Теорема о центральном многообразии используется для сведения бифуркационной задачи к конечномерному случаю следующим образом. Рассмотрим однопараметрическое семейство отображений $\Psi^{\mu}: Z \rightarrow Z$ банахова пространства $Z$, где $\mu \in \mathbb{R}$ или интервалу из $\mathbb{R}$, содержащему 0 . Предположим, что отображение $(\mu, x) \mapsto \Psi^{\mu}(x)$ принадлежит классу $C^{k+1}$ и $\Psi^{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$. Будем считать, что при $\mu<0$ спектр $D \Psi^{\mu}(0)$ лежит строго внутри единичной окружности, при $\mu=0$ спектр состоит из двух кусков, как в теореме о центральном многообразии, а при $\mu>0$ часть спектра лежит внутри, а другая часть вне единичной окружности (рис. 3.1).

Рассмотрим отображение $\Psi: \mathbb{R} \times Z \rightarrow \mathbb{R} \times Z, \quad(\mu, x) \mapsto$ $\mapsto\left(\mu, \Psi^{\mu}(x)\right)$. Его производная в нуле
\[
\begin{aligned}
D \Psi(0,0)(v, h)=\left(v,\left.\frac{\partial \Psi^{\mu}}{\partial \mu}(x) \cdot v\right|_{\substack{\mu=0 \\
x=0}}+\left.D_{x} \Psi^{\mu}(x) \cdot h\right|_{\substack{\mu=0 \\
x=0}}\right)= \\
=\left(v, D_{x} \Psi^{\mu}(0) \cdot h\right)
\end{aligned}
\]
(так как $\Psi^{\mu}(0)=0$ при всех $\mu$ ). Таким образом, спектр $D \Psi(0,0)$ есть объединение спектра $D_{x} \Psi^{\mu}(0)$ и точки 1. Поэтому мы можем применить к $\Psi$ теорему о центральном многообразии и получить инвариантное многообразие в $\mathbb{R} \times Z$.

Подмногообразия $\mu=$ const этого инвариантного многообразия образуют однопараметрическое семейство инвариантных многообразий для отображений $\Psi^{\mu}$. Эти многообразия той же самой размерности, что и собственное подпространство, соответствующее части спектра, пересекающей единичную окружность, а эта размерность часто бывает конечной.

Вполне аналогично можно провести такое сведение и для потоков, используя теорему о центральном многообразии для потоков.

Следует соблюдать осторожность, так как, хотя центральное многообразие и содержит всю локальную рекуррентность, оно не является ни глобально инвариантным, ни устойчивым в строгом смысле. Тем не менее, если пара собственных значений пересекает единичную окружность (или мнимую ось, если рассматривать векторное поле), то мы можем свести задачу к двумерному случаю (заметим, что полупоток $C^{k+1}$. отображений на конечномерном пространстве автоматически порождается $C^{k}$-векторным полем, так что если сведение уже сделано, то мы обычно можем предполагать, что поток гладкий, см. гл. 8A).
Рис. 3.1.
Поэтому мы теперь детально рассмотрим конечномерный случай (подробности, относящиеся к вышеупомянутому процессу сведения, можно найти в гл. 4).

Сначала рассмотрим двумерный случай ( $n$-мерный случай рассматривается ниже в теореме 3.15).

Теорема Хопфа в $\mathbb{R}^{2}$
Следующая теорема в основном принадлежит А. А. Андронову (1930) и Хопфу (1942) и была намечена в работе Пуанкаре (1892) ${ }^{1}$ ).
(3.1) Теорема. Пусть $X_{\mu}$-векторное поле класса $C^{k}$ $(k \geqslant 4)$ в $\mathbb{R}^{2}$ и такое, что $X_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$, а поле $X=\left(X_{\mu}, 0\right)$ также класса $C^{k}$. Предположим, что $d X_{\mu}(0,0)$ имеет два различных комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, причем $\operatorname{Re} \lambda(0)=0, \operatorname{Re} \lambda(\mu)>0$ nри $\mu>0$. Пусть также $\left.\frac{d(\operatorname{Re} \lambda(\mu))}{d \mu}\right|_{\mu=0}>0$. Тогда
(A) существует $C^{k-2}$ функция $\left.^{2}\right) \mu:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow R$, такая, что при $x_{1}
eq 0$ точка $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right)$ лежит на замкнутой орбите поля $X$ периода $\approx 2 \pi /|\lambda(0)|$, причем $\mu(0)=0$;
1) Настоящий вариант теоремы 3.1 принадлежит Рюэлю и Такенсу [1], n-мерный случай рассмотрен Хопфом. См. для сравнения главу 5 А.
2) Если $X$ аналитично, то функция $\mu$ также аналитична (Хопф [1], см. гл. 5).

(B) существует окрестность $U$ точки $(0,0,0)$ в $\mathbb{R}^{3}$, такая, что любая замкнутая орбита, лежащая в $U$, – это одна из орбит вышеуказанного семейства. Кроме того, если точка 0 слабый аттрактор поля $X_{0}$, то
(C) $\mu\left(x_{1}\right)>0$ для всех $x_{1}
eq 0$, замкнутые орбиты устойчивы, а радиус орбиты (при изменении $\mu$ ) растет как $\sqrt{\mu}{ }^{1}$ ).

Смысл выражения «слабый аттрактор» будет выяснен в дальнейшем, в гл. 4, когда будут проведены подробные
Рис. 3.2.

вычисления, связанные с условием, содержащим это определение (см. также гл. 5A). В гл. 3А показано, что соответствующее условие можно ослабить, заменив «слабый аттрактор» аттрактором в обычном ляпуновском смысле.

Во всяком случае, в примерах выполнение этого условия обычно не является очевидным, и поэтому ниже оно будет подробно обсуждаться.

В нашем доказательстве мы следуем Рюэлю и Такенсу [1] с некоторыми дополнениями. В конце главы мы обсудим, что произойдет в случае $d(\operatorname{Re} \lambda(\mu)) / d \mu=0$ (см. гл. 3A).

