Главная > ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ. T.V,Ч. 1 АТОМНАЯ ФИЗИКА (Д.В.Сивухин)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Простейшими после атома водорода являются атом гелия $(Z=2)$ и аналогичные ему ионы $\mathrm{Li}^{+}(Z=3), \mathrm{Be}^{++}(Z=4)$, $\mathrm{B}^{3+}(Z=5), \ldots$, электронные оболочки которых содержат по два электрона. В спектрах этих двухэлектронных атомов и ионов встречаются те же спектральные серии, что и у атомов щелочных металлов, но каждая из серий представлена в двух экземплярах: есть две главные серии, две резкие, две диффузные ит. д. В одном экземпляре серий все линии простые (синглеты), тогда как в другом – триплеты, т. е. каждая из линий состоит из трех близко расположенных линий.

Наиболее известной в спектре гелия является желтая линия $D_{3}$, благодаря которой гелий впервые был обнаружен на Солнце в 1867 г. Это-триплет с длинами волн 587,5963; 587,5643 и 587,5601 нм и отношениями интенсивностей $1: 3: 5$. Расстояние между двумя последними линиями составляет всего 0,0042 нм. Поэтому долгое время эти две линии принимали за одну, а триплет $D_{3}$-за дублет. Триплет $D_{3}$ является первым членом первой побочной серии триплетов. Главная серия триплетов гелия лежит в инфракрасной части спектра. Соответствующие серии синглетов расположены преимущественно в области ультрафиолета.

Между синглетными и триплетными энергетическими уровнями гелия не осуществляются квантовые переходы (так называемый запрет интерколбинаций). Этот факт послужил основанием для гипотезы, согласно которой гелий состоит из двух различных элементов: ортогелия, дающего триплетные линии, и парагелия, спектральные линии которого – синглеты. Гипотеза эта, как будет показано в дальнейшем, оказалась неправильной, а запрет интеркомбинаций – не абсолютно точным правилом. Это видно из того, что в спектре гелия имеется линия, правда единственная, с длиной волны 591,6 нм, получающаяся при переходе с триплетного уровня ${ }^{3} P_{1 / 2}$ на синглетный уровень ${ }^{1} S_{0}$.
2. Теория многоэлектронных атомов в квантовой механике не встречает принципиальных трудностей, хотя практические вычисления весьма сложны и громоздки и могут быть выполнены только на машинах. В простейшем спучае атома гелия и апалогичных ему ионов, если не учитывать спины, задача сводится к решению уравнения Шредингера с двумя электронами. Ниже рассматривается этот случай, хотя все вычисления и опускаются. Для стационарного состояния уравнение Шредингера записывается в виде
\[
\hat{H} \psi \equiv\left(\hat{H}_{1}+\hat{H}_{2}+\hat{U}_{12}\right) \psi=\mathscr{E} \psi
\]

где волновая функция ұ зависит от коорлинат обоих электронов, $\mathscr{E}$ – энергия стационарного состояния, $A_{1}$ и $A_{2}$ – гамильтонианы
первого и второго электронов в отсутствие взаимодействия между ними:
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}=-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu}
abla_{1}^{2}-\frac{Z e^{2}}{r_{1}}, \\
\hat{H}_{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu}
abla_{2}^{2}-\frac{Z e^{2}}{r_{2}},
\end{array}
\]

а $O_{12}$ – часть полного гамильтониана, учитывающая взаимодействие между электронами:
\[
\hat{U}_{12}=e^{2} / r_{12} .
\]

Здесь $
abla_{1}^{2}$ и $
abla_{2}^{2}$-операторы Лапласа для первого и второго электронов:
\[

abla_{1}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{1}^{2}}, \quad
abla_{2}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z_{2}^{2}} .
\]

