С. Чоу и Ж. Малле-Паре

Метод усреднения ${ }^{1}$ ) дает алгоритм для упрощения бифуркационной задачи, т. е. для приведения ее к нормальной форме. После того как это сделано, при помощи теоремы о неявной функции (или принципа сжимающих отображений) и теоремы о центральном многообразии легко определить некоторые качественные особенности бифуркации.

Рассмотрим сначала задачу о бифуркации рождения цикла
\[
\dot{z}=f(z, \alpha)
\]

для состояния равновесия $z=0$. Предположим, что $z \in \mathbb{R}^{n}$, $\alpha \in\left(-\alpha_{0}, \alpha_{0}\right), f$ принимает значения в $R^{n}$ и $f(0, \alpha)=0$. Для простоты будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, хотя мы могли бы точно так же рассмотреть дифференциальные уравнения в частных производных. В этом случае $z$ и $\dot{z}$ принадлежит (вообще говоря, различным) банаховым пространствам $X_{1}$ и $X_{2}$, а $f$-гладкое отображение $X_{1} \times\left(-\alpha_{0}, \alpha_{0}\right)$ в $X_{2}$.
Запишем (1) в виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{z}=A(\alpha) z+g(z, \alpha), \\
|g(z, \alpha)|=O\left(|z|^{2}\right) .
\end{array}
\]

Относительно спектра $A(\alpha)$ имеют место обычные (см. гл. 1.3). предположения, а именно, что ему принадлежит пара $\lambda(\alpha)$, $\overline{\lambda(\alpha)}$ комплексно-сопряженных собственных значений вида
\[
\lambda(\alpha)=\gamma(\alpha)+i \omega(\alpha),
\]

где
\[
\gamma(0)=0, \quad
u \stackrel{\text { def }}{=} \gamma^{\prime}(0)
eq 0, \quad \omega \stackrel{\text { def }}{=} \omega(0)
eq 0,
\]

а остальной спектр $A(\alpha)$ равномерно отделен на положительное расстояние от мнимой оси. Представим $z \in \mathrm{R}^{n}$ как
\[
z=(x, y), \quad P \oplus Q=\mathrm{R}^{2} \oplus \mathrm{R}^{n-2}
\]
1) Метод использовался многими авторами: Халанаем, Хейлом, Мейером, Дилиберто и др.; см. Курцвейль [1] и статьи в сборнике Лефшеца [1].

в соответствии со спектром $A(0)$, так что $P$ есть собственное подпространство, соответствующее $\lambda(0), \overline{\lambda(0)}$, а $Q$ – его дополнение. После такого разложения можно записать
\[
A(\alpha)=\left(\begin{array}{cc}
A_{P}(\alpha) & O(\alpha) \\
O(\alpha) & A_{Q}(\alpha)
\end{array}\right),
\]

где
\[
A_{P}(\alpha)=\left(\begin{array}{rr}
\gamma(\alpha) & -\omega(\alpha) \\
\omega(\alpha) & \gamma(\alpha)
\end{array}\right),
\]

а спіктр $A_{Q}(\alpha)$ равномерно отделен от мнимой оси. Представим $\boldsymbol{x}$ в полярных координатах
\[
x=(r \cos \theta, r \sin \theta) .
\]

Рассмотрим периодическое решение, рождающееся из точки
\[
(x, y, \alpha)=(0,0,0) .
\]

Дифференциальным уравнением для $r$ является уравнение
\[
\dot{r}=
u(\alpha) r+O\left(r^{2}\right)=\alpha v r+O\left(\alpha^{2} r\right)+O\left(r^{2}\right),
\]

из которого следует, что $\dot{r}=0$, когда $r$ достигает на решении своего максимума, и, следовательно,
\[
\alpha=O(r) .
\]

Далее, периодическое решение лежит на центральном многообразии $\Sigma$, описываемом соотношением
\[
\Sigma: y=\varphi(r, \theta, \alpha) .
\]

Состояние равновесия $(r, y)=(0,0)$ лежит на $\Sigma$ для всех $\alpha$. Кроме того, $\Sigma$ касается $P \times\left(-\alpha_{0}, \alpha_{0}\right)$ в точке $(r, \alpha)=(0,0)$, откуда следует, что (4С.4) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{c}
\Sigma: y=r \psi(r, \theta, \alpha), \\
\psi(0, \theta, 0)=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, на периодическом решении имеем
\[
y=O\left(r^{2}\right)+O(r \alpha)=O\left(r^{2}\right) .
\]