Доказательство. Суть доказательства состоит в применении теоремы о неявной функции. Мы покажем, что для малых $\mu$ существует $C^{k-1}$-функция, которая отображает точку $\left(x_{1}, 0, \mu\right)$ в точку $\left(P\left(x_{1}, \mu\right), 0, \mu\right)$ первого такого пересечения орбиты потока $X$, проходящей через $\left(x_{1}, 0, \mu\right)$, с осью $x_{1}$, при котором $x_{1}$ и $P\left(x_{1}, \mu\right)$ имеют одинаковый знак (рис. 3.2). Пусть $V\left(x_{1}, \mu\right)=P\left(x_{1}, \mu\right)-x_{1} . V$ есть функция смещения.

Используя теорему о неявной функции, получим кривую $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right)$ нулей $V$, соответствующих замкнутым орбитам
1) Теорема о рождении циклов из сложного фокуса подробно рассмотрена в книгах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, И. И. Гордона, А. Г. Майера [1, 2], – Прим. ред.

потока $X$. Отображение $(x, 0) \mapsto\left(P\left(x, \mu\left(x_{1}\right)\right), 0\right)$ есть отображение Пуанкаре, построенное для замкнутой орбиты, проходящей через точку $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right)$. Затем, пользуясь стандартными результатами относительно отображения Пуанкаре, мы найдем условия устойчивости замкнутой орбиты. Единственность замкнутых орбит получается, по существу, из единственности функции, определяемой теоремой о неявной функции (доказательство единственности замкнутых орбит в высших размерностях более сложно, см. гл. 5 и 5А).

Шаг 1. Делая линейную замену координат в $\mathbb{R}^{2}$, зависящую от $\mu$, мы можем считать, что
\[
d X_{\mu}(0,0)=\left(\begin{array}{r}
\operatorname{Re} \lambda(\mu) \operatorname{Im} \lambda(\mu) \\
-\operatorname{Im} \lambda(\mu) \operatorname{Re} \lambda(\mu)
\end{array}\right),
\]

где $\lambda(\mu)$ выбрано так, что $\operatorname{Im} \lambda(\mu)>0$. В новых координатах $X_{\mu}$ имеет непрерывные производные до порядка $k$. Кроме того, для каждого $\mu$ ось $x_{1}$ инвариантна относительно замены (т. е. новая ось та же, что и старая, мы меняем только ось $x_{2}$ ). Приведем несколько простых лемм, из которых вытекает все сказанное.
(3.2) Лемма. Пусть
\[
\mu \rightarrow\left(\begin{array}{ll}
a_{11}(\mu) & a_{12}(\mu) \\
a_{21}(\mu) & a_{22}(\mu)
\end{array}\right)
\]

функция класса $C^{k}$ из $U \subseteq \mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^{4}$. Пусть матрица имеет два различных собственных значения для всех $\mu \in[a, b] \subset U$. Тогда собственные значения являются $C^{k}$ функциями из $(a, b)$ в $\mathbb{C}$.

Доказательство ${ }^{1}$ ). По формуле решений квадратного уравнения собственные значения равны
\[
\frac{a_{11}+a_{22} \pm \sqrt{\left(a_{11}+a_{22}\right)^{2}-4 a_{12} a_{21}}}{2} .
\]

По предположению $\left(a_{11}+a_{22}\right)^{2}-4 a_{12} a_{21}$ отделено от нуля на $(a, b)$, поэтому собственные значения являются $C^{k}$-функциями параметра $\dot{\mu}$ на этом интервале.
(3.3) Лемма. Пусть $T: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2}$ – линейное преобразование, принимающее действительные значения на действительных векторах и не имеющее действительных собственных зна-
1) Эта лемма есть следствие теоремы о том, что простой корень многочлена от одной переменной является аналитической функцией коэффициентов. – Прим. ред.

чений. Пусть $v_{1}+i v_{2}$ – собственный вектор с собственным значением $\lambda$. Тогда существует собственный вектор вида $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$, имеющий то же собственное значение.

Доказательство. Умножая $v_{1}+i v_{2}$ на комплексное число, мы получаем собственный вектор с тем же собственным значением $\lambda$. Поэтому достаточно показать, что существует $z=x+i y$, для которого
\[
(x+i y)\left[\left(\begin{array}{l}
v_{11} \\
v_{21}
\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{l}
v_{12} \\
v_{22}
\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
\beta
\end{array}\right) .
\]

Это эквивалентно решению системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
x v_{11}-y v_{12}=1, \\
x v_{21}-y v_{22}=0,
\end{array}
\]
T. e.
\[
\left(\begin{array}{l}
v_{11}-v_{12} \\
v_{21}-v_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) \text {. }
\]

Столбцы этой матрицы линейно независимы над полем $R$, так как если $v_{2}=c v_{1}$, то $v_{1}+i v_{2}=(1+i c) v_{1}$. Поэтому $v_{1}=$ $=(1+i c)^{-1}\left(v_{1}+i v_{2}\right)$ – действительный собственный вектор, чего не может быть. Поэтому уравнение имеет решение.
(3.4) Лемма. Пусть $T$-то же преобразование, что ив предыдущей лемме. Тогда
\[
T v_{1}=\operatorname{Re} \lambda \cdot v_{1}-\operatorname{Im} \lambda \cdot v_{2}, \quad T v_{2}=\operatorname{Im} \lambda \cdot v_{1}+\operatorname{Re} \lambda \cdot v_{2} .
\]

Доказательство. $T v_{1}=\operatorname{Re} T\left(v_{1}+i v_{2}\right)$, так как $T$ – действительное число. $T v_{1}=\operatorname{Re}\left[\lambda\left(v_{1}+i v_{2}\right)\right]=\operatorname{Re} \lambda \cdot v_{1}-\operatorname{Im} \lambda \cdot v_{2}$.
\[
T v_{2}=\operatorname{Im}\left[\lambda\left(v_{1}+i v_{2}\right)\right]=\operatorname{Im} \lambda \cdot v_{1}+\operatorname{Re} \lambda \cdot v_{2} .
\]

Используя предыдущие леммы, мы видим, что если
\[
\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{l}
\alpha(\mu) \\
\beta(\mu)
\end{array}\right)
\]
– собственный вектор $d X_{\mu}(0,0)$ с собственным значением $\lambda(\mu)$, то $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{l}\alpha(\mu) \\ \beta(\beta)\end{array}\right)$ – линейно-независимые векторы, такие, что матрица $d X_{\mu}(0,0)$ относительно базиса $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{l}\alpha(\mu) \\ \beta(\mu)\end{array}\right)$ имеет вид
\[
\left(\begin{array}{rr}
\operatorname{Re} \lambda(\mu) & \operatorname{Im} \lambda(\mu) \\
-\operatorname{Im} \lambda(\mu) & \operatorname{Re} \lambda(\mu)
\end{array}\right) .
\]