Через $\boldsymbol{r}_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), \boldsymbol{r}_{2}\left(x_{2}, y_{\varepsilon}, z_{2}\right)$ обозначены радиусы-векторы и декартовы координаты первого и второго электронов, а через $r_{12}$ – расстояние между ними. Заряд ядра для общности принят равным $Z$ (в случае гелия $Z=2$ ). Ядро атома в рассматриваемом приближении считается неподвижным и принимается за начало координат.
3. Сформулированная задача аналогична классической задаче трех тел, рассматриваемой в небесной механике. В ней речь идет о движении двух планет в гравитационном поле Солнца с учетом гравитационного взаимодействия между самими планетами. Такая задача, хотя в принципе и допускает аналитическое решение в виде рядов, но эти ряды абсолютно непригодны для практических расчетов (см. подстрочное примечание к § 16 на стр. 91). Но в небесной механике разработаны превосходные приближенные методы расчета, вполне удовлетворяющие высоким требованиям наблюдательной астрономии. В их основе лежит теория возмущений, использующая тот факт, что взаимодействие между планетами мало по сравнению с взаимодействием каждой планеты с Солнцем. В нулевом приближении взаимодействием между планетами можно совсем пренебречь. Используя решение, полученное в нулевом приближении, можно затем учесть взаимодействие между планетами в первом приближении, после этого найти второе приближение и т. д. По тому же пути идет и теория возмущений квантовой механики в случае атома с двумя электронами. Она также в нулевом приближении отбрасывает, взаимодействие между электронами. Правда, здесь ситуация значительно менее благоприятна, чем в небесной механике, так как взаимодействие между электронами отнюдь не мало по сравнению с взаимодействием каждого из них с атомным ядром. Однако получающиеся результаты
довольно удовлетворительны, чем и оправдывается использование методов теории возмущений.

Трудность задачи об атоме гелия обусловлена наличием в уравнении (49.1) члена $0_{12} \psi$, зависящего от координат обоих электронов. Благодаря этому уравнение (49.1) не имеет решений с разделяющимися переменными. В теории возмущений член $0_{12} \psi$ рассматривается как «малая» поправка и в нулевом приближении отбрасывается. Таким образом, уравнение нулевого приближения имеет вид
\[
\hat{H}^{0} \psi^{0}=\mathscr{E}^{0} \psi^{0}
\]

где через $A^{0}$ обозначен гамильтониан в нулевом приближении, т. е. оператор $\hat{H}^{0}=A_{1}+A_{2}$, в котором возмущающий член $\hat{O}_{12}$ отброшен. Аналогично, через $\psi^{0}$ и $\mathscr{E}^{0}$ обозначены волновая функция и собственное значение энергии в нулевом приближении. Найдя величины $\psi^{0}$ и $\mathscr{E}^{0}$, ищем решение в первом приближении $\psi=\psi^{0}+\psi^{1}, \mathscr{E}=\mathscr{E}^{0}+\mathscr{E}^{1}$. Для этого служит уравнение
\[
\left(\hat{H}^{0}+\hat{U}_{12}\right)\left(\psi^{0}+\psi^{1}\right)=\left(\mathscr{E}^{0}+\mathscr{E}^{1}\right)\left(\psi^{0}+\psi^{1}\right),
\]

или на основании (49.5)
\[
\hat{H}^{0} \psi^{\mathrm{I}}+\widehat{U}_{12} \psi^{0}+\widehat{U}_{12} \psi^{1}=\mathscr{E}^{1} \psi^{0}+\mathscr{E}^{0} \psi^{1}+\mathscr{E}^{\mathrm{I}} \psi^{1} .
\]

Здесь величины $0_{12} \psi^{1}$ и $\mathscr{E}^{1} \psi^{1}$ следует рассматривать как «малые» более высокого порядка и в первом приближении отбросить. Таким образом, в первом приближении
\[
\left(\hat{H}^{0}-\mathscr{E}^{0}\right) \psi^{1}=\left(\mathscr{E}^{1}-\hat{U}_{12}\right) \psi^{0} .
\]

Это – неоднородное уравнение, правая часть которого из. вестна. Можно весьма просто доказать (на чем мы не останавливаемся), что уравнение (49.6) имеет решение только при таких значениях параметра $\mathscr{E}^{1}$, когда правая часть ортогональна к волновой функции $\psi^{0}$ нулевого приближения, т. е.
\[
\int \psi^{0^{*}}\left(\mathscr{E}^{1}-\widehat{U}_{12}\right) \psi^{0} d \tau=0,
\]

причем интегрирование производится по шестимерному объему $d \tau=d x_{1} d y_{1} d z_{1} d x_{2} d y_{2} d z_{2}$ обоих электронов. Таким образом, если функция $\psi^{0}$ нормирована к единице, то получается
\[
\mathscr{E}^{1}=\int \psi^{0 *} U_{12} \psi^{0} d \tau
\]
т. е. поправка $\mathscr{E}^{1} \mathrm{~K}$ энергии в первом приближении равна потенциальной энергии $U_{12}$ взаимодействия электронов, усредненной с помощью волновых функций нулевого приближения. Вычислив $\mathscr{E}^{1}$, можно затем решить уравнение (49.6) и найти $\psi^{1}$, на чем мы не останавливаемся.

