Қак мы уже видели, в основе применения теоремы Хопфа в каждом конкретном случае лежит анализ спектра линеаризованных уравнений, т. е. задача о собственных значениях. Эта процедура обычно достаточно проста (случай дифференциальных уравнений с частными производными см. в гл. 8). Более сложной является задача определения устойчивости рождающихся периодических решений. В настоящей главе мы хотели бы развить такой метод, с помощью которого легко считались бы конкретные примеры. Именно, будет предложен некий специфический алгоритм вычислений, подытоженный в гл. 4А ниже. (Сравните с аналогичными формулами, рассматриваемыми в гл. 5А, основанными на методе Хопфа.) Эти результаты базируются на работе Мак-Кра. кен [1].

Сведение к двумерному случаю
Начнем с подробного изложения сведения к двумерному случаю. Пусть $X: N \rightarrow T(N)$-гладкое векторное поле класса $C^{k}$ на банаховом многообразии $N$, гладко зависящее от параметра $\mu$, и $X_{\mu}(a(\mu))=0$ для всех $\mu$, где $a(\mu)$ – гладкое однопараметрическое семейство нулей $X_{\mu}$. Предположим, что для $\mu<\mu_{0}$ спектр $\sigma\left(d X_{\mu}(a(\mu))\right) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\}$, так что $a^{\prime}(\mu)-$ устойчивое состояние равновесия потока $X_{\mu}$. Чтобы узнать, применима ли бифуркационная теорема Хопфа, вычислим $d X_{\mu}(a(\mu))$. Если два простых комплексно-сопряженных ненулевых собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ с ненулевой скоростью при $\mu=\mu_{0}$ пересекают мнимую ось, а оставшаяся часть спектра $\sigma\left(d X_{\mu}(a(\mu))\right)$ лежит в левой полуплоскости и отделена от мнимой оси, тогда происходит рождение периодических орбит.

Однако поскольку неустойчивые периодические орбиты наблюдаемы в природе лишь при наличии специальных условий (см. гл. 7), нам важно научиться определять, устойчивы или нет рождающиеся периодические орбиты. Чтобы применить теорему 3.1, мы должны свести задачу к двумерному случаю. Предположим, что мы работаем в локальной карте, т. е. $N=E$ (банахову пространству). Для упрощения обозначений предположим также, что $\mu_{0}=0$ и $a(\mu)=0$ для всех $\mu$. Пусть $X_{\mu}=\left(X_{\mu}^{1}, X_{\mu}^{2}, X_{\mu}^{3}\right)$, где $X_{\mu}^{1}$ и $X_{\mu}^{2}$ – координаты поля в собственном подпространстве оператора $d X_{0}(0)$, соответствующем собственным значениям $\lambda(0)$ и $\overline{\lambda(0)}$, а $X_{\mu}^{3}-$ координаты поля в подпространстве $F$, дополнительном к этому собственному подпространству. Предположим, что координаты в собственном подпространстве выбраны так, что
\[
d X_{0}(0,0,0)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & |\lambda(0)| & 0 \\
-|\lambda(0)| & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} X_{3}(0,0,0)
\end{array}\right) .
\]

Этого всегда можно добиться, разлагая $E$ на подпространства, соответствующие расщеплению спектра оператора $d X_{0}(0)$ на множества $\{z \mid \operatorname{Re} z<0\} \cup\{\lambda(0), \overline{\lambda(0)}\}$, как в 2 A.2. По теореме о центральном многообразии существует центральное многообразие для потока $X=\left(X_{\mu}, 0\right)$, касающееся собственного подпространства, соответствующего $\lambda(0), \overline{\lambda(0)}$ и оси $\mu$ в точке $(0,0,0,0)$. Центральное многообразие локально может быть представлено как график функции, то есть как $\left\{\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)\right.$ для $\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)$ из некоторой окрестности $(0,0,0)\}$. Кроме того, $f(0,0,0)=d f(0,0,0)=0$ и отображение проекции $P\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)$ определяет локальную карту для центрального многообразия. В окрестности начала координат векторное поле $X$ касательно к центральному многообразию, так как последнее локально инвариантно относительно потока, определяемого векторным полем $X$. Рассмотрим теперь проекцию векторного поля $X$ с центрального многообразия на плоскость $\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)$ : $\hat{X}\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)=T P \circ X\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)=\left(X_{\mu}^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right.\right.\right.$, $\mu)$ ), $\left.\quad X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right), 0\right)$ в силу линейности $P$. Если положить $\widehat{X}_{\mu}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(X_{\mu}^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right), X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right.\right.\right.$, $\mu)$ )), то $\hat{X}_{\mu}$ будет гладким однопараметрическим семейством векторных полей на $R^{2}$, таким, что $X_{\mu}(0,0)=0$ для всех $\mu$. Мы покажем, что $\bar{X}_{\mu}$ удовлетворяет условиям теоремы Хопфа (конечно, за исключением условий устойчивости). Если $\varphi_{t}$ и $\hat{\varphi}_{t}$ – потоки, определяемые векторными полями $X$ и $\bar{X}$ соответственно, то $P \circ \hat{\varphi}_{t}=\hat{\varphi}_{t} \circ P$ для точек на центральном многообразии. Поэтому, если получающиеся периодические орбиты потока $\hat{\varphi}_{t}$ не являются притягивающими, то и орбиты потока $\varphi_{t}$ не будут такими. Мы также покажем, что если начало координат – слабый аттрактор для $\hat{\varphi}_{t}$ при $\mu=0$, то замкнутые орбиты потока өt устойчивы.

Центральное многообразие обладает тем свойством, что содержит всю локальную рекуррентность потока $\varphi_{t}$, поэтому точки $(0,0,0, \mu)$ лежат на нем для всех малых $\mu$, т. е. $f(0,0, \mu)=0$ для малых $\mu$. Таким образом, $\widehat{X}_{\mu}(0,0)=\left(X_{\mu}^{\mathrm{I}}(0,0\right.$, $\left.f(0,0, \mu)), X_{\mu}^{2}(0,0, f(0,0, \mu))\right)=\left(X^{1}(0,0,0), X^{2}(0,0,0)\right)=0$. Поскольку $P \circ X=\bar{X} \circ P$, то $P \circ d X=d \bar{X} \circ P$ для векторов, касательных к центральному многообразию. Обычно векторное поле, касательное к центральному многообразию, имеет вид
\[
\left.\left(u, v, d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) u+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) v+d_{3} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) w, w\right)^{1}\right),
\]

где $\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)$ – точка приложения вектора. Поскольку нам нужно вычислить $\sigma(d \bar{X} \mu(0,0))$, то мы будем интересоваться случаем $w=0$. Теперь
\[
\begin{aligned}
P \circ d X(0,0,0, \mu)\left(u, v, d_{1} f(0,0, \mu) u+d_{2} f\right. & (0,0, \mu) v, 0)= \\
& =d \hat{X}(0,0, \mu)(u, v, 0) .
\end{aligned}
\]