Теперь мы покажем, что вектор $\left(\begin{array}{l}\alpha(\mu) \\ \beta(\mu)\end{array}\right)$ является $C^{k}$-функцией $\mu$. Пусть
\[
d X_{\mu}(0,0)=\left(\begin{array}{ll}
a_{11}(\mu) & a_{12}(\mu) \\
a_{21}(\mu) & a_{22}(\mu)
\end{array}\right) .
\]

Решаем уравнение
\[
\left(\begin{array}{ll}
a_{11}(\mu) & a_{12}(\mu) \\
a_{21}(\mu) & a_{22}(\mu)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}
1+i \alpha(\mu) \\
i \beta(\mu)
\end{array}\right)=\lambda(\mu)\left(\begin{array}{r}
1+i \alpha(\mu) \\
i \beta(\mu)
\end{array}\right) .
\]

Отсюда получаем уравнения
\[
a_{11}(\mu)=\operatorname{Re} \lambda(\mu)-\operatorname{Im} \lambda(\mu) \cdot \alpha(\mu), \quad a_{21}(\mu)=-\operatorname{Im} \lambda(\mu) \cdot \beta(\mu) .
\]

Поэтому
\[
\alpha(\mu)=\frac{\operatorname{Re} \lambda(\mu)-a_{11}(\mu)}{\operatorname{Im} \lambda(\mu)}, \beta(\mu)=\frac{-a_{21}(\mu)}{\operatorname{Im} \lambda(\mu)} .
\]

Так как замена координат линейна для каждого $\mu$, а $\alpha$ и $\beta$ суть $C^{k}$-функции $\mu$, в новых координатах $X$ будет иметь непрерывные $k$-е частные производные. В частности, $\frac{\partial X}{\partial x_{1}}$ и $\frac{\partial X}{\partial x_{2}}$ суть $C^{k-1}$-функции в новых координатах.

Начиная с этого места, мы будем предполагать, что замена координат уже сделана, т. е. что
\[
d X_{\mu}(0,0)=\left(\begin{array}{rr}
\operatorname{Re} \lambda(\mu) & \operatorname{Im} \lambda(\mu) \\
-\operatorname{Im} \lambda(\mu) & \operatorname{Re} \lambda(\mu)
\end{array}\right) .
\]

Шаг 2. Существует единственное $C^{k-1}$-векторное поле $X_{\mu}$ на $\mathbb{R}^{2}$ такое, что $\psi_{*} \mathscr{X}_{\mu}=X_{\mu}$, где $\psi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ – отображение перехода к полярным координатам $\psi(r, \theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta)$, а $\psi_{*}$ – дифференциал $\psi$.

Пусть $\widehat{X}=\bar{X}_{r} \frac{\partial}{\partial r}+\widetilde{X}_{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}-$ любое векторное поле ${ }^{1}$ ) на $\mathbb{R}^{2}$. Тогда
\[
\Psi_{*}(\tilde{X})=\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\tilde{X}_{r} \\
\tilde{X}_{\theta}
\end{array}\right),
\]
1) Заметим, что $\widetilde{X}_{\theta}$ есть угловая скорость $X$, а ке компонента поля $\chi$ вдоль единичного вектора $e_{\theta}$ в направлении $\frac{\partial}{\partial \theta}$, которую часто обозначают $\widetilde{X}_{\theta}$.

Так как $\psi_{*}\left(X_{\mu}\right)=X_{\mu}$, то
\[
\left(\begin{array}{l}
\tilde{X}_{\mu r} \\
\tilde{X}_{\mu \theta}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\frac{\sin \theta}{r} & \frac{\cos \theta}{r}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
X_{\mu 1} \\
X_{\mu 2}
\end{array}\right), \quad r
eq 0 .
\]

Поэтому если векторное поле $\tilde{X}_{\mu}$ можно продолжить до $C^{k-1}$-поля на всем $\mathrm{R}^{2}$, то такое продолжение единственно. $\tilde{X}_{\mu r}=\cos \theta \cdot X_{\mu 1}+\sin \theta \cdot X_{\mu 2}$, и оно класса $C^{k-1}$ для всех $(r, \theta)$. Рассмотрим при $r
eq 0$
\[
\tilde{X}_{\mu \theta}(r, \theta)=\frac{-\sin \theta}{r} X_{\mu 1}(r \cos \theta, r \sin \theta)+\frac{\cos \theta}{r} X_{\mu 2}(r \cos \theta, r \sin \theta) \text {. }
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
\lim _{r \rightarrow 0} \tilde{X}_{\mu \theta}(r, \theta)= & -\sin \theta \cdot \lim _{r \rightarrow 0} \frac{X_{\mu_{1}}(r \cos \theta, r \sin \theta)-X_{\mu_{1}}(0,0)}{r}+ \\
& +\cos \theta \cdot \lim _{r \rightarrow 0} \frac{X_{\mu_{2}}(r \cos \theta, r \sin \theta)-X_{\mu_{2}}(0,0)}{r},
\end{aligned}
\]

так как $X_{\mu}(0,0)=0$. Таким образом,
\[
\begin{aligned}
\lim _{r \rightarrow 0} \tilde{X}_{\mu \theta}(r, \theta) & =(-\sin \theta) d X_{\mu 1}(0,0)(\cos \theta, \sin \theta)+ \\
& +(\cos \theta) d X_{\mu 2}(0,0)(\cos \theta, \sin \theta)= \\
& =(-\sin \theta)(\cos \theta \cdot \operatorname{Re} \lambda(\mu)+\sin \theta \operatorname{Im} \lambda(\mu)+ \\
& +(\cos \theta)(-\cos \theta \operatorname{Im} \lambda(\mu)+\sin \theta \cdot \operatorname{Re} \lambda(\mu))= \\
& =-\operatorname{Im} \lambda(\mu) .
\end{aligned}
\]