Аналогичным путем можно найти второе ириближение $\mathscr{E}=$ $=\mathscr{E}^{0}+\mathscr{E}^{1}+\mathscr{E}^{2}, \psi=\psi^{0}+\psi^{1}+\psi^{2}$, рассматривая поправки $\mathscr{E}^{2}$ и $\psi^{2}$ как величины еще более высокого порядка малости, и т.д.
4. Обратимся теперь к уравнению (49.5), т. е. к решению в нулевом приближении. В более подробной записи это уравнепие гласит
\[
\left(\widehat{H}_{1}+\widehat{H}_{2}\right) \psi^{0}=\mathscr{E}^{0} \psi^{1},
\]

где оператор $A_{1}$ зависит только от координат первого электрона, а оператор $A_{2}$ – только от координат второго. Поэтому решение $\psi^{0}$ будет решением с разделяющимися переменными:
\[
\psi^{0}=\psi^{0}(1) \psi^{0}(2)
\]

где цифрой 1 обозначена совокупность координат первого, а цифрой 2 -второго электронов. После подстановки в предыдущее уравнение и деления на $\psi^{0}=\psi^{0}(1) \psi^{0}(2)$ получптся
\[
\frac{\widehat{H}_{1} \psi^{0}(1)}{\psi^{0}(1)}+\frac{\hat{H}_{2} \psi^{0}(2)}{\psi^{0}(2)}=\mathscr{E}^{0} .
\]

Первое слагаемое в левой части зависит только от координат 1 , а второе – только от коордипат 2. Так как сумма этих слагаемых $\mathscr{E}^{0}$ постоянна, то должно быть постоянно и каждое из слагаемых в отдельности. Иными словами, должны выполняться уравнения
\[
\widehat{H}_{1} \psi^{0}(1)=\mathscr{E}_{1}^{0} \psi^{0}(1), \quad \hat{H}_{2} \psi^{0}(2)=\mathscr{E}_{2}^{0} \psi^{0}(2),
\]

где $\mathscr{E}_{1}$ и $\mathscr{E}_{2}^{0}$ – постоянные, удовлетворяющие условию
\[
\mathscr{E}_{1}^{0}+\mathscr{E}_{2}^{0}=\mathscr{E}^{0} .
\]

Оба уравнения (49.10) по существу тождественны. Они отличаются друг от друга только обозначениями координат первого и второго электронов, а также численными зпачениями постоянных $\mathscr{E}_{1} r_{1} \mathscr{E}_{2}^{\mathrm{j}}$ (поскольку электроны могут находиться в различных состояниях; если же эти состояния одинаковы, то $\left.\mathscr{E}_{1}^{\prime !}=\mathscr{E}_{2}^{2}\right)$. Қаждое из уравнений (49.10) описывает стационарное состояние электрона в поле ядра в предположении, что взаимодействие между электронами не учитывается. В этом предположении
\[
\widehat{H}_{1}=-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu}
abla_{1}^{2}-\frac{Z e^{2}}{r_{1}}, \quad \widehat{H}_{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu}
abla_{2}^{2}-\frac{Z e^{2}}{r_{2}} .
\]

Тем самым задача в нулевом приближении сведена к задаче нахождения собственных функций и собственных значений одноэлектронного водородоподобного атома. Решение последней задачи хорошо известно.
5. Найдем прежде всего в нулевом приближении энергию полной ионизации нейтрального атома гелия, т. е. работу по удалению в бесконечность обоих его электронов, когда сам атом находится в основном состоянии. Работа по удалению электрона в бесконечность из атома водорода в основном состоянии равна $\mu e^{4} / 2 \hbar^{2} \approx 13,539$ эВ. Для однократно ионизованного гелиеподобного атома эта работа в $Z^{2}$ раз больше (см. формулу (13 12)). Поэтому, согласно формуле (49.11), работа по удалению обоих электронов гелиеподобного атома в бесконечность в нулевом приближении будет
\[
\mathscr{E}_{\text {иониз }}^{0}=2 Z^{2} \cdot \mu e^{4} / 2 \hbar^{2} .
\]

Результат этот вполне очевиден, поскольку в нулевом приближении взаимодействие электронов не учитывается. В частности, для атома гелия формула (49.13) дает $\mathscr{E}_{\text {иониз }}=108,3$ эВ.

