Г. Чайлдс

В этой работе [3] доказывается существование периодической орбиты, возникающей из стационарного решения через бифуркацию рождения цикла, для одной задачи гидродинамики. Эти результаты аналогичны результатам, описанным ранее. Например, в субкритическом случае показано, что периодическое решение будет неустойчиво по Ляпунову, если действительный бифуркационный параметр (число Рейнольдса) меньше того критического значения, при котором происходит бифуркация; в суперкритическом случае оно будет (экспоненциально) устойчиво, если значение параметра больше критического.

В отличие от основной части настоящих заметок Иосс почти всюду использует технику различных функциональных пространств. Характерно, что периодическое решение, полученное им, является непрерывной функцией со значениями в пространстве Соболева, построенном на основной области $\Omega$ в $R^{3}$. Тем не менее широко используется теорема о неявной функции. Здесь будут сформулированы три основные теоремы работы Иосса, и для иллюстрации метода будут даны наброски их доказательства.

Сначала сформулируем саму задачу. Пусть $I$ – замкнутый интервал на действительной прямой, $V(I)$ – окрестность этого интервала в $\mathbb{C}$. Предположим, что для каждого $\lambda \in$ $\in V(I)$ задан $L_{\lambda}$-замкнутый линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве $H$. Семейство $\left\{L_{\lambda}\right\}$ голоморфно и имеет тип ( $A$ ) в $V(I)$ (см. Като [3]). Кроме, того, каждый $L_{\lambda} m$-секториален с вершиной $\gamma_{\lambda}$. Наконец, $L_{\lambda}$ имеет в $H$ компактную резольвенту. Пусть $\mathscr{D}$-общая область определения всех $L_{\lambda}$. Предположим, что $K$ – гильбертово пространство, такое, что $\mathscr{D} \subseteq K \subseteq H$, где все вложения непрерывны и $\forall U \in K, 0 \leqslant \alpha<1,\left\|I_{\lambda}(t) U\right\|_{\mathscr{D}} \leqslant k e^{\gamma_{\lambda} t}\left(1+t^{-\alpha}\right) \times$ $X\|U\|_{K}$, где $I_{\lambda}(t)$ – голоморфная полугруппа, порожденная оператором $-L_{\lambda}$. Пусть $M: \mathscr{D} \times \mathscr{D} \rightarrow K-$ непрерывная билинейная форма. Теперь мы можем сформулировать задачу:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial t}+L_{\lambda} U-M(U, U)=0, \\
U \in C^{0}(0, \infty ; \mathscr{D}) \cap C^{1}(0, \infty ; H), \\
U(0)=U_{0} \in \mathscr{D}, U(0)=U(T)=U(2 T)=\ldots \text { для } \\
\text { некоторого } T>0 .
\end{array}\right.
\]

Иосс показывает, что для течений в областях некоторой формы уравнения для возмущений стационарного решения уравнений Навье – Стокса имеют такой вид. (См. работу Иосса [5].) Для доказательства существования решений уравнений (9А.1) необходимо сделать дополнительные предположения. Пусть $\xi_{0}(\lambda)=\sup _{\xi \in \sigma\left(-L_{\lambda}\right)}\{\operatorname{Re} \xi\}$. Тогда
(Н.1) $\exists \lambda_{c} \in \mathbb{R}$, левая полуокрестность $V^{-}\left(\lambda_{c}\right)$ и правая полуокрестность $V^{+}\left(\lambda_{c}\right)$, такие, что $\xi_{0}\left(\lambda_{c}\right)=0, \lambda \in V^{-}\left(\lambda_{c}\right)$ $-\left\{\lambda_{c}\right\} \Rightarrow \xi_{0}(\lambda)<0, \lambda \in V^{+}\left(\lambda_{c}\right)-\left\{\lambda_{c}\right\} \Rightarrow \xi_{0}(\lambda)>0$.
(H.2) Оператор $L_{\lambda_{c}}$ имеет чисто мнимые собственные значения $\zeta_{0}=i \eta_{0}$ и $\bar{\zeta}_{0}$. Кроме того, эти собственные значения простые. Для $\lambda \in V\left(\lambda_{c}\right)$ существуют две аналитические функции $\xi_{1}$ и $\bar{\xi}_{1} \in \sigma\left(-L_{\lambda}\right)$, такие, что $\xi_{1}\left(\lambda_{c}\right)=\xi_{0}$. Спектр $\sigma\left(L_{\lambda}\right)$ представим в виде $\left\{-\xi_{1}\right\} \cup\left\{-\bar{\zeta}_{1}\right\} \cup \tilde{\sigma}\left(L_{\lambda}\right)$. Это разложение определяет разложение $H$ на инвариантные подпространства:
\[
\begin{array}{c}
\forall U \in H, \quad U=X+Y, \quad X=E_{\lambda} U, \quad Y=P_{\lambda} U ; \\
E_{\lambda}=E\left(-\zeta_{1}\right)+E\left(-\bar{\zeta}_{1}\right),\left(L_{\lambda}+\zeta_{1}\right) U_{1}(\lambda)=0,\left(L_{\lambda}^{*}+\bar{\zeta}_{1}\right) W_{1}(\lambda)=0, \\
\left(U_{1}(\lambda), W_{1}(\lambda)\right)_{H}=1,\left(U_{1}(\lambda), W_{1}(0)\right)_{H}=1 .
\end{array}
\]