То есть $d X_{\mu}^{i}(0,0,0)\left(u, v, d_{1} f(0,0, \mu) u+d_{2} f(0,0, \mu) v\right)=$ $=d \widehat{X}_{\mu}^{i}(0,0)(u, v)$ для $i=1,2$. Пусть $\lambda \in \sigma\left(d \widehat{X}_{\mu}(0,0)\right)$. Так как $d \widehat{X}_{\mu}(0,0)$ – это $(2 \times 2)$-матрица, то $\lambda$ является собственным значением, и поэтому существует комплексный вектор $(u, v)$, такой, что $d \widehat{X}_{\mu}(0,0)(u, v)=(\lambda u, \lambda v)$. Покажем, что $\lambda$ – собственное значение $d X_{\mu}(0,0,0)$, а ( $u, v, d_{1} f(0,0, \mu) u+$ $\left.+d_{2} f(0,0, \mu) v\right)$ – собственный вектор. Поскольку $X$ касателен кцентральному многообразию, то $X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)=$ $=d_{1} f\left(x_{1}, \quad x_{2}, \mu\right) X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, \quad x_{2}, \mu\right), \mu\right)+d_{2} f\left(x_{1}, \quad x_{2}, \mu\right) \times$ $\times X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)$. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
d_{1} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) u+ \\
\quad+d_{3} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \circ d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) u= \\
\quad=d_{1} d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) u+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ d_{1} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) u+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ d_{3} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \circ d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) u+ \\
\quad+d_{1} d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) u+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ d_{1} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) u+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ d_{3} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \circ d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) u
\end{array}
\]
1) $d_{i} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ означает производную по $x_{i}$, т, е. $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$. – Прим. перев.

и
\[
\begin{array}{l}
d_{2} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) v+d_{3} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \circ \\
\quad \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) v= \\
\quad=d_{2} d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) v+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ d_{2} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) v+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ d_{3} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) v+ \\
\quad+d_{2} d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) v+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ d_{2} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) v+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ d_{3} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), v .
\end{array}
\]

В точке $(0,0,0, \mu) X^{1}=X^{2}=0$, поэтому
\[
\begin{array}{l}
d X^{3}(0,0,0, \mu)\left(u, v, d_{1} f(0,0, \mu) u+d_{2} f(0,0, \mu) v\right)= \\
\quad=d_{1} X^{3}(0,0,0, \mu) u+d_{2} X^{3}(0,0,0, \mu) v+ \\
\quad+d_{3} X^{3}(0,0,0, \mu) \circ d_{1} f(0,0, \mu) u+ \\
\quad+d_{3} X^{3}(0,0,0, \mu) \circ d_{2} f(0,0, \mu) v= \\
\quad=d_{1} f(0,0, \mu) \circ\left(d_{1} X^{1}(0,0,0, \mu) u+\right. \\
\quad+d_{2} X^{1}(0,0,0, \mu) v+d_{3} X^{1}(0,0,0, \mu) \circ d_{1} f(0,0, \mu) u+ \\
\left.\quad+d_{3} X^{1}(0,0,0, \mu) \circ d_{2} f(0,0, \mu) v\right)+ \\
\quad+d_{2} f(0,0, \mu) \circ\left(d_{1} X^{2}(0,0,0, \mu) u+d_{2} X^{2}(0,0,0, \mu) v+\right. \\
\quad+d_{3} X^{2}(0,0,0, \mu) \circ d_{1} f(0,0, \mu) u+ \\
\left.\quad+d_{3} X^{2}(0,0,0, \mu) \circ d_{2} f(0,0, \mu) v\right)= \\
\quad=d_{1} f(0,0, \mu) \lambda u+d_{2} f(0,0, \mu) \lambda v= \\
\quad=\lambda\left(d_{1} f(0,0, \mu) u+d_{2} f(0,0, \mu) v\right)
\end{array}
\]

в силу предположения о том, что $(u, v)$ является собственным вектором $d \widehat{X}_{\mu}(0,0)$ с собственным значением $\lambda$.
При $\mu=0 d f=0$, следовательно,
\[
d \widehat{X}_{0}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
0 & |\lambda(0)| \\
-|\lambda(0)| & 0
\end{array}\right) .
\]

Собственные значения $d \hat{X}_{\mu}(0,0)$ непрерывны по $\mu$, поскольку они являются корнями квадратного трехчлена. Обозначим эти корни через $\alpha_{1}(\mu)$ и $\alpha_{2}(\mu)$, так что $\alpha_{1}(0)=\lambda(0)$ и $\alpha_{2}(0)=\overline{\lambda(0)}$. Поскольку $\alpha_{1}(\mu), \quad \alpha_{2}(\mu) \in \sigma\left(d X_{\mu}(0,0,0)\right)$, то если бы $\alpha_{1}(\mu)
eq \lambda(\mu), \alpha_{2}(\mu)
eq \overline{\lambda(\mu)}$, то $\operatorname{Re} \alpha_{i}(\mu)$ было бы отделено от нуля для всех малых $\mu$. Это не так, и поэтому $\alpha_{1}(\mu)=\lambda(\mu)$ и $\alpha_{2}(\mu)=\lambda \overline{(\mu)}$. Кроме того, так как $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ – простые собственные значения из $\sigma\left(d X_{\mu}(0,0,0)\right)$, то центральное многообразие должно касаться в точке $(0,0,0, \mu$ ) собственного подпространства, соответствующего $\{\lambda(\mu), \overline{\lambda(\mu)}\}$.

Покажем теперь, что если $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$ для $\bar{X}$, то замкнутая орбита потока $\varphi_{t}$ устойчива. Отображение $Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \mu\right)=$ $=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}-f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)$ является диффеоморфизмом окрестности $\mathcal{U}$ точки $(0,0,0,0)$ в окрестность $V$ этой же точки, где $\mathcal{U}$ выбрана настолько малой, чтобы $X$ касалось центрального многообразия $M$ в точках $\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \in$ $\in \mathcal{U}$. Ясно, что $\left.Q\right|_{M}=P, \tilde{X}_{\left\{x_{3}=0\right\}}=\hat{X}$ и $\left.\tilde{\varphi}_{t}\right|_{\left\{x_{3}=0\right\}}=\hat{\varphi}_{t}$. Поэтому задача естественно свелась к случаю векторного поля $Y_{\mu}$ на $R^{2} \oplus F$, где $R^{2}$ инвариантно относительно $Y_{\mu}$ и $Y_{\mu}$ удовлетворяет условиям теоремы Хопфа на $R^{2}$ – собственном подпространстве, соответствующем $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ в точке $(0,0,0, \mu)$. Предположим, что $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$ для $Y=Y_{\left\{x_{3}=0\right\}}$, и пусть точка $\left(x_{1}, 0,0, \mu\left(x_{1}\right)\right)$ лежит на замкнутой орбите потока $\varphi_{t}$, соответствующего векторному полю $Y$. Поскольку $R^{2}$ инва. риантно, то
\[
d \varphi_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0,0, \mu\left(x_{1}\right)\right)=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{13} \\
0 & 0 & d_{3} \varphi_{T\left(x_{1}\right)}^{3}\left(x_{1}, 0,0, \mu\left(x_{1}\right)\right)
\end{array}\right) .
\]

