$ вилом сложения угловых моментов. В полученном состоянии сложной системы имеют определенные значения также скалярные произведения $\boldsymbol{L}_{1} \boldsymbol{L}_{2}, \boldsymbol{L} \boldsymbol{L}_{1}$ и $\boldsymbol{L} \boldsymbol{L}_{2}$, т. е. собственные зичения соответствующих операторов $\hat{\boldsymbol{L}}_{1} \widehat{\boldsymbol{L}}_{2}$, $\hat{\boldsymbol{L}} \widehat{\boldsymbol{L}}_{1}$ и $\hat{\boldsymbol{L}} \hat{\boldsymbol{L}}_{2}$. Это следует из формулы (32.4), если написать ее для операторов $\hat{\boldsymbol{L}}, \widehat{\boldsymbol{L}}_{1}, \widehat{\boldsymbol{L}}_{2}$. Например, или, переходя к собственным знаџениям, Аналогично Если системы 1 и 2 не взаимодействуют и нет внешних сил, то сохраняется не только результирующий угловой момент системы $\boldsymbol{L}$, но и оба момента $\boldsymbol{L}_{1}$ и $\boldsymbol{L}_{2}$. При наличии взаимодействия между системами 1 и 2 моменты $\boldsymbol{L}_{1}$ и $\boldsymbol{L}_{2}$ в отдельности не сохраняются, а сохраняется только общий момент $\boldsymbol{L}$ (при отсутствии внешних сил). Если взаимодействие слабое, то по аналогии с классической механикой следует ожидать, что длины векторов $\boldsymbol{L}_{1}$ и $\boldsymbol{L}_{2}$ при этом практически не будут изменяться. На векторной диаграмме векторы $\boldsymbol{L}_{1}$ и $\boldsymbol{L}_{2}$ будут совершать прецессию, т. е. вращаться вокруг вектора $\boldsymbol{L}$ с одной и той же угловой скоростью. К такому же выводу приводит и последовательное квантовое рассмотрение.
|
1 |
Оглавление
|