Дитер С. Шмидт
Введение
В последние годы большое число работ было посвящено рождению периодических орбит из состояния равновесия. Исходным пунктом большинства этих исследований является либо теорема Ляпунова [1], либо теорема Хопфа [1]; некоторые из этих локальных результатов, полученные Чейфи [1], Хенрадом [1], Шмидтом и Свитом [1], отмечались в предыдущих разделах. В то же время Александером и Юорком [1] обсуждались и глобальные проблемы бифуркаций периодических орбит. В своей работе они показали, что теорему Ляпунова о центре можно получить как следствие теоремы Хопфа.
Дж. А. Йорк высказал идею, что и локально можно получить теорему Ляпунова из теоремы Хопфа. Для того чтобы показать это, мы проведем аналитическое доказательство теоремы Хопфа, основанное на альтернативном методе и описанное в общих чертах в статье Бергера из книги Антмана и Келлера [1]. Это доказательство является столь общим, что содержит в качестве следствия теорему Ляпу. нова. Кроме того, наше доказательство теоремы Хопфа поз. воляет достаточно просто обсудить некоторые исключительные случаи.
Бифуркационная теорема Хопфа
Рассмотрим $n$-мерную автономную систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=F(x, \mu),
\]
зависящую от действительного параметра $\mu$. Мы предполагаем, что (3С.1) допускает аналитическое семейство $x=$ $=x(\mu)$ состояний равновесия, т. е. $F(x(\mu), \mu)=0$. Без ограничения общности можно считать, что этим семейством яв ляется $x \equiv 0$, т. е. $F(0, \mu)=0$. Допустим, что при некотором $\mu$, например при $\mu=0$, матрица $F_{x}(0, \mu)$ имеет два чисто мнимых собственных значения $\pm i \beta$ и не существует других собственных значений $F_{x}(0,0)$, целочисленно кратных $i \beta$.
Пусть $\alpha(\mu)+i \beta(\mu)$ является продолжением по параметру собственного значения $i \beta$.
Будем предполагать, что $\alpha^{\prime}(0)
eq 0$.
(3С.1) Теорема Хопфа. При сформулированных условиях существуют непрерывные функции $\mu=\mu(\varepsilon)$ и $T=T(\varepsilon)$, зависящие от параметра $\varepsilon, \mu(0)=0, T(0)=2 \pi \beta^{-1}$ и такие, что у уравнения (3С.1) существуют периодические решения $x(t, \varepsilon)$ периода $T(\varepsilon)$, которые влипают начало координат при $\varepsilon \rightarrow 0$.
(3С.2) Замечание. Сформулированные нами в теореме Хопфа условия немного слабее, чем обычно: мы не требуем отсутствия других мнимых собственных значений. Кроме того, в нашем доказательстве не используется аналитичность $F(x, \mu)$, однако определенная гладкость ее необходима.
Доказательство. С помощью линейной замены координат вида $y=S(\mu) x$ и замены независимой переменной $\tau=$ $=\beta(\mu) t$ мы можем привести уравнение (3С.1) к следующему виду:
\[
\begin{array}{c}
\dot{y}_{1}=(u(\mu)+i) y_{1}+\varphi_{1}\left(y_{1}, y_{2}, \tilde{y}, \mu\right), \\
\dot{y}_{2}=(u(\mu)-i) y_{2}+\varphi_{2}\left(y_{1}, y_{2}, \tilde{y}, \mu\right), \\
\tilde{y}=B(\mu) \tilde{y}+\tilde{\varphi}\left(y_{1}, y_{2}, \tilde{y}, \mu\right) .
\end{array}
\]
Здесь $y_{1}$ и $y_{2}$ являются двумя первыми комплексными компонентами вектора $y$. Действительные решения получаются, только если $y_{1}=\bar{y}_{2}$. Остальные $(n-2)$ компоненты вектора $y$ действительны и обозначаются через $\tilde{y} . B(\mu)$ – действительная квадратная ( $n-2$ )-матрица, не обязательно имеющая нормальную форму, а функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \tilde{\varphi}$ по крайней мере квадратичны по компонентам вектора $y$.