По предположению $\left(d_{3} \varphi_{T(0)}^{3}(0,0,0,0)\right)=\left(e^{T(0)} d_{3} X^{s}(0,0,0)\right)=$ $\left.=e^{\sigma(T(0)} d_{3} X^{3}(0,0,0)\right)$ лежит внутри единичной окружности. По непрерывности это же справедливо и для $\sigma\left(d_{3} \varphi_{T\left(x_{1}\right)}^{3}\left(x_{1}, 0,0\right.\right.$, $\left.\mu\left(x_{1}\right)\right)$ ). Так как $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$, то собственные значения отображения Пуанкаре в $R^{2}$ по модулю меньше единицы, поэтому все собственные значения отображения Пуанкаре лежат внутри единичной окружности, и, следовательно, траектория является устойчивой (см. гл. 2B).

Вывод. Мы показали, что задача об устойчивости замкнутых орбит потока $X_{\mu}$ сводится к задаче об устойчивости замкнутых траекторий потока $\hat{X}_{\mu}$, где $\hat{X}_{\mu}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(X_{\mu}^{1}\left(x_{1}, x_{2}\right.\right.$, $\left.f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right), X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right)$. При этом координаты выбирались так, чтобы $x_{1}, x_{2}$ были координатами в собственном подпространстве $d X_{0}(0,0,0)$, а третья компонента лежала в дополнительном подпространстве $F$. Множество $\left\{\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \mid\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right.$ лежит в окрестности точки $(0,0,0)\}$ и является центральным многообразием.

Схема вычислений устойчивости
Из доказательства теоремы 4.5 нам известно, что замкнутая орбита поля $\bar{X}_{\mu}$ будет устойчивой, если $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$ (или, в более общем случае (см. гл. 3В), если первая ненулевая производная $V$ в начале координат отрицательна). Производные $V$ в точке $(0,0)$ можно вычислить, если известны производные $X_{0}$ в точке $(0,0,0)$. Сделаем это в два этапа. Во-первых, выразим $V^{\prime \prime \prime}(0)$ через производные векторного поля $\bar{X}_{0}$ на центральном многообразии в точке $(0,0)$, используя уравнение
\[
V\left(x_{1}\right)=\int_{0}^{T\left(x_{1}\right)} \hat{X}^{1}\left(a_{t}\left(x_{1}, 0\right), b_{t}\left(x_{1}, 0\right)\right) d t,
\]

где $\left(a_{t}, b_{t}\right)$ – поток, порожденный $\mathcal{X}$. (Заметим, что в двумерном случае $X=\hat{X}$.) Затем производные $\hat{X}_{0}$ в точке $(0,0)$ выразим через производные $X_{0}$ в точке $(0,0,0)$. Так как
\[
\hat{X}_{\mu}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(X_{\mathrm{u}}^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right), \quad X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right),\right.
\]

то нам необходимо знать производные $f$ в точке $(0,0,0)$. Мы найдем их, используя локальную инвариантность центрального многообразня относительно потока, порожденного векторным полем $X$. Воспользуемся уравнением
\[
\begin{array}{r}
X_{\mu}^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right)=d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X_{\mu}^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right)+ \\
+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right) .
\end{array}
\]

Вычисление $\boldsymbol{V}^{\prime \prime \prime}(0)$ через $\hat{\boldsymbol{X}}$
Используя (4.2), выразим $V^{\prime \prime \prime}(0)$ через производные поля $\hat{X}_{0}$ в точке $(0,0)$. Предположим, что координаты были выбраны так, что
\[
\begin{aligned}
d \widehat{X}_{0}(0,0)= & \left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial \widehat{X}_{0}^{1}}{\partial x_{1}}(0,0,0) & \frac{\partial \widehat{X}_{0}^{1}}{\partial x_{2}}(0,0,0) \\
\frac{\partial \widehat{X}_{0}^{2}}{\partial x_{1}}(0,0,0) & \frac{\partial \widehat{X}_{0}^{2}}{\partial x_{2}}(0,0,0)
\end{array}\right)= \\
& =\left(\begin{array}{cc}
0 & |\lambda(0)| \\
-|\lambda(0)| & 0
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

Такой выбор переменных не необходим, но он значительно упрощает вычисления, и хотя наш метод нахождения $V^{\prime \prime \prime}(0)$ и будет работать, если переменные специально не выбирать, однако в этом случае нашей формулой нельзя пользоваться.
Из (4.2) видно, что
\[
\begin{aligned}
V^{\prime}\left(x_{1}\right) & =\int_{0}^{T\left(x_{1}\right)} \frac{d}{d x_{1}}\left[\hat{X}^{1}\left(a_{t}\left(x_{1}, 0\right), b_{t}\left(x_{1}, 0\right)\right)\right] d t+ \\
& +T^{\prime}\left(x_{1}\right) \hat{X}^{1}\left(a_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right) . \\
V^{\prime \prime}\left(x_{1}\right) & =\int_{0}^{T\left(x_{1}\right)} \frac{d^{2}}{d x_{1}^{2}}\left[\hat{X}^{1}\left(a_{t}\left(x_{1}, 0\right), b_{t}\left(x_{1}, 0\right)\right)\right] d t+ \\
& +T^{\prime}\left(x_{1}\right) \frac{d}{d x_{1}}\left[\hat{X}^{1}\left(a_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right)\right]+ \\
& +T^{\prime \prime}\left(x_{1}\right) \hat{X}^{1}\left(a_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right)+ \\
& +T^{\prime}\left(x_{1}\right) \frac{d}{d x_{1}}\left[\hat{X}^{1}\left(a_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем
\[
\begin{aligned}
V^{\prime \prime}\left(x_{1}\right) & =\int_{0}^{T\left(x_{1}\right)} \frac{d^{2}}{d x_{1}^{2}}\left[\hat{X}^{1}\left(a_{t}\left(x_{1}, 0\right), b_{t}\left(x_{1}, 0\right)\right)\right] d t+ \\
& +T^{\prime}\left(x_{1}\right)\left[\left.\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a} \frac{\partial a_{t}}{\partial x_{1}}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+\left.\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b} \frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}\right]+ \\
& +T^{\prime \prime}\left(x_{1}\right) \widehat{X}^{1}\left(a_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right)+ \\
& +T^{\prime}\left(x_{1}\right)\left[\left.T^{\prime}\left(x_{1}\right) \frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a} \frac{\partial a_{t}}{\partial t}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+\left.\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a} \frac{\partial a_{t}}{\partial x_{1}}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+\right. \\
& \left.+\left.T^{\prime}\left(x_{1}\right) \frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b} \frac{\partial b_{t}}{\partial t}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+\left.\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b} \frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}\right]+ \\
& +T^{\prime}\left(x_{1}\right)^{2}\left[\left.\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a} \frac{\partial a_{t}}{\partial t}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+\left.\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b} \frac{\partial b_{t}}{\partial t}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}\right]+ \\
& +T^{\prime \prime}\left(x_{1}\right) \widehat{X}^{1}\left(a_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right) .
\end{aligned}
\]

