Л. П. Шильников

В последнее время широкое внимание специалистов различных направлений привлечено к системе уравнений
\[
\dot{x}=-\sigma(x-y), \dot{y}=-x z+r x-y ; \dot{z}=x y-b z,
\]

получившей название модели Лоренца. Система (1) была выведена $[29,21]$ из уравнений Навье – Стокса в задаче о тепловой конвекции, поэтому параметры $r, \sigma, b$ имеют вполне определенный гидродинамический смысл: $r$-число Рэлея, $\sigma$ – число Прандтля, а $b$ характеризует размеры системы. В этой системе Лоренцем [21] счетом на ЭВМ при $r=$ $=28, \sigma=10, b=8 / 3$ было обнаружено сложное хаотическое поведение траекторий, которое указывало на возможность существования принципиально новых установившихся режимов – стохастических колебаний, отличных от автоколебаний и биений. А такого рода движения представляют повышенный интерес в связи с объяснением явления турбулентности.

Конечно, имеются и другие динамические модели, в которых отмечалось сложное поведение траекторий ${ }^{1}$ ). Однако они не вызывали столь большого обсуждения либо по причине своей узкой направленности, либо из-за того, что сложные эффекты обнаруживались в нефизической области параметров, либо обнаруживалась чрезмерная чувствительность притягивающего множества к сдвигам параметров, сопровождающимся появлением и исчезновением устойчивых периодических движений ${ }^{2}$ ). Одну из таких систем мы все же упомянем – это часы. Қак известно, часы – вполне «динамичная» система, работающая либо в режиме автоколебаний (часы Галилея – Гюйгенса), либо в режиме синхронизации. Здесь среди многих моделей современных часов, предложенных Н. Н. Баутиным, одна из них [8] (после дополнительного учета самоиндукции) заслуживает особого внимания: как
1) Так к (1) сводятся некоторые модели лазеров [31, 6], а также модель дискового динамо [28].
2) Возникающие в таких системах математические вопросы отчасти отражены в работах $[4,5,7,10,11,13-15,19,20,22,23,34,35,37-39]$.
«мир>, 1980

следует из ее анализа, проведенного Л. А. Комразом [18], при значениях параметров из некоторой области часы будут иметь «стохастический ход» (правда, неизвестно, имеют ли такие часы какие-либо преимущества перед обычными).

Поскольку математическим образом стохастических колебаний не могут быть устойчивые периодические и квазипериодические движения, то естественно возникает вопрос: что же может им быть? Надо сказать, что специалистам по качественной теории дифференциальных уравнений хорошо известны примеры притягивающих грубых предельных множеств: $Y$-подмногообразия [2], соленоиды Смейла – Вильямса $[30,32]$, соленоиды Плыкина [24] и т. д. С легкой руки Рюэля и Такенса [26] множества, устойчивость которых сочетается с неустойчивостью каждой индивидуальной траектории, получили название «странных» аттракторов. Однако возможность появления грубых странных аттракторов в простых модельных системах остается пока проблематичной. Поэтому естественно возннкают вопросы: может ли быть в модели Лоренца странный аттрактор? И если да, то как он возникает и какова его структура?

Ответы на поставленные вопросы были даны в [6]. Ниже кратко приводятся полученные здесь результаты.

Картину эволюции структуры разбиения фазового пространства на траектории системы (1) будем описывать при изменении $r$ от 10 до 28 , положив $\sigma=10, b=8 / 3^{1}$ ). Ее удобно представить состоящей из следующих этапов:
1. При $r \in\left[10, r_{1}\right]$, где $r_{1}=13.92$, система имеет три состояния равновесия $O(0,0,0), O_{1}$ и $O_{2}$, из которых $O$ является седлом, имеющим двумерное устойчивое инвариантное многообразие $W^{s}$ и две выходящие траектории $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, которые будем называть сепаратрисами. Одна из них, для определенности $\Gamma_{1}$, стремится к устойчивому состоянию равновесия $O_{1}$, а другая $\Gamma_{2}-$ к $O_{2}$ (рис. $1, a$ ).
2. При $r=r_{1}$ каждая из сепаратрис $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ становится двоякоасимптотической к седлу $O$ (рис. $\left.1, \sigma^{2}\right)^{2}$ ). При переходе $r$ через $r_{1}$ из каждой петли сепаратрисы рождается по седловому периодическому движению $L_{1}$ и $L_{2}$. Более того, вместе с рождением $L_{1}$ и $L_{2}$ появляется инвариантное предельное множество $\Omega_{1}$, траектории которого находятся во взаимнооднозначном соответствии с множеством бесконечных в обе
1) В [6] был просмотрен и другой путь: $r=28, b=\frac{8}{3}, 1 \leqslant \sigma \leqslant 10$.
2) Система (1) инвариантна относительно замены $(-x,-y, z) \rightarrow$ $\leftrightarrow(x, y, z)$.

