1. Понятие углового момента можно распространить и на системы частиц. Ради простоты будем предполагать, что система состоит только из двух частиц: 1 и 2. Координаты (радиус-вектор) первой частицы обозначим через , второй — через . Оператором углового момента системы называгот сумму операторов угловых моментов ее частей и :
Так же определяется и оператор проекции углового момента системы на избранное направление. Например,
Будем предполагать, что частицы не взаимодействуют между собой. Тогда волновая функция первой частицы будет одна и та же независимо от того, есть вторая частица или нет. Эту функцию можно умножить на произвольную постоянную, которая может зависеть от как от параметра. В частности, за нее можно принять волновую функцию второй частицы. Тогда волновая функция первой частицы представится произведением . Но очевидно из тех же соображений, что в таком же виде представится и волновая функция второй частицы. Поэтому можно рассматривать как волновую функцию системы невзаимодействующих частиц 1 и 2 . При этом для нее будет сохранена нормировка
2. Если ограничиться действием операторов только на функцию , то из доказанного следует, что операторы и
перестановочны. В самом деле, носкольку оператор действует только на функцию и не действует на функцию , а оператор , наоборот, действует только на и не действует на , можно написать
К тому же результату приводит и действие оператора . Значит, для функций вида справедливо операторное равенство , что и доказывает наше утверждение. Таким же путем докажем для функций того же вида и перестановочность операторов проекций углового момента в случае системы независимых частиц, например и . Из доказанного следует, что правила коммутации (31.6) и все следствия из них для отдельной частицы распространяются без всяких изменений и на системы независимых частиц.
Ввиду коммутации операторов и оператор квадрата углового момента будет равен
Теперь выясним, как коммутирует оператор квадрата углового момента с оператором одной из проскций его, например . Очевидно, операторы и коммутируют с и с . Остается только проверить коммутативность операторов и . Имеем
Аналогично
Если воспользоваться правилами коммутации (31.6) и тем обстоятельством, что операторы и действуют на волновые функции разных частиц, то последнее выражение легко привести к предыдущему. Итак, оператор коммутирует с операторами проекций на любое направление. Поэтому существует состояние системы, в котором и одна из проекций на любое направление имеют определенные значения.
3. Состояние первой тастицы можно характеризовать значениями и , второй — значениями и . Число определяет квадрат углового момента первой частицы , число — квадрат такого же момента второй частицы . Числа и определяют проекции на ось угловых моментов и (в единицах ). Очевидно, совокупность чисел характеризует некоторое состояние системы обеих независимых частиц. Волновую функцию такого состояния будем обозначать через . Определим число состояний такого типа, т. е. число линейно независимых функций при заданных значениях и . При заданном число может принимать значений (см. §31, пункт 7), при заданном число значений равно . Таким образом, при заданных н искомое число состояний с волновыми функциями типа равно . Из таких состояний путем их линейных комбинаций можно составить любое состояние системы с заданными и .
Но линейно независнмые состояния, из которых может быть составлено любое состояние системы с заданными и , можно выбрать и иначе. Должно оставаться постоянным лишь общее число таких линейно независимых состояний, т. е. это число по-прежнему должно быть равно . Ввиду справедливости для всей системы правил коммутации (31.6) существуют при заданных и состояния всей системы с определенными значениями квадрата полного углового момента и его проекции на ось . Волновые функции таких состояний будем обозначать через . Из иих путем линей . ных комбинаций можно составить волновую функцию любого состояния с заданными и . Поэтому число линейно независимых функций типа с заданными и должно быть равно .
Убедимся в этом путем прямого вычисления. Из формулы (32.2) непосредственно следует, что если проекции и имеют определенные значения, то и проекция также имеет определенное значение , причем . Ради определенности будем предполагать, что . Тогда при заданных и возможные положительные значения , получаемые таким путем, представятся следующей таблицей:
Отберем теперь всевозможные состояния (при заданных и ), для которых максимальные значения проекции соответственно равны Эго будут состояния с определенным значением , равным
Число таких состояний равно . В каждом из этих состояний может принимать значений. Таким образом, число всевозможных состояний (при заданных и ) с линейно независимыми функциями типа будет
Это-арифметическая прогрессия с разностью -2 и общим числом членов . Ее сумма равна
что и требовалось доказать.
4. Полученные результаты относятся не только к сложению угловых моментов двух невзаимодействующих частиц. Они распространяются без всяких изменений и на произвольные сложные системы, состоящие из двух невзаимодействующих частей 1 и 2. Қвадраты их угловых моментов (если они имеют определенные значения) определяются выражениями и , где и — целые положительные числа. Соответствующие проекции на ось (если таковые также имеют определенные значения) могут принимать значения:
Тогда квадрат результирующего углового момента всей системы может принимать значения , где меняется в пределах
причем предполагается, что . Соответствующие проекции на ось могут принимать целочисленные значения от до . Полученный результат называется вилом сложения угловых моментов.
В полученном состоянии сложной системы имеют определенные значения также скалярные произведения и , т. е. собственные зичения соответствующих операторов , и . Это следует из формулы (32.4), если написать ее для операторов . Например,
или, переходя к собственным знаџениям,
Аналогично
5. Изложенные результаты принято представлять на векторных диаграммах. Складываемые векторы и нзображаются стрелками с длинами и , а результирующий вектор — стрелкой с длиной . В качестве примера на рис. 59 приведена векторная диаграмма для и при различных углах между векторами и . Получается всего три возможных случая, в соответствии с тем, что может принимать значения и . Taкая диаграмма правильно передает длины всех векторов и их скалярные произРис. 59 ведения. Но она не отражает истинную квантовую природу угловых моментов, поскольку последние, имея определенные длины, не имеют определенных направлений в пространстве.
Если системы 1 и 2 не взаимодействуют и нет внешних сил, то сохраняется не только результирующий угловой момент системы , но и оба момента и . При наличии взаимодействия между системами 1 и 2 моменты и в отдельности не сохраняются, а сохраняется только общий момент (при отсутствии внешних сил). Если взаимодействие слабое, то по аналогии с классической механикой следует ожидать, что длины векторов и при этом практически не будут изменяться. На векторной диаграмме векторы и будут совершать прецессию, т. е. вращаться вокруг вектора с одной и той же угловой скоростью. К такому же выводу приводит и последовательное квантовое рассмотрение.