Дифференцируя еще раз, получим
\[
\begin{array}{l}
V^{\prime \prime \prime}\left(x_{1}\right)=\int_{0}^{T\left(x_{1}\right)} \frac{d^{3}}{d x_{1}^{3}}\left[\widehat{X}^{1}\left(a_{t}\left(x_{1}, 0\right), b_{t}\left(x_{1}, 0\right)\right)\right] d t+ \\
+T^{\prime}\left(x_{1}\right) \frac{d^{2}}{d x_{1}^{2}}\left[\widehat{X}^{1}\left(a_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right)\right]+ \\
+2 T^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)\left[\left.\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a} \cdot \frac{\partial a_{t}}{\partial x_{1}}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+\left.\frac{\partial \widehat{X}}{\partial b} \frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}\right]+
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
+2 T^{\prime}\left(x_{1}\right)\left[\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}} \cdot \frac{\partial a_{t}}{\partial x_{1}}\left[\frac{\partial a_{t}}{\partial t} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial a_{t}}{\partial x_{1}}\right]+\right. \\
+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b} \frac{\partial a_{t}}{\partial x_{1}}\left(\frac{\partial b_{t}}{\partial t} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\right)+\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a}\left(\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial t \partial x_{1}} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}\right)+ \\
+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}} \frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\left(\frac{\partial b_{t}}{\partial t} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\right)+ \\
\left.+\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b}\left(\frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial t \partial x_{1}} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}\right)\right]\left.\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+ \\
+\left.2 T^{\prime}\left(x_{1}\right) T^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)\left(\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a} \cdot \frac{\partial a_{t}}{\partial t}+\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b} \cdot \frac{\partial b_{t}}{\partial t}\right)\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+ \\
+T^{\prime}\left(x_{1}\right)^{2}\left[\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}} \cdot \frac{\partial a_{t}}{\partial t}\left(\frac{\partial a_{t}}{\partial t} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial a_{t}}{\partial x_{1}}\right)+\right. \\
+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a b} \frac{\partial a_{t}}{\partial t}\left(\frac{\partial b_{t}}{\partial t} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\right)+\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a}\left(\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial t^{2}} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1} \partial t}\right)+ \\
+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}} \frac{\partial b_{t}}{\partial t}\left(\frac{\partial b_{t}}{\partial t} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\right)+ \\
\left.+\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b}\left(\frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial t^{2}} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1} \partial t}\right)\right]\left.\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}+ \\
+T^{\prime \prime \prime}\left(x_{1}\right) \widehat{X}^{1}\left(a_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{T\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right)+ \\
+T^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)\left[\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a} \frac{\partial a_{t}}{\partial t} \cdot T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial a} \cdot \frac{\partial a_{t}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b} \cdot \frac{\partial b_{t}}{\partial t} T^{\prime}\left(x_{1}\right)+\right. \\
\left.+\frac{\partial \widehat{X}^{1}}{\partial b} \cdot \frac{\partial b_{t}}{\partial x_{1}}\right]\left.\right|_{\left(T\left(x_{1}\right), x_{1}, 0\right)}
\end{array}
\]

При $x_{1}=0$ это уравнение можно значительно упростить. Относительно поля в точке $(0,0)$ известно следующее:
\[
a_{t}(0,0)=b_{t}(0,0)=0 \text { для всех } t \text {, }
\]
\[
\frac{\partial a_{t}}{\partial t}(0,0)=\frac{\partial b_{t}}{\partial t}(0,0)=0,
\]
\[
d \hat{X}\left(a_{t}(0,0), b_{t}(0,0)\right)=d \hat{X}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
0 & |\lambda(0)| \\
-|\lambda(0)| & 0
\end{array}\right),
\]
\[
d \hat{\varphi}_{t}(0,0)=e^{t d \widehat{X}(0,0)}=\left(\begin{array}{rr}
\cos |\lambda(0)| t & \sin |\lambda(0)| t \\
-\sin |\lambda(0)| t & \cos |\lambda(0)| t
\end{array}\right),
\]
\[
T(0)=\frac{2 \pi}{|\lambda(0)|}
\]

и
\[
T^{\prime}(0)=0 \text {. }
\]

Доказательство (4.10). Пусть $S\left(x_{1}\right)=T\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)$. Тогда $S^{\prime}(0)=0$, потому что для данного малого $x>0$ существует малое $y<0$, такое, что $S(x)=S(y)$. Таким образом, $\frac{S(x)-S(0)}{x}$ и $\frac{S(y)-S(0)}{y}$ имеют противоположные знаки. Выбирая $x_{n} \downarrow 0$, получаем требуемый результат. Далее, $S^{\prime}(0)=\frac{\partial T}{\partial x_{1}}(0,0)+\mu^{\prime}(0) \frac{\partial T}{\partial \mu}(0,0)$ Но $\mu^{\prime}(0)=0$; как было показано в доказательстве теоремы 3.1 (см. стр. 59). Поэтому
\[
V^{\prime \prime \prime}(0)=\int_{0}^{2 \pi / 1 \lambda(0) \mid} \frac{\partial^{3} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{3}}\left(a_{t}\left(x_{1}, 0\right), b_{t}\left(x_{1}, 0\right)\right) d t .
\]

Вычисляя $\left.\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{3}}\right|_{a_{t}(0,0), b,(0,0)}$, будем иметь
\[
\begin{aligned}
V^{\prime \prime \prime}(0) & =\int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|}\left[\frac{\partial^{3} \widehat{X}}{\partial a^{3}}(0,0) \cos ^{3}|\lambda(0)| t-\frac{\partial^{3} \widehat{X}}{\partial b^{3}}(0,0) \sin ^{3}|\lambda(0)| t+\right. \\
& +3 \frac{\partial^{3} \hat{X}^{1}}{\partial a \partial b^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t \sin ^{2}|\lambda(0)| t- \\
& -3 \frac{\partial^{3} 1^{1}}{\partial a^{2} \partial b}(0,0) \cos ^{2}|\lambda(0)| t \sin |\lambda(0)| t+ \\
& +3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t- \\
& -3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}(0,0) \cdot \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t+ \\
& +3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}(0,0)\left(\frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t-\right. \\
& \left.\left.-\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t\right)+|\lambda(0)| \frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)\right] d t= \\
& =\int_{0}^{2 \pi / 13}\left[3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t-\right. \\
& -3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t+ \\
& +3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}(0,0)\left(\frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t-\right. \\
& \left.\left.-\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t\right)+|\lambda(0)| \frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0 ; 0)\right] d t .
\end{aligned}
\]