Рис. 1.

стороны последовательностей из двух символов, при этом периодическим последовательностям соответствуют периодические движения седлового типа. Однако это множество не является притягивающим, и, следовательно, устойчивыми предельными множествами остаются $O_{1}$ и $O_{2}$. Такая ситуация будет иметь место для $r \in\left(r_{1}, r_{2}\right)$, где $r_{2} \simeq 24.06$, только теперь $\Gamma_{1}$ будет стремиться к $O_{2}$, а $\Gamma_{2}$ – к $O_{1}$ (рис. $1, s$ ).
3. Момент $r=r_{2}$ является бифуркационным. Он характерен тем, что если раньше $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ шли в устойчивые фокусы $O_{2}$ и $O_{1}$, то при $r=r_{2} \Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ будут стремиться к седловым периодическим движениям $L_{2}$ и $L_{1}$ соответственно (рис. 1, г). Это приводит к тому, что на месте $\Omega_{1}$ возникает уже двумерное предельное множество $\Omega_{2}^{\prime}$.
4. При $r \in\left(r_{2}, 28\right]$ система будет иметь устойчивое предельное множество $\Omega_{2}$, обладающее свойствами:

1) $\Omega_{2}$ является негрубым: это связано, в частности, с тем, что седло $O$ принадлежит $\Omega_{2}$ вместе со своими сепаратрисами $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}{ }^{1}$ ).
2) Периодические движения всюду плотны в $\Omega_{2}$ и являются грубыми, седлового типа.
3) В $\Omega_{2}$ имеет место экспоненциальное разбегание траекторий, столь характерное для систем с перемешиванием и непрерывным спектром ${ }^{2}$ ).
4) Исчезновение периодических движений при изменении $r$ возможно только путем влипания их в петли сепаратрис седла $O$.
5) В интервале $\left(r_{2}, r_{3}\right)$, где $r_{3} \simeq 24.74$, в фазовом пространстве будут существовать три устойчивых аттрактора: $\Omega_{2}$, который будем называть аттрактором Лоренца, и состояния равновесия $O_{1}$ и $O_{2}$ (рис. $1 \partial$ ). Границей области притяжения аттрактора Лоренца являются устойчивые многообразия периодических движений $L_{1}$ и $L_{2}$.
6) При $r \rightarrow r_{3}$ периодические движения $L_{1}$ и $L_{2}$ стягиваются к состояниям равновесия $O_{1}$ и $O_{2}$, которые при $r=r_{3}$ теряют устойчивость, что приводит к жесткому режиму возникновения стохастичности.
7) При $r \in\left(r_{3}, 28\right]$ единственным устойчивым предельным множеством является аттрактор Лоренца (рис. $1, e$ ).

Поскольку $r=r_{2}$ является границей интервала устойчивости $\Omega_{2}$, то при $r \leqslant r_{2}$ изображающая точка покидает окрестность $\Omega_{2}$. Новым установившимся режимом будет либо $O_{1}$, либо $\mathrm{O}_{2}$. Таким образом, получаем, что $r=r_{2}$ является точкой динамически неопределенной опасной границы [9] области устойчивости аттрактора Лоренца.

Отметим, что эта последовательность бифуркаций с теми же численными значениями бифуркационных параметров была указана также Йорком и Капланом [16].

На рис. 2 приведен ряд бифуркационных кривых системы (1) в прямоугольнике: $0 \leqslant r \leqslant 100,0 \leqslant \sigma \leqslant 100$ при $b=$ $=8 / 3^{3}$ ). На нем отсутствует кривая $l_{0}: r=1$, переход через которую соответствует появлению из $O$ двух устойчивых состояний равновесия $O_{1}$ и $O_{2}$. Кривые $l_{1}, l_{4}, l_{5}$ соответствуют существованию у системы (1) петель сепаратрис седла $O$. Качественный вид петли $\bar{\Gamma}_{1}$ в проекции на плоскость $x z$ в слу-
1) На то, что в (1) аттрактор может быть негиперболичен, обратил внимание Рюэль [27].
2) Метрические свойства аттрактора Лоренца изучались Л. А. Бунимовичем и Я.Г. Синаем [12].
8) Кривые $l_{1}$ и $l_{2}$ авторами [6] были указаны на школе по нелинейным задачам гидродинамической устойчивости в Колюбакино (1978 г.).