Собственные векторы $U_{1}(\lambda), \overline{U_{1}(\lambda)}$ образуют базис $E_{\lambda} H$. Для $\lambda \in V\left(\lambda_{c}\right)$
\[
\begin{array}{c}
L_{\lambda}(U)=L_{\lambda_{c}} U+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{c}\right)^{n} L^{(n)} U ; \\
U_{1}(\lambda)=U^{(0)}+\left(\lambda-\lambda_{c}\right) U^{(1)}+\ldots ; \\
W_{1}(\lambda)=W^{(0)}+\left(\lambda-\lambda_{c}\right) W^{(1)}+\ldots ; \zeta_{1}(\lambda)=\zeta_{0}+\left(\lambda-\lambda_{c}\right) \zeta^{(1)}+\ldots .
\end{array}
\]

В частности, мы имеем $\zeta^{(1)}=-\left(L^{(1)} U^{(0)}, W^{(0)}\right)_{H}, L_{\lambda_{c}}+\zeta_{0} U^{(0)}=0$, вать предположение
(Н.3) $\operatorname{Re}\left(L^{(1)} U^{(0)}, W^{(0)}\right)_{H}
eq 0$. В силу (Н.1) отсюда следует $\operatorname{Re} \zeta^{(1)}>0$. Это стандартные предположения для существования бифуркации рождения цикла. Для формулировки теоремы нам также необходимо знать, что
\[
\begin{aligned}
\gamma_{0}=\gamma_{0_{r}}+i \gamma_{0_{i}}= & -\left(M^{(0)}\left[U^{(0)}, L_{\lambda_{c}}^{-1} M^{(0)}\left(U^{(0)}, \overline{U^{(0)}}\right)\right]+\right. \\
& \left.+M^{(0)}\left[\overline{U^{(0)}},\left(L_{\lambda_{c}}+2 i \eta_{0} I\right)^{-1} M\left(U^{(0)}, U^{(0)}\right)\right], W^{(0)}\right)_{H},
\end{aligned}
\]

где $M^{(0)}(U, V)=M(U, V)+M(V, U)$.
Теперь мы сформулируем теорему, принадлежащую Иоссу.
Теорема 2. Если выполнены предположения (Н.1), (Н.2), (Н.3) $и \gamma_{0_{r}}
eq 0$, то имеет место бифуркация рождения нетривиального Т-периодического решения системы (9А.1), происходящая при $\lambda=\lambda_{c}$. Если $\gamma_{0_{r}}>0$, то бифуркация происходит при $\lambda \in V^{+}\left(\lambda_{c}\right)$, в то же время, если $\gamma_{0_{r}}<0$, то она происходит при $\lambda \in V^{-}\left(\lambda_{c}\right)$. Решение $\mathcal{U} \in C^{0}(-\infty, \infty, \mathscr{D})$ единственно с точностью до Arg $a$, что соответствует сдвигу по $t$. Наконец, $\mathcal{U}(t)$ аналитично относительно $\varepsilon=\sqrt{\left|\lambda-\lambda_{c}\right|}$, период аналитичен по $\lambda-\lambda_{c}$, и можно записать $\mathcal{U}(t, \varepsilon)=\varepsilon \mathscr{U}^{(1)}(t)+$ $+\varepsilon^{2} \mathcal{U}^{2}(t)+\ldots$, где $\mathcal{U}^{(i)}(t) T$-периодичны. Здесь Arg $a$ фаза колебаний $\dot{X}(t)$.
Дадим набросок доказательства. Обозначим
\[
\zeta_{1}(\lambda)=\xi(\lambda)+i \eta(\lambda), \quad N_{\lambda}=i E\left(-\zeta_{1}\right)-i E\left(-\bar{\zeta}_{1}\right) .
\]

Тогда уравнения для $X$ и $Y$-компонент $\mathcal{U}$, получающиеся из (9А.1), таковы:
\[
\begin{array}{c}
Y(t)=\widetilde{B}_{t}(X+Y, X+Y ; \lambda), \\
\frac{d X}{d t}-\eta N_{\lambda} X=\xi X+E_{\lambda} M(X+Y, X+Y) \equiv F(X, Y ; \lambda), \\
X(0)=X(T), X, Y \in C^{0}(-\infty, \infty ; \mathscr{D}),
\end{array}
\]

где $\tilde{B}_{t}(U, V ; \lambda)=\int_{-\infty}^{t} I_{\lambda}(t-\tau) P_{\lambda} M[U(\tau), V(\tau)] d \tau$.
Подставляя выражение $X(t)=A(t) U_{1}(\lambda)+\overline{A(t) U_{1}(\lambda)}$ в правую часть уравнения для $Y$, мы получаем, что правая часть аналитична относительно ( $\lambda, X, Y$ ) в окрестности точки $\left(\lambda_{c}, 0,0\right)$ в пространстве $\mathbb{C} . X\left\{C^{0}(-\infty, \infty ; \mathscr{D})\right\}^{2}$. Производная правой части по $Y$ в точке $\left(\lambda_{c}, 0,0\right)$ равна нулю. Обозначая тогда $X^{(0)}(t)=A(t) U^{(0)}+\widetilde{A(t) U^{(0)}}$ и применяя теорему о неявной функции, получаем, что
\[
Y(t)=\eta_{t}(X, \lambda)=\sum_{i, j \geqslant 2}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{c}\right)^{i} \eta_{t}^{(t, l)}\left(X^{(0)}, \ldots, X^{(0)}\right),
\]

где $\eta_{t}^{(l, f)}(\cdot, \ldots, \cdot)$ – однородный степени $j$ непрерывный функционал. Теперь мы должны решить уравнение
\[
\frac{d X}{d t}=\eta N_{\lambda} X+F\left(X, \eta_{t}(X ; \lambda) ; \lambda\right)
\]

при условиях $X(0)=X(T), X \in C^{0}(-\infty, \infty ; \mathscr{D})$. Решение $X$ ищется в виде
\[
\begin{array}{r}
X(t)=e^{\frac{2 \pi t}{T} N_{\lambda}} \chi+\check{X}(t) \equiv \chi(t)+\tilde{X}(t), \\
\chi=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{-\frac{2 \pi t}{T} N_{\lambda}} X(t) d t=a U_{1}(\lambda)+a \overline{U_{1}(\lambda)} .
\end{array}
\]

Раскладывая уравнение для $X(t)$ в соответствии с (9А.3), можно, используя теорему о неявной функции, найти $\tilde{X}(t)$ :
\[
\grave{X}(t)=\mathscr{X}_{t}(\chi, \lambda, T)=\sum_{i, j, k \geqslant 2}^{\infty}\left(\lambda-\lambda_{c}\right)^{i}\left(T-T_{0}\right)^{t} \mathscr{P}^{(i, j, k)}(\chi, t),
\]

где $\mathscr{X}^{(i, t, k)}(\chi, t)$ однородна степени $k$ по $\chi$. Теперь $\mathscr{X}(t)$ в другом уравнении (для $\chi$ ) заменяется на $\ddot{\mathscr{X}}_{t}(\chi, \lambda, T$ ). Выделяя действительную и мнимую части, мы получаем
\[
\begin{array}{c}
\xi+f\left(|a|^{2}, \lambda, T\right)=0, \\
\eta=\frac{2 \pi}{T}+g\left(|a|^{2}, \lambda, T\right)=0,
\end{array}
\]

где $f(0, \lambda, T)=g(0, \lambda, T)=0$. Первый член ряда Тейлора в окрестности точки $\left(0, \lambda_{c}, T_{0}\right.$ ) равен – $\gamma_{0}|a|^{2}$. Ненулевое значение $\gamma_{0}$, позволяет найти решение $|a|^{2}$ и $T$ с помощью теоремы о неявной функции. Этим заканчивается определение $X(t), Y(t)$, а поэтому и $\mathcal{U}(t, \varepsilon)$.