Чтобы получить формулу для $V^{\prime \prime \prime}(0)$, зависящую лишь от производных $\&$ в начале координат, мы должны выразить производные потока (например, $\frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)$ ) через производные поля $\bar{X}$ в точке $(0,0)$. Это сделать можно потому, что начало координат является неподвижной точкой потока, порожденного векторным полем $\boldsymbol{X}$. В силу важности этой идеи установим этот факт в более общем случае.
(4.1) Теорема. Пусть $X$-гладкое векторное поле класса C $^{k}$ на $R^{n}$, такое, что $X(0)=0$ (или $X(p)=0$ ). Пусть $\varphi_{t}-$ поток поля $X$. Тогда первые три (или первые $j$ ) производные $\varphi_{t}$ в 0 могут быть вычислены через первые три (или первые j) производные векторного поля $X$ в точке 0 .
Доказательство. Рассмотрим $\frac{\partial \varphi_{t}^{i}}{\partial x_{i}}(0)$ :
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j}}(0)=\frac{\partial}{\partial x_{j}} \frac{\partial \varphi_{t}^{i}}{\partial t}(0)=\frac{\partial}{\partial x_{j}} X^{i} \circ \varphi_{t}(0)=\frac{\partial X^{i}}{\partial x_{k}} \circ \varphi_{t}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{k}}{\partial x_{j}}(0)= \\
=\frac{\partial X^{i}}{\partial x_{k}}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{k}}{\partial x_{j}}(0),
\end{array}
\]

потому что $\varphi_{t}(0)=0$. Далее, $\frac{\partial \varphi_{0}^{l}}{\partial x_{j}}(0)=\delta_{i l}$, так как $\varphi_{0}(x)=x$ для всех $x$. Поэтому $d \varphi_{t}(0)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $\frac{\partial}{\partial t}\left(d \varphi_{t}(0)\right)=d X(0) \cdot d \varphi_{t}(0)$, и $\quad d \varphi_{0}(0)=I$. Поэтому $d \varphi_{t}(0)=e^{t d X(0)}$.
\[
\begin{array}{c}
\text { Рассмотрим } \frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0): \\
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0)=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{j} \partial x_{k}} \frac{\partial \varphi_{t}^{i}}{\partial t}(0)=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{j} \partial x_{k}} X^{i} \circ \varphi_{t}(0)= \\
=\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial X^{i}}{\partial x_{l}} \circ \varphi_{t} \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k}}\right)(0)= \\
=\frac{\partial^{2} X^{i}}{\partial x_{p} \partial x_{l}} \circ \varphi_{t} \frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{j}} \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial X^{l}}{\partial x_{l}} \circ \varphi_{t} \frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0)= \\
=\frac{\partial^{2} X^{l}}{\partial x_{p} \partial x_{l}}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{j}}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k}}(0)+\frac{\partial X^{i}}{\partial x_{l}}(0) \frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} x_{i}}(0) .
\end{array}
\end{array}
\]

Кроме того, $\frac{\partial^{2} \varphi_{0}^{i}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0)=0$. Получили дифференциальное уравнение:
\[
\frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0)=d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{j}}(0), \frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{k}}(0)\right)+d X(0) \cdot \frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{j} \partial x_{k}} .
\]

Его решением является
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0)=e^{t d X(0)} \int_{0}^{t} e^{-s d X(0)} d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{j}}(0), \frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{k}}(0)\right) d s+ \\
+e^{t d X(0)} \frac{\partial^{2} \varphi_{0}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0) \\
\frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0)=e^{t d X(0)} \int_{0}^{t} e^{-s d X(0)} d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{j}}(0), \frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{k}}(0)\right) d s
\end{array}
\]

Наконец, рассмотрим $\frac{\partial^{3} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial x_{h}}(0)$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial^{3} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{l} \partial x_{k} \partial x_{h}}\right)(0)=\frac{\partial^{3}}{\partial x_{l} \partial x_{k} \partial x_{h}}\left(\frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial t}\right)(0)= \\
=\frac{\partial^{3}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial x_{h}} X^{i} \circ \varphi_{t}(0)=\frac{\partial}{\partial x_{h}}\left(\frac{\partial^{2} X^{i}}{\partial x_{p} \partial x_{l}} \circ \varphi_{t} \frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{j}} \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k}}+\right. \\
\left.+\frac{\partial X^{i}}{\partial x_{l}} \circ \varphi_{t} \frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{l} \partial x_{k}}\right)(0)=\left[\frac{\partial^{3} X^{i}}{\partial x_{p} \partial x_{l} \partial x_{q}} \circ \varphi_{t} \frac{\partial \varphi_{t}^{q}}{\partial x_{h}} \frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{i}} \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k}}+\right. \\
+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{X}^{i}}{\partial x_{p} \partial x_{l}} \circ \varphi_{t}\left(\frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{j} \partial x_{h}} \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{j}} \frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k} \partial x_{h}}\right)+ \\
\left.+\frac{\partial^{2} X^{i}}{\partial x_{p} \partial x_{l}} \circ \varphi_{t} \frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{h}} \frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}+\frac{\partial X^{i}}{\partial x_{l}} \circ \varphi_{t} \frac{\partial^{3} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial x_{h}}\right](0)= \\
=\frac{\partial^{3} X^{l}}{\partial x_{p} \partial x_{l} \partial x_{q}}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{q}}{\partial x_{h}}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{j}}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k}}(0)+ \\
+\frac{\partial^{2} X^{l}}{\partial x_{p} \partial x_{l}}(0)\left(\frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{i} \partial x_{h}}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k}}(0)+\frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{j}}(0) \frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{k} \partial x_{h}}(0)+\right. \\
\left.+\frac{\partial^{2} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0) \frac{\partial \varphi_{t}^{p}}{\partial x_{h}}(0)\right)+\frac{\partial X^{i}}{\partial x_{l}}(0) \frac{\partial^{3} \varphi_{t}^{l}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial x_{k}}(0) . \\
\end{array}
\]

При этом $\frac{\partial^{3} \varphi_{0}^{i}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial x_{h}}(0)=0$. Следовательно, мы получили дифференциальное уравнение
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial^{3} \varphi_{t}^{i}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial x_{h}}(0)\right)=d^{3} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{j}}(0), \frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{k}}(0), \frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{h}}(0)\right)+ \\
+d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{k}}(0), \frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{i} \partial x_{h}}(0)\right)+d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{j}}(0), \frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{k} \partial x_{h}}(0)\right)+ \\
\quad+d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{h}}(0), \frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}(0)\right)+d X(0)\left(\frac{\partial^{3} \varphi_{t}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial x_{h}}(0)\right)
\end{array}
\]