Поэтому мы определим
\[
\begin{array}{l}
\tilde{X}_{\mu}(r, \theta)= \\
=\left\{\begin{array}{l}
\left(\cos \theta \cdot X_{\mu 1}(r \cos \theta, r \sin \theta)+\sin \theta \cdot X_{\mu 2}(r \cos \theta, r \sin \theta)\right) \frac{\partial}{\partial r}+ \\
+\left(\frac{-\sin \theta}{r} X_{\mu 1}(r \cos \theta, r \sin \theta)+\frac{\cos \theta}{r} X_{\mu 2}(r \cos \theta, r \sin \theta)\right) \frac{\partial}{\partial \theta}, \\
r
eq 0, \\
-\operatorname{Im} \lambda(\mu) \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad r=0 .
\end{array}\right. \\
\tilde{X}_{\mu \theta}(r, \theta)= \\
=\left\{\begin{array}{l}
\frac{-\sin \theta}{r} X_{\mu 1}(r \cos \theta, \sin \theta)+\frac{\cos \theta}{r} X_{\mu 2}(r \cos \theta, r \sin \theta), r
eq 0, \\
-\operatorname{Im} \lambda(\mu), \quad r=0 .
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

Чтобы установить, что $X_{\mu \theta}(r, \theta)$ принадлежит классу $C^{k-1}$, мы покажем, что функции $\frac{1}{r} X_{\mu 1}(r \cos \theta, r \sin \theta)$ и $\frac{1}{r} \times$

$\times(r \cos \theta, r \sin \theta)$ принадлежит $C^{k-1}$, когда они продолжены, как указано выше.
(3.5) Лемма. Пусть $A: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ – функция класса $C^{\boldsymbol{k}}$. Тогда
\[
A(x, y)-A(0,0)=\int_{0}^{1}\left[\frac{\partial A(t x, t y)}{\partial x} x+\frac{\partial A(t x, t y)}{\partial y} y\right] d t .
\]

Если
\[
A_{1}(x, y)=\int_{0}^{1} \frac{\partial A(t x, t y)}{\partial x} d t, A_{2}(x, y)=\int_{0}^{1} \frac{\partial A(t x, t y)}{\partial y} d t,
\]
ro
\[
A_{1}(0,0)=\frac{\partial A}{\partial x}(0,0) u A_{2}(0,0)=\frac{\partial A}{\partial y}(0,0) .
\]

Доказательство. Первое утверждение следует из формулы Тейлора, а второе легко доказывается по индукции. По лемме
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{r} X_{\mu j}(r t \cos \theta, r t \sin \theta) & =\cos \theta \int_{0}^{1} \frac{\partial X_{\mu j}(r t \cos \theta, r t \sin \theta)}{\partial x} d t+ \\
& +\sin \theta \int_{0}^{1} \frac{\partial X_{\mu j}(r t \cos \theta, r t \sin \theta)}{\partial y} d t, \quad j=1,2 .
\end{aligned}
\]

Так как все $k$-е частные производные $X$ непрерывны и подинтегральные функции принадлежат классу $C^{k-1}$, то сами интегралы – функции класса $C^{k}$.
Шаг 3. Отображение Пуанкаре (подробности см. в гл. 2В).
Пусть потоки векторных полей $\widetilde{X}$ и $X$ будут $\widetilde{\Phi}_{t}$ и $\Phi_{t}$ соот* ветственно. Очевидно, что $\psi \circ \widetilde{\Phi}_{t}=\Phi_{t} \circ \psi$. Рассмотрим век торное поле $\widetilde{X}$. Так как $\tilde{X}(0, \theta)=-\operatorname{Im} \lambda(\mu) \frac{\partial}{\partial \theta}$, то $\widetilde{\Phi}_{\mu t}(0, \theta)=$ $=(0, \theta-\operatorname{Im} \lambda(\mu) t, \mu)$. Если $\tau=2 \pi /|\lambda(0)|$, то $\tilde{\Phi}_{0 \tau}(0,0)=$ $=(0,0-|\lambda(0)| \cdot 2 \pi /|\lambda(0)|, 0)=(0,-2 \pi, 0)$ (рис. 3.3). Так как поле $\widehat{X}$ периодично с периодом $2 \pi$, то оно $-C^{k-1}$-векторное поле на заполненном цилиндре, а орбита точки 0 замкнута. Мы можем связать с этой орбитой отображение Пуанкаре $P$ (рис. 3.4). Тогда существует окрестность $U=$ $=\{(r, 0, \mu) \mid r \in(-\varepsilon, \varepsilon)$ и $\mu \in(-\varepsilon, \varepsilon)\}$, такая, что определено отображение $\tilde{P}(r, 0, \mu)=(P(r, \mu),-2 \pi, \mu)$, где $P(r, \mu)-r$-координата первого пересечения орбиты, начинающейся в точке $(r, 0, \mu)$, с прямой $\theta=-2 \pi$. Это отображение класса $C^{k-1}$,

Рис. 3.3. Траектория точки $(0,0,0)$ под действием $\widetilde{\Phi}_{0 t}$.
Рис. 3.4.

Функция $T(r, \mu)$, которая задает время, когда $\tilde{\Phi}_{t}(r, 0, \mu)=$ $=\widetilde{P}(r, 0, \mu)$, также класса $C^{k-1}$. Заметим, что отображение $\psi$ переводит ось $r$ в ось $x_{1}$. Поэтому функция последования $\left(x_{1}, 0, \mu\right) \mapsto\left(x_{1}+V\left(x_{1}, \mu\right), 0, \mu\right)$ определена и класса $C^{k-1}$ в окрестности $U=\left\{\left(x_{1}, 0, \mu\right) \mid x_{1} \in(-\varepsilon, \varepsilon)\right.$ и $\left.\mu \in(-\varepsilon, \varepsilon)\right\}$. Точка $\left(x_{1}+V\left(x_{1}, \mu\right), 0, \mu\right)$ является первым пересечением орбиты точки $\left(x_{1}, 0, \mu\right)$ с осью $x_{1}$, причем такой, что знаки $x_{1}$ и $P\left(x_{1}, \mu\right)=x_{1}+V\left(x_{1}, \mu\right)$ одинаковы.
(3.6) Замечание. Используя равномерную непрерывность и $\theta$-периодичность $\widetilde{\Phi}_{t}$, нетрудно доказать существование окрестности $\tilde{N}=\left\{(r, \theta, \mu) \mid r^{2}+\mu^{2}<\delta\right\}$, в которой нет неподвижных точек $\bar{\Phi}_{t}$. Следовательно, неподвижными точками $\Phi_{t}$ в $N=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\mu^{2}<\delta\right\}$ являются только точки $(0,0, \mu)$.
(3.7) Лемма.
\[
\left.\frac{\partial P\left(x_{1}, \mu\right)}{\partial x_{1}}\right|_{(0, \mu)}=e^{2 \pi(\operatorname{Re} \lambda(\mu)) / \operatorname{Im} \lambda(\mu)} .
\]