Выбирая $\varepsilon>0$ того же самого порядка, что и амплитуда решения, мы можем перемасштабировать уравнение при помощи
\[
r \rightarrow \varepsilon r, \quad \alpha \rightarrow \varepsilon \alpha, \quad y \rightarrow \varepsilon y .
\]

Тогда из оценок (4С.3), (4С.5) будет следовать, что в новых координатах
\[
r=O(1), \quad \dot{x}=O(1), \quad y=O(\varepsilon) .
\]

Точное соотношение между $\varepsilon$ и $\alpha$ будет выяснено позднее, когда $\alpha$ будет выбрана как конкретная функция $\varepsilon$. Тогда будет показано, что на самом деле $\alpha=0$ в новых координатах.

Разложим дифференциальное уравнение (4С.2) в ряд Тейлора (в новых координатах). Используя оценку (4С.6), нетрудно показать, что уравнение будет иметь вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=A_{P}(\varepsilon \alpha)+B_{2} x^{2}+\varepsilon^{3} B_{3} x^{3}+G x y+O\left(\varepsilon^{2} \alpha\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\dot{y}=A_{Q} y+\varepsilon J x^{2}+O(\varepsilon \alpha)+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{array}
\]

где $B_{j}=\left(B_{j}^{1}, B_{j}^{2}\right)$ – однородный полином степени $j$ от $x \in \mathbb{R}^{2}$ имеющий значения в $\mathbb{R}^{2}, G: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{n-2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ – билинейное отображение, $A_{Q}=A_{Q}(0), J: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ – симметричное билинейное отображение.
В полярных координатах (4C.7) примет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{r}=\varepsilon \alpha v r+\varepsilon r^{2} C_{3}(\theta)+\varepsilon^{2} r^{3} C_{4}(\theta)+\varepsilon r G_{2}(\theta) y+\theta\left(\varepsilon^{2} \alpha\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right) \\
\dot{\theta}=\omega+\varepsilon r D_{3}(\theta)+O(\varepsilon \alpha)+O\left(\varepsilon^{2}\right) \\
\dot{y}=A_{Q} y+\varepsilon r^{2} J(\cos \theta, \sin \theta)^{2}+O(\varepsilon \alpha)+O\left(\varepsilon^{2}\right)
\end{array}\right\} \text {, }
\]

где
\[
C_{j}(\theta)=(\cos \theta) B_{j-1}^{1}(\cos \theta, \sin \theta)+(\sin \theta) B_{j-1}^{2}(\cos \theta, \sin \theta)
\]

и
\[
D_{j}(\theta)=(\cos \theta) B_{j-1}^{2}(\cos \theta, \sin \theta)-(\sin \theta) B_{j-1}^{1}(\cos \theta, \sin \theta)
\]
– однородные тригонометрические полиномы степени $j$, $G_{2}(\theta)$ – однородный тригонометрический полином второй степени, значения которого принадлежат сопряженному к $Q$ пространству $Q^{*}$.

Цель метода усреднения заключается в том, чтобы избавиться от зависимости $\dot{r}$ от $\theta$ и $y$, т. е. найти такую новую радиальную координату $\bar{r}$, уравнение для которой имело бы вид
\[
\dot{\bar{r}}=F(\bar{r}, \varepsilon) \text {. }
\]

Если бы это было сделано, то каждое периодическое решение являлось бы обыкновенной окружностью $\bar{r}=\bar{r}(\varepsilon)$, где $\bar{r}(\varepsilon)$ удовлетворяло бы уравнению $F(\bar{r}(\varepsilon), \varepsilon)=0$. На самом деле не обязательно полностью уничтожать зависимость от $\theta$ и $y$, обычно достаточно отсутствия $\theta$ и $y$ у конечного числа членов разложения Тейлора по $\varepsilon$ и $y$. Например, в (4С.8) достаточно, вообще говоря, усреднить члены, содержащие $\varepsilon$, $\varepsilon y$ и $\varepsilon^{2}$.

