В этой главе приведены некоторые технические результаты, полезные для доказательства бифуркационных теорем. Мы начнем с общих свойств потоков и полупотоков (三 нелинейных групп и нелинейных полугрупп), следуя работам Чернова и Марсдена $[1,2]$. Сюда включены различные важные свойства непрерывности и гладкости. Затем, следуя Дорро и Марсдену [1], мы сформулируем основной критерий, позволяющий узнать, когда полупоток состоит из гладких отображений.

Потоки и полупотоки
(8A.1) Определения. Пусть имеется множество $D$. Поток на $D$ – это семейство отображений $F_{t}: D \rightarrow D$, определенных при всех $t \in \mathbb{R}$ и таких, что:
(1) $F_{0}$ – тождественное отображение;
(2) $F_{t+s}=F_{t} \circ F_{s}$ для всех $t, s \in \mathbb{R}$.

Отметим, что при фиксированном $t$ отображение $F_{t}$ взаимно однозначно и отображает на все $D$, так как $F_{-t: \circ} F_{t}=$ id и $F_{t} \circ F_{-t}=$ id, r. e. $F_{t}^{-1}=F_{-t}$.

Полупоток на $D$ – это семейство отображений $F_{t}: D \rightarrow D$, определенных при $t \geqslant 0$ и также удовлетворяющих условиям (1) и (2) для $t, s \geqslant 0$.

Предостережение: полупоток не обязательно состоит из биекций $\left.{ }^{1}\right)$.
(8A.2) Определение. Пусть $N$-топологическое пространство и $D \subset N$.

Локальный поток на $D$ – это отображение $F: \mathscr{D} \rightarrow D, \mathscr{D} \subset$ $\subset \mathbb{R} \times D$, где $\mathscr{D}$ открыто в топологии произведения и такое, что для $x \in D$ точка $(0, x) \in \mathscr{D}$, а если $\mathscr{D}_{t}=\{x \in D \mid(t, x) \in$ $\in \mathscr{D}\}$, так что можно определить $F_{t}: \mathscr{D}_{t} \rightarrow D$, то $F_{t}$ удовлет-
1) Биекция – взаимно-однозначное отображение множества $D$ на множество D. – Прим. перев.

воряет условиям (1) и (2) для тех значений $t$, где оно определено. Поток максимальный, если из $(t, x) \in \mathscr{D},\left(s, F_{t}(x)\right) \in$ $\in \mathscr{D}$ следует $(s+t, x) \in \mathscr{D}$. Аналогично определяется локальный полупоток и максимальный полупоток.

Пусть теперь $N$ – банахово многообразие. Векторное поле $c$ областью определения $D$ – это отображение $X: D \rightarrow$ $\rightarrow T(N)$, такое, что $X(x) \in T_{x}(N)$ при всех $x \in D .\left(T_{x}(N)-\right.$ касательное пространство к $N$ в точке $x \in D \subset N$.) Интегральная кривая поля $X$ – это кривая $c:(a, b) \rightarrow D,(a, \beta) \subset$ $\subset \mathbb{R}$, причем $c$ дифференцируемо как отображение из $(a, b)$ в $N$ и $c^{\prime}(t)=X(c(t))$. Поток (соответственно полупоток, локальный поток) поля $X$ – это поток (соответственно полупоток, локальный поток) на $D$, такой, что для всех $x \in D$ отображение $t \longmapsto F_{t}(x)$ есть интегральная кривая поля $X$.

Если $F_{t}$ – поток на $N$, для которого отображение $F: \dot{R} \times$ $X N \rightarrow N$, задаваемое как $(t, x) \mapsto F_{t}(x)$, класса $C^{0}$, то мы будем говорить, что $F$ есть $C^{0}$-поток на $N$.

Если $F_{t}$ – поток поля $X$ и $F_{t}$ продолжается до непрерывного отображения $F_{t}: N \rightarrow N^{1}$ ), а продолжение является $C^{0}$-потоком на $N$, то мы будем говорить, что $F_{t}$ есть $C^{0}$-поток поля $X$.

Если $F_{t}$ является $C^{0}$-потоком на $N$ и при каждом фиксированном $t$ отображение $F_{t}: N \rightarrow N$ класса $C^{k}$ (соответственно $T^{k}$ ), то скажем, что $F_{t}$ – поток класса $C^{k}$ (соответственно $\left.T^{k}\right)$.

Здесь принадлежность $F_{t}: N \rightarrow N$ классу $T^{k}$ означает, что $j$-е касательное отображение $T^{\prime} F_{t}: T^{\prime}(N) \rightarrow T^{j}(N)$ существует и непрерывно для $j \leqslant k$; принадлежность $F_{t}: N \rightarrow N$ классу $C^{k}$ означает, что в каждой карте отображение $x \rightarrow d_{x}^{l} F, j \leqslant$ $\leqslant k$ непрерывно в топологии, порожденной нормой ( $d_{x}^{j} F$ есть $j$-я полная производная $F$ в точке $x$. Это $j$-линейное отображение на пространстве, являющемся моделью ${ }^{2}$ ) для $N$.) Случай $T^{k}$ отличается от $C^{k}$-случая тем, что непрерывность по норме заменяется сильной непрерывностью.

Предостережение. Здесь не предполагается, что $C^{k}$-поток будет класса $C^{k}$ по переменной $t$, а только по переменной $x$. Поток будет класса $C^{k}$ по переменной $t$, только если он порожден гладким всюду определенным векторным полем (см., однако, теорему Бохнера-Монтгомери, приведенную ниже).
1) Конечно, при каждом $t \in \mathbb{R}$. – Прим. перев.
2) Для связного банахова многообразия это пространство, изоморфное касательному пространству в некоторой (а следовательно, и в любой) точке (см. Ленг [1]).- Прим. первв.

Раздельная и совместная непрерывность
(8А.3) Теорема (Чернов и Марсден [2]). Пусть $N$ – банахово многообразие, $F_{t}$ – поток (или локальный поток) на $N$, и пусть $F$ по отдельности непрерывно по х и $t$ (т.е. $t \longmapsto F_{t}(x)$ при фиксированном $t$ ). Тогда $F_{t}$ является $C^{0}$-потоком, т. е. $F_{t}$ совместно непрерывно.
Для доказательства воспользуемся следующей леммой.
(8А.4) Лемма. (Бурбаки [1], гл. IX, § 5, упр. 236, стр. 125, Шоке [1], т. 1, стр. 127.) Пусть E- пространство Бэра, а F, $G$ – метрические пространства. Допустим, что отображение $\varphi: E \times F \rightarrow G$ раздельно непрерывно. Тогда для любого $f \in F$ существует плотное множество $S_{f} \subseteq E$, такое, что дополнение к нему является множеством первой категории и такое, что если $е \in \mathcal{S}_{f}$, то ч непрерывно в точке $(e, f)$.