Теперь мы получили периодическое решение и хочется определить его устойчивость. Рассмотрим близкое решение $U(t)$ и положим $U(t)=\mathscr{U}(t+\delta ; \varepsilon)+U^{\prime}(t)$. Тогда $U^{\prime}(t)$ удовлетворяет уравнению
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial U^{\prime}}{\partial t}=A_{\varepsilon}(t+\delta) U^{\prime}+M\left(U^{\prime}, U^{\prime}\right), \\
U^{\prime}(0)=U_{0}=\mathcal{U}(\delta, \varepsilon) \in \mathscr{D}, \\
V^{\prime} \in C^{0}(0, \infty ; \mathscr{D}) \cap C^{1}(0, \infty ; H),
\end{array}
\]

где
\[
A_{\varepsilon}(t+\delta)=-L_{\lambda}+M^{(0)}[\mathcal{U}(t+\delta, \varepsilon), \cdot], \lambda=\lambda_{c}+\varepsilon^{2} \operatorname{sgn}\left(\lambda-\lambda_{c}\right) .
\]

Поэтому для изучения устойчивости нужно выяснить свойства решений линеаризованного уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial V}{\partial t}=A_{\varepsilon}(t+\delta) V, V \in C^{0}\left(0, T_{1} ; \mathscr{D}\right) \cap C^{1}\left(0, T_{1} ; H\right), \\
V(0)=V_{0} \in \mathscr{D}, \quad T_{1}<\infty .
\end{array}
\]

Решением этого уравнения является
\[
V(t)=I_{\lambda}(t) V_{0}+\int_{0}^{t} I_{\lambda}(t-\tau) M^{(0)}[\mathcal{U}(t+\delta, \varepsilon), V(\tau)] d \tau .
\]

Запишем это решение как $V(t)=G_{\varepsilon}(t, \delta) V_{0}$. Свойства устойчивости будут следовать из свойств спектра отображения $G_{\mathrm{e}}(T, \delta)$, которое играет роль отображения Пуанкаре. Приведем теперь следующую теорему Иосса.

Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 2, то оператор $G_{\varepsilon}(T, \delta)$, определенный выше, имеет спектр, не зависящий от $\delta \in \mathbb{R}$. Он состоит из двух действительных простых собственных значений, 1 и $1-8 \pi_{\zeta}^{(1)}\left(\lambda-\lambda_{c}\right)+o\left(\lambda-\lambda_{c}\right)$, лежащих в окрестности 1 , и остальной части спектра, являющейся объединением счетного множества собственных значений конечной кратности, с единственной точкой накопления 0 . Они лежат внутри круга радиуса $\zeta<1$ независимо от выбора $\varepsilon \in \mathscr{V}(0)$.

Следующее утверждение теперь непосредственно вытекает из леммы 5 работы Юдовича [10].

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда если $\gamma_{0_{r}}<0$, то после бифуркации $\lambda \in \mathscr{P}^{-}\left(\lambda_{c}\right)$, а вторичное решение неустойчиво по Ляпунову.

