Цель этих заметок – предложить достаточно полное, хотя и не исчерпывающее изложение того, что обычно называют бифуркациями рождения предельного цикла, а также их приложений к некоторым специальным задачам, в том числе к вычислению условий устойчивости. Исторически тема эта восходит к работам Пуанкаре [1] приблизительно 1892 г.; она интенсивно обсуждалась А. А. Андроновым и А. А. Виттом [1] и их соавторами, начиная с 1930 г. Основная работа Хопфа [1] появилась в 1942 г. Хотя термин «бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа» (а иногда сюда также включают и Фридрихса) был бы более точным, название «бифуркация Хопфа» кажется нам более распространенным. Самый существенный вклад Хопфа – обобщение результата с двумерного случая на высшие размерности. [1] ${ }^{1}$ )

Основная техника, используемая в книге – это метод инвариантных многообразий. Здесь мы следуем Рюэлю и Такенсу [1] (с некоторыми изменениями), а также добавляем примеры и дополнительные доказательства. Некоторые части изложения в основном тексте взяты из работ П. Чернова, Дж. Дорро, О. Ланфорда и Ф. Вейслера, которым мы весьма признательны.

Метод инвариантных многообразий часто встречается в работах по динамическим системам и обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., например, Хейл [1, 2] и Хартман [1]). Применяются, конечно, и другие методы: Чтобы представить более сбалансированную картину, мы включили в книгу примеры других подходов, в частности перевод (выполненный Л. Ховардом и Н. Коппель) оригинальной работы Хопфа (как правило, труднодоступной). Эти методы, использующие степенные ряды и масштабирование, использовалиеь в гидромеханике, среди многих других, Джозефом и Сэттинджером [1]; в двух главах даны изложения этих идей, взятые из работ Иосса [1-6], а также Киршгасснера и Кильхоффера [1] (это сделано Г. Чайлдсом и О. Руизом).

Статьи С. Смейла, Дж. Гукенхеймера и Г. Остера показывают применения развиваемых здесь идей к биологическим задачам, а работа Д. Шмидта – к гамильтоновым системам. Другие приложения и прочие относящиеся сюда вопросы изложены в монографиях А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина [1], Н. Минорского [1] и Р. Тома [1].

Бифуркация рождения цик.та – это появление периодических орбит («автоколебаний») из устойчивой неподвижной
1) Ссылки вида [‘] относятся к примечаниям редакторов в конце книги, – Прим. ред.

точки при прохождении параметра через критическое значение. В исходном подходе Хопфа определение устойчивости рождающихся периодических орбит в каждом конкретном случае сводилось к довольно громоздкому вычислению. Здесь мы даем для этого явные алгоритмы, которые легко применять в примерах. (Для сравнения с формулами Хопфа см. гл. 4 и 5А.) Метод усреднения, изложенный С. Чоу и Ж. Малле-Паре в гл. 4С, дает другой метод определения устойчивости и, как нам кажется, он будет особенно полезен при исследовании следующей бифуркации – рождения инвариантного тора, где могут помочь только численные методы, так как периодическая орбита в явном виде обычно неизвестна.

Для применения к уравнениям с частными производными решающим является предположение о гладкости по всем переменным при $t>0$ полупотока, определяемого уравнениями. Это позволяет применить технику инвариантного многообразия и, стало быть, бифуркационные теоремы (Марсден [2]). Для определения гладкости в конкретных примерах могут быть полезными результаты Дорро и Марсдена [1], часть из которых представлена здесь. Аналогичные идеи об использовании гладкости были независимо предложены другими авторами, например Д. Генри [1].

Мы почти не касаемся и не обсуждаем сколь-нибудь детально некоторых направлений дальнейших исследований и обобщений, сформулированных в работах Йста и Зендера [1], Такенса [1, 2], Крендалла и Рабиновича [1, 2], В. И. Арнольда [1, 2], Коппель и Ховарда [1-6]. Чтобы указать возможные обобщения, мы приводим только некоторые результаты Чейфи [1] и Рюэля (они изложены здесь С. Шектером).

Тема эта никоим образом не исчерпана. С большой частотой появляются работы по приложениям к неустойчивостям в биологии (см., например, Зиман [2], Гарел [1-12] и гл. 10, 11), в технике (например, «флаттер» или автоколебания в конструкциях, электрических цепях, ядерных установках и других системах; см. Аронсон [1], Зиглер [1], Кноп и Уилкс [1]), а также исследования по колебательным процессам в атмосфере и осцилляциям магнитного поля Земли (см. Дюран [1]). К тому же и качественная теория, которую Рюэль и Такенс предложили применить для описания турбулентности, еще недостаточно хорошо разработана (см. гл. 9). В этом направлении нам кажутся важными работы Ньюхауса и Пейксото [1] и Александера и Йорка ${ }^{1}$ ). Другая плодотвор-
1) См. также Афраймович, Быков, Шильников [1], а также обзоры Шильникова [1] и Пейлиса [1]. – Прим. перев.

ная область приложений – устойчивые колебания в нелинейных волнах, см. Уизем [1]. Мы надеемся, что наши заметки послужат путеводителем по этой тематике и будут полезны всем, кто пожелает изучить или применить связанные с ней многообещающие методы.

После завершения наших вычислений устойчивости нам было приятно узнать, что и другие испытали те же трудности, что и мы, при применении результата Хопфа в том виде, в котором он приводится в литературе, к конкретным задачам размерности $\geqslant 3$. Для преодоления этих трудностей были получены аналогичные формулы (см. Сю и Казаринов [1,2] и Пур [1]).

Другой представленный здесь важный новый результат наше доказательство возможности применения бифуркационной теории Хопфа к нелинейным параболическим уравнениям с частными производными. Это доказательство, основанное на теории инвариантного многообразия, значительно проще, чем существующие, и будет полезно во многих других ситуациях, включая теорию бифуркаций для эволюционных уравнений.

Начало этим заметкам было положено на семинаре, проходившем в Беркли в 1973-1974 гг. Мы хотим поблагодарить всех участвовавших в создании этой книги: П. Чернова, Г. Чайлдса, С. Чоу, Дж. Р. Дорро, Дж. Гукенхеймера, Л. Ховарда, Н. Коппель, О. Ланфорда, Ж. Малле-Паре, Г. Остера, О. Руиза, С. Шектера, Д. Шмидта и С. Смейла. Заранее приносим извинения всем тем, чей вклад в теорию бифуркаций здесь не отмечен; известные нам работы включены в библиографию, которая, возможно, не полна. Много других ссылок можно найти в обширной библиографии к книге Чезари [1]. Мы также благодарны всем тем, кто проявил интерес к нашим заметкам и сделал ценные замечания. Это: Р. Абрахам, Д. Аронсон, А. Чорин, М. Крендалл, Р. Кашмен, С. Дезоер, А. Фишер, Л. Гласс, Дж. М. Гринберг, О. Гарел, Дж. Хейл, Б. Хассар, С. Хастингс, М. Хирш, Э. Хопф, Н. Д. Казаринов, Дж. П. Ла-Саль, А. Мисс, Ч. Пью, Д. Рюэль, Ф. Такенс, И. Ван и А. Вайнштейн. Особо мы благодарны Д. А. Иорку за материал гл. ЗС и ему и Д. Рюэлю за указание нам примера уравнений Лоренца (см. пример 4В.8). Наконец, мы благодарны Барбаре Комацу и Джоди Андерсон за прекрасную работу по печатанию рукописи.

Джерролд Марсден
Марджори Мак-Кракен