Доказательство теоремы (8А.3). Так как это локальная теорема, мы можем работать в одной карте. Поэтому мы предположим, что $N$ – банахово пространство и $F_{t}$ – локальный поток на $N$. Положим $E=\mathbb{R}, F=G=N$. Пусть $x \in U \subset N, t \in(-\varepsilon, \varepsilon)$. Существует плотное множество $t_{x} \in$ $E(-\varepsilon, \varepsilon)$, такое, что $F$ непрерывно в точке $\left(t_{x}, x\right)$. Так как область определения $F$ предполагается открытой в $\mathbb{R} \times N$, мы можем выбрать $t_{x}$ столь близким к $t$, чтобы были определены все нужные композиции. Пусть $t_{n} \rightarrow t, x_{n} \rightarrow x$; запишем $F_{t_{n}}\left(x_{n}\right)=F_{t-t_{x}} \circ F_{t_{x}+t_{n}-t}\left(x_{n}\right)$. Так как $t_{x}+t_{n}-t \rightarrow t_{x}$, а $F$ непрерывно в точках $\left(t_{x}, x\right)$, то $F_{t_{x}+t_{n}-t}\left(x_{n}\right)=y_{n} \rightarrow F_{t_{x}}(x)$. При фиксированном $t$ отображение $x \mapsto F_{t}(x)$ непрерывно, поэтому получаем, что $F_{t_{n}}\left(x_{n}\right)=F_{t-t_{x}}\left(y_{n}\right) \rightarrow F_{t-t_{x}}\left(F_{t_{x}}(x)\right)=$ $=F_{t}(x)$.
(8А.5) Замечания. 1) Пусть $G$ – топологическая группа, которая также является пространством Бэра. Пусть $Ф: G X$ $\times N \rightarrow N$ – раздельно непрерывное действие группы $G$ на метрическом пространстве $N$. Тогда вышеприведенные рассуждения показывают, что Ф совместно непрерывно.
2) Допустим, что $D \subseteq N$ и плотно в $N$, а $F_{t}$ – поток на $D$, который продолжается по непрерывности до потока на $N$, так что отображение $t \mapsto F_{t}(x)$ непрерывно при каждом $x \in$ $\in D$. Тогда то же самое верно для каждого $x \in N$, и продолженный поток – класса $C^{0}$. Действительно, пусть $x_{n} \rightarrow x$, где $x_{n} \in D$, а $x \in N$. Тогда при фиксированном $t F_{t}\left(x_{n}\right) \rightarrow F_{t}(x)$, поэтому отображение $t \longmapsto F_{t}(x)$ является поточечным пределом непрерывных функций. Следовательно, для каждого $x \in$

$\in N$ существует множество второй категории $S_{x} \subseteq \mathbb{R}$, такое, что если $t \in S_{x}$, то отображение $t \longmapsto F_{t}(x)$ непрерывно. Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 8A.3, показывают, что $S_{x}=\mathbb{R}$ при всех $x \in N$.
3) Многие из этих результатов можно обобщить на случай, когда $N$ не является локально метризуемым; например, многообразие, моделированное топологическим векторным пространством (пример: многообразие, моделированное банаховым пространством со слабой топологией – «слабое многообразие»). См. Болл [1].
4) Те же рассуждения работают и для полупотоков, по крайней мере для $t>0$. Если $N$ локально компактно, то совместная непрерывность также имеется при $t=0$ (Дорро [1]; можно, однако, дать и непосредственное доказательство). В общем случае, однако, совместная непрерывность может нарушаться при $t=0$, поэтому ее необходимо постулировать.

Используя эти методы, мы можем получить интересный результат по $t$-непрерывности производной дифференцируемого потока.
(8А.6) Теорема. Пусть $N$ – банахово многообразие и $F_{t}-$ поток (или локальный поток или полупоток) на $N$ класса $C^{0}$. Пусть $F_{t}$ также класса $T^{k}$ для $k \geqslant 1$. Тогда для каждого $j \leqslant$ $\leqslant k T^{\prime} F_{t}: T^{j}(N) \rightarrow T^{j}(N)$ совместно непрерывно при $t \in \mathbb{R} u$ $x \in T^{j}(N)$ (для полупотоков – только при $t>0$ ).

Доказательство. Используя индукцию и теорему 8A.3, мы немедленно сводим задачу к случаю $k=1$. Также можно считать, что мы работаем в одной карте. Поэтому $T F_{t}(x, v)=$ $=\left(F_{t}(x), D_{x} F_{t}(x) \cdot v\right)$. По предположению это отображение непрерывно по $x$, поэтому нам необходимо только показать его непрерывность по $t$. Ясно, однако, что
\[
D_{x} F_{t}(x) \cdot v=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(F_{t}\left(x+\frac{v}{n}\right)-F_{t}(x)\right) .
\]

Таким образом, отображение $t \longmapsto D_{x} F_{t}(x) \cdot v$ является поточечным пределом непрерывных отображений и поэтому имеет плотное множество точек $t$-непрерывности. Остальная часть доказательства делается так же, как в замечании 2 п. 8A.5.

Обобщенная теорема Бохнера – Монтгомери
Для простоты нижеследующий результат мы приведем для случая плоских многообразий. Он, однако, верен для общих многообразий $M$, что можно увидеть, работая в локальной карте.

(8А.7) Теорема (Чернов и Марсден). Пусть $F_{t}$ – совместно непрерывный поток на банаховом пространстве $\mathbb{E}$. Допустим, что для каждого $t F_{t}$ является $C^{k}$-отображением, $k \geqslant 1$. Предположим также, что для каждого $x \in \mathbb{E}\left\|D F_{t}(x)-I\right\| \rightarrow$ $\rightarrow 0$ при $t \rightarrow 0$, где $\|\cdot\|$ – норма оператора. Тогда $F_{t}(x)$ класса $C^{k}$ совместно по $t$ и $x$. Более того, поле $X$, порождающее поток, является всюду определенным векторным полем на $\mathbb{E}$ класса $C^{k-1}$.

Доказательство. При сформулированных предположениях мы можем показать, что $D F_{t}(x)$ совместно непрерывно как отображение из $\mathbb{R} X \mathbb{E}$ в $\mathscr{L}(\mathbb{E}, \mathbb{E}) ;$ последнее означает множество всех линейных ограниченных отображений $\mathbb{E}$ в $\mathbb{E}$ с топологией, порожденной нормой. Если мы обозначим $D F_{t}(x)$ через $\varphi(t, x)$, то по правилу дифференцирования сложной функции получим соотношение
\[
\varphi(s+t, x)=\varphi\left(s, F_{t}(x)\right) \cdot \varphi(t, x) .
\]

По предположению $\varphi$ непрерывна по каждому аргументу; тогда мы можем применить, как в теореме (8A.3), свойство Бэра, что вместе с тождеством (8А.1) приводит к совместной непрерывности.

Пусть теперь $\varphi(t)-C^{\infty}$-функция на $R$ с компактным носителем. Определим $J_{\varphi}: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{E}$ формулой
\[
J_{\varphi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(t) F_{t}(x) d t .
\]

В силу совместной непрерывности мы можем продифференцировать под знаком интеграла в (8A.2) и, таким образом, получить
\[
D J_{\varphi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(t) D F_{t}(x) d t .
\]

Теперь, если $\varphi$ близко к $\delta$-функции, то величина $\| D J_{\varphi}(x)$ – I\| мала; в частности, $D J_{\varphi}(x)$ обратимо. Из теоремы об обратной функции следует, что $J_{\varphi}$ – локальный $C^{k}$-диффеоморфизм. Кроме того,
\[
J_{\varphi}\left(F_{t}(x)\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(s) F_{s+t}(x) d s=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(s-t) F_{s}(x) d s .
\]

Последнее выражение дифференцируемо по $t$ и $x$. Так как $J_{\varphi}$ – локальный $C^{k}$-диффеоморфизм, то $F_{t}(x)$ класса $C^{k}$ совместно по обеим переменным для $t$, близких к 0 . Но тогда групповое свойство потока показывает, что это верно для вcex $t$.
(8А.8) Замечания. 1) Полученный выше результат является нелинейным обобщением хорошо известного в линейной теории факта, состоящего в том, что непрерывная по норме линейная полугруппа имеет ограниченный производящий оператор (и, следовательно, определена для всех $t \in \mathbb{R}$, а не только для $t \geqslant 0$ ).