Введем теперь такие полярные координаты:
\[
y_{1}=r e^{i \theta}, \quad y_{2}=r e^{-i \theta}, \quad \tilde{y}=r \eta .
\]
Система (3С.2) принимает следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{r}=u(\mu) r+\operatorname{Re}\left\{e^{-i \theta} \varphi_{1}\right\}, \\
\dot{\theta}=1+\frac{1}{r} \operatorname{Im}\left\{e^{-i \theta} \varphi_{1}\right\}, \\
\dot{\eta}=B(\mu) \eta-u(\mu) \eta+\frac{1}{r}\left(\varphi-\operatorname{Re}\left\{e^{-i \theta} \varphi_{1}\right\} \eta\right) .
\end{array}
\]
В эту систему мы введем скалярный множитель $\varepsilon$, полагая $r=\varepsilon \rho$ и $\mu=\varepsilon \mu_{1}$. Так как $\dot{\theta}=1+O(\varepsilon)$, мы можем использовать $\theta$ как новую независимую переменную, чтобы преодолеть автономность системы. В результате дифференциальные уравнения приобретают следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \rho}{d \theta}=\varepsilon R(\theta, \rho, \eta, \varepsilon), \\
\frac{d \eta}{d \theta}=B(0) \eta+V(\theta, \rho, \eta, \varepsilon),
\end{array}
\]
и мы ищем $2 \pi$-периодические решения этой системы. В силу наших предположений о собственных значениях матрицы $B(0)$ мы получаем, что при $\varepsilon=02 \pi$-периодическим решением является только $\rho=\rho_{0}=$ const, $\eta=0$. Это решение сохраняется при $\varepsilon
eq 0$, если уравнение разветвления имеет решение (см. Бергер [1])
\[
\int_{0}^{2 \pi} R(\theta, \rho, \eta, \varepsilon) d \theta=0 .
\]
В подинтегральном выражении $\rho$ и $\eta$ являются $2 \pi$-периодическими решениями данной системы (3C.4). Члены порядка $\varepsilon^{0}$ уже известны, и мы можем вычислить члены того же порядка в уравнении разветвления. Отсюда получаем
\[
\mu_{1} u^{\prime}(0) \rho_{0}+O(\varepsilon)=0 .
\]
Это уравнение можно решить с помощью теоремы о неявной функции, так как $u^{\prime}(0)
eq 0$ по предположению, а $\rho_{0}
eq 0$ в силу того, что мы ищем нетривиальные решения. Поэтому мы однозначно находим $\mu_{1}=\mu_{1}^{\prime}(\varepsilon)=O(\varepsilon)$. Следовательно, функция $\mu=\mu(\varepsilon)=\varepsilon \mu_{1}(\varepsilon)=O\left(\varepsilon^{2}\right)$ найдена. Период решения в исходных $x$-координатах определяется из выражения для $\frac{d \theta}{d t}$ и равен
\[
T=T(\varepsilon)=\frac{2 \pi}{\beta(0)}\left(1+O\left(\varepsilon^{2}\right)\right) .
\]
Теорема Ляпунова
(3C.3) Теорема Ляпунова. Рассмотрим систему
\[
\dot{x}=A x+f(x),
\]
где $f(x)$-гладкая функция, которая равна нулю вместе с первыми производными при $x=0$. Предположим, что система допускает первый интеграл вида $I(x)=\frac{1}{2} x^{T} S x+\ldots$, где $S=S^{T} u \operatorname{det} S
eq 0$. Пусть $A$ имеет собственными значениями числа $\pm i \beta, \lambda_{3}, \ldots, \lambda_{n}, \beta
eq 0$. Тогда если $\frac{\lambda_{j}}{\beta i}
eq$ целому числу для $j=3, \ldots, n$, то система имеет однопараметрическое семейство периодических решений, стяаивающихся $\kappa$ началу координат, при этом их периоды стремятся к $\frac{2 \pi}{\beta}$. Обычное доказательство см. у Келли [1].