Зная волновую функцию (49.9) в нулевом приближении, можно по формуле (49.7), в которой следует положить $U_{12}=$ $=e^{2} / r_{12}$, найти поправку к энергии полной ионизации гелиеподобного атома, которую дает первое приближение. Вычисления приводят к результату
\[
\left(\mathscr{E}^{0}+\mathscr{E}^{1}\right)_{\text {иониз }}=\left(2 Z^{2}-\frac{5}{4} Z\right) \frac{\mu e^{4}}{2 \hbar^{2}} .
\]

Численные результаты приведены в табл. 5. В нулевом приближении, как и следовало ожидать, получается большое различие
\[
\text { Таблица } 5
\]

между вычислением и опытом: ошибка составляет примерно $40 \%$ для Не и $10 \%$ для $\mathrm{C}^{4+}$ Но уже в первом приближении получается хорошее согласие теории с опытом. Это тем более удивительно, что энергия взаимодействия между электронами отнюдь не мала по сравнению с энергией их взаимодействия с атомными ядрами. Многие авторы вычисляли в высших приближениях энергии ионизации и возбуждения атома гелия, а также разработали более совершенные методы, отличные от теории возмущений. Не имея возможности останавливаться на этих вопросах, приводим в последнем столбце таблицы результаты расчетов Хиллерааса (1898-1965), полученные без учета конечности масс ядер и поправок на теорию относительности. Согласие с опытом изумительно хорошее.
6. Обратимся теперь к объяснению, почему в спектрах гелия и гелиеподобных ионов происходит удвоение спектральных серий, о котором говорилось в начале этого параграфа. Заметим прежде всего, что все серии получаются путем возбуждения одного электрона, а не обоих электронов сразу. Последний процесс значительно менее вероятен, чем первый, и рассматриваться не будет. Поэтому рассмотрим в нулевом приближении такое состояние атома, когда один электрон не возбужден, а другой находится в возбужденном состоянии. Состояние первого электрона в нулевом приближении описывается волновой функцией $\psi_{1}^{0}(1)$, а второго – функцией $\psi_{k}^{\prime \prime}(2)$. Нижний индекс означает совокупность трех квантовых чисел $\left(n, l, m_{l}\right)$, характеризующих состояние электрона. В частности, нижнему индексу 1 соответствует нормальное (невозбужденное) состояние ( $n=1, l=0$, $m_{l}=0$ ). От наличия спина электрона мы временно отвлекаемся.

Волновая функция обоих электронов в нулевом приближении представится произведением $\psi_{1}^{0}(1) \psi_{k}^{\prime \prime}(2)$. Однако такая функция не удовлетворяет требованию тождественности одинаковых частиц (электронов). Если в ней поменять местами первый и второй электроны, то получится функция $\psi_{k}^{0}(1) \psi_{1}^{0}(2)$, описывающая то же состояние атома: имеет место обменное вырождение (см. § 46). Линейной суперпозицией обоих квантовых состояний получается множество мыслимых состояний одной и той же энергии. Из них из-за тождественности электронов могут реализоваться только состояния, описываемые симметричными и аттисимметричными волновыми функциями
\[
\begin{array}{l}
\psi_{s}^{0}(1,2)=\psi_{1}^{0}(1) \psi_{k}^{0}(2)+\psi_{k}^{0}(1) \psi_{1}^{0}(2), \\
\psi_{a}^{0}(1,2)=\psi_{1}^{0}(1) \psi_{k}^{0}(2)-\psi_{k}^{0}(1) \psi_{1}^{0}(2) .
\end{array}
\]
[Симметрия и антисимметрия функций (49.15) относится к операции, в которой электроны обмениваются своими местами, т. е. аргументами в волновой функции, причем «место» характеризуется значениями только пространственных координат: спиновые координаты во внимание не принимаются. Междутем принцип антисимметрии волновых функций, которому должны подчиняться электроны, имеет в виду полные волновые функции, т. е. функции, зависящие не только от пространственных, но и от спиновых координат электронов. Здесь «место» электрона в волновой функции определяется не тремя, а четырьмя координатами. Поэтому обе неполные, т. е. пространственные функции (49.15), поскольку они удовлетворяют требованию неразличимости тождественных частиц, донустимы при квантовом описании состояния атома. Это утверждение содержится также в первоначальной упрощенной формулировке прицципа Паули. Последний исключает такие состояния атома, в которых оба электрона имеют одинаковые четверки квантовых чисел $n, l, m_{l}$, $m_{s}$, но не запрещает, чтобы у электронов были одинаковыми три квантовых числа при различии четвертых. В частности, возможны состояния, у которых $k=1$, когда оба электрона находятся в основном состоянии, которое характеризуется значениями квантовых чисел $n=1, l=0, m_{l}=0$. Для такого состояния, понятно, из двух возможных функций (49.15) надо взять только симметричную, так как антисимметричная тождественно обращается в нуль В этом случае обменное вырождение отсутствует, а потому основному состоянию соответствует только одна волновая функция и один уровень энергии ]