Те же самые рассуждения, что и выше, применимы к полупотокам и локальным потокам. Отсюда вытекает забавное следствие, что полупоток класса $C^{k}$, производная которого непрерывна по норме относительно $t$ при $t=0$, имеет интегральные кривые, которые можно локально равномерно продолжить назад по времени (так как соответствующее векторное поле класса $C^{k-1}$ ). Это очень важно в сочетании со следующим замечанием.
2) Если $\mathbb{E}$ конечномерно, то сходимость по норме $D F_{t}(x)$ к $I$ следует автоматически из предположений гладкости. Действительно, из теоремы (8А.6) следует, что $D F_{t}(x) \rightarrow I$ в сильной операторной топологии, т. е. $D F_{t}(x) v \rightarrow v$ для любого $v$, но для конечномерного пространства это то же самое, что сходимость по норме.

В соответствии с этим, если $M$ – конечномерное многообразие, то поток на $M$, который совместно непрерывен и класса $C^{k}$ по пространственной переменной, совместно класса $C^{k}$. Последнее является классическим результатом Монтгомери. Существует обобщение, принадлежащее Бохнеру и Монтгомери [1], для действия конечномерных групп Ли. Это обобщение можно также получить методами, использованными при доказательстве теоремы (8A.7) (см. Чернов и Марсден [2]).

Теперь объединим замечания (8A.8) в виде полезного следствия.
(8А.9) Следствие. Пусть $F_{t}$ – локальный $C^{k}$-полупоток на банаховом многообразии $N$. Предположим, что $F_{t}$ оставляет инвариантным конечномерное подмногообразие $M \subset N$. Тогда на $M$ полупоток $F_{t}$ локально обратим, класса $C^{k}$ совместно по $t$ и и порожден $C^{k-1}$-векторным полем на $M$.

Другой заслуживающий упоминания факт – это результат Дорро [1]. Именно, в условиях теоремы (8A.7) $F_{t}$ в действительности локально сопряжено с потоком, имеющим образующую класса $C^{k}$ (а не только $C^{k-1}$ ).

Липшиц-непрерывные потоки
(8А.10) Определения. Пусть $F_{t}$ – поток (или полупоток) на метрическом пространстве $N$, например на банаховом многообразии. Мы скажем, что $F_{t}$ липшиц-непрерывен, если для каждого $t$ существует постоянная $M_{t}$, при которой
\[
d\left(F_{t} x, F_{t} y\right) \leqslant M_{t} \cdot d(x, y), \quad \forall x, y \in N .
\]

Наименьшая такая постоянная называется нормой Липшица, $\left\|F_{t}\right\|_{\text {Lip }}$.

Мы скажем, что $F_{t}$ локально липшиц-непрерывен, если для каждых $x_{0} \in N$ и $t_{0} \in \mathbb{R}$ существуют окрестность $\mathcal{U}$ точки $x_{0}$ и число $\varepsilon>0$, такие, что $d\left(F_{t} x, F_{t} y\right) \leqslant$ $\leqslant M\left(t_{0}, x_{0}\right) d(x, y)$ для всех $x, y
i \mathcal{U}$ и $t \in\left[t_{0}-\varepsilon, t_{0}+\varepsilon\right]$. Если за $\mathcal{U}$ можно взять любое ограниченное множество, мы скажем, что поток $F_{t}$ полунепрерывен по Липшицу (этот термин введен Сегалом). Отметим, что $C^{1}$-потоки локально липшиц-непрерывны.

Пусть $F_{t}$ – непрерывный липшиц-непрерывный поток и пусть $M_{t}=\left\|F_{t}\right\|_{\text {L. }}$. Тогда (как и в линейном случае) имеем оценку вида
\[
M_{t} \leqslant M e^{\beta|t|},
\]

где $M, \beta$ – постоянные. Действительно, заметим, что $M_{t}$ полумультипликативна: $M_{s+t} \leqslant M_{s} \cdot M_{t}$; это немедленно следует из группового свойства потока. Более того, мы знаем, что
\[
M_{t}=\sup _{x
eq y} d\left(F_{t} x, F_{t} y\right) / d(x, y)
\]

Таким образом, $M_{t}$ полунепрерывна снизу, будучи точной верхней гранью семейства непрерывных функций. В частности, $M_{t}$ измерима. Но тогда рассуждения Хилле и Филлипса ([1], теорема 7.6.5) показывают, что (8А.4) выполнено для некоторых постоянных $M, \beta$.

Единственность интегральных кривых
Известно, что интегральные кривые липшиц-непрерывного векторного поля однозначно определяются своими начальными условиями, но это неверно для некоторых непрерывных векторных полей ${ }^{1}$ ). С другой стороны, известно, что интег-
1) Известный пример на прямой – это $X(x)=x^{2 / 3}$. В пространстве Фреше непрерывное линейное векторное поле $S: X \rightarrow X$ может иметь бесконечно много интегральных кривых с данными начальными условиями, например: $S\left(x_{0}, x_{1}, \ldots\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ на пространстве $E$ действительных последовательностей с топологией поточечной сходимости или может воральные кривые уравнений, порождающих линейные полугруппы, единственны. Следующий результат показывает, что эта единственность есть следствие локальной липшиц-непрерывности потока (см. теорему ван Кампена, Хартман [1], стр. 50).
(8A.11) Теорема. Пусть $X$-векторное поле на банаховом многообразии $M$ с областью определения $D$. Допустим, что $X$ порождает локально липшиц-непрерывный поток $F_{t}$. Более точно, предположим, что:
(a) $F_{t}$ – группа взаимно-однозначных отображений $D$, для каждого $x \in D$ отображение $t \mapsto F_{t}(x)$ дифференцируемо в $М и$
\[
\frac{d}{d t} F_{t}(x)=X\left(F_{t}(x)\right) ;
\]
(б) для каждых $x_{0} \in M$ и $t_{0} \in \mathbb{R}$ существуют окрестность $\mathcal{U} \subset M$ точки $x_{0} u \varepsilon>0$, такие, что в локальных картах
\[
d\left(F_{t} x, F_{t} y\right) \leqslant C d(x, y)
\]

для $x, y \in \mathcal{U} u t \in\left[t_{0}-\varepsilon, t_{0}+\varepsilon\right]$. Здесь предполагается, что постоянная $C$ не зависит от $x, y$ и $t$ (другими словами, локальная константа Липшица предполагается локально ограниченной по $t$. Например, это выполняется для глобально липшиц-непрерывного потока).