Доказательство. Пусть $\Phi_{\mu t}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(a_{\mu t}\left(x_{1}, x_{2}\right)\right.$, $b_{\mu t}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ). Имеет место следующее уравнение:
\[
V\left(x_{1}, \mu\right)=P\left(x_{1}, \mu\right)-x_{1}=\int_{0}^{T\left(x_{1}, \mu\right)} \mu_{1 \mu}\left(a_{\mu t}\left(x_{1}, 0\right), b_{\mu t}\left(x_{1}, 0\right)\right) d t .
\]

Чтобы получить нужный результат, продифференцируем это уравнение по $x_{1}$ :
\[
\begin{array}{c}
\frac{V\left(x_{1}+\Delta x_{1}, \mu\right)-V\left(x_{1}, \mu\right)}{\Delta x_{1}}=\frac{1}{\Delta x_{1}}\left[\int _ { 0 } ^ { T ( x _ { 1 } + \Delta x _ { 1 } , \mu ) } X _ { 1 \mu } \left(a_{\mu t}\left(x_{1}+\Delta x_{1}, 0\right),\right.\right. \\
\left.\left.b_{\mu t}\left(x_{1}+\Delta x_{1}, 0\right)\right) d t-\int_{0}^{T\left(x_{1}, \mu\right)} X_{1 \mu}\left(a_{\mu t}\left(x_{1}, 0\right), b_{\mu t}\left(x_{1}, 0\right)\right) d t\right]= \\
=\int_{0}^{T\left(x_{1} \mu\right)} \frac{1}{\Delta x_{1}}\left[X_{1 \mu}\left(a_{\mu t}\left(x_{1}+\Delta x_{1}, 0\right), b_{\mu t}\left(x_{1}+\Delta x_{1}, 0\right)\right)-\right. \\
-X_{1 \mu}\left(a_{\mu t}\left(x_{1}, 0\right), b_{\mu t}\left(x_{1}, 0\right)\right) d t+\frac{1}{\Delta x_{1}} \times \\
\times \int_{T\left(x_{1}, \mu\right)}^{T\left(x_{1}+\Delta x_{1}, \mu\right)} \times X_{1 \mu}\left(a_{\mu t}\left(x_{1}+\Delta x_{1}, 0\right), b_{\mu t}\left(x_{1}+\Delta x_{1}, 0\right)\right) d t .
\end{array}
\]
Отсюда видно, что
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial V\left(x_{1}, \mu\right)}{\partial x_{1}} & =\int_{0}^{T\left(x_{1}, \mu\right)} \frac{\partial X_{1 \mu}}{\partial x_{1}}\left(a_{\mu t}\left(x_{1}, 0\right), b_{\mu t}\left(x_{1}, 0\right)\right) d t+ \\
& +\frac{\partial T\left(x_{1}, \mu\right)}{\partial x_{1}} X_{1 \mu}\left(a_{\mu T\left(x_{1}, \mu\right)}\left(x_{1}, 0\right), b_{\mu T\left(x_{1}, \mu\right)}\left(x_{1}, 0\right)\right) .
\end{aligned}
\]

В случае $x_{1}=0$ мы можем вычислить это выражение. Так как $a_{\mu t}(0,0)=b_{\mu t}(0,0)=0$ и $X_{1 \mu}(0,0)=0$, то второй член правой части равен нулю. Напомним, что $T(0, \mu)=$ $=2 \pi / \operatorname{Im} \lambda(\mu)$. По правилу дифференцирования сложной функции
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial X_{1 \mu}}{\partial x_{1}}\left(a_{\mu t}(0,0), b_{\mu t}(0,0)\right)=\frac{\partial X_{1 \mu}}{\partial a}(0,0) \frac{\partial a_{\mu t}}{\partial x_{1}}(0,0)+ \\
+\frac{\partial X_{1 \mu}}{\partial b} \frac{\partial b_{\mu t}}{\partial x_{1}}(0,0) .
\end{array}
\]

Так как $\frac{\partial X_{1 \mu}}{\partial a}(0,0)=\operatorname{Re} \lambda(\mu)$ и $\frac{\partial X_{1 \mu}}{\partial b}(0,0)=\operatorname{Im} \lambda(\mu)$, а $(0,0)-$ особая точка $\Phi_{\mu t}$, то мы можем вычислить производные от потока
\[
\begin{aligned}
d \Phi_{\mu t}(0,0) & =\exp \left[t d X_{\mu}(0,0)\right]=\exp \left[t\left(\begin{array}{rr}
\operatorname{Re} \lambda(\mu) & \operatorname{Im} \lambda(\mu) \\
-\operatorname{Im} \lambda(\mu) & \operatorname{Re} \lambda(\mu)
\end{array}\right)\right]= \\
& =\left(\begin{array}{rr}
e^{t \operatorname{Re} \lambda(\mu)} \cos \operatorname{Im} \lambda(\mu) t & e^{t \operatorname{Re} \lambda(\mu)} \sin \operatorname{Im} \lambda(\mu) t \\
-e^{t \operatorname{Re} \lambda(\mu)} \sin \operatorname{Im} \lambda(\mu) t & e^{t \operatorname{Re} \lambda(\mu)} \cos \operatorname{Im} \lambda(\mu) t
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому
\[
\frac{\partial a_{\mu t}}{\partial x_{1}}(0,0)=e^{t \operatorname{Re} \lambda(\mu)} \cos \operatorname{Im} \lambda(\mu) t
\]
и.
\[
\frac{\partial b_{\mu t}}{\partial x_{1}}(0,0)=-e^{t \operatorname{Re} \lambda(\mu) t} \sin \operatorname{Im} \lambda(\mu) t .
\]

Отсюда
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0, \mu) & =\int_{0}^{2 \pi / \operatorname{Im} \lambda(\mu)} e^{t \operatorname{Re} \lambda(\mu)}(\operatorname{Re} \lambda(\mu) \cos \operatorname{Im} \lambda(\mu) t- \\
& -\operatorname{Im} \lambda(\mu) \sin \operatorname{Im} \lambda(\mu) t) d t=e^{2 \pi(\operatorname{Re} \lambda(\mu)) / \operatorname{Im} \lambda(\mu)}-1 .
\end{aligned}
\]