Теперь каждое пз выражений (49.15) можно принять в качестве нулевого приближения и по методу теории возмущений стыскать первое приближение. Таким путем будут найдены две волюовые функции, одна из которых симметрична по координатам, а другая антисимметрична. Их можно обозначить соответственно через $\psi_{s}(1,2)$ и $\psi_{a}(1,2)$ без верхнего индекса 0 . Состояние с антисимметричной волновой функцией $\psi_{a}(1,2)$ называется ортосостоянием, а с симметричной волновой функцией $\psi_{s}(1,2)$ парасостоянием. Таким образом, двух гелиев, как различных химических элементов, не существует. Орто- и парагелий суть один и тот же химический элемент, но находящийся в различных квантовых состояниях. Тем самым объяснено происхождение двух систем термов и соответствующих спектральных переходов между иими Понятно, что такие переходы, если они сопровождаются :злучением света, должны подчиняться правилам отбора, о которых говорилось в § 39.
7. Знание волновых функций нулевого приближения позволяет вычислить по формуле (49.7) поправку к энергии атома в первом приближении. Эта формула предполагает, однако, что волновая функция нормирована к единице. Поэтому и обе функции (49.15), симметричную и антисимметричную, надо предварительно нормировать. Обозначим соответствующие постоянные нормирующие множители через $C_{s}$ и $C_{a}$. Для фактического проведения расчета, конечно, эти нормирующие множители надо вычислить. Мы не будем этого делать, так как нашей целью является только выяснение принципиальной физической стороны conpoca, а для этого-знания численных зачений $C_{s}$ и $C_{a}$ не требуется. Однако различие $C_{s}$ и $C_{a}$ должно быть учтено. (Если бы $C_{S}$ и $C_{a}$ были одннаковы, то нормирующие множитети можно было бы опустить, предполагая, что комбинации (49.15) уже нормированы.)

Для состояний, описываемых симметричной волновой функцией, поправка к энергии равна
\[
\mathscr{E}_{s}^{1}=\left|C_{s}\right|^{2} \int \psi_{s}^{0^{*}} \frac{e^{2}}{r_{12}} \psi_{s}^{0} d \tau=\left|C_{s}\right|^{2} \int \frac{e^{2}}{r_{12}}\left|\psi_{s}^{0}\right|^{2} d \tau_{1} d \tau_{2},
\]

где $d \tau_{1}=d x_{1} d y_{1} d z_{1}, d \tau_{2}=d x_{2} d y_{2} d z_{2}$, а для состояний, описываемых антисимметричной волновой функцией,
\[
\mathscr{E}_{a}^{1}=\left|C_{a}\right|^{2} \int \psi_{a}^{0^{*}} \frac{e^{2}}{r_{12}} \psi_{a}^{0} d \tau=\left|C_{a}\right|^{2} \int \frac{e^{2}}{r_{1} 2}\left|\psi_{a}^{0}\right|^{2} d \tau_{1} d \tau_{2} .
\]

Подставив сюда значения волновых функций из (49.15) и выполнив умножение с учетом тождественности электронов, получим
\[
\mathscr{E}_{s}^{1}=\left|C_{s}\right|^{2}\left(I_{\mathrm{K}}+I_{\text {об }}\right), \quad \mathscr{E}_{a}^{1}=\left|C_{a}\right|^{2}\left(I_{\mathrm{K}}-I_{\text {об }}\right),
\]