Доказательство. Как уже говорилось во введении, мы покажем, что эта теорема является следствием теоремы Хопфа. Для этого мы рассмотрим модифицированную систему
\[
\dot{x}=A x+f(x)+\mu \operatorname{grad} I(x)
\]
и покажем, что все условия теоремы о рождении цикла удовлетворяются, а нестационарные периодические орбиты могут быть только при $\mu=0$.
Вторую часть этого утверждения ґегко получить, вычисляя $\frac{d I}{d t}$ вдоль решений (3С.6), что дает
\[
\frac{d I}{d t}=\langle\operatorname{grad} I(x), A x+f(x)+\mu \operatorname{grad} I(x)\rangle=\mu|\operatorname{grad} I(x)|^{2} .
\]
Второе равенство следует из того, что $I(x)$ – интеграл (3C.5). Поэтому $\frac{1}{\mu} I$ монотонно возрастает всюду кроме точек, где $\operatorname{grad} I(x(t))=0$, откуда получаем $x^{\prime}(t)=x(0)$, т. е. стационарную точку ${ }^{1}$ ).
Для того чтобы применить теорему предыдущего раздела, мы должны проверить только условия на действительную часть собственного значения, близкого к $i \beta$. Снова с помощью линейной замены мы приведем линейную часть системы (3С.5) к нормальной форме. Будем предполагать, что это уже сделано, и, таким образом, матрица $A$ имеет следующую действительную форму:
\[
A=\left(\begin{array}{rrr}
0 & \beta & 0 \\
-\beta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \tilde{A}
\end{array}\right),
\]
где $\tilde{A}$ – действительная квадратная матрица порядка $n-2$. Қак следует из равенства $A^{T} S+S A=0$, матрица $S$ в интеграле имеет вид
\[
S=\left(\begin{array}{ccc}
a & 0 & 0 \\
0 & a & 0 \\
0 & 0 & \tilde{S}
\end{array}\right)
\]
1) Не нужно забывать, что рассмотрение ведется в окрестности $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, где $\operatorname{grad} I(x)=0$ только в точке $x=0 .-\Pi$ рим. перев.
с $a
eq 0$, так как $\operatorname{det} S
eq 0$. Наконец, из вида матрицы
\[
A+\mu S=\left(\begin{array}{ccc}
\mu a & \beta & 0 \\
-\beta & \mu a & 0 \\
0 & 0 & \tilde{A}+\mu \tilde{S}
\end{array}\right)
\]
следует, что собственное значение, близкое к $i \beta$, имеет действительную часть $\alpha(\mu)=a \mu$, и поэтому $\alpha^{\prime}(0)=a
eq 0\left[{ }^{3}\right]$.
Особый случай теоремы Хопфа
Наше доказательство теоремы Хопфа нетрудно приспособить к случаю, когда действительная часть собственного значения не удовлетворяет условию $\alpha^{\prime}(0)
eq 0$, а вместо этого $\alpha^{\prime \prime}(0)
eq 0$. Член с $\mu_{1}$ в бифуркационном уравнении равен нулю, и мы должны вычислить некоторые члены более высокого порядка.
Воспользуемся той же самой нормальной формой, которая ранее использовалась в уравнении (3С.2), и для простоты предположим, что $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$-аналитические функции своих переменных. Будем считать, что предварительно нелинейным преобразованием исключены смешанные квадратичные члены, содержащие $y_{1}$ или $y_{2}$ и компоненты $\tilde{y}$. Этого можно добиться методом, аналогичным тому, который используется при биркгофовской нормализации гамильтоновых систем, т. е. с помощью преобразования вида (см. гл. 6A)
\[
\begin{aligned}
y_{1} & \rightarrow y_{1}+y_{1} \alpha^{T} \tilde{y}+y_{2} \beta^{T} \tilde{y}, \\
y_{2} & \rightarrow y_{2}+y_{1} \bar{\beta}^{T} \tilde{y}+y_{2} \bar{\alpha}^{T} \tilde{y}, \\
\tilde{y} & \rightarrow \tilde{y} .