Рис. 2.

чае $l_{1}$ изображен на рис. 1,6 , в случае $l_{4}$ – на рис. 3 , $a$, а в случае $l_{5}$ – на рис. 3,6 . Из нее при переходе через $l_{i}, i=1,4,5$ будет рождаться периодическое движение седлового типа, инвариантные многообразия которого будут цилиндрами в случае $l_{1}$ и $l_{5}$ и листами Мёбиуса в случае $l_{4}$. Кривая $l_{2}$ соответствует тому моменту, когда $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ ложатся на устойчивые многообразия родившихся периодических движений (рис. 1,2). При переходе через $l_{2}$ и возникает аттрактор Лоренца ${ }^{1}$ ). Кривая $l_{3}$ хорошо известна: $r=\sigma(\sigma+b+3)(\sigma-b-1)^{-1}$. На ней $O_{1}$ и $O_{2}$ теряют устойчивость. В последнее время Н. В. Рощиным [25] доказано, что $l_{3}$ – опасная граница области устойчивости. Отметим, что $l_{3}$ не может пересекать кривые $l_{1}$ и $l_{2}$; кривую же $l_{4}$ она пересекает по двум точкам.
1) Правда, нужно еще проверить условие 6, накладываемое на разрывное отображение (см. третий параграф).

Помимо указанных кривых имеются и другие кривые, соответствующие петлям сепаратрис, но с более сложным поведением $\Gamma_{i}$. Как следует из теоретического рассмотрения, в некоторой области, примыкающей к $l_{2}$, они образуют счетное
Рис. 3.

всюду плотное множество. Некоторые из таких кривых, в частности $l_{1}$, были просчитаны группой В. И. Юдовича. Кроме того, ими была обнаружена бифуркационная точка $Q_{10}(30,4$;
Рис. 4.
10,2) (множество коразмерности два), соответствующая контуру из седел $O$ и $O_{1}\left(O_{2}\right)$ и траекторий, их соединяющих, одіной из которых является $\Gamma_{2}\left(\Gamma_{1}\right)$ (рис. $4, a$ ). Имеется еще одна бифуркационная точка $Q_{20}(85 ; 11,9)$, соответствующая контуру из седел $O$ и $O_{1}\left(O_{2}\right)$ и траекторий, их соединяющих, одной из которых является $\Gamma_{1}\left(\Gamma_{2}\right.$ ) (рис. 4,б), также найденная с помощью численного эксперимента. Подобные бифуркации теоретически рассматривались в работе В. В. Быкова [11], из которой, в частности, следует, что существует еще счетное множество бифуркационных точек $Q_{i j} i=1,2 ; j=1$, $2, \ldots$, соответствующих негрубым сепаратрисным контурам такого же типа, но с более сложным поведением $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, и что к этим точкам примыкают бифуркационные кривые $l_{i j}$, соответствующие петлям сепаратрис седел $O_{1}$ и $O_{2}$. А это приводит к важному выводу о существовании устойчивых периодических движений (см. ниже).

Несколько слов о схеме доказательства свойств аттрактора Лоренца $\Omega_{2}$. Указывается однопараметрическое семейство систем $X_{\mu}$, имеющих состояние равновесия типа седло $O$, одномерные сепаратрисы которого при $\mu=0$ возвращаются в него. Предполагается, что системы имеют секущую площадку, на которой определено отображение последования $T(\mu)$. Из-за наличия седла $T(\mu)$ будет разрывным. Но именно это свойство $T(\mu)$ и позволяет сравнительно просто сформулировать условия, при которых будет существовать странный аттрактор. Теперь возникает вопрос: можно ли проверить условия для модели Лоренца? Что касается отображения Пуанкаре $T_{1}$ для системы (1), то оно есть, поскольку имеется подходящая «секущая» $z=r-1$. Однако об аналитических свойствах $T_{1}$, которые как раз и нужны, практически ничего нельзя сказать. Поэтому нами (В. С. Афраймовичем, В. В. Быковым, Л. П. Шильниковым – авторами [6] ) проверка теоретических условий для модели Лоренца проводилась с помощью ЭВМ.