Точнее, рассмотрим какое-нибудь дифференциальное уравнение
\[
\begin{array}{l}
\dot{r}=\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \varepsilon^{j} R_{j k}(r, \theta, \alpha) y^{k}, \\
\dot{\theta}=\omega+O(\varepsilon), \\
\dot{y}=A_{Q} y+O(\varepsilon) .
\end{array}
\]

Ряды для $\dot{r}$ могут быть заменены конечными отрезками рядов Тейлора с остатком. Чтобы усреднить какой-либо член, скажем $R_{p q}$, определим новую координату $\bar{r}$ равенством
\[
\bar{r}=r+\varepsilon^{p} u(r, \theta, \alpha) y^{q} .
\]

В новых координатах коэффициент при $\varepsilon^{p} y^{q}$ становится равным $\bar{R}_{p q}$, где
\[
\bar{R}_{p q}(r, \theta, \alpha)=\frac{\partial u}{\partial \theta} \omega+q u y^{q} \cdot A_{Q}+R_{p q}(r, \theta, \alpha) .
\]

Возможны два случая.
Случай I, $q=0$. Выберем $и$ следующим образом:
\[
u(r, \theta, \alpha)=-\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\theta} R_{p 0}(r, \xi, \alpha) d \xi+\frac{\theta}{2 \pi \omega} \int_{0}^{2 \pi} R_{p 0}(r, \xi, \alpha) d \xi .
\]

Отметим, что $u 2 \pi$-периодична по $\theta$, а $\overline{R_{p 0}}$ от $\theta$ не зависит и фактически является средним:
\[
\bar{R}_{p 0}(r, \alpha)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} R_{p 0}(r, \xi, \alpha) d \xi .
\]

Следовательно, мы усреднили коэффициент при $\varepsilon^{p} y^{0}$.
Cлучай II. $q>0$. Здесь нам хочется выбрать $u$ так, чтобы $\bar{R}_{p q}$ тождественно равнялось нулю, и таким образом уничтожить член с $\varepsilon^{p} y^{q}$. Поэтому мы будем искать $2 \pi$-периодическую функцию $u(r, \theta, \alpha)$, удовлетворяющую уравнению
\[
\frac{\partial u}{\partial \theta} \omega+q u A_{Q}+R_{p q}(r, \theta, \alpha)=0 .
\]

Рассматривая $R_{p q}$ в (4С.9) как внешнюю силу, видим, что такая единственная функция $и$ существует тогда и только тогда, когда однородное уравнение
\[
\frac{\partial u}{\partial \theta} \omega+q u A_{Q}=0
\]

не имеет нетривиальных $2 \pi$-периодических решений. Можно показать, что это выполнено, если
\[
\frac{1}{\omega_{t}} \sum_{i=1}^{n-2} n_{j} \lambda_{i} \text { не равно целому числу }
\]

для всех целых $n_{l} \geqslant 0, \sum_{j=1}^{n-2} n_{j}=q$
и $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n-2}$ – собственные значения $A_{Q}$.
В частности, это всегда может быть сделано, когда $q=1$ или $A_{Q}$ устойчива.

Вернемся к бифуркационной задаче (4С.8) и теперь усредним члены с $\varepsilon$, $\varepsilon$ у и $\varepsilon^{2}$ указанным выше способом при помощи замены
\[
\bar{r}=r+\varepsilon u(r, \theta, \alpha)+\varepsilon w(r, \theta, \alpha) y+\varepsilon^{2} v(r, \theta, \alpha) .
\]

На самом деле замена имеет вид $\bar{r}=r+\varepsilon r^{2} u(\theta)+\varepsilon r w(\theta) y+$. $+\varepsilon^{2} r^{3} v(\theta)$, откуда получаем уравнение для $\bar{r}$ :
\[
\begin{aligned}
\dot{\vec{r}} & =\varepsilon\left[\alpha v \bar{r}+\bar{r}^{2} C_{3}(\theta)+\bar{r}^{2} u^{\prime}(\theta) \omega\right]+\varepsilon \bar{r}\left[G_{2}(\theta)+w(\theta) A_{Q}+\right. \\
& \left.+w^{\prime}(\theta) \omega\right] y+\varepsilon^{2} \bar{r}^{3}\left[C_{4}(\theta)+u^{\prime}(\theta) D_{3}(\theta)+w(\theta) J(\cos \theta, \sin \theta)^{2}-\right. \\
& \left.-2 u(\theta) u^{\prime}(\theta) \omega+v^{\prime}(\theta) \omega\right]+O\left(\varepsilon^{2} \alpha\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Так как среднее значение $C_{3}$ равно нулю, выберем
\[
u(\theta)=-\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\theta} C_{3}(\xi) d \xi
\]

