1. Создание последовательной теории для описания явлений агомных и субатомных масштабов было начато и вчерне завершено в 1925-1926 гг. Такая теория получила назвапие квантовой механики. Сначала возникло то направление в квантовой механике, которое получило название матричной механики. Ее основные идеи были заложены в основополагающей работе Гейзенберга (1901-1976) «О квантовомеханическом истолковании кинематических и механических соотношений». Систематическое построение матричной механики было дано Борном (18821970) и Иорданом (1902-1980), к которым в дальнейшем присоединился и сам Гейзенберг. К этому направлению примыкает и та форма квантовой механики, которая практически одновременно и независимо была разработана Дираком. Немного позже в работах Шредингера (1887-1961) появилось другое направление, названное волновой механикой. Вскоре было выяснено, что эти два направления, отличаясь по форме, тождественны по своему физическому содержанию.

В общем курсе ‘Іецелесообразно говорить о весьма абстрактной матричной механике. Ограничимся только изложением, далеко не полным, физических представлений волновой механики. Разумеется, мы не можем подробно излагать сложный математический аппарат, составляющий неотъемлемую и весьма важную часть квантовой механики. Это делается в курсах теоретической физики.
2. Построению волновой механики Шредингера предшествовали работы Луи де Бройля (р. 1892). В 1923-1924 гг. он выдвинул и развил идеи о волнах вещества. К тому времени в оптике уже сложилась парадоксальная, но подтверждаемая опытом ситуация: в одних явлениях (интерференции, дифракции,…) свет ведет себя как волны; другие явления (фотоэффект, эффект Комптона,…) показывают с неменьшей убедительностью, что он ведет себя и как частицы. Де Бройль поставил вопрос, не распространяется ли подобный корпускулярно-волновой дуализм и на обычное вещество? Если это действительно так, то каковы волновые свойства частиц вещества? Ответ, подтвержденный в дальнейшем опытами, оказался полсжигельным,

Пусть частица движется в свободном пространстве с постоянной скоростью $v$. Де Бройль предположил, что с такой частицей связана какая-то плоская монохроматическая волна
\[
\Psi=\Psi_{0} e^{i(k r-\omega t)},
\]

распространяющаяся в направлении скорости $v^{1}$ ). О природе этой волны, т. е. о физическом смысле функции $\Psi$, де Бройль не мог сказать ничего определенного. Отвлечемся временно и мы от обсуждения этого вопроса. Волны типа (17.1) получили название фазовых волн, волн вещества или волн де Бройля.

Попытаемся установить рациональную связь между корпускулярными и волновыми характеристиками частицы, которая совсем не зависит от физической природы величины $\Psi$. Будем руководствоваться требованием, чтобы эта связь была релятивистски инвариантна. Корпускулярные свойства частицы характеризуются ее энергией $\mathscr{E}$ и импульсом $\boldsymbol{p}$, волновые – частотой $\omega$ и волновым вектором $\boldsymbol{k}$. Под $\mathscr{E}$ мы будем понимать полную энергию частицы в смысле теории относительности. Она определяется однозначно требованием, чтобы энергия и импульс образовывали четырехмерный вектор $(\mathscr{E} / c, p)$ (см. т. IV, § 111 , пункт 3). Частоту $\omega$ определим из требования, чтобы фаза волны $\omega t-k r$ была релятивистски инвариантна (см. по этому поводу $\S 19$, пункт 9 ). Тогда $\omega$ и $k$ будут образовывать четырехмерный вектор $(\omega / c, k)$. Если потребовать, чтобы временные и пространственные компоненты четырехмерных векторов $(\mathscr{E} / c, p$ ) и $(\omega / c, k)$ были пропорциональны друг другу, то получатся релятивистски инвариантные соотношения
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{E}=\hbar \omega, \\
\boldsymbol{p}=\hbar \boldsymbol{k} .
\end{array}
\]

Они будут совпадать с соответствующими соотношениями для фотонов, если для всех частиц $\hbar$ положить равной постоянной Планка, что мы и сделаем. Такой выбор $\hbar$ логически не необ. ходим, а оправдывается последующими результатами. Соотношения (17.2) и (17.3) и были постулированы де Бройлем.