где введены обозначения
\[
\begin{aligned}
I_{\mathrm{K}} & =2 \int \frac{e^{2}}{r_{12}}\left|\psi_{1}^{0}(1)\right|^{2}\left|\psi_{k}^{0}(2)\right|^{2} d \tau, \\
I_{\text {об }} & =2 \int \frac{e^{2}}{r_{12}} \psi_{1}^{0}(1) \psi_{k}^{0 *}(1) \psi_{k}^{0}(2) \psi_{1}^{0^{*}}(2) d \tau .
\end{aligned}
\]

Из формул (49.16) и (49.17) видно, что энергии $\mathscr{E}_{s}^{1}$ и $\mathscr{E}_{a}^{1}$ существенно положительны. Величина $I_{\text {к }}$ также существенно положительна, как это ясно из первой формулы (49.19). Таким образом,
\[
I_{\text {к }}+I_{\text {об }}>0, \quad I_{\text {к }}-I_{\text {об }}>0 .
\]

Величина $I_{\text {об }}$ также положительна, как показывает фактическое вычисление ее с использованием явных выражений волновых функций водородоподобных атомов. Таким образом, как видно из формул (49.18), энергетические уровни парасостояния лежат ниже энергетических уровней ортосостояния. Поэтому нормальным состоянием гелия является парасостояние.

Член $I_{\text {к }}$ имеет наглядное классическое истолкование. Заряд одного электрона как бы «размазан» в пространстве с объемной плотностью $\rho_{1}=e\left|\psi_{1}^{0}(1)\right|^{2}$, а другого – с объемной плотностью $\rho_{2}=e\left|\psi_{k}^{0}(2)\right|^{2}$. Подынтегральное выражение в $I_{\text {к }}$ имеет смысл потенциальной энергии отталкивания зарядов $\rho_{1} d \tau_{1}$ и $\rho_{2} d \tau_{2}$, а интеграл в целом — потенциальной энергии взаимодействия обоих размазанных по пространству зарядов. Член $I_{\text {об }}$ не имеет классического истолкования и является сугубо квантовым. Выражаясь образно, можно сказать, что $I_{\text {об появляется пото }}$ пото, что каждый электрон как бы одновременно находится и в состоянии $\psi_{1}^{0}$, и в состоянии $\psi_{k}^{9}$. Величина $I_{\text {об называется об менной энер – }}$ вuей, а соответствующее ей взаимодействие – обменным взаимодействием. Наличием ио́шенной энергин и объясняется понижение энергетических уровней парасостояния и повышение уровней ортосостояния.

Не следует думать, что обменная энергия есть какой-то особый вид энергии. Она появляется только в результате принципиальной неразличимости двух квантовых состояний, из которых одно получается из другого в результате перестановки двух тождественных взаимодействующих частиц. Поэтому обменное взаимодействие специфично не только для кулоновских сил, а имеет место в системе любых тождественных частиц независимо от природы сил взаимодействия между ними. Например, обменное взаимодействие существует между нуклонами атомного ядра и проявляется в так называемом насыщении ядерных сил. Обменным взаимодействием объясняется явление ферромагнетизма.
8. Объясним теперь разделение спектральных термов атома гелия и соответствующих им спектральных линий на синглетные и триплетные. Для этого надо учесть наличие спинов у электронов. В нулевом приближении пространственная и спиновая части полной волновой функции разделяются, так что она может быть представлена в виде произведения пространственной и спиновой волновых функций. Конечно, как и пространственные, спиновые волновые функции должны удовлетворять требованию либо симметрии, либо антисимметрии. Поэтому спиновых функ. ций может быть только четыре, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{s}^{(1)}=\varphi_{+}(1) \varphi_{+}(2) \uparrow \uparrow, \\
\varphi_{s}^{(2)}=\varphi_{-}(1) \varphi_{-}(2) \downarrow \downarrow, \\
\varphi_{s}^{(3)}=\varphi_{+}(1) \varphi_{-}(2)+\varphi_{+}(2) \varphi_{-}(1) \uparrow \downarrow, \\
\varphi_{a}^{(4)}=\varphi_{+}(1) \varphi_{-}(2)-\varphi_{+}(2) \varphi_{-}(1) \uparrow \downarrow .
\end{array}
\]