Шаг 4. Использование теоремы о неявной функции для нахождения замкнутых орбит

Наиболее очевидный путь отыскания замкнутых орбит потока $\Phi_{t}$-это нахождение нулей функции $V$. Так как $V(0,0)=0$, то если бы $\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0,0)$ или $\frac{\partial V}{\partial \mu}(0,0)$ не были бы равны нулю, условия теоремы о неявной функции были бы выполнены и мы могли бы получить кривую вида $\left(x_{1}(\mu), \mu\right)$ или $\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)$, на которой $V=0$. $\mathrm{K}$ сожалению, $\frac{\partial V}{\partial \mu}(0,0)=0=\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0,0)$. Воспользуемся вместо $V$ функцией
\[
\widetilde{V}\left(x_{1}, \mu\right)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{V\left(x_{1}, \mu\right)}{x_{1}}, & x_{1}
eq 0, \\
\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0, \mu), & x_{1}=0 .
\end{array}\right.
\]
(3.8) Лемма. $
abla$ принадлежит классу $C^{k-2}$.

Доказательство. Напомним, что $V$ класса $C^{k-1}$. Так как $V(0, \mu)=0$, то
\[
\begin{array}{c}
V\left(x_{1}, \mu\right)=\int_{0}^{1} \frac{\partial V}{\partial x_{1}}\left(t x_{1}, \mu\right) x_{1} d t, \\
\frac{V\left(x_{1}, \mu\right)}{x_{1}}=\int_{0}^{1} \frac{\partial V}{\partial x_{1}}\left(t x_{1}, \mu\right) d t, \quad x_{1}
eq 0 .
\end{array}
\]

Последний интеграл, как нетрудно видеть, есть функция класса $C^{k-2}$.
(3.9). Лемма. $\tilde{V}(0,0)=0, \frac{\partial \widetilde{V}}{\partial \mu}(0,0)
eq 0$. Поэтому существуют окрестности $N_{1}$ и $N_{2}$ точки 0 и единственная функция $\mu: N_{1} \rightarrow N_{2}$, для которой $\mu(0)=0 u V\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)=0$.
Доказательство. Так как $\operatorname{Re} \lambda(0)=0$, то
\[
\begin{array}{c}
\tilde{V}(0,0)=\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0,0)=e^{2 \pi(\operatorname{Re} \lambda(0)) / \operatorname{Im} \lambda(0)}-1=0, \\
\frac{\partial \tilde{V}}{\partial \mu}(0,0)=\lim _{\mu \rightarrow 0} \frac{\tilde{V}(0, \mu)-\tilde{V}(0,0)}{\mu}=\lim _{\mu \rightarrow 0} \frac{1}{\mu}\left[\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0, \mu)-\right. \\
\left.-\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0,0)\right]=\frac{\partial^{2} V}{\partial \mu \partial x_{1}}(0,0)=\left.\frac{d}{d \mu}\left[e^{2 \pi(\operatorname{Re} \lambda(\mu)) / \operatorname{Im} \lambda(\mu)}-1\right]\right|_{\mu=0}= \\
=\left.\frac{2 \pi}{\operatorname{Im} \lambda(0)} \frac{d(\operatorname{Re} \lambda(\mu))}{d \mu}\right|_{\mu=0}
eq 0 .
\end{array}
\]
(Отметим, что это как раз то место, где используется предположение о ненулевой скорости пересечения мнимой оси собственными значениями.) Остальная часть леммы легко следует из теоремы о неявной функции.

Шаг 5. Условия устойчивости. Соберем теперь результаты, относящиеся к производным от $\mu$ и $V$ в нуле.
(3.10) Лемма. $\mu^{\prime}(0)=0$.

Доказательство. В силу способа, которым выбиралась область определения $V$, мы знаем, что если $V\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)=0$, то орбита, проходящая через $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right)$, пересекает ось $x_{1}$ в точке $\left(\hat{x}_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right.$ ), где $x_{1}$ и $\hat{x}_{1}$ имеют противоположные знаки (в полярных координатах это соответствует тому, что орбита точки $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right.$ ) пересекает прямую $\theta=-\pi$ при $x=\hat{x}_{1}$ ). Выберем последовательность точек $x_{n} \downarrow 0$. Тогда для каждой точки $x_{n}$ существует $y_{n}$, такое, что $y_{n}<0$ и $\mu\left(x_{n}\right)=$ $=\mu\left(y_{n}\right)$. Из непрерывности Ф следует, что $y_{n} \rightarrow 0$ (поскольку $T\left(x_{1}, \mu\right)$ ограничена в окрестности точки $(0,0)$, а $\Phi$ равномерно непрерывно на ограниченных множествах). Следовательно, так как $\mu(0)=0$ и $\mu\left(x_{n}\right) / x_{n}$ имеет знак, противоположный знаку $\mu\left(y_{n}\right) / y_{n}$, то $\mu^{\prime}(0)=0$.
(3.11) Лемма. $V(0,0)=\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0,0)=\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1}^{2}}(0,0)=0$.
Доказательство. Мы уже знаем, что $V(0,0)=\frac{\partial V}{\partial x_{1}}(0,0)=$ $=0$. Чтобы доказать, что $\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1}^{2}}(0,0)=0$, продифференцируем уравнение $V\left(x, \mu\left(x_{1}\right)\right)=0$. Тогда
\[
\left.\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}+\left.\frac{\partial V}{\partial \mu}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)} \cdot \mu^{\prime}\left(x_{1}\right)=0
\]

и
\[
\begin{array}{l}
{\left[\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1}^{2}}+2 \frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1} \partial \mu} \mu^{\prime}\left(x_{1}\right)+\frac{\partial^{2} V}{\partial \mu^{2}}\left(\mu^{\prime}\left(x_{1}\right)\right)^{2}+\right.} \\
\left.+\frac{\partial V}{\partial \mu} \cdot \mu^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)\right]\left.\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}=0 .
\end{array}
\]

Если $x_{1}=0$, то $\mu^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$, и мы получаем равенство $\left.\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1}^{2}}\right|_{(0,0)}=0$.
(3.12) Определение. $(0,0)$ называется слабым аттрактором поля $X_{0}$, если $\left.\frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)<0^{1}\right)$.
(3.13) Лемма. Если $(0,0)$ – слабый аттрактор поля $X_{0}$, то орбиты, проходящие через точку $\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)$, являются устойчивыми и $\mu\left(x_{1}\right)>0$ для малых $x_{1}
eq 0^{2}$ ).
1) Это условие в каждом конкретном случае может быть проверено; см. гл. 4.
2) Формулировка этого предложения не является наиболее общей. Обобщение см. в гл. ЗВ.