\end{aligned}
\]
Если потребовать, чтобы в новых переменных уравнения не содержали членов, упомянутых выше, то это позволяет однозначно найти ( $n-2$ ) -мерные комплексные векторы $\alpha$ и $\beta$, так как матрица в системе (3C.2) не имеет при малых $\mu$ собственными значениями ни 0 , ни $2 i$.
Нам необходимо знать квадратичные и кубичные по $y_{1}, y_{2}$ члены функции $\varphi_{1}$, т. е.
\[
\varphi_{1}=a y_{1}^{2}+b y_{1} y_{2}+c y_{2}^{2}+\ldots+\alpha y_{1}^{3}+\beta y_{1}^{2} y_{2}+\lambda y_{1} y_{2}^{2}+\delta y_{2}^{3}+\ldots .
\]
Многоточие означает либо члены, содержащие только $\hat{y}$, либо члены более высокого порядка. Коэффициенты, конечно, зависят от параметра $\mu$, и мы можем записать $a=a(\mu)=$ $=a_{0}+a_{1} \mu+O\left(\mu^{2}\right)$ и аналогично для других коэффициентов.
В переменных $\theta, r, \eta$ самое важное уравнение – это урав. нение для $r$, и оно записывается в виде
\[
\frac{d r}{d \theta}=\frac{u(\mu) r+\operatorname{Re}\left\{e^{\left.-i \theta_{\varphi_{1}}\right\}}\right.}{1+r^{-1} \operatorname{Im}\left\{e^{-i \theta} \varphi_{1}\right\}} .
\]
Введем масштабный множитель
\[
r=\varepsilon^{2} \rho, \quad \mu=\varepsilon \mu_{1}
\]
и получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \rho}{d \theta}=\varepsilon^{2}\left(R_{0}+\varepsilon^{2} R_{1}+\varepsilon \mu_{1} R_{2}+\mu_{1}^{2} R_{3}+\ldots\right), \\
\frac{d \eta}{d \theta}=B(0) \eta+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{array}
\]
где
\[
\begin{array}{l}
R_{0}=\rho^{2} \operatorname{Re}\left\{a_{0} e^{i \theta}+b_{0} e^{-i \theta}+c_{0} e^{-3 i \theta}+\ldots\right\}, \\
R_{1}=\rho^{3}\left(\operatorname{Re}\left\{\alpha_{0} e^{2 i \theta}+\beta_{0}+\gamma_{0} e^{-2 i \theta}+\delta_{0} e^{-4 i \theta}+\ldots\right\}-\right. \\
-\operatorname{Re}\left\{a_{0} e^{i \theta}+b_{0} e^{-i \theta}+c_{0} e^{-3 i \theta}+\ldots\right\} \cdot \operatorname{Im}\left\{a_{0} e^{i \theta}+b_{0} e^{i \theta}+\right. \\
\left.\left.+c_{0} e^{-3 i \theta}+\ldots\right\}\right) \text {, } \\
R_{2}=\rho^{2} \operatorname{Re}\left\{a_{1} e^{i \theta}+b_{1} e^{-i \theta}+c_{1} e^{-3 i \theta}+\ldots\right\}, \\
R_{3}=\frac{1}{2} u^{\prime \prime}(0) \rho \text {. } \\
\end{array}
\]
Многоточием в функциях $R_{0}, R_{1}, R_{2}$ обозначены члены, содержащие $\eta$. Так как $\eta=0\left(\varepsilon^{2}\right)$, то эти члены несущественны при отыскании уравнения разветвления $2 \pi$-периодических решений, которое имеет ту же форму, что и ранее, и записывается в виде
\[
\int_{0}^{2 \pi}\left(R_{0}+\varepsilon^{2} R_{1}+\varepsilon \mu_{1} R_{2}+\mu_{1}^{2} R_{3}+\ldots\right) d \theta=0 .