и $\frac{\partial^{3} \varphi_{0}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial \dot{x}_{h}}(0)=0$. Его решением является следующее выражение:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{3} \varphi_{t}}{\partial x_{j} \partial x_{k} \partial x_{h}}(0)= \\
=e^{t d X(0)} \int_{0}^{t} e^{-s d X(0)}\left\{d^{3} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{j}}(0), \frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{k}}(0), \frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{h}}(0)\right)+\right. \\
+d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{k}}(0), \frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{j} \partial x_{h}}(0)\right)+d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{j}}(0), \frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{k} \partial x_{h}}(0)\right)+ \\
\left.+d^{2} X(0)\left(\frac{\partial \varphi_{t}}{\partial x_{h}}(0), \frac{\partial^{2} \varphi_{t}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}\right)\right\} d s .
\end{array}
\]

В рассматриваемом нами случае
\[
d \hat{X}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
0 & |\lambda(0)| \\
-|\lambda(0)| & 0
\end{array}\right)
\]

и поэтому $d \hat{\varphi}_{t}(0,0)=\left(\begin{array}{rr}\cos |\lambda(0)| t & \sin |\lambda(0)| t \\ -\sin |\lambda(0)| t & \cos |\lambda(0)| t\end{array}\right)$.
Мы хотим вычислить
\[
\frac{\partial^{2} \hat{\varphi}_{t}^{\mathrm{A}}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0)=\left(\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0), \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0)\right) \text { и } \frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0) .
\]

$=\left(\begin{array}{rr}\cos |\lambda(0)| s & -\sin |\lambda(0)| s \\ \sin |\lambda(0)| s & \cos |\lambda(0)| s\end{array}\right)$. Далее,
$\boldsymbol{d}^{2} \widehat{X}(0)\left(\frac{\partial \Phi_{s}}{\partial x_{1}}(0), \frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0)\right)=\left(\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos ^{2}|\lambda(0)| s-\right.$
$-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| s \cdot \sin |\lambda(0)| s+$
$+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}(0,0) \sin ^{2}|\lambda(0)| s, \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos ^{2}|\lambda(0)| s-$
$-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| s \cdot \sin |\lambda(0)| s+$
\[
\left.+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}(0,0) \sin ^{2}|\lambda(0)| s\right) .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
e^{-s d \widehat{X}(0)} d^{2} \widehat{X}(0)\left(\frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0), \frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0)\right)= \\
\quad=\left[\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}(0) \cos ^{3}|\lambda(0)| s-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}(0) \sin ^{3}|\lambda(0)| s+\right. \\
\quad+\left(-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} d x_{2}}(0)-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}(0)\right) \sin |\lambda(0)| s \cdot \cos ^{2}|\lambda(0)| s+ \\
\quad+\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2} \partial x_{2}^{1}}(0)+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}(0)\right) \cos |\lambda(0)| s \cdot \sin ^{2}|\lambda(0)| s, \\
\quad+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}(0) \cos ^{3}|\lambda(0)| s+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}(0) \sin ^{3}|\lambda(0)| s+ \\
+\left(-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(0)+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}(0)\right) \sin |\lambda(0)| s \cdot \cos ^{2}|\lambda(0)| s+ \\
\left.+\left(-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(0)+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}(0)\right) \cos |\lambda(0)| s \cdot \sin ^{2}|\lambda(0)| s\right]
\end{array}
\]

и, таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{t} e^{-s d \widehat{X}(0)} d^{2} \widehat{X}(0)\left(\frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0), \frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0)\right) d s= \\
=\frac{1}{3|\lambda(0)|}\left[\left(-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\right)+3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}} \sin |\lambda(0)| t+\right. \\
+3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}} \cos |\lambda(0)| t+\left(-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \sin ^{3}|\lambda(0)| t+ \\
+\left(-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \cos ^{3}|\lambda(0)| t, \\
\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}\right)+3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}} \sin |\lambda(0)| t- \\
-3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}} \cos |\lambda(0)| t+\left(-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \sin ^{3}|\lambda(0)| t+ \\
\left.+\left(\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \cos ^{3}|\lambda(0)| t\right]
\end{array}
\]
(где все производные вычислены в начале координат). Собирая все вместе, получим
\[
\begin{array}{l}
e^{t d \widehat{X}(0)} \int_{0}^{t} e^{-s d \widehat{X}(0)} d^{2} \widehat{X}(0)\left(\frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0), \frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0)\right) d s= \\
\quad=\left(\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0), \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0)\right)= \\
\quad=\frac{1}{3|\lambda(0)|}\left[\left(-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \cos |\lambda(0)| t+\right. \\
\quad+\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \sin |\lambda(0)| t+ \\
\quad+\left(3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}-3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \sin |\lambda(0)| t \cdot \cos |\lambda(0)| t+ \\
\quad+3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}} \cos ^{2}|\lambda(0)| t+3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}} \sin ^{2}|\lambda(0)| t+ \\
+\left(-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \cos |\lambda(0)| t \cdot \sin ^{3}|\lambda(0)| t+
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
+\left(\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \sin |\lambda(0)| t \cdot \cos ^{3}|\lambda(0)| t+ \\
+\left(-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \cos ^{4}|\lambda(0)| t+ \\
+\left(-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \sin ^{4}|\lambda(0)| t, \\
\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{4} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \cos |\lambda(0)| t+ \\
+\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \sin |\lambda(0)| t+ \\
+\left(3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}-3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \sin |\lambda(0)| t \cdot \cos |\lambda(0)| t- \\
-3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}} \sin ^{2}|\lambda(0)| t-3 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}} \cos ^{2}|\lambda(0)| t+ \\
+\left(\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \sin |\lambda(0)| t \cdot \cos ^{3}|\lambda(0)| t+ \\
+\left(-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \cos |\lambda(0)| t \cdot \sin ^{3}|\lambda(0)| t+ \\
+\left(\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \sin ^{4}|\lambda(0)| t+ \\
+\left(\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}\right) \cos ^{4}|\lambda(0)| t . \\
\end{array}
\]

Перед вычислением $\frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}$ (0) (являющимся очень громоздким)
используем полученную выше информацию, чтобы упростить выражение для $V^{\prime \prime \prime}(0)$. Чтобы это сделать, мы должны сосчитать:
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} \frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t \cdot d t, \\
\int_{0}^{2 \pi /|(0)|} \frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t \cdot d t, \\
\int_{0}^{2 \pi / \lambda(0) \mid} \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cdot \cos |\lambda(0)| t \cdot d t
\end{array}
\]

и
\[
\cdot \int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cdot \sin |\lambda(0)| t d t .
\]