Во всякой инерциальной системе отсчета волновой вектор $k$ определен абсолютно однозначно, поскольку соотношением (17.3) он однозначно выражается через импульс частицы $p=$ $=m v$. Напротив, соотношение (17.2) такой абсолютной однозначностью не отличается. Здесь однозначность навязана искусственно – требованием, чтобы $\mathscr{E}$ и $\omega$ были временными
1) В оптике монохроматическая волна записывалась в виде $e^{i(\omega t-k n)}$. Сейчас мы употребляем комплексно сопряженное выражение $e^{i(k r-\omega t)}$. Оба способа напнсания совершенно равноправны. Но в квантовой механике укорзнилось написание волны именно в форме (17.1). Однако независимо от способа написания под фазой волны следует понимать выражение $\omega t-k r$.

компонентами четырехмериых векторов. В принципе же энергия определена всегда с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Мы увидим далее (см. § 19), что и частоту $\omega$ можно переопределить так, чтобы она также содержала аддитивную постоянную.
3. Рассмотрим некоторые свойства волн де Бройля, вытекающие из соотношений (17.2) и (17.3). Прежде всего из (17.3) получаем выражение для длины волны де Бройля:
\[
\lambda=2 \pi / k=2 \pi \hbar / p=h / p .
\]

Эта величина в каждой инерциальной системе отсчета определена однозначно.

Для фазовой скорости волн де Бройля формулы (17.2) и (17.3) дают
\[
v_{\phi}=\omega / k=\mathscr{E} / p .
\]

В релятивистской теории $\mathscr{E}=m c^{2}, p=m v$, где $v$-скорость частицы, а $m$ – релятивистская масса. В этом случае
\[
v_{\phi}=c^{2} / v .
\]

Поскольку всегда $v \leqslant c$, отсюда следует, что $v_{\phi} \geqslant c$. Для фотонов в вакууме $v=c$, а потому в этом случае $v_{\phi}=c$. Полученный результат не должен нас смущать, поскольку на величину фазовой скорости не накладывается никаких ограничений. К тому же в дальнейшем будет показано, что, согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Бройля имеет чисто символическое значение, так как эта интерпретация относит ее к числу принципиально ненаблюдаемых величин.

Принципиально наблюдаемой величиной является групповая скорость волн де Бройля
\[
v_{\mathrm{rp}}=d \omega / d k=d \mathscr{E} / d p .
\]

Эта величина не содержит никакой неопределенности, поскольку не только $d p$, но и приращение энергии $d \mathscr{E}$ определены однозначно. При любой скорости движения частицы $d \mathscr{E}=v d p$, так что всегда
\[
v_{\mathrm{rp}}=v,
\]
т. е. групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы. Заменив теперь в формуле (17.6) v на $v_{r р}$, получаем
\[
v_{\phi} v_{\mathrm{rp}}=c^{2} \text {. }
\]

Формально можно образовать величину, аналогичную длине волны де Бройля (17.4). Для этого заметим, что длина четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Минковского равна $\sqrt{(\mathscr{E} / c)^{2}-p^{2}}$. Это есть инвариант, равный $m_{0} c$, где $m_{0}$ – масса покоя частицы. Поделив на него постоянную Планка $h$, получим инвариантную величину
\[
\lambda_{\mathrm{K}}=h / m_{0} c \text {, }
\]

имеющую размерность длины. Она представляет собой комптоновскую длину частицы. Таким образом, формально $\lambda_{\text {қ }}$ можно рассматривать как длину волны де Бройля, которой соответствует величина импульса, равная инвариантной длине четырехмерного вектора энергии-импульса частицы в пространстве Минковского.
4. Де Бройль использовал представление о фазовых волнах для наглядного толкования таинственного правила квантования Бора (13.6) в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел фазовую волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на орбите длина волны $\lambda$ укладывается целое число раз (рис. 27 ), то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В каждой точке орбиты установится неизменный колебательный режим во времени и не возникнет излучения. В этом случае орбита получится стационарной. Если же указанное условие не выпол-
Рис. 27
няется, то при обходе вокруг ядра фаза и амплитуда волны не возвратятся к своим исходным значениям – стационарного состояния не получится. Исходя из этих соображений де Бройль записал условие стационарности орбиты, или правило квантования, в виде
\[
2 \pi R / \lambda=n,
\]

где $R$-радиус круговой орбиты, а $n$-целое число (главное квантовое число). Полагая здесь $\lambda=h / p=2 \pi \hbar / p$ и замечая, что $L=R p$ есть момент количества движения электрона, получим
\[
L=n \hbar,
\]

что совпадает с условием (13.6). В этом де Бройль видел успех своей концепции фазовых волн. В дальнейшем условие (17.11) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны $\lambda$ меняется вдоль траектории электрона. Қазалось, что это еще больше усиливало успех теории.