Заключение: если $c(t)-$ кривая в $D$, такая, что $c^{\prime}(t)=$ $=X(c(t))$, то $c(t) \equiv F_{t}(c(0))$.

Доказательство. Мы можем работать в локальной карте (см. (8A.13)), поэтому будем считать $M$ банаховым пространством $\mathbb{E}$. Для данного $t_{0}$ пусть $x_{0}=c\left(t_{0}\right)$. Выберем тогда $\varepsilon>0$ и окрестность $\mathcal{U}$ точки $x_{0}$ из условия (б); в дополнение к этому в должно быть столь мало, чтобы $c(t) \in \mathcal{U}$ при $\left|t-t_{0}\right| \leqslant \varepsilon$.

Определим $h(t)=F_{t_{0}-t} c(t)$. Тогда для $t$, близких к $t_{0}$, и малых $\tau$
\[
\begin{array}{l}
\|h(t+\tau)-h(t)\|=\left\|F_{t_{0}-t-\tau} c(t+\tau)-F_{t_{r}-t} c(t)\right\|= \\
\quad=\left\|F_{t_{0}-t-\tau} c(t+\tau)-F_{t-t-\tau} F_{\tau} c(t)\right\| \leqslant C\left\|c(t+\tau)-F_{\tau} c(t)\right\| .
\end{array}
\]

Кроме того, $\left[c(t+\tau)-F_{\tau} c(t)\right] / \tau=[c(\mathrm{t}+\tau)-c(t)] / \tau+$ $+\left[c(t)-F_{\tau} c(t)\right] / \tau \rightarrow X(c(t))-X(c(t))=0$ при $\tau \rightarrow 0$. Ta-

обще не иметь интегральных кривых с данными начальными условиями: $S(f)=d f / d x$ на $E=C^{\infty}$-функции на $[0,1]$, равные нулю вместе со всеми производными в точках 0 и 1. Результат (8A.11) существенно обобщается в работе Дорро и Марсдена [i].

ким образом, $h$ дифференцируема и $h^{\prime}(t) \equiv 0$. Отсюда следует, что $h(t)$ константа, т. е. $c(t)=F_{t-t} c\left(t_{0}\right)$ для $t$, близких к $t_{0}$. Отсюда легко следует соотношение $c(t)=F_{t} c(0)$.
(8A.12) Следствие. Заключение теоремы (8A.11) применимо к $C^{1}$-потокам $F_{t}$.

Доказательство. Проверим условие (б) предположения теоремы. Для локальной карты из наших результатов о совместной непрерывности (см. (8A.6)) следует, что $D F_{t}(x) y$ непрерывно совместно по $t, x$ и $y$. Следовательно, по теореме Банаха – Штейнхауса для данных $x_{0}$ и $t_{0}$ существуют выпуклая окрестность $\mathcal{U}$ точки $x_{0}$ и $\&>0$, такие, что $\left\|D F_{t}(x)\right\| \leqslant C$, если $x \in \mathcal{U}$ и $\left|t-t_{0}\right| \leqslant \varepsilon$. Тогда по теореме о среднем значении получаем, что $\left\|F_{t}(x)-F_{t}(y)\right\| \leqslant C\|x-y\|$, если $x, y \in$ $\in \mathcal{U}$ и $\left|t-t_{0}\right| \leqslant \varepsilon$.

Эти результаты обобщают классические теоремы Кнезера и ван Қампена. Они легко обобщаются на полупотоки.

Замечание. Существует хорошо известный пример непрерывного векторного поля с совместно непрерывным потоком, для которого заключение теоремы (8A.11) не выполняется. Пусть поле $X$ на $R$ задано выражением
\[
X(x)=\frac{3}{2}|x|^{1 / 2} .
\]

Определим $\varphi(y)=|y|^{3 / 2} \cdot \operatorname{sgn} y$. Тогда $\varphi$ дифференцируема и $\varphi^{\prime}(y)=\frac{3}{2}|y|^{1 / 2}$. Легко проверить, что $F_{t}(x)=\varphi\left(t+\varphi^{-1}(x)\right)$ является потоком для $X$. В частности, $F_{t}(0)=|t|^{3 / 2} \operatorname{sgn} t$. Но $c(t) \equiv 0$ – другая интегральная кривая, для которой $c(0)=$ $=0$. Другие примеры см. у Хартмана [1].
(8A.13) Замечания. 1) В случае, когда требуется работать на всем $M$, а не в отдельных картах, можно использовать специального типа метрику.

Определение. Пусть $N$ – банахово многообразие, моделью которого служит банахово пространство $\mathbb{E}$. Пусть $d$-метрика на $N$. Скажем, что $d$ совместима со структурой $N$, если $d$ задает топологию $N$ и если для любого $x_{0} \in N$ существует карта $(\mathcal{U}, \varphi)$, содержащая $x_{0}$ и постоянные $\alpha\left(x_{0}\right), \beta\left(x_{0}\right)$, такие, что для всех $x, y \in \mathcal{U} d(x, y) \leqslant \alpha\|\varphi(x)-\varphi(y)\| \leqslant$ $\leqslant \beta d(x, y)$.
2) Обычно для доказательства единственности интегральных кривых, например, в $R^{n}$, пользуются не этим методом. Обычно предполагают, что векторное поле локально липшид-
непрерывно, и тогда для доказательства единственности интегрируют его. Напомним, как это делается. Пусть $X$-локально липшиц-непрерывное векторное поле в $R^{n}$ (или любом банаховом пространстве). Пусть $d(t)$ и $c(t)$ – две любые интегральные кривые поля $X$ и $d(0)=c(0)$. Тогда
\[
|d(t)-c(t)|=\mid \int_{0}^{t}\left(X(d(s))-X(c(s)) d s\left|\leqslant K \int_{0}^{t}\right| d(s)-c(s) \mid d s .\right.
\]

Затем применяют тот факт (называемый неравенством Гронуолла), что если $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\alpha(t) \leqslant$ $\leqslant \int_{0}^{t} K \alpha(s) d s, \quad$ то $\alpha(t) \leqslant \alpha(0) e^{K t}$. Поэтому получаем $d(t) \equiv$ $\equiv c(t)$. Для уравнений с частными производными, однако, важно иметь результат, установленный в (8A.11), так как часто бывает возможно найти константу Липшица для построенного потока, но редко – для порождающего векторного поля.
3) Другой метод, иногда используемый для доказательства единственности интегральных кривых векторного поля $X$ с областью определения $D \subseteq N$, называется энергетическим методом. Допустим, что существует гладкая функция $H: D X$ $\times D \rightarrow \mathbb{R}^{+}$, для которой $H(x, y)=0$, тогда и только тогда, когда $x=y$, и для любых двух интегральных кривых $c$ и $d$ поля $X$
\[
\frac{d H(c(t), d(t))}{d t} \leqslant K(t, d(0), c(0)) H(c(t), d(t)),
\]

где $K$ локально ограничена по $t$. Тогда, как в замечании 2 , мы можем заключить, что $X$ имеет единственную интегральную кривую. Этот метод прямо применим, например, к классическим решениям уравнений Эйлера и Навье – Стокса.