Здесь спиновые функции, в отличие от пространственных, обозначены буквой ф. Значок + у функции указывает, что проекция $m_{s}$ спина электрона на направление, выделяемое орбитальным моментом, равна $+1 / 2$, а минус означает, что она равна $-1 / 2$. Это для наглядности отмечено направлениями стрелок, поставленных справа у волновых функций. Первая симметричная функция $\varphi_{s}^{(1)}$ означает, что проекции $m_{s}$ спинов обоих электронов равны $+1 / 2$, вторая $\varphi_{s}^{(2)}$ – что обе они равны $-1 / 2$. В третьей симметричной функции $\varphi_{s}^{(3)}$ проекции спинов обоих электронов имеют противоположные знаки. Таким образом, в первых двух случаях полный спин обоих электронов будет 1 , причем его проекции соответственно равны +1 и -1 . Но если полный спин равен 1, то его проекции на избранное направление могут иметь три значения: $+1,-1$ и 0 . Третий случай и осуществляется оставшейся симметричной волновой функцией $\varphi_{s}^{(3)}$.

Что касается антисимметричной спиновой функции $\varphi_{a}^{(4)}$, то ей соответствует проекция спина, равная нулю. А так как это единственная проекция, то полный спин в этом состоянии также равен нулю.

Четыре спиновые функции (49.20) можно комбинировать с пространственными функциями $\psi_{s}$ и $\psi_{a}$, чтобы получить полную волновую функцию. Однако, поскольку речь идет о системах двух электронов, полная волновая функция их должна быть антисимметрична относительно операции перестановки частиц в полной волновой функции, характеризующейся пространственными и спиновыми координатами. Этому условию удовлетворяют только четыре комбинации:
\[
\varphi_{s}^{(1)} \Psi_{a}, \quad \varphi_{s}^{(2)} \Psi_{a}, \quad \varphi_{s}^{(3)} \Psi_{a} \quad \text { и } \quad \varphi_{a}^{(4)} \psi_{s} .
\]

От их нормировки, не играющей роли в разбираемом вопросе, можно отвлечься. Пока что речь шла только о комбинациях в нулевом приближении. Но и во всех последующих приближениях из-за симметрии энергии взаимодействия $Z e^{2} / r_{12}$ возникают волновые функции того же типа симметрии. Первые три функции образуют триплет с полным спином 1 и его проекциями $+1,-1,0$. Этому триплету соответствует ортосостояние. Его энергетические уровни и спектральные линии, подчиняющиеся правилам отбора, расщепляются на три подуровня и три компоненты из-за спин-орбитального взаимодействия. В этом состоянии атомы гелия имеют отличные от нуля магнитные моменты, а потому в магнитном поле дают зеемановское расщепление.

Волновая же функция $\varphi_{a} \psi_{s}$ описывает парасостояние. В этом случае проекция полного спина равна нулю. А так как это синглетное состояние, то и полный спин в парасостоянии будет нуль. Атомы гелия в синглетном состоянии не имеют магнитных моментов, а потому не дают зеемановского расщепления.

Что касается запрета интеркомбинаций, о котором было сказано в начале этого параграфа, то этот запрет связан с сохранением спина электронов при излучении, а потому не является абсолютно жестким и допускает исключения (см. $\S 39$, пункт 5).

ЗА ДА ч и

1. Зная энергию полной ионизации нейтрального атома гелия (см. табл. 5) в основном состоянии, найти энергию однократной ионизации того же атома, а затем энергию иопизации образовавшегося иона $\mathrm{He}^{+}$.

Решение. После удаления одного электрона нейтральный атом гелия переходит в водородоподобный ион с зарядовым числом $Z=2$. Энергия ионизации такого иона равна $13,539 Z^{2}=54,156
i \mathrm{B}$. Поэтому для удаления первого электрона надо совершить работу $78,98-54,16=24,82 э \mathrm{~B}$, а пля удаления второго 54,156 эВ.
2. Опенить по порядку величины энергию однократной ионизации атома литня в основном состоянии.

Решение. Для оценки можно предположить, что два $К$-электрона атома лития экранируют поле ядра, как бы уменьшая зарядовое число до $Z=3-2=1$. При таком рассмотрении сформулированная задача сводитея к определению работы понизации водородоподобного атома при удалении электрона из $L$-слоя. Она равна
\[
13,539 / n^{2}=13,539 / 4=3,38 \text { эВ. }
\]

Экспериментальное значение равно 5,37 эВ (см. табл. 4).
3. Зная энергию однократной ионизации атома лития из основного состояния (см. предыдущую задачу), а также энергию полной ионизацни гелиеподобного нона Li+ (см. табл. 5), найти энергию ионизации нейтрального лития в основном состоянии при удалении из него двух электронов.
От в т. 81,56 эВ.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru