Пусть $X$-векторное поле, $\varphi_{t}$ – поток поля $X$ и $\gamma$-замкнутая орбита потока $\varphi_{t}$. Пусть $P$-отображение Пуанкаре орбиты $\gamma$ (см. гл. 2B). Предположим, что существует замкнутая кривая $\sigma$, инвариантная относительно $P$. Ясно, что $\bigcup_{t} \varphi_{t}(\sigma)$ есть инвариантный тор потока (см. рис. 6.1).

Если у нас имеется однопараметрическое семейство векторных полей $X_{\mu}$ и их замкнутых орбит $\gamma_{\mu}$, то легко представить себе ситуацию, когда $\gamma_{\mu}$ устойчива при малых $\mu$, а при больших $\mu$ она становится неустойчивой и вместо нее появляется устойчивый инвариантный тор ${ }^{1}$ ).
Рис. 6.1.
Напомним, что $\gamma_{\mu}$ устойчива (неустойчива), если собственные значения производной отображения Пуанкаре $P_{\mu}$ по абсолютной величине $<1$ ( $>1$ ) (см. гл. 2B). Бифуркационная теорема для диффеоморфизмов дает условия, при которых мы можем ожидать бифуркацию рождения устойчивого инвариантного тора после потери устойчивости $\gamma_{\mu}$. Приводимая здесь теорема принадлежит Рюэлю и Такенсу [1], в доказательстве мы следуем Ланфорду [1].

Для того чтобы использовать вышеуказанные соображения, необходимо знать, как вычислить спектр отображения
1) Здесь имеется в виду, что траектории теперь будут притягиваться к инвариантному тору, так как пернодическая орбита останется, но будет неустойчивой. – Прим. перев.

Пуанкаре $P$. К счастью, это можно сделать, как мы уже отмечали ранее, так как спектр отображения $d \varphi_{\tau}$ равен $\{$ Spec $d P\} \cup\{1\}$ (см. гл. 2B).

Сведение к двумерному случаю
Таким образом, мы сосредоточим свое внимание на бифуркации для диффеоморфизма. Первое, что мы сделаем, это сведем задачу к двумерной ${ }^{1}$ ) с помощью теоремы о центральном многообразии, точно так же как мы сделали это для потоков. Предположим, что имеется однопараметрическое семейство диффеоморфизмов $\Phi_{\mu}: Z \rightarrow Z, \Phi_{\mu}(0)=0$, и единичную окружность пересекает одна пара комплексносопряженных простых собственных значений оператора $d \Phi_{\mu}(0)$, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль. Теорема о центральном многообразии, примененная к отображению $\Psi:(x, \mu) \longmapsto\left(\Phi_{\mu}(x), \mu\right)$, дает тогда локально инвариантное трехмерное многообразие $M$. Слои $M_{\mu}$ ( $\mu=$ const) задают семейство многообразий, которые с помощью фиксированной координатной карты можно отождествить с одним из них, скажем $M_{0}$. Тогда на $M_{0}$ индуцируется семейство диффеоморфизмов, содержащих всю рекуррентность. Таким образом, все сводится к следующей задаче (опуская вопрос о «глобальной» устойчивости): имеется однопараметрическое семейство диффеоморфизмов $\Phi_{\mu}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, удовлетворяющих условиям
(a) $\Phi_{\mu}(0,0)=(0,0)$;
(б) $d \Phi_{\mu}(0,0)$ имеет два комплексных (с ненулевой мнимой частью) собственных значения $\lambda(\mu), \overline{\lambda(\mu)}$, таких, что при $\mu<0|\lambda(\mu)|<1$, а при $\mu>0|\lambda(\mu)|>1$;
(в) $\left.\frac{d|\lambda(\mu)|}{d \mu}\right|_{\mu=0}>0$.
Делая перепараметризацию, мы можем считать, что собственные значения имеют вид $(1+\mu) e^{ \pm i \theta(\mu)}$. С помощью гладкой, зависящей от $\mu$ замены координат, $d \Phi_{\mu}(0,0)$ можно привести к виду
\[
d \Phi_{\mu}(0,0)=(1+\mu)\left(\begin{array}{lr}
\cos \theta(\mu)-\sin \theta(\mu) \\
\sin \theta(\mu) & \cos \theta(\mu)
\end{array}\right) .
\]

Каноническая форма
На следующем шаге заменой координат приведем $\Phi_{\mu}$ к виду, близкому к соответствующей канонической форме.
1) Қак отмечалось выше, для уравнений в частных производных $P$ может стать диффеоморфизмом только после сведения, а до этого будет только гладким отображением.

Чтобы это было возможно, нам необходимо сделать техническое ${ }^{1}$ ) предположение ${ }^{2}$ ):
\[
e^{i m \theta(0)}
eq 1, \quad m=1,2,3,4,5 .
\]
(6.1) Лемма. При выполнении условия (6.1) можно сделать зависящую от $\mu$ замену координат, приводящую $\Phi_{\mu}$ $\kappa$ виду
\[
\Phi_{\mu}(x)=N \Phi_{\mu}(x)+O\left(|x|^{5}\right),
\]

где в полярных координатах
\[
N \Phi_{\mu}:(r, \varphi) \mapsto\left((1+\mu) r-f_{1}(\mu) r^{3}, \varphi+\theta(\mu)+f_{3}(\mu) r^{2}\right) .
\]

Доказательство этого предложения использует стандартную технику и может быть получено, например, из $\S 23$ книги Зигеля и Мозера [1] ${ }^{3}$ ). В гл. 6 А мы приведем вполие элементарное доказательство. Қак указано выше, мы считаем $N \Phi_{\mu}$ почти канонической формой для $\Phi_{\mu}$. Отметим две особенности $N \Phi_{\mu}$ :
(1) новое $r$ зависит только от старого $r$, но не зависит от $\varphi$;
(2) новое $\varphi$ получается от старого поворотом, зависящим от $r$.
Добавим теперь последнее предположение:
\[
f_{1}(0)>0 .
\]

Из этого предположения следует, что для малых положительных $\mu$ отображение $N \Phi_{\mu}$ имеет инвариантную окружность радиуса $r_{0}$, где $r_{0}$ является корнем уравнения $(1+\mu) r-$ $-f_{1}(\mu) r^{3}=r$, т. е. $r_{0}^{2}=\mu / f_{1}(\mu)$. Ниже мы проверим, что для отображения $N \Phi_{\mu}$ эта окружность устойчива. Так как $\Phi_{\mu}$ мало отличается от $N \Phi_{\mu}$, то не будет большой неожиданностью существование близкой инвариантной кривой для $\Phi_{\mu}$.
1) Это предположение вовсе не является техническим, хотя в доказательстве и играет такую роль. В случаях $m=1,2,3,4$ может вообще не происходить рождения тора. См. Сакер [1], Арнольд [6], Гаврилов [1]. – Прим. перев.
2) Как указал нам Д. Рюэль, только $m=1,2,3,4$ действительно необходимо для бифуркационных теорем; как это будет видно из доказательства в гл. $6 \mathrm{~A}$.
8) Каноническая форма играет важную роль в небесной механике при доказательстве существования и устойчивости замкнутых орбит, близких к данной, т. е. для нахождения неподвижных точек или инвариантных кривых отображения Пуанкаре. В гамильтоновом случае это отображение симплектическое (см. Абрахам и Марсден [1]), поэтому применима теорема Биркгофа, а также результаты А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера, если отображение является «закручивающим».

Основной результат
(6.2) Теорема (Рюэль и Такенс, Сакер, Неймарк).
Предположим, что (6.1) и (6.2) выполнено ${ }^{1}$ ). Тогда для всех достаточно малых положительных $\mu$ отображение $\Phi_{\mu}$ имеет устойчивую инвариантную замкнутую кривую.

Перед тем как проводить доказательство, посмотрим, что случится, если (6.2) заменить на $f_{1}(0)<0$. Тогда для малых положительных $\mu$ отображение $N \Phi_{\mu}$ не имеет инвариантных вариантную кривую, но она является неустойчивой. Применяя результат Рюэля и Такенса к $Ф_{\mu}^{-1}$, мы докажем, что в этом случае $\Phi_{\mu}$ имеет близкую инвариантную кривую, Т2ким образом, мы опять оказываемся в обычной ситуации, где либо инвариантные кривые существуют при $\mu>0$ и устойчивы, либо они существуют при $\mu<0$ и неустойчивы.
Отображение $\Phi_{\mu}$ можно записать так:
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{\mu}:(y, \varphi) \mapsto\left((1-2 \mu) y-\mu\left(3 y^{2}+y^{3}\right)+\mu^{2} O(1),\right. \\
\left.\varphi+\theta(\mu)+\mu\left(1+y^{2}\right) f_{3}(\mu) / f_{1}(\mu)+\mu^{2} O(1)\right) .
\end{array}
\]

Изменим масштаб по $y$, полагая
\[
y=\sqrt{\mu} z
\]

тогда
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{\mu}:(z, \varphi) \mapsto\left((1-2 \mu) z-\mu^{3 / 2}\left(3 z^{2}+\mu^{1 / 2} z^{3}\right)+\mu^{3 / 2} O(1),\right. \\
\left.\varphi+\theta(\mu)+\mu\left(1+\mu^{1 / 2} z\right)^{2} f_{3}(\mu) / f_{1}(\mu)+\mu^{2} O(1)\right) .
\end{array}
\]

Перепишем последнюю формулу
\[
(z, \varphi) \mapsto\left((1-2 \mu) z+\mu^{3 / 2} H_{\mu}(z, \varphi), \varphi+\theta_{1}(\mu)+\mu^{3 / 2} K_{\mu}(z, \varphi)\right) \text {. }
\]

Функции $H_{\mu}(z, \varphi), K_{\mu}(z, \varphi)$ гладкие по $z, \varphi, \mu$ на множестве $-1 \leqslant z \leqslant 1,0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant \mu \leqslant \mu_{0}$ при достаточно малом $\mu_{0}$. Область $-1 \leqslant z \leqslant 1,0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$ соответствует кольцу ширины $O(\mu)$ вокруг инвариантной окружности отображения $N \Phi_{\mu}$ (ее радиус порядка $O(\mu)$ ). Мы хотим получить инвариантную кривую внутри этого кольца.

После этого качественное поведение $\Phi_{\mu}$ легко выясняется: $\Phi_{\mu}$ можно записать в виде
\[
(z, \varphi) \mapsto\left((1-2 \mu) z, \varphi+\theta_{1}(\mu)\right)
\]
1) Было бы интересно явно вычислить $f_{1}(0)$ прямо в терминах $X_{\mu}$, как мы делали в гл. 4 для рождения цикла. Однако труд, проделанный ранее, и перспектива еще более тяжелых, а может быть, и невозможных вычислений так истощили силы авторов, что они решили оставить это вычисление честолюбивому читателю. Вычисление $f_{1}(0)$ в терминах $\Phi_{\mu}$, а не $X_{\mu}$, не столь трудно и было сделано Ваном (препринт) и Иоссом [6].

плюс малое возмущение. Приближенно $\Phi_{\mu}$-это просто поворот в направлении $\varphi$ и сжатие в направлении $z$. Отметим, однако, что величина сжатия стремится к нулю вместе с $\mu$. Если бы это было не так, мы бы просто привлекли известные результаты о сохранении устойчивой инвариантной кривой при малых возмущениях. Однако такой эффект имеется, и мы должны поэтому более детально в нем разобраться, используя тот факт, что величина возмущения стремится к нулю быстрее, чем величина сжатия.

Мы будем искать инвариантное многообразие в виде графика функции $z=u(\varphi),\{z=u(\varphi)\}$, где
(1) $u(\varphi)$ периодична по $\varphi$ с периодом $2 \pi$;
(2) $|u(\varphi)| \leqslant 1$ при всех $\varphi$;
(3) $u(\varphi)$ удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица, равной единице (т. е. $\left.\left|u\left(\varphi_{1}\right)-u\left(\varphi_{2}\right)\right| \leqslant\left|\varphi_{1}-\varphi_{2}\right|\right)$.

Пространство всех функций $u$, удовлетворяющих условиям (1)-(3), будем обозначать через $U$.