Измеримые потоки
При довольно общих условиях непрерывность потока по временной переменной может быть выведена из измеримости. Например, имеется следующий результат (см. также Болл [2]).
(8А.14) Теорема. Пусть $M$ – сепарабельное метрическое пространство и $F_{t}$ – поток (или локальный полупоток) непрерывных отображений на М. Предположим, что для каждого $x \in M$ отображение $t \mapsto F_{t}(x)$ измеримо по Борелю, т.е. прообраз любого открытого множества есть борелевское подмножество $\mathbb{R}$. Тогда $F_{t}$ совместно непрерывен (соответственно совместно непрерывен для $t>0$ ).

Доказательство. Так как $M$ сепарабельно, то борелевская функция $t \longmapsto F_{t}(x)$ непрерывна при ограничении ее на дополнение некоторого множества первой категории $C \subset \mathbb{R}$ (см. Бурбаки [1]). Задавая $t_{0}$ и последовательность $t_{n} \rightarrow t_{0}$, заметим, что $\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[C-\left(t_{0}-t_{n}\right)\right]=D$ – это множество первой категории; следовательно, существует $s \in \mathbb{R}, s
otin D$, что $t_{n}-t_{0}+$ $+s
otin C$ для всех $n$. Поэтому $F_{t_{n}-t_{0}+s}(x) \rightarrow F_{s}(x)$, когда $n \rightarrow$ $\rightarrow \infty$. Применяя теперь непрерывное отображение $F_{s-t}$, получим, что $F_{t_{n}}(x) \rightarrow F_{t_{0}}(x)$. Следовательно, $F_{t}(x)$ раздельно непрерывна, и заключение теоремы вытекает из теоремы 1 .

Теоремы этого типа хорошо известны для линейных полугрупп (примеры приведены у Иосиды [1]).

Некоторые результаты для линейных неавтономных эволюционных уравнений

Для того чтобы получить критерий гладкости, нам необходимо использовать некоторые результаты о линейных эволюционных уравнениях. Эти результаты взяты из работ Като $[1,4,5$,$] . Мы начнем с определения эволюционной систе-$ мы. (Излагаемое ниже является сокращенным вариантом работы Дорро и Марсдена [1].)
(8A.15) Определение. Пусть $X$ – банахово пространство и $T>0$. Подмножество $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}$ пространства $B(X)=B(X, X)$ (ограниченных операторов на $X$ ) называется эволюционной системой в $X$, если
(1) $U(t, t)=I$ для $0 \leqslant t<T$ и
(2) $U(t, s) U(s, r)=U(t, r)$ для $0 \leqslant r \leqslant s \leqslant t<T$.

Эволюционная система $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}$ в $X$ называется сильно непрерывной, если для каждого $f \in X$ функция $U(\cdot, \cdot) f$ непрерывно отображает $[0, T) \times[0, T)$ в $X$. $X$-инфинитезимальное производящее семейство для $\{U(t, s)\}$ – это семейство $\{A(s) \mid 0 \leqslant \mathrm{~s}<T\}$ операторов в $X$, определенных следующим образом:
\[
A(s) f=\lim _{e \rightarrow 0} \varepsilon^{-1}[U(s+\varepsilon, s) f-f],
\]

где $D(A(s))$ состоит из всех $f$, для которых этот предел существует; предел берется в топологии $X$.
(8A.16) Замечания. (а) Если $\{U(t, s)\}$ – сильно непрерывная эволюционная система в $X$, то, как следует из принципа равномерной ограниченности, $\|U(t, s)\|_{B(x, x)}$ ограничена при $s$ и $t$, изменяющихся в ограниченных замкнутых интервалах.
(б) Пусть $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}$ – сильно непрерывная эволюционная система в $X$ с $X$-инфинитезимальным производящим семейством $\{A(s) \mid 0 \leqslant s<T\}$, и пусть $0<a<T$. Тогда $\{A(s+a) \mid 0 \leqslant s<T-a\}$ является $X$-инфинитезимальным производящим семейством сильно непрерывной эволюционной системы $\{U(t+a, s+a) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T-a\}$.
(8A.17) Утверждение. Пусть $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}-$ сильно непрерывная эволюционная система в $X$ с $X$-инфинигезимальным производящим семейством $\{A(s) \mid 0 \leqslant s<T\}$. Если $f \in D(A(s))$ для всех $s, 0 \leqslant s<T$ и $A(\cdot) f$ непрерывно отображает $[0, T)$ в $X$, то
\[
\frac{\partial}{\partial s}[U(t, s) f]=-U(t, s) A(s) f
\]

для $0 \leqslant s \leqslant t<T, t>0$.
Доказательство. Если $0 \leqslant s<t<T$, то
\[
U(t, s+\varepsilon) f-U(t, s) f=U(t, s+\varepsilon)[f-U(s+\varepsilon, s) f],
\]

и поэтому
\[
\frac{\partial^{+}}{\partial s}[U(t, s) f]=-U(t, s) A(s) f .
\]

Таким образом, для каждого $t \in(0, T)$ функция $U(t, \cdot) f$ имеет непрерывную правую производную на $[0, T)$. Поэтому функция $U(t, \cdot) f$ непрерывно дифференцируема на $[0, T)$ (см. Иосида [1], стр. 239) и соотношение (8A.5) выполняется для $0 \leqslant s<t<T$. Так как производная $U(t, \cdot) f$ имеет предел слева в точке $t$, то
\[
\frac{\partial^{-}}{\partial s}[U(t, s) f]=-U(t, s) A(s) f
\]

для $0<s=t<T$. Но это как раз равенство (8A.5) при $s=t$.
(8А.18) Следствие. Пусть $\{U(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T\}-$ сильно непрерывная эволюционная система в $X$ с $X$-инфинитезимальным производящим семейством $\{A(s) \mid 0 \leqslant s<T\}$. Пусть $f(s) \in D(A(s))$ для $0 \leqslant s<T$ и предположим, что $f$ – непрерывно дифференцируемая функция, отображающая $[0, T)$ в $X$, и $A(\cdot) f(\cdot)$ отображает $[0, T)$ в $X$ непрерывно. Тогда
\[
\frac{\partial}{\partial s}[U(t, s) f(s)]=U(t, s) f^{\prime}(s)-U(t, s) A(s) f(s)
\]

для $0 \leqslant s \leqslant t<T, t>0$.
Доказательство. Оно вытекает из утверждения (8A.17), сильной непрерывности $\{U(t, s)\}$ и локальной ограниченности $\|U(t, s)\|_{B(X, x)}$.

Мы называем (8A.5) обратным дифференциальным уравнением. Для того чтобы прямое дифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial}{\partial t}[U(t, s) f]=A(t) U(t, s) f
\]

было справедливо, необходимо, чтобы $U(t, s) f \in D(A(t))$, а это более ограничительное условие, которое может и не выполняться, в то время как условия утверждения выполнены.

Предположим теперь, что $Y$ – другое банахово пространство, которое плотно и непрерывно вложено в $X$.
(8А.19) Определение. Эволюционная система $\{U(t, s)\}$ в $X$ называется $Y$-регулярной, если каждый оператор $U(t, s)$ непрерывно отображает $Y$ в $Y$ и $\{U(t, s)\}$ сильно непрерывна в $Y$, т. е. если $\{U(t, s)\}$ – сильно непрерывная эволюционная система как в $X$, так и в $Y$.