Ниже излагается ряд фактов и утверждений, связанных с изучением динамических систем $X_{\mu}$ типа модели Лоренца и разрывных отображений порождаемых ими. Предварительно описываются бифуркации петель сепаратрис седла.
1. О бифуркациях в окрестности траектории, двоякоасимптотической к седлу

Рассмотрим однопараметрическое семейство $X_{\mu}$ трехмерных гладких динамических систем
\[
\dot{x}=X(x, \mu),
\]

непрерывно зависящих от параметра $\mu$. Предположим, что системы (2) при $0 \leqslant \mu \leqslant 1$ имеют состояние равновесия $O(0,0,0)$ типа седло. Пусть $\lambda_{1}(\mu), \lambda_{2}(\mu), \lambda_{3}(\mu)$ – корни характеристического уравнения в $O$ и $\operatorname{Re} \lambda_{i}(0)<0, i=1$, 2 , а $\lambda_{3}(0)>0$. Устойчивое двумерное многообразие седла $O$ будем обозначать через $W^{s}(\mu)$. Предположим, что одна из двух траекторий, выходящих из $O$. которую обозначим через $\Gamma_{1}(\mu)$ (вторую обозначим через $\Gamma_{2}(\mu)$ ), при $\mu=0$ возвращается в седло. Ниже $\Gamma_{1}(\mu)$ и $\Gamma_{2}(\mu)$ мы будем называть сепаратрисами. Будем предполагать, что седловая величина
\[
\sigma(0)=\max _{i=1,2} \operatorname{Re} \lambda_{i}(0)+\lambda_{3}(0)
eq 0 .
\]

Дальнейшее рассмотрение сводится к трем следующим основным случаям:
I) Пусть $\sigma(0)<0$. Тогда, как известно [33], из петли $\overline{\Gamma_{1}(0)}=\Gamma_{1}(0) \cup O$ может родиться только одно периодическое
Рис. 5.

движение $L_{1}(\mu)$. При этом $\Gamma_{1}(\mu)$ при $t \rightarrow+\infty$ будет наматываться на $L_{1}(\mu)$.
II) Пусть $\lambda_{1}(0)$ и $\lambda_{2}(0)$ – комплексно-сопряженные и $\sigma(0)>0$. Здесь, как следует из $[34,37]$, в любой окрестности $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ будет существовать нетривиальное гиперболическое множество, содержащее счетное множество периодических движений. Однако это множество не исчерпывает всего множества траекторий, целиком лежащих в окрестности $\overline{\Gamma_{1}(0)}$. Это следует из того, что отображение последования $T(\mu)$ при $\mu=0$ на секущей $D$, трансверсальной к $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ имеет счетное множество подков Смейла $T: \sigma_{k} \rightarrow \sigma_{k}$ (см. рис. 5 , где через
$D_{1}$ обозначена область определения $T(\mu)$ ) с необязательно грубыми переходами с одной подковы на другую. При $\mu$ же не равном нулю подков остается только конечное число. Имеющие здесь место бифуркационные явления будут зависеть от новой седловой величины $\sigma_{1}(0)=2 \operatorname{Re} \lambda_{1}(0)+\lambda_{3}(0)$. Будем предполагать, что $\sigma_{1}(0)
eq 0$. Тогда можно доказать следующее: 1 . При $\sigma_{1}(0)<0 X_{\mu}$ при $\mu$ из счетного множества интервалов будет иметь устойчивое периодическое движение, смена устойчивости которого сопровождается бифуркацией, связанной с рождением периодического движения удвоенного периода. 2. При $\sigma_{1}(0)>0$ будет существовать счетное множество интервалов, для значений $\mu$ из которых система $X_{\mu}$ будет иметь вполне неустойчивое периодическое движение (устойчивое при $t \rightarrow-\infty$ ).

Как уже отмечалось выше, на плоскости параметров $r, \sigma$ модели Лоренца при $b=8 / 3$ имеется счетное множество кривых $l_{i j}$, точкам которых соответствуют петли сепаратрис $O_{1}$ и $O_{2}$. Поскольку в седле $O_{1}\left(O_{2}\right)$ два корня $\lambda_{1}^{(1)}$ и $\lambda_{2}^{(1)}$, комплексно-сопряженные с $\operatorname{Re} \lambda_{i}^{(1)}>0$, а третий $-\lambda_{3}^{(1)}<0$, то $O_{1}\left(O_{2}\right)$ имеет двумерное неустойчивое многообразие $W_{1}^{u}\left(W_{2}^{u}\right)$ и две траектории $\Gamma_{11}$ и $\Gamma_{12}\left(\Gamma_{21}\right.$ и $\left.\Gamma_{22}\right)$, входящие в него. Пусть $\bar{\Gamma}_{11}$ $\left(\Gamma_{21}\right)$ – петля седла $O_{1}\left(O_{2}\right)$, соответствующая $l_{i j}$. