Дж. Гукенхеймер ${ }^{1}$ )

Абрахамом и Смейлом [1], Шубом [1] и Ньюхаусом [2] были построены примеры диффеоморфизмов компактных многообразий, которые не лежат в замыкании множества диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме $A$ Смейла, или в замыкании множества $\Omega$-устойчивых диффеоморфизмов (Смейл [1]). Используя конструкцию надстройки (Смейл [1]), аналогичные примеры можно получить и для векторных полей на компактных многообразиях.

Здесь мы приведем другой пример векторного поля на компактном многообразии, не лежащего в замыкании множества $\Omega$-устойчивых или удовлетворяющих аксиоме $A$ векторных полей. Его значение состоит в том, что нарушение аксномы $\Lambda$ осуществляется способом, отличным от предыдущих примеров. Построенный пример имеет дополнительные свойства неустойчивости, которых не имели прежние примеры.

Векторное поле $X$ топологически $\Omega$-устойчиво, если близкие векторные поля (в $C^{1}$-топологии на пространстве векторных полей) имеют неблуждающие множества, гомеоморфные неблуждающему множеству поля. $X$. Наш пример не является топологически $\Omega$-неустойчивым. К тому же из него следует отрицательный ответ на следующий вопрос из теории динамических систем: верно ли, что особые точки общего векторного поля изолированы в его неблуждающем множестве?

В примерах, построенных Ньюхаусом, особые точки содержались в непритягивающей части неблуждающего множества.

Наш пример появился в результате численного изучения системы дифференциальных уравнений, построенной Лоренцем [1]. Нам кажется, что система, изученная Лоренцем, имеет такое же динамическое поведение, как и в нашем примере, однако мы не будем проводить оценки, необходимые для доказательства этого утверждения. Мне приятно поблагодарить Алана Перельсона за помощь в численных исследо-
1) Работа частично финансировалась Национальным научным фондом.

ваниях, лежащих в основе настоящей работы, и Р. Боуэна, Ч. Пью, С. Смейла и Дж. Иорка за полезные обсуждения. Наконец, напомним точные уравнения Лоренца, которые демонстрируют такую удивительную динамику (см. пример 4 B.8):
\[
\dot{x}=-10 x+10 y, \quad \dot{y}=-x z+28 x-y, \quad \dot{z}=x y-(8 / 3) z .
\]

Определим $C^{\infty}$-гладкое векторное поле в замкнутой области $\mathbb{R}^{3}$. Внутри области будет находиться компактное инвариантное множество $A$, являющееся аттрактором в том смысле, что имеет фундаментальную систему окрестностей, каждая из которых инвариантна при $t \geqslant 0$ относительно потока, порожденного векторным полем $X$. Множество $A$ двумерно. В процессе построения поля $X$ будем пользоваться координатами $(x, y, z)$ в $\mathrm{R}^{3}$. Векторное поле $X$ должно иметь три состояния равновесия. Первое $p=(0,0,0)$ – седло с двумерным устойчивым многообразием $W^{s}(p)$. Прямоугольник $\{(x, y, z) \mid x=0,-1 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}$ должен содержаться в $W^{s}(p)$. Устойчивые собственные вектора поля $X$ в точке $p$ – это $\frac{\partial}{\partial y}$, соответствующий большему по абсолютной величине собственному значению, и $\frac{\partial}{\partial z}$, соответствующий меньшему по абсолютной величине собственному значению. Неустойчивое многообразие $W^{u}(p)$ содержит отрезок с концами в точках $(-1,0,0)$ и $(1,0,0)$; оно соответствует промежуточному по абсолютной величине собственному значению. Другие условия на $W^{u}(p)$ будут наложены ниже.

Другие два состояния равновесия $X$-это $q_{ \pm}=$ $=\left( \pm 1, \pm^{1} / 2,1\right)$, седловые точки с одномерными устойчивыми многообразиями $W^{s}\left(q_{ \pm}\right)$. Отрезки, соединяющие точки $( \pm 1,-1,1)$ и $( \pm 1,1,1)$, содержатся в $W^{s}\left(q_{ \pm}\right)$. Отрицательное собственное значение поля $X$ в точке $q_{ \pm}$имеет наибольшую абсолютную величину. Оставшиеся собственные значения в точке $q_{ \pm}$комплексны и соответствуют собственному подпространству, натянутому на $\frac{\partial}{\partial y}$ и $\frac{\partial}{\partial z}$. Действительные части этих собственных значений малы.

Рассмотрим квадрат $R=\{(x, y, z) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant$ $\leqslant y \leqslant 1, z=1\}$ и его отображение последования Пуанкаре $\theta$. Отображение $\theta$ не определено, когда $x$ равно $\pm 1$ или 0 , так как эти точки лежат на устойчивом многообразии одного из состояний равновесия. Траектории в $R$ для значения $x= \pm 1$ никогда не покидают $R$, в то время как траектории с $x=0$ никогда не возвращаются. Для всех других точек $R$ отображение $\theta$ определено. Обозначим через $R_{+}$множество $R \cap$

$\bigcap\{(x, y, z)\} 0<x<1\}, \quad$ и через $\quad R_{-}$м можество $R \cap$ $\bigcap\{(x, y, z) \mid-1<x<0\}$. Определим $\theta_{ \pm}$как ограничение $\theta$ на $R_{ \pm}$. Предположим, что существуют функции $f_{ \pm}, g_{ \pm}$и число $\alpha>1$, такие, что $\theta_{ \pm}(x, y)=\left(f_{ \pm}(x), g_{ \pm}(x, y)\right), 0<\partial g_{ \pm} / \partial y<$ $<1 / 2$ и $\partial f_{ \pm} / \partial x>\alpha$. Обозначим $\lim _{x \rightarrow 0} f_{ \pm}(x)$ через $\rho_{ \pm}$и предположим, что $\rho_{+}<0, \rho_{-}>0, \theta_{-}\left(\rho_{+}\right)<0$ и $\theta_{+}\left(\rho_{-}\right)>0$. Первые пересечения $W^{u}(p)$ с $R$ осуществляются в точках, в которых $x=\rho_{ \pm}$. Предположим, наконец, что множество значений
Рис. 12.1.

функций $g_{ \pm}$содержится в интервалах $[ \pm 3 / 4, \pm 1 / 4]$. Рис. 12.1 иллюстрирует эти основные черты потока $X$.

Отметим, что из условий, наложенных на собственные значения поля $X$ в точке $p$, вытекают соотношения $\lim _{x \rightarrow 0} \partial g_{ \pm} / \partial y=0$ и $\lim _{x \rightarrow 0} \partial f_{ \pm} / \partial x=\infty$. Это можно установить, рассматривая решение системы линейных уравнений вблйиз седловой точки. Поскольку траектории, выходящие из $R_{ \pm}$, проходят произвольно близко к $p$, то отображения последования $\theta_{ \pm}$будут иметь особенности степенного типа.

В устанавливаемых ниже теоремах предполагается, что векторное поле $X$ продолжено до векторного поля на компактном трехмерном многообразии $M$. Продолжение по прежнему будем обозначать через $X$. Отметим, что единственные свойства, использованные при определении $X$, но не сохраняющиеся при действии возмущений, – это существование функций $f_{ \pm}$и $g_{ \pm}$указанного вида. Однако наличие этих функций не является существенным свойством потока $X$ – они были введены лишь для упрощения доказательств.
(12.1) Теорема. У векторного поля $X$ существует окрестность $थ$ в пространстве $C^{r}$-гладких векторных полей на $M(r \geqslant 1)$ и множество $\mathscr{P}$ второй категории в $\mathcal{U}$, такие, что если $Y \in \mathscr{P}$, то $Y$ имеет состояние равновесия, не изолированное в неблуждающем множестве.
(12.2) Теорема. Векторное поле $X$ имеет окрестность $U_{в}$ пространстве $C^{r}$-гладких векторных полей на $M$, такую, что если $\mathscr{V} \subset \mathcal{U}$ есть открытое множество в пространстве $C^{r}$-гладких векторных полей, то существуют векторные поля в $\mathfrak{P}$, имеющие негомеоморфные неблуждающие множества.

Теорема (12.2) устанавливает тот факт, что $X$ не принадлежит замыканию множества топологически $\Omega$-устойчивых векторных полей.

Доказательство обеих этих теорем начнем с описания неблуждающего множества поля $X$. Это описание будет дано в́ основном на языке «символической динамики» (Смейл [4] ).
Рассмотрим отображение
Рис. 12.2 .

последования $\theta$ на $R$. Выберем четыре подмножества $\theta(R)$, которые будут использованы при анализе символической динамики неблуждающего множества. Введем следующие обозначения:
\[
\begin{array}{l}
R_{1}=\theta\left(R_{+}\right) \cap\left\{\rho_{+}<x<0\right\}, \\
R_{2}=\theta\left(R_{+}\right) \cap\left\{0<x<f_{+}\left(\rho_{-}\right)\right\}, \\
R_{3}=\theta\left(R_{-}\right) \cap\left\{f_{-}\left(\rho_{+}\right)<x<0\right\}, \\
R_{4}=\hat{\theta}\left(R_{-}\right) \cap\left\{0<x<\rho_{-}\right\} .
\end{array}
\]

Эти множества изображены на рис. 12.2. Образ $R_{1}$ при отображении $\theta$ растягивается в горизонтальном направлении, пересекая $R_{3}$ и $R_{4}, \theta\left(R_{2}\right)$ растягивается и пересекает $R_{1}$. Аналогично, $\theta\left(R_{3}\right)$ пересекает $R_{4}$, а $\theta\left(R_{4}\right)$ пересекает $R_{1}$ и $R_{2}$.

Рассмотрим теперь последовательности $\left\{a_{k}\right\}_{k=0}^{\infty}$ целых чисел $1,2,3$ и 4 , такие, что для каждого $k\left(a_{k}, a_{k+1}\right)$ – одна из пар $(3,1),(4,1),(1,2),(4,3),(1,4)$ или $(2,4)$. Множество таких последовательностей образует пространство $\Sigma$ «подсдвига конечного типа» с матрицей переходов ${ }^{1}$ )
\[
\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Пересечение $\bigcap_{k=0}^{n} \theta^{k}\left(R_{a_{k}}\right)$, соответствующее каждой конечной последовательности $\left\{a_{0}, \ldots, a_{n}\right\}$, сконструированной из описанных выше допустимых пар, содержит компоненту, которая растягивается горизонтально и пересекает $R_{a_{0}}$. Например, если $a_{0}=1$, тогда с $R_{1}$ пересекаются образцы $R_{2}$ и $R_{4}$. Если при этом $a_{1}=2$, то $R_{2}$ пересекает лишь образ $R_{4}$. Следовательно, обязательно $a_{2}=4$ и $\theta\left(R_{4}\right)$ пересекает $R_{a_{2}}$, а $\theta^{2}\left(R_{4}\right)$ пересекает $R_{1}$. Когда $n$ возрастает, вертикальный размер этих полосок экспоненциально убывает. Если $\left\{a_{k}\right\} \in \Sigma$, то $\bigcap_{k=0}^{\infty} \theta^{k}\left(R_{a_{k}}\right)$ содержит дугу, горизонтально пересекающую $R_{a_{0}}{ }^{k=0}$ В $\Sigma$ содержится несчетное множество последовательностей, следовательно, $S=\bigcap_{k=0}^{\infty} \theta^{k}\left(\bigcup_{i=1}^{4} R_{i}\right)$ содержит несчетное множество дуг, пересекающихся с каждым $R_{i}$.

Хотелось бы узнать, содержится ли $S$ в неблуждающем множестве $\theta$. Если каждая дуга, принадлежащая $S$, будет иметь образ относительно некоторой степени $\theta$, пересекающийся с каждым $R_{i}$, то $S$ будет содержаться в неблуждающем множестве $\theta$. При этих условиях мы докажем, что точка 0 не изолирована в неблуждающем множестве поля $X$. Пересекает или нет образ каждой дуги каждое $R_{i}$, зависит лишь от поведения функций $f_{ \pm}$на интервалах $\left(\rho_{+}, 0\right)$ и $\left(0, \rho_{-}\right)$. Обозначим через $f$ разрывное отображение $f:\left(\rho_{+}, \rho_{-}\right) \rightarrow\left(\rho_{+}, \rho_{-}\right)$, определенное функциями $f_{ \pm}$(скажем, с $f(0)=0$ ).

Рассмотрим подынтервал $\gamma \subset\left(\rho_{+}, \rho_{-}\right)$. Так как $\partial f_{ \pm} / \partial x>$ $>\alpha>1$, то сумма длин компонент в $f^{k}(\gamma)$ не меньше, чем $c \alpha^{k}$. Поэтому какой-то из образов $\gamma$ должен состоять более чем из одной компоненты. Так как точка разрыва $f$ – это лишь $x=0$, то существуют $k>0$ и $x \in \gamma$, такие, что $f^{k}(x)=0$.

Отображение $\theta$ имеет периодическую точку периода 2 в $R_{1}$, так как $\theta^{2}\left(R_{1}\right)$ пересекает $R_{1}$. Следовательно, $f$ имеет точку $r$ периода 2. У каждой окрестности $r$ есть образ, в
1) В советской литературе принят термин «топологическая марковская цепь» (см. Алексеев [1]).- Прим. перев,

конце концов накрывающий ( $\rho_{+}, \rho_{-}$). Предположим, что существует открытое множество $U$, никакой из образов которого не накрывает $\left(\rho_{+}, \rho_{-}\right)$. Тогда никакой из образов $U$ не содержит $r$. Отсюда следует, что если $U_{1}$ и $U_{2}$ – два открытых множества и никакой из образов каждого из них не накрывает $\left(\rho_{+}, \rho_{-}\right)$, то и $U_{1} \cup U_{2}$ обладает таким же свойством (поскольку $r$ не принадлежит никакому его образу). Следовательно, существует наибольшее открытое множество $U$ с тем свойством, что никакой из его образов не накрывает $\left(\rho_{+}, \rho_{-}\right)$. Отсюда следует, что $f^{-1}(U)=U=f(U)$.

Мы видели выше, что каждый интервал содержит точку, отображающуюся в 0 некоторой степенью отображения $f$. Поэтому $U$ содержит окрестность 0 и, следовательно, окрестности точек $\rho_{ \pm}$. Так как эти точки всюду плотны, то $U$ является плотным подмножеством $\left(\rho_{+}, \rho_{-}\right)$. Заметим, что из включения $f^{-1}(U) \subset U$ следует, что компоненты $U$ должны отображаться $н а$ компоненты $U$. Пусть $\left(\xi_{-}, \xi_{+}\right)$- компонента $U$, содержащая 0. Некоторый образ ( $\left.\xi_{-}, 0\right)$ содержит 0 и, следовательно, ( $\xi-, \xi_{+}$) (так как $f_{-}(0)=\rho_{-}$, то образы 0 являются граничными точками компонент $U$ ). Степень $f$, для которой образ ( $\left.\xi_{-}, 0\right)$ впервые содержит 0 , является непрерывной функцией на $(\xi-, 0)$. Так как $f$ сохраняет ориентацию, то отсюда следует, что $\xi$ – отображается отображением $f$ в этой степени в $\xi_{-}$. Поэтому $\xi_{-}$- периодическая точка $f$. Отсюда заключаем, что $\rho_{ \pm}$отображаются некоторой степенью $f$ в периодические точки $f^{1}$ ).

Возвращаясь к отображению последования $\theta$ множества $R$, получаем, что образы вертикальных линий $x=\rho_{ \pm}$будут содержаться в конечном множестве вертикальных линий. В силу того что $\theta$ в вертикальном направлении является сжимающим, пересечение $W^{u}(p)$ с $R$ состоит из траекторий $\theta$, асимптотически стремящихся к периодическим траекториям отображения $\theta$. Эти периодические траектории лежат на периодических орбитах $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ потока $X$. Поскольку $\theta$ равномерно гиперболично (вне линии разрыва), то эти периодические орбиты являются гиперболическими и имеют двумерные устойчивые и неустойчивые многообразия. Обращаясь к теореме Купки – Смейла (Смейл [1]), отметим, что существует типичное свойство векторных полей, заключающееся в том, что пересечение устойчивого многообразия гиперболического периодического движения и неустойчивого многообразия гиперболического состояния равновесия должно быть трансвер-
1) Приведенное рассуждение неверно. Ошибка в том, что из $f^{-1}(U) \subset$ $\subset U$ не следует, что $f$ отображает компоненты на компоненты.-Прим. перев.

сальным. Здесь это не так. Таким образом, заключаем, что в открытом множестве векторных полей, которые мы описываем, такие векторные поля, для которых каждая дуга в $S$ в конечном счете пересечет каждое $R_{i}$, образуют множество второй категории. Я не знаю, существует ли открытое множество векторных полей с таким свойством.

Доказательство теоремы 12.1. Предположим, что $X$ выбрано так, что $\theta$ обладает следующим свойством: некоторый образ любой дуги из $S$ в конце концов пересечет каждое $R_{i}$. Если $w \in S$, а $U$ – прямоугольная окрестность $w$ в $R$, то $\theta^{k}(U)$ пересекается с каждым $R_{i}$ для достаточно большого $k$. В силу того что $\theta$ является сжимающим в вертикальном направлении, то $\theta^{-k}(U)$ для достаточно большого $k$ растягивается в вертикальном направлении на все $R$. Отсюда следует, что $\theta^{-k}(U) \cap \theta^{k}(U)
eq \varnothing$ для достаточно большого $k$. Таким образом, $\theta^{2 k}(U) \cap U
eq \varnothing$ и точка $w$ неблуждающая. Отсюда следует, что $S$ содержится в неблуждающем множестве отображения $\theta$, а поскольку $S$ пересекается с $W^{s}(p)$, то $p$ тоже содержится в неблуждающем множестве поля $X$. Это доказывает теорему 12.1 .

Неблуждающие множества векторных полей, рассмотренных в теореме 12.1, имеют двумерный аттрактор $\Lambda$, содержащий начало координат. Пересечение $\Lambda$ с $R$ содержит $S$. Мы хотим продолжить описание структуры $\Lambda$. Это можно сделать более полно, когда $p$ имеет гомоклиническую точку с $W^{u}(p) \subset$ $\subset W^{s}(p)$, т. е. когда $\rho_{+}$и $\rho_{-}$некоторой степенью $f$ отображаются в 0 .

Для определенности опишем $\Lambda$ в том случае, когда $f^{2}\left(\rho_{ \pm}\right)=$ $=0$. Позже мы укажем, что необходимо изменить, если $\rho_{+}$ и $\rho_{\text {- отобо }}$ отажаются в 0 более высокой степенью $f$. Итак, $R \cap$ $\cap \Lambda=\bar{S}$. Если $f^{2}\left(\rho_{ \pm}\right)=0$, то $\theta\left(R_{1}\right) \subset \vec{R}_{3} \cup R_{4}, \quad \theta\left(R_{2}\right) \subset R_{1}$, $\theta\left(R_{3}\right) \subset R_{4}$ и $\theta\left(R_{4}\right) \subset \overline{R_{1} \cup R_{2}}$. Следовательно, если $\left\{a_{k}\right\}_{k=0}^{\infty}-$
последовательность с $a_{i} \in\{1,2,3,4\}$, то $\bigcap_{k=0}^{\infty} \theta^{k}\left(R_{a_{k}}\right)
eq \varnothing$ тогда и только тогда, когда $\left\{a_{k}\right\} \in \Sigma$. Если $\left\{a_{k}\right\} \in \Sigma$, то существует отрезок, принадлежащий $R_{a_{0}}$, который лежит в $S$ и, следовательно, в $\Lambda$. Это позволяет представить себе $\Lambda$ следующим образом. Существует канторово множество дуг, соответствующих точкам $\Sigma$, каждая из которых лежит в некотором $R_{i}$. Их концы соединяются в точках $W^{u}(p)$ (см. рис. 12.3). Отметим, что точки $\Lambda \backslash W^{u}(p)$ имеют окрестности, гомеоморфные прямому произведению двумерного диска на канторово множество.

Если $\rho_{+}$и $\rho_{-}$отображаются в 0 другими степенями $f$, то сконструируем подсдвиг конечного типа следующим образом. Рассечем образ $\theta(R)$ вертикальными линиями, проходящими через каждую точку $\theta$-траекторий точек $\rho_{+}$и $\rho_{-}$. Тогда $\theta(R)$ разделится на конечное число компонент, скажем $R_{1}, \ldots, R_{n}$. Определим ( $n \times n$ )-матрицу $T$ следующим образом:
\[
T_{i l}=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если } \theta\left(R_{j}\right) \cap R_{i}
eq \varnothing, \\
0, \text { если } \theta\left(R_{j}\right) \cap R_{i}=\varnothing .
\end{array}\right.
\]

Пусть $\Sigma$ – (односторонний) подсдвиг конечного типа с матрицей переходіов $T$. Теперь каждой последовательности из $\Sigma$ соответствует в точности одна дуга, лежащая в аттракторе $\Lambda$. Как и выше, замыканием множества этих отрезков будет $\Lambda \cap R$, поскольку
\[
\bigcap_{k=0}^{\infty} \theta^{k}\left(R_{a_{k}}\right)=\varnothing, \quad \text { если }\left\{a_{k}\right\}
otin \Sigma .
\]

Наконец, заметим, что если $\theta$ не сохраняет вертикальные отрезки, то $R$ нужно рассекать вдоль компонент $W^{s}(p) \cap R, \quad$ содержащих точки из $W^{u}(p)$.

Доказательство теоремы 12.2 . Будем доказывать теорему 12.2 в два этапа. На первом шаге скон
Рис. 12.3.
струируем два потока $X$ и $\tilde{X}$ общего рассматриваемого в этой работе вида, такие, что для потока $X W^{u}(p) \subset W^{s}(p)$, а для потока $\overparen{X} W^{u}(p) \cap W^{s}(p)=$ $=\{p\}$. Докажем, что $X$ и $\tilde{X}$ имеют негомеоморфные неблуждающие множества. На втором шаге покажем, что векторные поля каждого из этих двух классов всюду плотны в некотором открытом множестве в пространстве $C^{r}$-гладких векторных полей.

Мы описали выше аттрактор $\Lambda(X)$ векторного поля $X$, для которого $W^{u}(p) \subset W^{s}(p)$. В этом случае $\Lambda$ линейно связно и $\Lambda \backslash W^{u}(p)$ локально гомеоморфно прямому произведению двумерного диска на канторово множество. Кроме того, $W^{u}(p)$ гомеоморфно букету двух окружностей – «восьмерке».

Рассмотрим теперь аттрактор $\Lambda(\tilde{X})$ векторного поля $\tilde{X}$, для которого $W^{u}(p) \cap W^{s}(p)=\{p\}$, а $\Lambda$ – двумерное множество, содержащее $p$. Если бы $\Lambda(
ot{X})$ было гомеоморфно $\Lambda(X), \Lambda(X)$ было бы линейно связным. Рассмотрим множество $C$ точек $w \in \Lambda(\mathscr{X})$, окрестность каждой из которых не
гомеоморфна прямому произведению двумерного диска на канторово множество. Из того, что не существует точек $\Lambda \cap R$ левее линии $x=\rho_{-}$или правее линии $x=\rho_{+}$, легко вывести, что $W^{u}(p) \subset C$. Если $\Lambda(X)$ гомеоморфно $\Lambda(\mathscr{X})$, то $C$ гомеоморфно букету двух окружностей. Так как $W^{u}(p)
ot \subset W^{s}(p)$ для $\overparen{X}$ и $W^{u}(p) \subset C$, то в $C \backslash\{p\}$ должны существовать две точки, являющиеся $\omega$-предельными множествами двух траекторий в $W^{u}(p) \backslash\{p\}$. Эти точки обязаны быть состояниями равновесия. Но состояний равновесия, отличных от $p$, в
Рис. 12.4.
$\Lambda(\widetilde{X})$ нет; отсюда заключаем, что $C$ не гомеоморфно букету двух окружностей. Следовательно, $\Lambda(X)$ и $\Lambda(X)$ не гомеоморфны. Этим завершается первый шаг доказательства.

Докажем теперь, что каждое из множеств векторных полей $X$ и $\tilde{X}$ рассмотренного выше типа всюду плотно в некотором открытом множестве. Из теоремы Купки – Смейла следует, что векторные поля, подобные $\tilde{X}$, для которых $W^{s}(p) \cap$ $\cap W^{u}(p)=\{p\}$, образуют множество второй категории. Так как множество векторных полей, для которых $\Lambda$ двумерно и $p \in \Lambda$, является множеством второй категории в открытом множестве, то в некотором открытом множестве всюду плотны векторные поля типа $\tilde{X}$.

Осталось доказать, что в открытом множестве векторных полей существует всюду плотное подмножество, для которого $W^{u}(p) \subset W^{s}(p)$. Посмотрим, что произойдет с многообразием $W^{u}(p)$ возмущения $Y$ векторного поля $\tilde{X}$, если $\tilde{X}$ возмущать параллельно оси $x$, так чтобы $\rho_{-}$уменьшалось, а $\rho_{+}$увеличивалось (см. рис. 12,4).

Будем рассматривать последовательные пересечения $W^{u}(p)$ с $R$ для векторных полей $Y$ и $\mathscr{X}$. Функции $f_{+}$и $f_{\text {- }}$ – сохраняют ориентацию. Следовательно, до тех пор, пока соответствующие друг другу последовательные пересечения для обоих векторных полей лежат по одну сторону от линии $x=0$, эффект возмущения проявляется в сдвиге следующих за $\rho_{-}$ вдоль $W^{u}(p)$ пересечений влево и в сдвиге следующих за $\rho_{+}$ вдоль $W^{u}(p)$ пересечений вправо. Кроме того, так как отображение $\theta$ расширяет по направлению $x$, то расстояние между соответствующими точками пересечений должно экспоненциально расти ${ }^{1}$ ). Бесконечно большим это расстояние стать не может, поэтому после некоторого количества итераций соответствующие точки пересечения должны очутиться по разные стороны от линии $x=0$. Таким образом, для некоторого возмущения, промежуточного между $Y$ и $\mathscr{X}$, существуют точки пересечения $W^{u}(p)$ с $R$, лежащие на линии $x=0$ (в обоих направлениях вдоль $W^{u}(p)$ ). Это означает, что для этого промежуточного возмущения $W^{u}(p) \subset W^{s}(p)$. Отсюда следует, что в некотором открытом множестве в пространстве векторных полей всюду плотны векторные поля, для которых $W^{u}(p) \subset W^{s}(p)$, чем и заканчиваем доказательство теоремы 12.2 .

По существующей в теории динамических систем традиции закончим главу проблемой. Описанные здесь векторные поля весьма патологичны с точки зрения топологической динамики. Кажется все же, что они сохраняют достаточно много гиперболичности, насколько это возможно без сохранения аксиомы $A$. Сейчас существует хорошо разработанная «статистическая механика» для аттракторов, удовлетворяющих аксиоме $A$ (Боуэн и Рюэль [1]). Можно ли эту теорию обобщить таким образом, чтобы она была применима к векторным полям, описанным в этой работе? ${ }^{2}$ )
1) Утверждение ошибочно. Для того чтобы расстояние росло, необходимо возмущение подобрать так, чтобы и $\rho_{+}$, и $\rho_{-}$уменьшались. Прим. перев.
2) По этому поводу см. Бунимович и Синай [1].-Прим. перев.