Главная > ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ. T.V,Ч. 1 АТОМНАЯ ФИЗИКА (Д.В.Сивухин)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Приведем еще один пример на квантование энергии атомной системы. Речь идет о водородоподобном атоме. Рассмотрим частный случай, когда волновая функция ψ электрона в атоме сферически симметрична, т. е. зависит только от радиуса r расстояния электрона от атомного ядра. Такой случай не предусматривался старой теорией Бора. В ней всякое движение электрона вокруг ядра происходило по плоским орбитам и, следовательно, не могло быть сферически симметричным. Но в квантовой механике, в которой нет представления и движении электронов по орбитам, нет никаких препятствий для реализации сферически симметричных состояний атома. Из сферической симметрии следует, что в гаких состояниях должна обращаться в нуль величина, соответствующая тому, что в классической механике называется моментом количества движения. В теории Бора нулевым моментом количества движения обладал бы электрон, движущийся прямолинейно вдоль радиуса. При таких движениях он неизменно претерпевал бы столкновения с атомным ядром. Старая теория Бора не давала удовлетворительного решения возникавшей здесь трудности, — чтобы пзбежать столкновений с ядром, она просто исключала возможность радиальных движений электрона. Понятно, что в квантовой механике подобной трудности не возникает.
2. Пусть Ze — заряд ядра. Естественно записать уравнение Шредингера в полярных координатах. В рассматриваемом случае сферической симметрии оно будет
d2ψdr2+2rdψdr+(qrβ2)ψ=0,

где введены обозначения
β2=2mE/2,q=2mZe2/2

Введем новую функцию u(r) по формуле
ψ=u(r)reβr

Тогда
d2udr22βdudr+qru=0.

Ищем решение этого уравнения в виде ряда
u=k=γakrk

где γ-постоянное число, пока что не определенное. Подставляя (27.4) в (27.3) и приравнивая члены с пдичаковыми степенями, придем к соотношениям
γ(γ1)=0,k(k+1)ak+12βkak+qak=0 при keqγ.

Из (27.5) следует, что либо γ=0, либо γ=1. Первая возможность исключается, так как при γ=0 нулевой член ряда (27.4), т. е. a0, был бы отличен от нуля. А в таком случае функция ψ при r=0 обращалась бы в бесконечность как a0/r, что противоречит общим требованиям, накладываемым на ψ в особых точках. Таким образом, разложение (27.4) должно начинаться с k=1, а это значит, что γ=1.

Исследуем теперь поведение ряда (27.4) на бесконечности. нз (27.6) получаем
ak+1ak=2βkqk(k+1).

Отсюда следует, что при k
ak+1ak2βk+1

Сравним разложение (27.4) с разложением показательной функции:
e2βr=k=0ckrk=k=01k!(2βr)k.

Коэффициепты ck последнего разложения асимптотически ведут себя на бесконечности так же, как и коэффициенты ak, ибо
ck+1ck=2βk+1.

Значит, на бесконечности сумма ряда (27.4) асимптотически ведет себя как показательная функция e+2βr, а волновая функция ψ(r) — как eβr/r, т. е. нри произвольно выбранном значении E функция ψ(r) нри r= обращается в бесконечпость. Этого не будет только для таких значений E, при которых ряд (27.4) обрывается, т. е. переходит в сумму конечного числа членов. Пусть, например, при k=n числитель формулы (27.7) 2βkq=0. Тогда, как видно из (27.7), an+1 и все последующие коэффициенты будут равны нулю, т. е. ряд (27.4) оборвется, Следовательно, n-й энергетический уровень определится условием 2βnq=0. Используя его, из (27.2) находим
E=mZ2e4/22n2

что совпадает с соответствующей формулой теории Бора.
Изложенным еще не решается задача о спектре водородного и водородоподобного атомов, даже в ее наиболее грубой постановке. Чтобы объяснить спектральные серии, необходимо схему энергетических уровней дополнить правилами отбора при излучении фотонов. Оказывается, что переходы между найденными нами уровнями энергии, соответствующими сферически симметричным состояниям водородоподобного атома, являются запрещенными, т. е. не сопровождаются (дипольным) излучением. Для объяспения спектральных серий необходимо рассмотреть сферически несимметричные состояния водородоподобного атома и установить правила отбора. Это будет сделано ниже (см. § 39).

3. Для сравнения с теорией Бора найдем еще волновую функцию ψ1(r) основного состояния в сферически симметричном случае. Так называется стационарное состояние наименьшей энергии. Посмотрим, при каких значениях параметров E и a1 уравнению (27.1) удовлетворяет экспоненциальная функция
Ψ1(r)=er/a1,

где a1>0. Эта функция не имеет узлов. Поэтому, если ψ1(r) удовлетворяет уравнению Шредингера (27.1), то она и будет волновой функцией основного состояния. Дифференцируя ψ1(r) дважды по r и подставляя результаты в (27.1), получим
1a122a1r+qrβ2=0.

Это соотношение должно выполняться тождественно по r, а потому должно быть
1/a12=β2,2/a1=q,

или на основании (27.2)
a1=2/mZe2,E=E1=mZ2e4/22.

Последнее выражение является частным случаем (27.8) при n=1, как и должно быть для основного состояния. Параметр a1 имеет размерность длины, при Z=1 он обращается в боровский радиус. О физическом смысле этого параметра в квантовой механике будет сказано несколько ниже.

Функция ψ1(r) при r=0 обращается в единицу, т. е. остается конечной. Следовательно, при r=0u(r)=rψ1(r)=0, как того требует и общая теория.

Если функция ψ1 нормирована, то |ψ1|2 дает объемную плотность вероятности обнаружения электрона в пространстве. Наряду с ней введем радиальную плотность вероятности ρr. Вероятность обнаружения электрона в сферическом слое между r и r+dr равна объему этого слоя 4πr2dr, умноженному на |ψ1|2, т. е. 4πr2|ψ1|2dr. Эту вероятность можно представить в виде ρrdr. Величина ρr и есть радиальная плотность вероятности — произведение ρrdr дает вероятность того, что элекірон будет обнаружен на расстоянии от ядра между r и r+dr. Таким образом,
ψ1=Cera1,ρr=4πC2r2e2ra1.

Интегрируя второе выражение по r в пределах от 0 до + и приравнивая результат единице, находим нормировочную постоянную C и таким путем получаем
ψ1=1πa13er/a1,ρr=4a13r3e2r/a1.

На рис. 49 представлены графики кривых |ψ1|2 и ρr. Ординаты первой кривой увеличены в десять раз. Кривая ρr проходит через максимум при r=a1. Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты надо истолковать как такое расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна.
ЗАДА ч и
1. Найти среднее расстояние r˙, на каком будет обнаружен электрон от ядра атома, если последний нахолится в основном состоянии.
Отв т. r=3/2a1.
2. В той же задаче найти среднее значение (1/r) обратного расстояния электрона от ядра.
Ответ. (1/r)=1/a1.
3. Найти средние значения потенциальной O и кинетической Eкин  энергий основного состояния водородоподобного атома.

Ответ. Z=Ze2/a1;Eкия =Ze2/2a1=O/2. Отметим, что такое же соотношение между U и Eкин  получилось бы в классической механике для электрона, движущегося вокруг ядра по всякой круговой орбите.
4. Определить уровни энергии в сферически симметричном состоянии водородоподобного атома по числу узлов волновой функции, подобно тому как это было сделано в § 23 для гармонического осциллятора.

Решение. Волновые функции возбужденных состояний должны иметь узлы, число которых на единицу меньше номера соответствующего стационарного состояния. Этому условию для n-го стационарного состояния удовлетноряет выражение
ψn(r)=Pn1(r)er/a

где an — положительная постоянная, а Pn1(r) — полином степени n1, все корни которого вещественны и различны. Необходимо, чтобы функция ψn(r) удовлетворяла уравнению ІІредингера (27.1). Простым дифференцированием находим
dψndr=(1anPn1+Pn1)erand2ψndr2=(1an2Pn12anPn1+Pn1)erian.

После подстановки в (27.1) получаем
1an2Pn12anPn1+Pn2anPn1r+2Pn1r+qPn1rβ2Pn1=0.

Это соотношение должно выполняться гождественио по r. Старшую степень rn1 содержат только первое и последнее слагаемые ГІоsтому должно быть
1/an2=β. илгі 1/an=β

Стелень rn2 содержат только подчеркнугые члены. При этом при взятии пронзводной Pn1 появляется коэффициент (n1). С учетом этого
2(n1)an2an+q=0, или 2nan=q.

Таким образом,
an=2nq=n2mZe2=na1.E=2β2m=2ma2=mZ2e422n2,

что совпадает с ранее полученными резульгатами.
Недостаток приведенного решения — в том, что мы не исследовали до конца, что наша функиия ψn(r) действлтельно является решением уравнения Шредингера. Для небольших n, подобно тому как это было сделано в § 23 , нетрудно найти в явном виде полиномы Pn1(r) и соответствующие им постоянные an. Таким путем можно убелиться, что функиии Ψn(r)=Pn1(r)X Xer/an действительно удовлетворяют уравнению Шредингера. Можно проверить также, что все корни полинома Pn1(r) вещественные и некратные.

1
Оглавление
email@scask.ru