тогда коэффициент при $\varepsilon$ в (4С.10) станет равным $\alpha v \bar{r}$. Положим $w(\theta)$ равным единственному $2 \pi$-периодическому решению уравнения
\[
G_{2}(\theta)+w(\theta) A_{Q}+\omega^{\prime}(\theta) \omega=0 ;
\]

при этом член с $\varepsilon$ исчезнет. Наконец, выберем $v^{\prime}(\theta)$ так, чтобы сделать коэффициент при $\boldsymbol{\varepsilon}^{2} \vec{r}^{3}$ постоянной величиной
\[
\begin{array}{r}
K=\text { среднему }\left[C_{4}(\theta)+u^{\prime}(\theta) D_{3}(\theta)+w(\theta) J(\cos \theta, \sin \theta)^{2}-\right. \\
\left.-2 u(\theta) u^{\prime}(\theta) \omega\right]= \\
=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left[C_{4}(\theta)-\frac{1}{\omega} C_{3}(\theta) D_{3}(\theta)+w(\theta) J(\cos \theta, \sin \theta)^{2}\right] d \theta
\end{array}
\]

Таким образом, в новых координатах $(r, \theta, y)$
(4C.8) примет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\bar{r}}=\varepsilon \alpha v \bar{r}+\varepsilon^{2} \bar{r}^{3} K+O\left(\varepsilon^{2} \alpha\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\dot{\theta}=\omega+O(\varepsilon), \\
\dot{y}=A_{Q} y+O(\varepsilon) .
\end{array}\right\}
\]

Если ограничить рассмотрение центральным многообразием
\[
y=r \psi(\varepsilon r, \theta, \varepsilon \alpha),
\]

то уравнением для $\dot{y}$ можно пренебречь. Кроме того, нетрудно показать, что единственное семейство периодических решений, рождающихся из начала координат, имеет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{r}=\left|\frac{
u}{K}\right|^{1 / 2}+O(\varepsilon) \\
\alpha=-\varepsilon \operatorname{sgn}(
u K)
\end{array}\right\} \text { в новых координатах, }
\]
т. е. в исходных координатах
\[
\left.\begin{array}{l}
r=\left|\frac{v}{K}\right|^{1 / 2} \varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right), y=O\left(\varepsilon^{2}\right) . \\
\alpha=-\varepsilon^{2} \operatorname{sgn}(
u K) .
\end{array}\right\}
\]

Поэтому амплитуда бифурцирующего решения приблизительно равна $\left(-\frac{\alpha v}{K}\right)^{1 / 2}$, а период близок к $\frac{2 \pi}{\omega}$.

В случае $K=0$ таким же образом усредняются члены более высокого порядка по $\varepsilon$ и $y$. Возможные в этом случае нормальные формы имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{\bar{r}}=\varepsilon \alpha v \bar{r}+\varepsilon^{2 p} \bar{r}^{2 p+1} K^{\prime}+O\left(\varepsilon^{2} \alpha\right)+O\left(\varepsilon^{2 p+1}\right), \\
\dot{\theta}=\omega+O(\varepsilon)
\end{array}
\]

для целых $p \geqslant 2$ и $K^{\prime}
eq 0$. Бифурцирующее решение в өтом случае может быть записано в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
r=\left|\frac{v}{K^{\prime}}\right|^{1 / 2 p} \varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right) \\
y=O(\varepsilon)^{2} \\
\alpha=-\varepsilon^{2 p} \operatorname{sgn}\left(v K^{\prime}\right)
\end{array}\right\} \text { в исходных координатах. }
\]

Поэтому оно имеет амплитуду, близкую к $\left(-\frac{\alpha v}{K^{\prime}}\right)^{1 / 2 p}$, и период, близкий к $\frac{2 \pi}{\omega}$. Заметим, что во всех случаях бифуркация происходит лишь с одной стороны от $\alpha=0$. Для случаев, когда все бифурцирующие решения имеются лишь при $\alpha=0$ (например, при доказательстве центральной теоремы Ляпунова – см. гл. ЗС), метод усреднения не работает.