На самом деле этот успех призрачный. В рассуждении де Бройля предполагается, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии – вдоль стационарной орбиты электрона Такая идеализация соответствует приближению геометрической (лучевой) оптики. Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны $\lambda$ пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона, т. е. при больших квантовых числах. А тогда проблема квантования несущественна. Чтобы действительно получить существенно новое, надо заменить геометрическую оптику волновой. Это и было сделано Шредингером.
5. К полученным результатам можно прийти и другим путем. Для этого введем показатель преломления $\mu$ волн де Бройля – важную величину, имеющую и самостоятельное значение. Пространство, в котором распространяется волна де Бройля, условимся называть средой. Если в среде нет силового поля, то среда будет однородной. Показатель преломления среды может быть определен лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, так как для преломления фазовых волн на границе раздела двух сред имеет значение только отношенне показателей преломления этих сред. Во всякой волновой теории $\mu$ обратно пропорционален фазовой скорости волны. В случае волн де Бройля $\mu \sim 1 / v_{\text {фаз }}=v / c^{2}$. Опуская постоянный множитель, можно принять
\[
\mu=v .
\]

Определяемый этой формулой показатель преломления условно будем называть абсолютным. Формула (17.13) сохраняет смысл и в том случае, когда скорость частицы $v$ меняется от точки к точке, т. е. при наличии силовых полей. Скорость $v$, а с ней и $\mu$ в каждой точке однозначно определяются уравнением энергии $\mathscr{E}+U=$ const, в котором предполагается, что потенциальная функция $U$ зависит только от координат, но не зависит явно от времени.

В предельном случае коротких длин волн распространение последних происходит вдоль независимых линий или лучей (см. т. IV, §6). Этот случай называется геометрической или $л у$ чевой оптикой. Распространение волнового возмущения вдоль лучей формально аналогично движению частицы классической механики по траекториям. Радиус кривизны $R$ луча или траектории частицы определяется формулой
\[
\frac{1}{R}=\frac{\partial}{\partial N}(\ln \mu)=\frac{\partial}{\partial N}(\ln v),
\]

где дифференцирование производится в направлении главной нормали $N$ к лучу или траектории (см. т. IV, § 4). Эта формула, конечно, может быть использована (вместо уравнений Ньютона) для определения формы луча или траектории частицы. Вернемся теперь к выводу правила квантования, дапому Lе Бройлем. Условие применимости геометрической оптики к движению электрона вокруг ядра атома выражается формулой
\[
|\lambda d \mu / d r| \ll \mu \text {, т. е. }|\lambda d v / d r| \ll v .
\]

Подставив сюда $\lambda=2 \pi \hbar / p, \mu=v$ и ограничиваясь нерелятивистским приближением, запишем это так:
\[
|2 \pi \hbar d v / d r| \ll p v=2 K,
\]

где $K$-кинетическая энергия электрона. Скорость $v$ найдется из уравнения энергии
\[
\frac{m v^{2}}{2}-\frac{Z e^{2}}{r}=\mathscr{E}=\text { const. }
\]

Отсюда находим
\[
m v r \frac{d v}{d r}=-\frac{Z e^{2}}{r}=U,
\]

где $U$-потенциальная энергия. Если электрон движется по окружности, то $m v r=n \hbar$, а потому
\[
n \hbar \frac{d v}{d r}=U=\mathscr{E}-K=-2 K,
\]

так как при движении по окружности $\mathscr{E}+K=0$. Соноставляя полученное соотношение с неравенством (17.14a), находим
\[
n \gg 2 \pi \text {, }
\]
т. е. квантовое число $n$ должно быть большим в согласии с тем, что было установлено выше.
6. Все изложенное представляет собой чисто умозрительное, гипотетическое построение, а потому не имеет доказательной силы. Истинное доказательство или опровержение полученных результатов может дать только опыт. В каких же явлениях природы могут проявиться волновые свойства вещества, если они действительно существуют? Независимо от физической при роды волн сюда относятся явления интерференции и дифракции. Непосредственно нас ююдаемой величиной в них является длина волны $\lambda$. Во всех случаях длины волн де Бройля определяются формулой (17.4). Применим ее к нерелятивистскому движению частиц.