Результаты этого вычисления следующие:
\[
\int_{0}^{2 \pi / / \lambda(0) 1} \frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) d t=\frac{\pi}{|\lambda(0)|^{2}}\left[\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}\right] .
\]
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} \frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t d t= \\
=\frac{\pi}{3|\lambda(0)|^{2}}\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}\right) . \\
\int_{0}^{2 \pi / 1 \lambda(0) \mid} \frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t d t= \\
=\frac{\pi}{3|\lambda(0)|^{2}}\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a \partial b}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}\right) . \\
\int_{0}^{2 \pi / 1 \lambda(0) \mid} \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t d t= \\
=\frac{\pi}{3|\lambda(0)|^{2}}\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a \partial b}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}\right) . \\
=\frac{\pi}{3|\lambda(0)|^{2}}\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}\right) . \\
\end{array}
\]
$\int_{0}^{2 \pi / / \lambda(0) \mid} \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t d t=$

Поэтому
\[
\begin{aligned}
V^{\prime \prime \prime}(0) & =|\lambda(0)| \int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} \frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0) d t+ \\
& +3 \int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|}\left\{\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t-\right. \\
& -\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t+ \\
& +\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}(0,0)\left[\frac{\partial^{2} b_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \cos |\lambda(0)| t-\right. \\
& \left.\left.-\frac{\partial^{2} a_{t}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0) \sin |\lambda(0)| t\right]\right\} d t,
\end{aligned}
\]

т. e.
\[
\begin{aligned}
V^{\prime \prime \prime}(0) & =|\lambda(0)| \int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} \frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0) d t+ \\
& +\left\lvert\, \lambda \frac{\pi}{\left.(0)\right|^{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}\left(-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}\right)+\right. \\
& +\frac{\pi}{|\lambda(0)|^{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}\left(-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}\right)= \\
& =|\lambda(0)| \int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} \frac{\partial^{3} b t}{\partial x_{1}^{3}}(0,0) d t- \\
& -\frac{\pi}{|\lambda(0)|^{2}}\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}+\right. \\
& \left.+2 \frac{\partial^{2} \hat{X}^{1}}{\partial b^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}\right),
\end{aligned}
\]

где все производные взяты в начале координат. Чтобы вычислить $\frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)$, нам нужно пользоваться уравнением
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial^{3} a_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0), \frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)\right)= \\
=e^{t d \widehat{X}(0)} \int_{0}^{t} e^{-s d \widehat{X}(0)}\left\{d^{3} \hat{X}(0)\left(\frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0,0), \frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0,0), \frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0,0)\right)+\right. \\
\left.+3 d^{2} \hat{X}(0)\left(\frac{\partial \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}}(0,0), \frac{\partial^{2} \hat{\varphi}_{s}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0)\right)\right\} d s
\end{array}
\]

Вычисления являются чрезвычайно длинными ${ }^{1}$ ), но простыми, поэтому мы укажем, как их проводить, и приведем окончательные результаты. После очень длинных вычислений по-
1) Мы не шутим! Чтобы выполнить предыдущие вычисления, нужно быть готовым к потере нескольких дней. Детали могут быть высланы, но лишь по серьезному поводу.

лучим
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} e^{t d \widehat{X}(0)} \int_{0}^{t} e^{-s d \widehat{X}(0)} d^{2} \widehat{X}(0)\left(\frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{1}}\left(0 \frac{\partial^{2} \varphi_{s}}{\partial x_{1}^{2}}(0,0)\right) d s d t=\right. \\
=\left(\text { нечто, } \frac{2 \pi}{|\lambda(0)|^{3}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{5 \pi}{4|\lambda(0)|^{3}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\right. \\
+\frac{7 \pi}{4|\lambda(0)|^{3}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1}^{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{5 \pi}{4|\lambda(0)|^{3}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}+ \\
+\frac{3 \pi}{4|\lambda(0)|^{3}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{5 \pi}{4|\lambda(0)|^{3}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+ \\
\left.+\frac{\pi}{|\lambda(0)|^{3}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{2}^{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{3 \pi}{4 \mid \lambda(0){ }_{1}^{3}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\right) \text { (в точке }(0,0) \text { ). }
\end{array}
\]

и легко видеть, что
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} e^{t d \hat{X}(0)} \int_{0}^{t} e^{-s d \widehat{X}(0)} d^{3} \widehat{X}(0) \times \\
\times\left(\frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{1}}(0,0), \frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{1}}(0,0), \frac{\partial \varphi_{s}}{\partial x_{1}}(0,0)\right) d s d t= \\
=\frac{3 \pi}{4|\lambda(0)|^{2}}\left(\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{\mathrm{I}}}{\partial x_{1}^{3}}+\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}^{2}}+\frac{d^{3} \widehat{X}^{1}}{d x_{1}^{2} d x_{2}}+\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{2}}{\partial x_{2}^{3}}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому конечный результат следующий:
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi /|\lambda(0)|} \frac{\partial^{3} b_{t}}{\partial x_{1}^{3}}(0,0) d t= \\
=\frac{3 \pi}{4|\lambda(0)|^{2}}\left(\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{3}}(0,0)+\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b^{2}}(0,0)+\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2} \partial b}(0,0)+\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{3}}(0,0)\right)+ \\
+\frac{\pi}{|\lambda(0)|^{3}}\left(2 \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}(0,0)+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{\mathrm{I}}}{\partial b^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}(0,0)+\right. \\
+\frac{5}{4} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}(0,0)+\frac{3}{4} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a \partial b}(0,0)+ \\
+\frac{7}{4} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}(0,0)+\frac{5}{4} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}(0,0)+ \\
\left.+\frac{5}{4} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}(0,0)+\frac{3}{4} \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a \partial b}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}(0,0)\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, мы получили искомую формулу.
(4.2) Формула [5]
\[
\begin{aligned}
V^{\prime \prime \prime}(0) & =\frac{3 \pi}{4|\lambda(0)|}\left(\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{3}}(0,0)+\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b^{2}}(0,0)+\right. \\
& \left.+\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2} \partial b}(0,0)+\frac{\partial^{3} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{3}}(0,0)\right)+ \\
& +\frac{3 \pi}{4|\lambda(0)|^{2}}\left(-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}(0,0)+\right. \\
& +\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a \partial b}(0,0)+ \\
& +\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a \partial b}(0,0)-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a \partial b}(0,0)+ \\
& \left.+\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial a^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial a^{2}}(0,0)-\frac{\partial^{2} \widehat{X}^{1}}{\partial b^{2}}(0,0) \frac{\partial^{2} \widehat{X}^{2}}{\partial b^{2}}(0,0)\right)
\end{aligned}
\]

В двумерном случае, когда $X=8$, она может быть непосредственно использована для проверки условий устойчивости, правда, если $d \bar{X}_{0}(0,0)$ имеет вид, как в (4.4).

Определение условий устойчивости через коэффициенты поля $\boldsymbol{X}$
Воспользуемся уравнением
\[
\begin{aligned}
X_{\mu}^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right) & =d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right)+ \\
& +d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \circ X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right),
\end{aligned}
\]

справедливым в окрестности точки $(0,0,0,0)$, для того, чтобы вычислить производные поля $\hat{X}_{0}$ в точке $(0,0)$ через производные $X_{0}$ в точке $(0,0,0)$. Так как дифференцирование производится при фиксированном $\mu$, то писать $\mu$ в формулах не будем. После дифференцирования уравнения по $x_{1}$ и $x_{2}$ получаем
\[
\begin{array}{l}
d_{1} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+d_{3} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{1} f\left(x_{1} x_{2}\right)= \\
\quad=d_{1} d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{1} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{3} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
\quad+d_{1} d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{1} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, \dot{x}_{2}\right) \circ d_{3} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
d_{2} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+d_{3} X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right)= \\
\quad=d_{2} d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{2} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{3} X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
\quad+d_{1} d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{2} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
\quad+d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{3} X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}\right) .
\end{array}
\]

Продифференцируем теперь первое уравнение по $x_{1}$ и $x_{2}$, а второе – только по $x_{2}$. Получим три выражения. Эти выражения легко записать в точке $x_{1}=x_{2}=0$, в которой $f=$ $=d f=0$ и
\[
d X=\left(\begin{array}{ccc}
0 & |\lambda(0)| & 0 \\
-|\lambda(0)| & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} X^{3}
\end{array}\right) .
\]

В результтате такой процедуры получим
\[
\begin{array}{c}
d_{1} d_{1} X^{3}(0,0,0)+d_{3} X^{3}(0,0,0) \circ d_{1} d_{1} f(0,0)= \\
=-2|\lambda(0)| d_{1} d_{2} f(0,0), \\
d_{1} d_{2} X^{3}(0,0,0)+d_{3} X^{3}(0,0,0) \circ d_{1} d_{2} f(0,0)= \\
=|\lambda(0)| d_{1} d_{1} f(0,0)-|\lambda(0)| d_{2} d_{2} f(0,0), \\
d_{2} d_{2} X^{3}(0,0,0)+d_{3} X^{3}(0,0,0) \circ d_{2} d_{2} f(0,0)=2|\lambda(0)| d_{1} d_{2} f(0,0),
\end{array}
\]
T. e.
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{ccc}
d_{3} X^{3}(0,0,0) & 2|\lambda(0)| & 0 \\
-|\lambda(0)| & d_{3} X^{3}(0,0,0) & |\lambda(0)| \\
0 & -2|\lambda(0)| & d_{3} X^{3}(0,0,0)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
d_{1} d_{1} f(0,0) \\
d_{1} d_{2} f(0,0) \\
d_{2} d_{2} f(0,0)
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{c}
-d_{1} d_{1} X^{3}(0,0,0) \\
-d_{1} d_{2} X^{3}(0,0,0) \\
-d_{2} d_{2} X^{3}(0,0,0)
\end{array}\right)
\end{array}
\]
(см. формулу 4A. 6 для $d_{i} d_{i} f$, полученную обращением стоящей слева $3 \times 3$ матрицы). Так как определитель этой матрицы равен $d_{3} X^{3}(0,0,0)\left(d_{3} X^{3}(0,0,0)^{2}+4|\lambda(0)|^{2}\right)$ и так как из включений $\sigma\left(d_{3} X^{3}(000)\right) \subset \sigma(d X(0,0,0)) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\} \cup$ $\cup\{\lambda(0), \overline{\lambda(0)}\}$ следует, что и $d_{3} X^{3}(0,0,0)$, и $d_{3} X^{3}(0,0,0)^{2}+$ $+4|\lambda(0)|^{2}=\left(d_{3} X^{3}(0,0,0)+2|\lambda(0)| i\right)\left(d_{3} X^{3}(0,0,0)-2|\lambda(0)| i\right)$ не обращаются в нуль, то матрица обратима.

Наконец, мы должны выразить первые три производных поля $\widehat{X}_{0}$ в точке $(0,0)$ через производные поля $X_{0}$ в точке $(0,0,0)$. Напомним, что
\[
\begin{array}{l}
\hat{X}^{i}\left(x_{1}, x_{2}\right)=X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \quad \text { для } i=1,2, \\
d_{j} \hat{X}^{i}\left(x_{1}, x_{2}\right)= \\
=d_{j} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+d_{3} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{j} f\left(x_{1}, x_{2}\right) .
\end{array}
\]

для $i, j=1,2$ и
\[
d \widehat{X}(0,0)=\left(\begin{array}{cc}
0 & |\lambda(0)| \\
-|\lambda(0)| & 0
\end{array}\right) .
\]

Дифференцируя дальше, получим
\[
\begin{array}{l}
d_{k} d_{j} \hat{X}^{i}\left(x_{1}, x_{2}\right)=d_{k} d_{j} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right)+ \\
+d_{3} d_{l} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{k} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
+d_{k} d_{3} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{f} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
+d_{3} d_{3} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{k} f\left(x_{1}, x_{2}\right) \circ d_{j} f\left(x_{1}, x_{2}\right)+ \\
+d_{3} X^{i}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right)\right) \circ d_{k} d_{j} f\left(x_{1}, x_{2}\right), \quad i, j, k=1,2 . \\
\end{array}
\]

Вычисляя при $t=0$, видим, что
\[
d_{k} d_{j} \widehat{X}^{i}(0,0)=d_{k} d_{j} X^{i}(0,0,0), \quad i, j, k=1,2 .
\]

Дифференцируя еще раз и вычисляя в точке 0 , получим
\[
\begin{aligned}
d_{l} d_{k} d_{j} \widehat{X}^{i}(0,0)= & d_{l} d_{k} d_{f} X^{i}(0,0,0)+d_{3} d_{j} X^{i}(0,0,0) \circ d_{l} d_{k} f(0,0)+ \\
& +d_{k} d_{3} X^{i}(0,0,0) \circ d_{l} d_{f} f(0,0)+ \\
& +d_{l} d_{3} X^{i}(0,0,0) \circ d_{k} d_{f} f(0,0), \quad i, j, k=1,2 .
\end{aligned}
\]

Теперь это можно подставить в предыдущее соотношение и получить явное выражение для $V^{\prime \prime \prime}(0)$ в точке $p$.

Ниже в главе 4A мы оформим полученные результаты в виде алгоритма, так что не нужно будет каждый раз прокручивать всю процедуру.
(4.3) Упражнение. В упражнении 1.16 дается анализ устойчивости для бифуркации рождения пары неподвижных точек. В этом доказательстве используется представление $f(\alpha, 0)=\alpha+A \alpha^{3}+\ldots$ и показывается, что при $A<0$ осуществляется суперкритическая бифуркация и имеется устойчивость, а при $A>0$ осуществляется субкритическая бифуркация и имеет место неустойчивость. Получить явную формулу для $A$ и применить ее к примеру шарика в обруче (см. Рюэль и Такенс [1], стр. 189-191).