Доказательство. Чтобы показать, что $\mu\left(x_{1}\right)>0$ для малых $x_{1}
eq 0$, мы докажем неравенство $\mu^{\prime \prime}(0)>0$. Так как $\mu(0)=\mu^{\prime}(0)=0$, отсюда следует, что $\mu$ имеет локальный минимум в точке $x_{1}=0$. Дифференцируем уравнение $V\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)=0$. Делая это трехкратно и проводя вычисления при $x_{1}=0$, мы получаем
\[
\mu^{\prime \prime}(0)=\frac{-\frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)}{3 \frac{\partial^{2} V}{\partial \mu \partial x_{1}}(0,0)} .
\]

Напомним, что $\frac{\partial^{2} V}{\partial \mu \partial x_{\mathrm{I}}}(0,0)=\left.\frac{2 \pi}{\operatorname{Im} \lambda(0)} \frac{d \operatorname{Re} \lambda(\mu)}{d \mu}\right|_{\mu=0}>0$. Поэтому $\mu^{\prime \prime}(0)>0$. Чтобы показать устойчивость замкнутой орбиты, проходящей через $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right.$ ), мы должны показать, что собственные значения производной отображения Пуанкаре, связанного с этой орбитой, меньше единицы по абсолютной величине (см. гл. 2В). Ясно, что отображением Пуанкаре, связанным с орбитой точки $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right)$, является $P_{\mu\left(x_{1}\right)}\left(x_{1}^{\prime}\right)=P\left(x_{1}^{\prime}, \mu\left(x_{1}\right)\right)$. Производная $P_{\mu}\left(x_{1}\right)$ в точке $x_{1}$ равна $\left.\frac{\partial P}{\partial x_{1}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}$. Так как $\left.\frac{\partial P}{\partial x_{1}}\right|_{(0,0)}=1$, то существует окрестность точки $(0,0)$, в которой $\frac{\partial P}{\partial x_{1}}>-1$. Таким образом, нам необходимо только показать, что для $x_{1}
eq 0$
\[
\left.\frac{\partial P}{\partial x_{1}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}<1 \text {, т.e. }\left.\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}<0 .
\]

Докажем, что функция $f\left(x_{1}\right)=\left.\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}$ имеет локальный минимум в точке $x_{1}=0$. Қак мы уже знаем,
\[
\begin{aligned}
f(0)=\left.\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right|_{(0,0)}=0 . \quad f^{\prime}\left(x_{1}\right)=\left.\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1}^{2}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)} & + \\
& +\left.\mu^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot \frac{\partial^{2} V}{\partial \mu \partial x_{1}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, $f^{\prime}(0)=0 ; f^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)=\left.\frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1}^{3}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}+$
\[
\begin{aligned}
\left.+2 \mu^{\prime} x_{1}\right)\left.\frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1}^{2} \partial \mu}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}+\left[\mu^{\prime}\left(x_{1}\right)\right]^{2} & \left.\frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1} \partial \mu^{2}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}+ \\
& +\left.\mu^{\prime \prime}\left(x_{1}\right) \frac{\partial^{2} V}{\partial \mu \partial x_{1}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{i}\right)\right)} .
\end{aligned}
\]

Поэтому
\[
\begin{aligned}
f^{\prime \prime}(0) & =\frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)+\mu^{\prime \prime}(0) \frac{\partial^{2} V}{\partial \mu \partial x_{1}}(0,0)= \\
& =\frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)-\frac{\partial^{2} V}{\partial \mu \partial x_{1}}(0,0) \frac{\frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)}{3 \frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1} \partial \mu}(0,0)}=\frac{2}{3} \frac{\partial^{3} V}{\partial x_{1}^{3}}(0,0)<0 .
\end{aligned}
\]

Следовательно, $f\left(x_{1}\right)$ имеет локальный максимум в точке $x_{1}=0$, и орбиты устойчивы.
Шаг 6. Единственность замкнутых орбит.
(3.14) Лемма. Существует окрестность $N$ точки $(0,0,0)$, такая, что любая замкнутая орбита потока $X$ в $N$ проходит через одну из точек вида ( $\left.x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right)$.

Доказательство. Существует окрестность $N_{\varepsilon}$ точки $(0,0,0)$, такая, что если $\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \in N_{\varepsilon}$, то орбита потока $\Phi_{t}$, проходящая через точку $\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)$, пересекает ось $x_{1}$ в точке $\left(\hat{x}_{1}, 0, \mu\right)$, где $\left|\hat{x}_{1}\right|<\varepsilon$. Это доказывается теми же рассуждениями, которые были использованы для доказательства существования функции $P\left(x_{1}, \mu\right)$. Выберем $N=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \mid\left(x_{1}, \mu\right)\right.$. принадлежит области определения $P,\left.\quad \frac{\partial P}{\partial x_{1}}\right|_{(x ; \mu)}>0$ и $\left.T\left(x_{1}, \mu\right)>\varepsilon>0\right\}$, и $\mu$ столь малым, чтобы $V\left(x_{1}, \mu\right)=0$ для $\mu \in N$ тогда и только тогда, когда $\mu=\mu\left(x_{1}\right)$. Предположим, что $\left(x_{1}, 0, \mu\right) \in N$ и лежит на замкнутой орбите $\gamma$ потока $\Phi_{t}$. Если $V\left(x_{1}, \mu\right)=0$, то $\mu=\mu\left(x_{1}\right)$, т. е. утверждение леммы выполняется. Допустим, что $V\left(x_{1}, \mu\right)
eq 0$. Тогда $P\left(x_{1}, \mu\right)>x_{1} \times$ $X\left(P\left(x_{1}, \mu\right)<x_{1}\right)$. Так как $\gamma \subseteq N$, то $P^{n}\left(x_{1}, \mu\right)$ определено для всех $n \geqslant 0$. Далее, $P^{n}\left(x_{1}, \mu\right)-P^{n-1}\left(x_{1}, \mu\right)=\frac{\partial P}{\partial x_{1}}(\xi, \mu) \cdot\left(P^{n-1}\left(x_{1}, \mu\right)-P^{n-2}\left(x_{1}, \mu\right)\right)$. Таким образом, $P^{n}\left(x_{1}, \mu\right)-P^{n-1}\left(x_{1}, \mu\right)$ имеет тот же знак, что и $P^{n-1}\left(x_{1}, \mu\right)-P^{n-2}\left(x_{1}, \mu\right)$. По индукции
\[
P^{n}\left(x_{1}, \mu\right)>P^{n-1}\left(x_{1}, \mu\right)\left(P^{n}\left(x_{1}, \mu\right)<P^{n-1}\left(x_{1}, \mu\right)\right)
\]