Мы приведем доказательство, основанное на принципе сжимающих отображений. Коротко наши рассуждения таковы: начнем с многообразия $M=\{z=u(\varphi)\}, u \in U$ и рассмотрим новое многообразие $\Phi_{\mu} M$, полученное действием $\Phi_{\mu}$ на $M$. Мы покажем, что при достаточно малых $\mu$ многообразие $\Phi_{\mu} M$ опять имеет вид $\{z=a(\varphi)\}$ с некоторой $a \in U$. Таким образом, мы строим нелинейное отображение $\mathscr{F}$ пространства $U$ в себя: $\mathscr{F} u=\hat{u}$. Затем мы доказываем, что при малых положительных $\mu$ отображение $\Phi_{\mu}$ является сжатием на $U$ (относительно супремум-нормы ${ }^{1}$ )) и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку $u^{*}$. Многообразие $\left\{z=u^{*}(\varphi)\right\}$ является искомой инвариантной кривой. Как следствие сжимаемости мы получим, что это многообразие устойчиво в следующем смысле: выберем начальную точку $(z, \varphi)$ с $|z| \leqslant 1$, и пусть $\left(z_{n}, \varphi_{n}\right)$ обозначает $\Phi_{\mu}^{n}(z, \varphi)$. Тогда
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(z_{n}-u^{*}\left(\varphi_{n}\right)\right)=0 .
\]

Нетрудно видеть, что область притяжения инвариантной кривой много больше кольца $|z| \leqslant 1$. В частности, она содержит всю внутренность кольца, за иск тючением неподвижной точки в центре.

Чтобы выполнить программу, намеченную выше, мы сначала должны построить нелинейное отображение $\mathscr{F}$. Для нахождения $\mathscr{F} u(\varphi)$ поступим следующим образом:
1) То есть нормы $\|u\|=\sup _{0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi}\|u(\varphi)\| .-П$ рим. перев.

(А) Покажем, что существует единственное $\tilde{\varphi}$, для которого $\varphi$-компонента $\Phi_{\mu}(u(\tilde{\varphi}), \tilde{\varphi})$ равна $\varphi$, т. е. такое, что
\[
\left.\varphi \equiv \tilde{\varphi}+\theta_{1}(\mu)+\mu^{3 / 2} K_{\mu}(u(\tilde{\varphi}), \tilde{\varphi})(\bmod 2 \pi)^{1}\right)
\]
(B) Положим $\mathscr{F} u(\varphi)$ равным $z$-компоненте $\Phi_{\mu}(u(\tilde{\varphi}), \tilde{\varphi})$, T. e.
\[
\mathscr{F} u(\varphi)=(1-2 \mu) u(\tilde{\varphi})+\mu^{3 / 2} H_{\mu}(u(\tilde{\varphi}), \tilde{\varphi}) .
\]

Для оценок, которые мы собираемся провести, будет удобно ввести обозначение
\[
\lambda=\sup _{0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi 1}\left\{\left|H_{\mu}\right|,\left|K_{\mu}\right|,\left|\frac{\partial H_{\mu}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial K_{\mu}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial H_{\mu}}{\partial \varphi}\right|,\left|\frac{\partial K_{\mu}}{\partial \varphi}\right|\right\} .
\]

Так определенное $\lambda$ зависит от $\mu$, но остается ограниченным при $\mu \rightarrow 0$.

Докажем теперь, что (6.3) имеет единственное решение. Для этого удобно временно обозначить правую часть (6.3) через $x(\tilde{\varphi})$ :
\[
x(\tilde{\varphi})=\tilde{\varphi}+\theta_{1}(\mu)+\mu^{3 / 2} K_{\mu}(u(\tilde{\varphi}), \tilde{\varphi}) .
\]

Мы хотим показать, что когда $\tilde{\varphi}$ изменяется от 0 до $2 \pi$, $x(\tilde{\varphi})$ пробегает в точности один раз интервал длины $2 \pi$. Из периодичности $u(\tilde{\varphi}), K_{\mu}(z, \tilde{\varphi})$ по $\tilde{\varphi}$ следует, что $x(2 \pi)=$ $=x(0)+2 \pi$. Поэтому нам необходимо только показать, что $x$ – строго возрастающая функция. Пусть $\tilde{\varphi}_{1}<\tilde{\varphi}_{2}$. Тогда
\[
x\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)-x\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)=\tilde{\varphi}_{2}-\tilde{\varphi}_{1}+\mu^{3 / 2}\left[K_{\mu}\left(u\left(\tilde{\varphi}_{2}\right), \tilde{\varphi}_{2}\right)-K_{\mu}\left(u\left(\tilde{\varphi}_{1}\right), \tilde{\varphi}_{1}\right)\right] .
\]

Далее,
\[
\begin{array}{l}
\left|K_{\mu}\left(u\left(\tilde{\varphi}_{2}\right) \tilde{\varphi}_{2}\right)-K_{\mu}\left(u\left(\tilde{\varphi}_{1}\right), \tilde{\varphi}_{1}\right)\right| \leqslant \lambda\left[\left|u\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)-u\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)\right|+\left|\tilde{\varphi}_{2}-\tilde{\varphi}_{1}\right|\right] \leqslant \\
\leqslant 2 \lambda\left|\tilde{\varphi}_{2}-\tilde{\varphi}_{1}\right|=2 \lambda\left(\tilde{\varphi}_{2}-\tilde{\varphi}_{1}\right) . \\
\end{array}
\]
(Второе неравенство следует из липшиц-непрерывности $u$.) Таким образом,
\[
x\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)-x\left(\tilde{\varphi}_{1}\right) \geqslant\left(1-2 \lambda \mu^{3 / 2}\right)\left(\tilde{\varphi}_{2}-\tilde{\varphi}_{1}\right),
\]

поэтому при условии
\[
1-2 \lambda \mu^{3 / 2}>0
\]
$x$ строго возрастает и (6.3) имеет единственное решение. Поэтому $\tilde{\varphi}$ является функцией $\varphi$ и, как следует из оценок, липшиц-непрерывной:
\[
\left|\tilde{\varphi}\left(\varphi_{1}\right)-\tilde{\varphi}\left(\varphi_{2}\right)\right| \leqslant\left(1-2 \lambda \mu^{3 / 2}\right)^{-1}\left|\varphi_{1}-\varphi_{2}\right| .
\]
1) То есть $\varphi$ отличается от $\tilde{\varphi}+\theta_{1}(\mu)+\mu^{3 / 2} K_{\mu}(u(\tilde{\varphi})$, $\tilde{\varphi})$ на целое кратное $2 \pi$.

Тем самым определение (6.4) отображения $\mathscr{F} u$ приобретает смысл; теперь мы должны проверить, что $\mathscr{F} u \in U$. Условие (1) немедленно следует из 6.5. Для доказательства (2) заметим, что
\[
|\mathscr{F} u(\varphi)| \leqslant(1-2 \mu)|u(\tilde{\varphi})|+\mu^{3 / 2}\left|H_{\mu}(u(\tilde{\varphi}), \tilde{\varphi})\right| \leqslant 1-2 \mu+\mu^{3 / 2} \lambda,
\]
т. е. $|\mathscr{F} u(\varphi)| \leqslant 1$ при всех $\varphi$, если
\[
2 \mu-\mu^{3 / 2} \lambda \geqslant 0 .
\]

Окончательно имеем
\[
\begin{array}{l}
\left|\mathscr{F} u\left(\varphi_{1}\right)-\mathscr{F} u\left(\varphi_{2}\right)\right| \leqslant(1-2 \mu)\left|u\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)-u\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)\right|+ \\
+\mu^{3 / 2} \lambda\left[\left|u\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)-u\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)\right|+\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right|\right] \leqslant \\
\leqslant\left(1-2 \mu+2 \mu^{3 / 2} \lambda\right)\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right|
\end{array}
\]

в силу липшиц-непрерывности $u$. Подставляя сюда оценку (6.6) для $\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right|$, мы получаем
\[
\left|\mathscr{F} u\left(\varphi_{1}\right)-\mathscr{F} u\left(\varphi_{2}\right)\right| \leqslant\left(1-2 \mu+2 \mu^{3 / 2} \lambda\right)\left(1-2 \mu^{3 / 2} \lambda\right)^{-1}\left|\varphi_{1}-\varphi_{2}\right|,
\]

поэтому $\mathscr{F} u$ липшиц-непрерызна с постоянной Липшица 1 , если
\[
\left(1-2 \mu+2 \mu^{3 / 2} \lambda\right)\left(1-2 \mu^{3 / 2} \lambda\right)^{-1} \leqslant 1 .
\]

Очевидно, что (6.8) выполняется для достаточно малых положительных $\mu$, так что условие (3) выполнено.
$\mathrm{Ha}$ следующем шаге мы докажем, что $\mathscr{F}$ сжимающее. Итак, пусть $u_{1}, u_{2} \in U$; выберем $\varphi$ и обозначим через $\tilde{\varphi}_{1}, \tilde{\varphi}_{2}$ решения уравнений

и
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\tilde{\varphi}_{1}+\theta_{1}(\mu)+\mu^{3 / 2} K_{\mu}\left(\mu_{1}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right), \tilde{\varphi}_{1}\right) \\
\varphi=\tilde{\varphi}_{2}+\theta_{1}(\mu)+\mu^{3 / 2} K_{\mu}\left(u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{2}\right), \tilde{\varphi}_{2}\right)
\end{array}
\]

соответственно. Вычитая из первого уравнения второе, перенося выражение $\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}$ в другую часть и беря абсолютную величину, мы получаем
\[
\begin{aligned}
\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right| \leqslant \mu^{3 / 2} \mid & K_{\mu}\left(u_{1}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right), \tilde{\varphi}_{1}\right)-K_{\mu}\left(u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{2}\right), \tilde{\varphi}_{2}\right) \mid \leqslant \\
& \leqslant \mu^{3 / 2} \lambda\left[\left|u_{1}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)-u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)\right|+\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right|\right] .
\end{aligned}
\]

Далее,
\[
\begin{aligned}
\left|u_{1}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)-u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)\right| & \leqslant\left|u_{1}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)-u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)\right|+\left|u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)-u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)\right| \leqslant \\
& \leqslant\left\|u_{1}-u_{2}\right\|+\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right| .
\end{aligned}
\]

Подставляя это неравенство в (6.9), собирая все члены c $\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right|$ слева и деля, получаем
\[
\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right| \leqslant\left(1-2 \lambda \mu^{3 / 2}\right)^{-1} \mu^{3 / 2} \lambda \| u_{4}-u_{2} \mid .
\]

Воспользуемся определением (6.4) для $\mathscr{F}$ :
\[
\begin{array}{l}
\left|\mathcal{F} u_{1}(\varphi)-\mathcal{F} u_{2}(\varphi)\right| \leqslant(1-2 \mu)\left|u_{1}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)-u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{2}\right)\right|+ \\
+\mu^{3 / 2}\left|H_{\mu}\left(u_{1}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right), \tilde{\varphi}_{1}\right)-H_{\mu}\left(u_{2}\left(\tilde{\varphi}_{2}\right), \tilde{\varphi}_{2}\right)\right| \leqslant \\
\leqslant(1-2 \mu)\left[\left\|u_{1}-u_{2}\right\|+\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right|\right]+\lambda \mu^{3 / 2}\left[\left\|u_{1}-u_{2}\right\|+2\left|\tilde{\varphi}_{1}-\tilde{\varphi}_{2}\right|\right] \leqslant \\
\leqslant\left\|u_{1}-u_{2}\right\|\left\{(1-2 \mu)\left[1+\mu^{3 / 2} \lambda\left(1-2 \mu^{3 / 2} \lambda\right)^{-1}\right]+\right. \\
\left.+\mu^{3 / 2} \lambda\left[1+2 \mu^{3 / 2} \lambda\left(1-2 \mu^{3 / 2} \lambda\right)^{-1}\right]\right\} .
\end{array}
\]

Пусть $\alpha$ обозначает выражение в скобках. Тогда $\alpha=$ $=1-2 \mu+O\left(\mu^{3 / 2}\right)$, поэтому мы можем сделать $\alpha<1$, выбирая $\mu$ достаточно малым. Если это уже сделано, то
\[
\left\|\mathscr{F} u_{1}-\mathscr{F} u_{2}\right\| \leqslant \alpha\left\|u_{1}-u_{2}\right\|, \quad \alpha<1,
\]
т. е. $\mathscr{F}$ – сжимающий оператор в $U$ и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку $u^{*}$.