Като в [4] и [5] дает ряд условий на семейства операторов $\{A(s)\}$, действующих в $X$, достаточных для того, чтобы эти семейства были $X$-инфинитезимальными производящими семействами сильно непрерывной эволюционной системы в $X$. Некоторые из этих условий достаточны также и для того, чтобы эволюционная система была $Y$-регулярной, и для того, чтобы прямое дифференциальное уравнение выполнялось. Кроме того, он доказывает несколько теорем сходимости для эволюционных систем и дает для операторных норм верхние границы, выраженные через определенные параметры инфинитезимального семейства. Так как это непосредственно связано с нашими дальнейшими результатами, мы кратко перечислим здесь важнейшие моменты для удобства ссылок. Детали и дальнейшие замечания можно найти в работах Kато.
(8А.20) Определения. Пусть $A \in G(X)=\{$ множество производящих операторов для полугрупп в $X\}$. $Y$ называется допустимым относительно $A$ или просто $A$-допустимым, если $\left\{e^{t A}\right\}$ оставляет $Y$ инвариантным и образует полугруппу класса $C_{0}$ в $Y$. ществуют постоянные $M$ и $\beta$ (называемые постоянными устойчивости), такие, что для любых элементов $A_{1}, \ldots, A_{k}$ этого подмножества и $\lambda>\beta$ выполнено неравенство
\[
\left\|\prod_{j=1}^{k}\left(\lambda I-A_{j}\right)^{-1}\right\| \leqslant M(\lambda-\beta)^{-k} .
\]
(8A.21) Теорема существования. Пусть $T>0, \quad A(t) \in$ $\in G(X)$ для $0 \leqslant t<T$, и предположим, что
(1) $\{A(t) \mid 0 \leqslant t<T\}$ устойчиво с постоянными $M, \beta$;
(2) для каждого $t$ подпространство $Y A(t)$-допустимо, и если обозначить ограничение $A(t)$ на $Y$, действующее в $Y$, через $A^{*}(t) \in G(Y)$, то $\left\{A^{*}(t)\right\}$ устойчиво $c$ постоянными $M^{*}, \beta^{*}$.
(3) $Y \subset D(A(t))$ для каждого $t$ и $A^{-(\cdot)}$ – непрерывное отображение $[0, T)$ в $B(Y, X)$, где $A^{-}(t)$ – ограничение $A(t)$ на $Y$ (называемое частью $A(t)$, действующей из $Y$ в $X$ ).

Тогда в $X$ существует единственная сильно непрерывная эволюционная система $\{U(t, s)\}$ с $X$-инфинитезимальным производящим семейством, являющимся продолжением $\left\{A^{-}(t)\right\}$, т.е. с таким производящим семейством $\{B(t)\}$, что $B(t) \sqsupset$ $\supset A^{-}(t)$ для каждого $t$. Кроме того,
\[
\|U(t, s)\|_{B(X, X)} \leqslant M e^{\beta(t-s)} \quad \partial л я \quad 0 \leqslant s \leqslant t<T .
\]
(8A.22) Замечания. (а) Если $A(t)$ не зависит от $t$, то условие устойчивости для $A$ является условием теоремы Хилле – Иосиды (Иосида [1]).
(б) На самом деле в теореме (8A.21) Като показывает, что $X$-инфинитезимальное производящее семейство есть в точности $\{A(t)\}$.

Мы можем добавить любой ограниченный оператор к семейству производящих операторов $\{A(t)\}$ и все еще получить производящие операторы.
(8А.23) Замечание. Пусть $\{A(t) \mid 0 \leqslant t<T\}$ удовлетворяет условиям теоремы (8A.21), $B(t) \in B(X, X)$ для $0 \leqslant t<$ $<T$, и пусть функция $B(\cdot) f$ непрерывно отображает $[0, T)$ в $X$ при каждом $f \in X$. Тогда в $X$ существует единственная сильно непрерывная эволюционная система, для которой
$X$-инфинитезимальное производящее семейство является расширением $\{A(t)+B(t)\}$.

В примерах бывает трудно проверить выполнение условия устойчивости (1). Для этого у нас имеется полезный критерий, данный в следующем ниже утверждении. Сначала некоторые обозначения: пусть $G(X, M, \beta)$ обозначает производящие операторы $A$ на $X$ с постоянными $M, \beta$, т. е. при $\lambda>\beta$ $\left\|(\lambda I-A)^{-k}\right\| \leqslant M /(\lambda-\beta)^{k}$ (для полугруппы это соответствует условию $\left.\left\|F_{t}\right\| \leqslant M e^{\beta t}\right)$. В частности, если $M=1$, то мы имеем производящий оператор квазисжимающей полугруппы, и соответствующее условие будет $\left\|(\lambda I-A)^{-1}\right\| \leqslant 1 /(\lambda-\beta)$, $\lambda>\beta$, или для потока $\left\|F_{t}\right\| \leqslant e^{\beta t}$. Примеры такого типа полугрупп общеизвестны.
(8А.24) Замечание (Троттер, Феллер). Для данной полугруппы $F_{t}$ с производящим оператором $A \in G(X, M, \beta)$ пространство $X$ можно перенормировать так, чтобы $\left\|F_{t}\right\| \leqslant e^{\beta t}$. Новая норма – это $\|x\|\left\|=\sup _{t \geqslant 0}\right\| e^{-\beta t} F_{t}(x) \|$.

Однако следует отметить, что не всегда возможно перенормировать $X$ так, чтобы одновременно две полугруппы стали квазисжимающими.
(8А.25) Теорема. Пусть для каждого $t\|\cdot\|_{t}$ является новой нормой на $X$, эквивалентной исходной и гладко зависящей от $t$, т. е. удовлетворяющей условию
\[
\|x\|_{t} /\|x\|_{s} \leqslant e^{c|t-s|}, \quad x \in X, \quad 0 \leqslant s, t \leqslant T .
\]

Пусть $A(t)$ для каждого $t$ определяет производящий оператор квазисжимающей полугруппы с постоянной $\beta$ в норме $\|\cdot\|_{t}$. Тогда $\{A(t)\}$ устойчиво на $X$ с $M
eq e^{2 c T}, 0 \leqslant t \leqslant T$ относительно любой из норм $\|\cdot\|_{t}$.

Доказательство фактически является простой проверкой; см. Қато [3, предл. 3.4].

Существует другой полезный критерий проверки условий (8A.21).
(8А.26) Теорема. Пусть в (8А.21) выполнены условия 1) и 3), а условие 2) заменим на
$2^{\prime \prime}$ ) существует семейство $\{S(t)\}$ изоморфизмов $Y$ на $X$, таких, что
\[
S(t) A(t) S(t)^{-1}=A(t)+B(t)
\]
$B(t) \in B(X)$, где $B:[0, T) \rightarrow B(X)$ сильно непрерывно. Предположим, что $S:[0, T) \rightarrow B(Y, X)$ сильно класса $C^{1}$.

Тогда имеют место заключения теоремы (8A.21) ((2) $\rightarrow$ $\rightarrow\left(2^{\prime \prime}\right)$ ) и, более того, прямое дифференциальное уравнение удовлетворяется и эволюционная система $Y$-регулярна.

Приведем две важные аппроксимационные теоремы (см. Като [5]).
(8А.27) Теорема. Пусть $\left\{A_{n}(t)\right\}$ удовлетворяют условиям теоремы (8А.21), $n=0,1,2, \ldots$, причем константы устойчивости в (1), (2) не зависят от п. Предположим, что
\[
\left\|A_{0}^{-}(t)-A_{n}^{-}(t)\right\|_{B(Y, X)} \rightarrow 0 \quad n p u \quad n \rightarrow \infty
\]

равномерно по $t$. Тогда $U_{n}(t, s) \rightarrow U_{0}(t, s)$ сильно в $B(X)$, равномерно по $t, s \in[0, T) \quad u \quad\left\|U_{n}(t, s)-U_{0}(t, s)\right\|_{B(Y, x)} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.
(8А.28) Теорема. Пусть $\left\{A_{n}(t)\right\}$ удовлетворяют предположениям (8А.26), $n=0,1,2, \ldots$, в которых основные постоянные $M, \beta,\|S\|_{\infty, Y, x},\left\|\mathcal{S}^{-1}\right\|_{\infty, Y, x},\|B\|_{\infty, x, x},\|S\|_{\infty, Y, x}$ могут быть выбраны независимо от п. Предположим, что $\| A_{0}(t)$ – $A_{n}(t) \|_{B(Y, x)} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ равномерно по $t$, как в (8А.26), $и$ в дополнение к этому, что $B_{n}(t) \rightarrow B_{0}(t)$ в $B(X), S_{n}(t) \rightarrow$ $\rightarrow S_{0}(t)$ в $B(Y, X), S_{n}(t) \rightarrow S_{0}(t)$ в $B(Y, X)$ равномерно по $t$. Тогда
\[
U_{n}(t, s) \rightarrow U_{0}(t, s)
\]

сильно в $B(Y)$ равномерно по $t, s \in[0, T)$.

Критерий гладкости
Теперь мы получим один результат, используя который можно выяснить, когда полупоток состоит из гладких отображений. Этот результат особенно эффективен при использовании вместе с вышеприведенной линейной теорией. Настоящая теорема принадлежит Дорро и Марсдену [1], к книге которых мы отсылаем за дополнительными результатами. Сначала читателю рекомендуется попытаться решить упражнение 2.9 , чтобы прочувствовать ситуацию.

Мы будем использовать следующие обозначения. Пусть $X$ и $Y$ – банаховы пространства, $Y$ плотно и непрерывно вложено в $X$, подмножество $D$ открыто в $Y$ и $F_{t}$ – непрерывный локальный полупоток на $D$. Предположим, что отображение $G: D \rightarrow X$ тақово, что $F_{t}$ – полупоток для $G$. Для точек $p, q \in D$ и отрезка $\{p+r(q-p) \mid 0 \leqslant r \leqslant 1\} \subset D$ определим
\[
Z(q, p)=\int_{0}^{1} D G(p+r(q-p)) d r
\]
– усреднение производной $G$ вдоль отрезка.
Предположения: (а) $G: D \rightarrow X$ класса $C^{1}$;
(б) для фиксированного $f \in D$ и $g \in D$, достаточно близкого к $f$, существует сильно непрерывная эволюционная система $\left\{U^{g}(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T_{g}\right\}$ в $X$, у которой $X$-инфинитеземальное производящее семейство операторов является расширением $\left\{Z\left(F_{s} g, F_{s} f\right) \mid 0 \leqslant s<T_{g}\right\}$ (здесь $T_{g}$ означает время существования для $F_{s} g$ и $F_{s} f$ ).
(в) $\left\|U^{g}(t, s)-U^{f}(t, s)\right\|_{B(Y, X)} \rightarrow 0$ при $\|\mathrm{g}-f\|_{Y} \rightarrow 0$ (см. (8A.27)).
(8А.29) Теорема. При предположениях (а), (б), (в) $F_{t}$ : $Y \rightarrow X$ дифференцируемо по Фреше в точке $f$ и $D F_{t}(f)=$ $=U^{f}(t, 0)$.
(8A.30) Замечания. 1. Из доказательства также следует, что если $\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(X)}$ равномерно ограничены при изменении $g$, то $F_{t}$ липшицево, как отображение $X \rightarrow X$, для $g$, достаточно близких к $f$ в $Y$.
2. Соображения сдвига дают $D F_{t-s}\left(F_{s}(f)\right)=U^{t}(t, s)$.
Дальнейшие предположения:
(г) система $U^{g}(t, s) Y$-регулярна; заменим (в) на
(в $\left.\mathbf{B}^{\prime}\right) U^{g}(t, s)$ сильно сходится в $Y$ к $U^{f}(t, s)$, когда $g$ стремится к $f$ вдоль прямолинейного отрезка (см. теорему (8A.28)).
(8А.31) Теорема. При условиях (а), (б), (в’), (г) $F_{t i} Y \rightarrow$ $\rightarrow Y$ дифференцируемо по Гато в точке $f u$
\[
D F_{t}(f)=U^{f}(t, 0) .
\]
(8A.32) Замечания. 1. Из доказательства также следует, что если $\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(Y)}$ локально ограничены, то $F_{t:} Y \rightarrow Y$ локально липшиц-непрерывно.
2. Воспользовавшись теоремой (8A.26), мы видим, что фактически $D F_{t}(f)$ локально ограничено в $B(Y, Y)$ при $f \Psi Y$. Мы можем повторно воспользоваться (8А.31) и получить, что $F_{t}$ дважды дифференцируемо по Гато и т. д. Отсюда следует, что на самом деле $F_{t}$ класса $C^{\infty}$ (дифференцируемость по Гато и непрерывность производной по норме означает принадлежность функции к классу $C^{1}$ в силу соотношения
\[
f(x)-f(y)=\int_{0}^{1} D f(x+t(y-x))(y-x) d t ;
\]

дифференцируемость по Гато и локальная ограниченность производных означает липшиц-непрерывность).
3. Производная $D F_{t}(f)$ в (8A.29) продолжается до ограниченного оператора $X \rightarrow X$.

Доказательство (8А.29). Пусть $0<T^{\prime} T_{f}$. При достаточно малой $\|g-f\|_{Y}$ определим функцию $w$ на $\left[0, T^{\prime}\right]$ по формуле $w(s)=F_{s} g-F_{s} f$. Дифференцируя и используя равенство $Z(q, p)(q-p)=G(q)-G(p)$, получаем
\[
\omega^{\prime}(s)=G\left(F_{s} g\right)-G\left(F_{s} f\right)=Z\left(F_{s} g, F_{s} f\right) w(s)
\]

при $0 \leqslant s \leqslant T^{\prime}$. Если $0 \leqslant \mathrm{~s} \leqslant t \leqslant T^{\prime}$, то в силу следствия (8A.18)
\[
\frac{\partial}{\partial s} U^{g}(t, s) w(s)=0,
\]

поэтому $F_{t} g-F_{t} f=U^{g}(t, 0)(g-f)$ при $0 \leqslant t \leqslant T^{\prime}$. Тогда получаем оценки
\[
\begin{array}{c}
\left\|F_{t} g-F_{t} f-U^{f}(t, 0)(g-f)\right\|_{X} \cdot\|g-f\|_{Y}^{-1} \leqslant \\
\leqslant\left\|U^{g}(t, 0)-U^{f}(t, 0)\right\|_{B(Y, X)}, \\
\left\|F_{t} g-F_{t} f\right\|_{X} \leqslant\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(X)}\|g-f\|_{X} .
\end{array}
\]