Более детальное изложение описанного метода, а также некоторые приложения см. в работе Чоу и Малле-Паре [1]. Мы упоминаем здесь только о двух примерах, рассмотренных в этой работе, где применяется метод усреднения.
(1) Дифференциальное уравнение с запаздыванием (уравнение Райта).
Уравнение
\[
\dot{z}(t)=-a z(t-1)[1+z(t)]
\]

возникает в столь разных областях, как модели популяционной генетики и теория чисел, и является одним из наиболее глубоко изученных уравнений с запаздыванием. В нем для $a>\frac{\pi}{2}$ с помощью топологической техники неподвижной точки доказывается существование периодического решения. Используя метод усреднения, можно анализировать поведение этого решения вблизи $a=\frac{\pi}{2}$. В частности, для $\frac{\pi}{2}<a<$ $<\frac{\pi}{2}+\varepsilon$ решение, рождающееся из $z=0$, является устой, чивым и имеет асимптотику
\[
\begin{aligned}
z(t) & =K\left(a-\frac{\pi}{2}\right)^{1 / 2} \cos \left(\frac{\pi}{2} t\right)+O\left(a-\frac{\pi}{2}\right), \\
K & =\left(\frac{40}{3 \pi-2}\right)^{1 / 2} \approx 2,3210701 .
\end{aligned}
\]
(2) Уравнение диффузии. Линейные уравнения с нелинейными граничными условиями, вроде
\[
\begin{array}{c}
u_{t}=u_{x x} \quad \text { при } t \geqslant 0 \quad \text { и } \quad 0<x<1, \\
u_{x}(0, t)=0, \quad u_{x}(1, t)=\operatorname{ag}(u(0, t), u(1, t)),
\end{array}
\]

встречаются в различных задачах биологии и теории химических реакций (см., например, Аронсон [2]). Возьмем
\[
g(u, v)=\alpha u+\beta v+O\left(u^{2}+v^{2}\right) ;
\]

тогда линеаризованное в окрестности $u=0$ уравнение имеет граничные условия
\[
u_{x}(0, t)=0, \quad u_{x}(1, t)=a[\alpha u(0, t)+\beta u(1, t)] .
\]

При переходе через критическое значение $a_{0}$ для подходящих значений $(\alpha, \beta)$ пара собственных значений этой задачи пересекает мнимую ось с ненулевой скоростью. Устойчивость рождающегося периодического движения может быть определена методом усреднения.

Сила метода усреднения проявляется в том, что с его помощью можно изучать достаточно широкий круг бифуркационных задач. Упомянем здесь о двух.
(3) Почти периодические уравнения. Рассмотрим
\[
\dot{z}(t)=A(\alpha) z+g(z, t, \alpha),
\]

где $A(\alpha)$ удовлетворяет тем же условиям, что и ранее, $g$ почти периодична по $t$ равномерно относительно $(z, \alpha)$ на компактных множествах и $g=O\left(|z|^{2}\right)$. Дополнительно предположим, что периоды $2 \pi / N \omega$ для $N=1,2,3,4$ отделены от базисных периодов для $g$. Тогда процедура усреднения, аналогичная описанной выше, приводит к нормальной форме, даваемой в новых координатах соотношениями (4C.11). Здесь, однако, члены высших поряцков (но не постоянная $K$ ) почти периодичны по $t$. Таким образом, полученное многообразие можно представить себе как цилиндр в пространстве $(x, t) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{1}$, в котором каждое сечение $t=$ const является окружностью, близкой $x=0$. Цилиндр этот почти периодичен по $t$ с теми же самыми базисными периодами, что и $g$.
(4) Специальным случаем (3) является бифуркация рождения инвариантного тора из периодической траектории автономной системы. В соответствующих локальных координатах около замкнутой траектории автономная система имеет вид 4C.13), где $t$ обозначает (периодическую) координату вдоль замкнутой траектории, а $z$-координаты, нормальные к ней. Условие на базисные периоды для $g$ сводится к стандартному предположению о том, что периодическая траектория не имеет мультипликаторов, являющихся корнями $N$-й степени из единицы, для $N=1,2,3,4$. Инвариантный цилиндр, получающийся при $K
eq 0$, периодичен по $t$ и, таким образом, фактически является двумерным тором, «охватывающим» замкнутую траекторию.