Чтобы доказать устойчивость инвариантного многообразия $\left\{z=u^{*}(\varphi)\right\}$, выберем точку $(z, \varphi)$ в кольце $|z| \leqslant 1$; пусть $\left(z_{1}, \varphi_{1}\right)$ обозначает $\Phi_{\mu}(z, \varphi)$. Заметим, что
\[
\left|z_{1}\right| \leqslant(1-2 \mu)|z|+\mu^{3 / 2} \lambda \leqslant 1-2 \mu+\lambda \mu^{3 / 2} \leqslant 1
\]
(из (6.7)), поэтому ( $z_{1}, \varphi_{1}$ ) снова лежит в кольце. Пусть теперь $\tilde{\varphi}_{1}$ обозначает решение уравнения
\[
\varphi_{1}=\tilde{\varphi}_{1}+\theta_{1}(\mu)+\mu^{3 / 2} K_{\mu}\left(u^{*}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right), \tilde{\varphi}_{1}\right) .
\]

С другой стороны, по определению $\varphi_{1}$ :
\[
\varphi_{1}=\varphi+\theta_{1}(\mu)+\mu^{3 / 2} K_{\mu}(z, \varphi) .
\]

Вычитая второе из этих уравнений из первого, а затем оценивая и преобразуя полученное выражение, как при доказательстве (6.8), получим
\[
\left|\tilde{\varphi}_{1}-\varphi\right| \leqslant \mu^{3 / 2} \lambda\left(1-2 \lambda \mu^{3 / 2}\right)^{-1}\left|z-u^{*}(\varphi)\right| .
\]

Вычтем теперь из первого из уравнений
\[
\begin{array}{c}
u^{*}\left(\varphi_{1}\right)=\mathscr{F} u^{*}\left(\varphi_{1}\right)=(1-2 \mu) u^{*}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right)+\mu^{3 / 2} H_{\mu}\left(u^{*}\left(\tilde{\varphi}_{1}\right), \tilde{\varphi}_{1}\right), \\
z_{1}=(1-2 \mu) z+\mu^{3 / 2} H_{\mu}(z, \varphi)
\end{array}
\]

второе и поступим, как при доказательстве того, что $\mathscr{F}$ сжимающий оператор; тогда получим
\[
\left|z_{1}-u^{*}\left(\varphi_{1}\right)\right| \leqslant \alpha|z-u(\varphi)|
\]

с тем же $\alpha$, как в (6.11). По индукции
\[
\left|z_{n}-u^{*}\left(\varphi_{n}\right)\right| \leqslant \alpha^{n}|z-u(\varphi)| \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad n \rightarrow \infty .
\]

В нашем доказательстве мы пользовались только непрерывностью $H_{\mu}, K_{\mu}$ и их производных и получили липшицнепрерывную $u^{*}$. Более строгая проверка показывает, что нам необходима только липшиц-непрерывность $H_{\mu}, K_{\mu}$. Если бы $H_{\mu}, K_{\mu}$ имели больше производных, можно было ожидать больше производных для $u^{*}$. Это действительно так. Точнее, пусть $U_{k}$ означает множество периодических функций $u(\varphi)$ класса $C^{k}$, удовлетворяющих условиям:
1) $\left|u^{(j)}(\varphi)\right| \leqslant 1, j=0,1, \ldots, k$ для всех $\varphi$;
2) $u^{(k)}(\varphi)$ липшицируема с постоянной Липшица 1.
Если $H_{\mu}, K_{\mu}$ имеют липшиц-непрерывные $k$-е производные, то оценки, являющиеся непосредственным обобщением вышеприведенных, показывают, что при достаточно малых $\mu \mathscr{F}$ череводит $U_{k}$ в себя. Можно показать, что $U_{k}$ полно в супремум-норме (как при доказательстве теоремы о центральном многообразии), поэтому неподвижная точка $u^{*}$ должна лежать в $U_{k}$, т. е. $u^{*}$ имеет липшиц-непрерывную $k$-ю производную.

Если сделать более слабое предположение, что $H_{\mu}$ и $K_{\mu}$ имеют непрерывные $k$-е производные, то немного усложняя рассуждения, можно получить для $u^{*}$ непрерывность $k$-й производной; это можно сделать, показывая, что множество тех $u$, чьи $k$-е производные имеют подходяще выбранный модуль непрерывности, отображаются в себя оператором $\mathscr{F}$.