Теперь дадим набросок доказательства теоремы 3. Оператор $G_{\varepsilon}(T, \delta)$ компактен в $\mathscr{D}$. Следовательно, его спектр дискретный. Пусть $\sigma \in \operatorname{Spec} G_{\varepsilon}(T, \delta)$. Тогда существует вектор $V
eq 0$, такой, что $\sigma V=G_{\varepsilon}(T, \delta) V$. Далее, если $W=$ $=G_{\mathrm{e}}(n T-\delta, \delta) V$ и $n \in \mathbb{N}$ таково, что $\delta \leqslant n T$, то $\sigma W=$ $=G_{\varepsilon}(T, 0) W$. Следовательно, Spec $\left(G_{\varepsilon}(T, \delta)\right) \sqsubseteq \operatorname{Spec}\left(G_{\varepsilon}(T, 0)\right)$. Аналогично этому выполняется и обратное включение. Для того чтобы показать, что $1 \in \operatorname{Spec} G_{\mathfrak{e}}(T, \delta)$, достаточно установить, что $G_{\varepsilon}(T, 0) \frac{\partial \mathcal{U}}{\partial t}(0, \varepsilon)=\frac{\partial \mathscr{U}}{\partial t}(0, \varepsilon)$. Заметим, что $I_{\lambda_{c}}\left(T_{0}\right)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} G_{\varepsilon}(T, 0)$. Можно показать, что 1 – полупростое собственное значение $I_{\lambda_{c}}\left(T_{0}\right)$ (кратности 2). Всем собственным значениям $\zeta^{n}$ оператора $I_{\lambda_{c}}\left(T_{0}\right)$ соответствует конечное число собственных значений $-T_{0}^{-1}\left(\log \left|\zeta_{n}\right|+2 k \pi i\right)$ оператора $L_{\lambda_{c}}$. Если $i \eta_{0}$ выходит из спектра $L_{\lambda_{c}}$, то собственные значения $\xi_{i}$ остаются такими, что
\[
\operatorname{Re} \zeta_{i}>\tilde{\xi}>0 \Rightarrow \log \left|\zeta_{n}\right|<-\tilde{\xi} T_{0}<0 .
\]

Таким образом, остальная часть спектра оператора $I_{\lambda_{c}}\left(T_{0}\right)$, отличная от 1 , содержится в круге радиуса строго меньше 1 . Ввиду непрерывности дискретного спектра то же самое верно для $G_{\varepsilon}(T, 0)$ при $\varepsilon \in \mathscr{V}(0)$. Другое собственное значение оператора $G_{\varepsilon}(T, 0)$ или $G_{\varepsilon}(T, \delta)$ находится из исследования вырожденного оператора
\[
\varepsilon^{-1}\left[E(\varepsilon) G_{\varepsilon} E(\varepsilon)-E(\varepsilon)\right]=\tilde{G}(\varepsilon),
\]

где $E(\varepsilon)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma}\left[\zeta I-G_{\varepsilon}\right]^{-1} d \zeta, \quad \Gamma$ – окружность достаточно малого радиуса с центром в точке 1 , а $\mathrm{G}_{\varepsilon} \equiv G_{\varepsilon}(T(\varepsilon), 0)$. Используя разложение $G_{\varepsilon}=I_{\lambda_{c}}\left(T_{0}\right)+\varepsilon G^{(1)}+\varepsilon \widehat{G}(\varepsilon), \overparen{G}(\varepsilon)=o(1)$ и методы теории возмущений, получим $G(\varepsilon)=\varepsilon \mathcal{G}^{(1)}+o(\varepsilon)$,
\[
\tilde{G}^{(1)}=-T_{0}\left(\begin{array}{cc}
\left|a^{(1)}\right|^{2} \gamma_{0} & \left(a^{(1)}\right)^{2} \gamma_{0} \\
\left(\bar{a}^{(1)}\right)^{2} \gamma_{0} & \left|a^{(1)}\right|^{2} \bar{\gamma}_{0}
\end{array}\right)
\]
(в базисе $\left\{U^{(0)}, \overline{U^{(0)}}\right\}$ ). Биекция $\sigma \rightarrow \varepsilon^{-1}\left(\sigma^{-1}\right)$ дает соответствие между собственными значениями $G(\varepsilon)$ и $\overparen{G}(\varepsilon)$. Собственные значения $\sigma^{(1)}$ равны 0 и $-4 T_{0} \gamma_{0_{r}}\left|a^{(1)}\right|^{2}=-8 \pi \xi^{(1)} \operatorname{sgn} \gamma_{0_{r}}$. Отсюда следует, что 1 и $1-8 \pi^{(1)}\left(\lambda-\lambda_{c}\right)+o\left(\varepsilon^{2}\right)$ являются собственными значениями $G_{\varepsilon}(T, \delta)$.
Теперь мы докажем следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы $2 u \gamma_{0_{r}}>0$. Тогда после бифуркации $\lambda \in \mathscr{V}^{+}\left(\lambda_{c}\right)$. Существует $\mu>0 \cdot u$ правый полуинтервал $\mathscr{V}^{+}\left(\lambda_{c}\right)$, такие, что если $\lambda \in \mathscr{V}^{+}\left(\lambda_{c}\right)$ и для некоторого $\delta_{0} \in[0, T]$ начальное условие $U_{0}$ удовлетворяет неравенству
\[
\left\|U_{0}-\mathcal{U}\left(\delta_{0}, \varepsilon\right)\right\| \leqslant \mu \varepsilon^{2}\left(\varepsilon=\sqrt{\lambda-\lambda_{c}}\right),
\]

то существует $\delta_{l} \in[0, T]$, такое, что $\left\|U(t)-\mathcal{U}\left(t+\delta_{l}, \varepsilon\right)\right\| \mathscr{D} \rightarrow$ $\rightarrow 0$ экспоненциально быстро при $t \rightarrow \infty$, где $U(t)$ – решение (9А.1) с начальным условием $U(0)=U_{0}$.