Для электронов, ускоренных разностью потенциалов $V$, импульс определяется формулой $p=\sqrt{2 m_{\mathrm{c}} e V}$, так что в аб́солютной системе единиц
\[
\lambda_{\mathrm{e}}=h / \sqrt{2 m_{\mathrm{e}} e V} .
\]

Голожим здесь $h c=1,2399 \cdot 10^{-4}$ э В $\cdot$ см, $m_{\mathrm{e}} c^{2}=511003$ эВ. Тогда получится практическая формула
\[
\lambda_{\mathrm{e}}=\sqrt{150,42 / V_{(\mathrm{B})}} \cdot 10^{-8} \mathrm{cM}=\frac{1,2264}{\sqrt{V_{(\mathrm{B})}}} \mathrm{HM} .
\]

Для протонов
\[
\lambda_{\mathrm{p}}=0,02862 / \sqrt{V_{(\mathrm{B})}} \text { нм. }
\]

Вычислим еще длину волны де Бройля для молекул неподвижного газа при абсолютной температуре $T$. Задача эта – не совсем определенная, поскольку молекулы движутся с тепловыми скоростями, распределенными по закону Максвелла. Не вдаваясь в обоснование (см. задачу к следующему параграфу), будем понимать под $v$ среднюю квадратичную скорость молекулы. Тогда ее импульс будет $p=\sqrt{3 m k T}$. Отсюда легко получить для атомов гелия ( $m_{\mathrm{He}}=6,7 \cdot 10^{-24} \mathrm{r}$ )
\[
\lambda_{\mathrm{He}}=1,26 / \sqrt{T} \text { нм. }
\]

Для молекул водорода
\[
\lambda_{\mathrm{H}_{2}}=1,78 / \sqrt{T} \mathrm{нм},
\]

а для тепловых нейтронов
\[
\lambda_{\mathrm{n}}=2,52 / \sqrt{T} \text { нм. }
\]

Эти формулы показывают, что для электронов, ускоренных до потенциала $100-10000 \mathrm{~B}$, для атомов гелия и молекул водорода при комнатной температуре, а также для тепловых нейтронов и других «медленных» легких частиц длины волн де Бройля того же порядка, что и длины волн мягких рентгеновских лучей. Поэтому дифракцию таких частиц надо пытаться искать методами, аналогичными тем, которые применяются в случае рентгеновских лучей. Однако гипотеза де Бройля представлялась настолько фантастичной, что сравнительно долго никто из экспериментаторов не пытался подвергнуть ее экспериментальной проверке.
ЗА ДА ч и
1. Обобщить нерелятивистские формулы (17.15), (17.16) и (17.17) на случай релятивистских электронов и протонов. При каком значенин ускоряющего потснциала $V$ можно пользоваться нерелятивистскими формулами, чтобы ошибка не превосходила одного процента?
Отв т.
\[
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m_{0} e V}}\left(1+\frac{e V}{2 m_{0} c^{2}}\right)^{-1 / 2},
\]

где $m_{0}$ – масса покоя частины. Для электронов
\[
\lambda_{\mathrm{e}}=\frac{1,2264}{\sqrt{V_{(\mathrm{B})}}}\left(1+0,978 \cdot 10^{-6} V_{(\mathrm{B})}\right)^{-1 / 2} \text { нм, }
\]

для протонов
\[
\lambda_{\mathrm{p}}=\frac{0,02862}{\sqrt{V_{(\mathrm{B})}}}\left(1+0,533 \cdot 10^{-9} V_{(\mathrm{B})}\right)^{-1 / 2} \text { нм. }
\]

Нерелятивистскими формулами при указанной точности расчета можно пользоваться для электронов при $V \leqslant 20$ кэВ, для протонов при $V \leqslant 40$ МэВ.
2. Найти приближенное выражение для длнны волны де Бройля ультрарелятивистской частицы, т. е. такой частицы, кннетическая энергия $\mathscr{E}_{\text {кин }}$ которой много больше энергии покоя $m_{0} c^{2}$. При каких значениях $\mathscr{E}_{\text {кнн }}$ полученная формула будет давать ошибку, не превосходящую $1 \%$ ? Юайти $\lambda$ для ультрарелятивистской частицы с кинетической энертией $\mathscr{E}_{\text {кин }}=10$ ГэВ.

Ответ. $\lambda=h c / \mathscr{E}_{\text {кин. }}$. При $\mathscr{E}_{\text {кин }}>100 m_{0} c^{2}$ ошибка не превосходит $1 \%$. При $\mathscr{E}_{\text {кин }}=10$ ГэВ $\lambda=1,25 \cdot 10^{-14} \mathrm{~cm}$.
3. При какой скорости частицы ее дебройлевская и комптоновская длины волн равны между собой?
\[
\text { Отв т. } v=c / \sqrt{2} \text {. }
\]