для всех $n$. Для $T\left(x_{1}, \mu\right)$ существует ненулевая нижняя грань при $\left(x_{1}, 0, \mu\right) \in N$; отсюда следует, что $\left(x_{1}, 0, \mu\right)$ не лежит на замкнутой орбите потока $\Phi_{t}$.
Теорема Хопфа в $R^{n}$
Теперь рассмотрим $n$-мерный случай. Мы будем ссылаться на теорему 3.1.

(3.15) Теорема. Пусть $X_{\mu}$-векторное поле на $\mathbb{R}^{n}$ класса $C^{k+1}, k \geqslant 4$, которое удовлетворяет всем предположениям теоремы 3.1, за исключением того, что будем считать оставшуюся часть спектра отличной от двух уже рассматривавшихся простых собственных значений $\lambda(\mu), \overline{\lambda(\mu)}$. Тогда выполняется заключение ( $A$ ). Заключение ( $B$ ) верно, если остаток спектра остается в левой полуплоскости, когда $\mu$ проходит через нуль. Заключение (C) верно, если относительно $\lambda(\mu), \overline{\lambda(\mu)}$ точка 0 является «слабым аттрактором» в том же смысле, как и в теореме 3.1, и если координаты выбраны так, что
\[
d X_{0}(0)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & |\lambda(0)| & d_{3} X^{1}(0) \\
-|\lambda(0)| & 0 & d_{3} X^{2}(0) \\
0 & 0 & d_{3} X^{3}(0)
\end{array}\right), \quad \lambda(0)
otin \sigma\left(d_{3} X^{3}(0)\right) .
\]
(3.16) Замечания
(1) Условие $\lambda(0)
otin \sigma\left(d_{3} X^{3}(0)\right)$ не зависит от способа разложения $\mathbb{R}^{n}$ на пространство, соответствующее $\lambda(0), \overline{\lambda(0)}$, и на его дополнение, поскольку выбор различных дополнительных подпространств, как нетрудно видеть, приводит только к замене $d_{3} X^{3}(0)$ сопряженным оператором $C d_{3} X^{3}(0) C^{-1}$.
(2) Условие $\lambda(0)
otin \sigma^{\prime}\left(d_{3} X^{3}(0)\right)$ выполняется автоматически, если $n=3$, так как матрица $d X_{0}(0)$ действительна.
(3) Дальнейшие детали, касающиеся этой теоремы, будут даны в гл. 4.

Доказательство теоремы 3.15 получается комбинацией теоремы о центральном многообразии с теоремой 3.1, т. е. мы находим центральное многообразие, касательное к собственному подпространству $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, и к нему применяем теорему 3.1. Важное отличие состоит в том, что в пункте (В) теоремы 3.1 мы утверждали устойчивость замкнутой орбиты на центральном многообразии. Здесь же в (B) мы утверждаем устойчивость замкнутой орбиты в полной окрестности в $\mathbb{R}^{n}$. Дело в том, что мы можем свести нашу задачу к той, в которой центральным многообразием является плоскость ( $\left.x_{1}, x_{2}\right)$, причем последняя инвариантна относительно потока. Если $(x, 0, \mu)$ лежит на замкнутой орбите периода $\tau$, то
\[
d \Phi_{\tau, \mu}(x)=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & d_{3} \Phi_{\tau}^{1}(x) \\
a_{21} & a_{22} & d_{3} \Phi_{\tau}^{2}(x) \\
0 & 0 & d_{3} \Phi_{\tau}^{3}(x)
\end{array}\right) .
\]

Из двумерной теоремы мы получим, что спектр верхнего блока на трансверсали к замкнутой орбите лежит в $\{z|| z \mid<$ $<1\}$, а наши предположения плюс непрерывная зависимость спектра от параметра дают то же самое для $\sigma\left(d_{3} \Phi_{\tau}^{3}(x)\right)$. Так как спектр отображения Пуанкаре равен спектру отображения $d \Phi_{\tau, \mu}(x)$, ограниченного на подпространство трансверсальное к замкнутой орбите, то $\sigma(d P(x)) \subset\{z|| z \mid<1\}$ и орбита устойчива.
(3.17) Упражнение Показать, что векторное поле $X_{\mu}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{2}, \mu\left(1-x_{1}^{2}\right) x_{2}-x_{1}\right)$ удовлетворяет условиям теоремы 3.1.
(3.18) Упражнение. Ниже все уравнения даны в полярных координатах. Для каждого уравнения указать соответствующую ему картинку и установить, какое из предположений теоремы о рождении цикла нарушено (если задачу решить не удастся, попробуйте вернуться к ней после чтения гл. ЗА).
\[
\text { 1. } \begin{aligned}
\dot{r} & =-r(r+\mu)^{2}, \\
\dot{\theta} & =1 .
\end{aligned}
\]
\[
\text { 2. } \begin{aligned}
\dot{r} & =r\left(\mu-r^{2}\right)\left(2 \mu-r^{2}\right)^{2}, \\
\dot{\theta} & =1 .
\end{aligned}
\]
3. $\dot{r}=r(r+\mu)(r-\mu)$,
\[
\begin{array}{l}
\text { 4. } \dot{r}=\mu r(r+\mu)^{2} \text {, } \\
\dot{\theta}=1 \text {. } \\
\dot{\theta}=1 \text {. } \\
\end{array}
\]
\[
\text { 5. } \begin{aligned}
\dot{r} & =-\mu^{2} r(r+\mu)^{2}(r-\mu)^{2}, \\
\dot{\theta} & =1 .
\end{aligned}
\]