Это не очень простой случай, так как существует собственное значение 1. Теорема вытекает из следующей леммы.
Лемма 9. Пусть $V_{0} \in V(\delta)$ и удовлетворяет условиям
\[
E_{\delta} V_{0}=\mathscr{G}\left(P_{\delta} V_{0}, \varepsilon, \delta\right) \quad \text { и }\left\|P_{\delta} V_{0}\right\|_{\mathscr{D}} \leqslant \mu_{1} \varepsilon^{2} .
\]

Тогда уравнение
\[
\frac{\partial V}{\partial t}=A_{\varepsilon}(t+\delta) V+M(V, V), \quad V(0)=V_{0}
\]

имеет единственное решение, лежащее в $C^{0}(0, \infty ; \mathscr{D}) \cap$ $\cap C^{1}(0, \infty ; H)$ и удовлетворяющее оценке
\[
\|V(t)\|_{\mathscr{D}} \leqslant \mu_{2} \varepsilon^{2} e^{-(\sigma / 2) t}, \quad \forall t \geqslant 0 .
\]

Сначала необходимо пояснить обозначения. Во-первых, $E_{\delta}$ – проектирование на вектор, коллинеарный $\frac{\partial \mathcal{U}(\delta, \varepsilon)}{\partial t}$, а $P_{\delta}=1-E_{\delta}$.
Далее,
\[
\mathscr{G}\left(P_{\delta} V_{0}, \varepsilon, \delta\right)=E_{\delta} \hat{\mathscr{B}}_{0}\left\{\eta_{\tau}\left[W_{0}\left(P_{\delta} V_{0}, \varepsilon, \delta\right), \varepsilon, \delta\right], \eta_{t}[\ldots] ; \varepsilon, \delta\right\} .
\]

Обозначения в правой части равенства связаны со следующей задачей:
\[
V(t)=G_{\varepsilon}(t, \delta) W_{0}+\widehat{\mathscr{B}}_{t}(V, V ; \varepsilon, \delta)+\widehat{\mathscr{B}}_{t}(V, V ; \varepsilon, \delta) .
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\widehat{\mathscr{B}}_{t}(U, V ; \varepsilon, \delta)=\int_{0}^{t} G_{\varepsilon}(t-\tau, \tau+\delta) P_{\delta+\tau} M[U(\tau), V(\tau)] d \tau, \\
\widehat{\mathscr{B}}_{t}(U, V ; \varepsilon, \delta)=-\int_{t}^{\infty} G_{\varepsilon}(t-\tau, \tau+\delta) E_{\delta+\tau} M[U(\tau), V(\tau)] d \tau .
\end{array}
\]

Здесь $W_{0}$ удовлетворяет условию $E_{8} W_{0}=0$, а $V$ ищется в банаховом пространстве $\mathscr{\mathscr { B }}_{\beta}=\left\{V: t \rightarrow e^{\beta t} V(t) \in C^{0}(0, \infty ; \mathscr{D})\right\}$ с нормой $|V|_{\beta}=\sup _{t \in(0, \infty)}\left\|e^{\beta t} V(t)\right\|_{\mathscr{D}}$ при $\beta=\frac{\sigma}{2}$.
Можно показать выполнение следующих оценок:
\[
\begin{array}{c}
\left|G_{\varepsilon}(t, \delta) W_{0}\right|_{\beta} \leqslant M_{1}\left\|W_{0}\right\|_{\mathscr{D}}, \\
\left|\hat{\mathscr{B}}_{t}(U, V ; \varepsilon, \delta)\right|_{\beta} \leqslant M_{2} \gamma \sigma^{-1}|U|_{\beta}|V|_{\beta}, \\
\left|\hat{\mathscr{B}}_{t}(U, V ; \varepsilon, \delta)\right|_{\beta} \leqslant M_{2} \gamma \sigma^{-1}|U|_{\beta}|V|_{\beta},
\end{array}
\]

где $\gamma$ – верхняя грань для билинейной формы $M$. Отсюда следует, что существует $\mu_{0}$, не зависящее от $\varepsilon$ и такое, что для $\left\|W_{0}\right\| \leqslant \mu_{0} \varepsilon^{2}$ существует единственная функция $V \in \mathscr{B}$, являющаяся решением задачи. Обозначим это решение через $V(t)=\eta_{t}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right)$. Тогда $V(0)=\eta_{0}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right)=W_{0}+$
$+\breve{\mathscr{B}}_{0}\left[\eta_{t}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right), \eta_{\tau}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right) ; \varepsilon, \delta\right]$, откуда после разложения получаем
\[
\begin{array}{c}
E_{\delta} V_{0}=E_{\delta} \breve{\mathscr{B}}_{0}\left[\eta_{\tau}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right), \eta_{\tau}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right) ; \varepsilon, \delta\right], \\
P_{\delta} V_{0}=W_{0}+P_{\delta} \breve{\mathscr{B}}_{0}\left[\eta_{\tau}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right), \eta_{\tau}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right) ; \varepsilon, \delta\right] .
\end{array}
\]

Заметим теперь, что $\frac{\partial}{\partial W_{0}}\left[\eta_{\tau}\left(W_{0}, \varepsilon, \delta\right)\right]_{W_{0}=0}=G_{\varepsilon}(t, \delta)$, поэтому легко найти $\mu_{1}$, не зависящее от $\varepsilon$ и такое, что при $\left\|P_{\delta} V_{0}\right\| \leqslant$ $\leqslant \mu_{1} \varepsilon^{2}$ второе из вышеприведенных уравнений в силу теоремы и неявной функции разрешимо относительно $W_{0}$, и $W_{0}=$ $=W_{0}\left(P_{0} V_{0}, \varepsilon, \delta\right)$ удовлетворяет оценке $\left\|W_{0}\right\|_{\mathscr{D}} \leqslant \mu_{0} \varepsilon^{2}$. Обозначения здесь вполне понятны. Отсюда дальнейшее доказательство не представляет труда. Единственность следует из единственности решения уравнений (9A.1) на ограниченном интервале при достаточно малом $\varepsilon$. Лемма будет доказана, если показать, что решение нашей задачи совпадает с решением уравнения, указанного в лемме. Но это немедленно следует из оценки производных по $t$ для $\hat{\mathscr{B}}_{t}[V, V ; \varepsilon, \delta)$ и $\mathscr{\mathscr { B }}_{t}(V, V ; \varepsilon, \delta)$ и использования равенства
\[
\frac{\partial}{\partial t} G_{\varepsilon}(t-\tau, \tau+\delta)=A_{\varepsilon}(\tau+\delta) G_{\varepsilon}(t-\tau, \tau+\delta) .
\]
(Нетрудно видеть, что многообразие $V(\delta)$ принадлежит множеству тех $V_{0}$, для которых можно найти $W_{0}$, удовлетворяющее оценке $\left\|W_{0}\right\| \leqslant \mu_{0} \varepsilon^{2}$, и которые являются решениями уравнений для $P_{\delta} V_{0}$ и $E_{\delta} V_{0}$.)

Техника Иосса очень близка к технике Юдовича [1-12] (см. также Брушлинская $[2,3]$ ). Эти методы несколько отличаются от методов Хопфа, которые были обобщены на нелинейные уравнения с частными производными Джозефом и Сэттинджером [1].

Тем не менее по духу оба этих метода функциональноаналитические. Подход, используемый в настоящих заметках, более геометричен; на каждом шаге мы руководствуемся геометрической интуицией (инвариантные многообразия, отображения Пуанкаре и т. д.). Подход Иосса, с другой стороны, имеет то преимущество, что результаты получаются в более «конкретном» виде, например $\mathcal{U}(t, \varepsilon)$ дается в виде ряда по є. Это же имеет место и в методе Хопфа. Однако вычисление условий устойчивости (см. гл. 4A, 5A) не становится легче при использовании этого метода.

В конце хочется отметить, что Иосс [6] получил аналогичные результаты для случая рождения инвариантного тора (см. гл. 6).