Доказательство (8А.31). Как и при доказательстве (8А.29), имеем
\[
F_{t} g-F_{t} f=U^{g}(t, 0)(g-f),
\]

поэтому
\[
\left\|F_{t} g-F_{t} f\right\|_{X} \leqslant\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(X)} \cdot\|g-f\|_{X}
\]

и
\[
\left\|F_{t} g-F_{t} f\right\|_{Y} \leqslant\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(Y)} \cdot\|g-f\|_{Y} .
\]

Отсюда следуют утверждения о липшиц-непрерывности. Если мы положим $g=f+\lambda h$, то получим
\[
\lambda^{-1}\left[F_{t}(f+\lambda h)-F_{t}(f)\right]=U^{f+\lambda h}(t, 0) h,
\]

откуда сразу следует утверждение о дифференцируемости.
Используя эти рассуждения, можно также установить $Y$-дифференцируемость $F_{t}$ по $t$ и дифференцируемость по внешним параметрам. Рассмотрим два таких результата из работы Дорро и Марсдена [1].
(8А.33) Следствие. В условиях теорем (8А.29) или (8А.31) допустим, что эволюционная система $\{U f(t, s)\}$ с семейством производящих операторов $\left\{D G\left(F_{s}\right)\right\}$ удовлетворяет условию Uf $(t, s) X \subset Y$ для $0 \leqslant s<t<T_{f}$. Тогда $G\left(F_{t} f\right) \in Y$ при $f \in$ $\in D$ и $0<t<T_{f}$. Eсли Uf $(\cdot, 0) g$ Y-непрерывна на $\left(0, T_{f}\right)$ для каждого $g \in X$, то $F(\cdot) f$ непрерывно $Y$-дифференцируема ${ }^{1}$ ) на интервале $\left(0, T_{f}\right)$.

Доказательство. При этих предположениях можно установить правило дифференцирования сложной функции, поэтому дифференцируя $F_{t+s} f=F_{t}\left(F_{s}(f)\right)$ по $s$ при $s=0$, получим
\[
G\left(F_{t} f\right)=D F_{t}(f) \cdot G(f)=U^{f}(t, 0) \cdot G(f) \in Y,
\]

что доказывает первую часть заключения. Вторая часть следует из равенства
\[
F_{t} f-F_{s} f=\int_{s}^{t} G\left(F_{\tau} f\right) d \tau=\int_{s}^{t} U^{f}(\tau, 0) \cdot G(f) d \tau .
\]

Условие $Y$-дифференцируемости $F_{t} f$ при $t>0$ является нелинейным аналогом условия, используемого в теории линейных аналитических полугрупп (см. Иосида [1]).

Для рассмотрения зависимости от параметра мы предположим, что $G(f, z)$ и $F_{t}^{z}$ зависят от параметра $z \in V \subset Z$, где $V$ – открытое множество в банаховом пространстве. Вначале будем предполагать, что $F_{t}^{z}(f)$ непрерывна по всем переменным и для каждого $z F_{t}^{z}$ обладает теми же свойствами, что и выше.

Чтобы доказать дифференцируемость $F_{t}^{z}(f)$ по $(z, f)$, мы можем использовать переход к надстройке. Именно, рассмотрим полупоток $H_{t}$ на $D \times V$, определенный соотношением
\[
H_{t}(f, z)=\left(F_{t}^{z}(f), z\right) .
\]

Производящим оператором является оператор $K: D \times V \rightarrow$ $\rightarrow X \times Z$ :
\[
K(f, z)=(G(f, z), 0) .
\]
1) Здесь $Y$-непрерывность, $Y$-дифференцируемость означают соответствующее свойство функции со значениями в пространстве Y. – Прим. nерев.

Если (8A.29) или (8A.30) можно применить к $H_{t}$, то можно получить дифференцируемость ${ }^{1}$ ) $F_{t}^{z}(f)$ по ( $f, z$ ).

Одним из ключевых моментов в (8A.29) является предположение, касающееся линеаризованных уравнений. Здесь
\[
D K(f, z)(g, w)=\left(D_{1} G(f, z) \cdot g+D_{2} G(f, z) \cdot w, 0\right) ;
\]

поэтому в соответствии с (8A.29) или (8A.31) мы можем потребовать разрешимость системы
\[
\begin{array}{c}
\frac{d w}{d t}=0, \quad \text { т. e. } w=\text { const, } \\
\frac{d g}{d t}=D_{1} G\left(F_{t}^{z}(f), z\right) \cdot g(t)+D_{2} G\left(F_{t}^{z}(f), z\right) \cdot w
\end{array}
\]
(аналогично для систем, включающих усредненный производящий оператор $Z$ ). Это линейная система по $g$ с неоднородным членом $D_{2} G\left(F_{t}^{z}(f), z\right) \cdot w$. Решение эволюционной системы для $D_{1} G\left(F_{t}^{z}(f), z\right)$ может быть записано обычным образом с помощью формулы Дюамеля. Для систем такого типа существуют теоремы, из которых следует, что при этом получается эволюционная система, и которые позволяют изучить ее свойства. Отметим, например, теорему 7.2 в работе Като [4]. В этом случае можно проверить для $H_{t}$ условия теорем (8А.29) или (8А.31). Мы смогли бы получить соответственно дифференцируемость отображения $F_{t}^{(\cdot)}(\cdot)$ из $D \times V$ в $X \times V$ и (при более сильных условиях 8A.31) из $D \times V$ и $Y \times V$. (Для голоморфных полугрупп гладкая зависимость от параметра может быть проанализирована непосредственно, как в книге Като [3] .)
(8A.34) Замечания и приложения. В работе Аронсона и Теймза [1] изучается следующая система:
\[
\left.\begin{array}{c}
u_{x x}-q^{2} u=u_{t}, \quad v_{x x}-q^{2} v=v_{t} \quad \text { в } \quad(0,1) \times R^{+} \\
u_{x}(1, t)=v_{x}(0, t)=0 \\
u_{x}(0, t)=-p q(f \circ v)(0, t) \\
v_{x}(1, t)=p q\{1-(f \circ u)(1, t)\}
\end{array}\right\} t \geqslant 0 .
\]

Здесь $p$ и $q$-положительные параметры, а $f(u)=$ $=u^{2} /\left(1+u^{2}\right)$. Эта система описывает диффузию ферментов в биологических системах. В работе доказывается, что условия на собственные значения для применения теоремы Хопфа
1) Более непосредственный анализ, из которого получаются изящные результаты, дан Дорро и Марсденом [1].

выполнены. В работе Дорро и Марсдена [1] показано, используя методы, описанные выше, что полупоток этой системы гладкий. Отсюда следует, что все условия теоремы Хопфа выполняются, и, следовательно, доказано существование устойчивых периодических решений этой системы для значений параметров, больших критических.

Эти уравнения обычно называются уравнениями Гласса Қауфмана, см. Гласс и Кауфман [1]. Работа по дискретным аналогам этих уравнений была недавно сделана Сю (Hsü).