\]
При вычислении этого интеграла сразу видно, что отсутствует постоянный член. Тем не менее следует обратить внимание на интегрирование $R_{0}$, так как оно дает вклад в член с $\varepsilon^{2}$ вследствие вида решения для $\rho$ :
\[
\begin{array}{r}
\rho=\rho_{0}+\varepsilon^{2} \rho_{0}^{2} \operatorname{Re}\left\{a_{0} i\left(1-e^{i \theta}\right)+b_{0} i\left(e^{-i \theta}-1\right)+\frac{c_{0} i}{3}\left(e^{-3 i \theta}-1\right)\right\}+ \\
+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]
Благодаря предварительно проведенному преобразованию переменные $\eta$ в $R_{0}$ входят квадратично, и поэтому они вносят вклад только в члены высшего порядка по $\varepsilon$ и $\mu_{1}$. Интегрирование приводит нас к следующему уравнению разветвления:
\[
2 \pi\left(\varepsilon^{2} \rho_{0}^{3} \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}+\frac{1}{2} \mu_{1}^{2} u^{\prime \prime}(0) \rho_{0}+\ldots\right)=0
\]
Теорема о неявной функции позволяет нам получить следующий результат: если $u^{\prime \prime}(0) \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}<0$, то существуют два различных решения приведенного выше уравнения разветвления, имеющих вид $\mu_{1}=0(\varepsilon)$. Эти решения соответствуют двум семействам периодических орбит, рождающихся из состояния равновесия. В случае $u^{\prime \prime}(0) \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}>0$ таких решений нет. Наконец, если дискриминант равен нулю, то необходимо учитывать члены более высокого порядка, чтобы выяснить, какой случай здесь имеет место. В случае $u(0)=$ $=u^{\prime}(0)=\ldots=u^{(n-1)}(0)=0, u^{(n)}(0)
eq 0$ мы вводим масштабный множитель с помощью соотношений $r=\varepsilon^{n} \rho, \mu=$ $=\varepsilon \mu_{1}$ и после аналогичных вычислений приходим к уравнению разветвления
\[
\frac{\rho_{0}}{n !} u^{(n)}(0) \mu_{1}^{n}+\rho_{0}^{3} \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\} \varepsilon^{n}+\ldots=0 .
\]
Обозначим $D=u^{(n)}(0) \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}$. Если $n$ нечетно и $D
eq 0$, то всегда существует при малых $\varepsilon$ решение вышеприведенного уравнения разветвления, имеющее вид $\mu_{1}=$ $=\mu_{1}(\varepsilon)=O(\varepsilon)$. Если $n$ четно, то существуют два таких решения при $D<0$ и нет ни одного решения при $D>0$.
(3С.4) Теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (3С.2), и пусть она записана в нормальной форме, как описано выше. Предположим, что $u(0)=u^{\prime}(0)=\ldots$ $\ldots=u^{(n-1)}(0)=0, \quad u^{(n)}(0)
eq 0, \quad n=1, \quad 2, \ldots \quad u \quad D=$ $=u^{(n)}(0) \operatorname{Re}\left\{\beta_{0}+i a_{0} b_{0}\right\}$. Тогда если $n$ нечетно и $D
eq 0$, то существует, по крайней мере локально, однопараметрическое семейство периодических орбит, которое стягивается в начало, а период этих орбит стремится к $2 \pi$, когда параметр стремится к нулю. Если $п$ четно, то существует два таких семейства в случае $D<0$ и ни одного-в случае $D>0$.
Этот результат очень близок к результату Чейфи [1], который обсуждался в гл. 3А. (См. также Такенс [1].) [‘]
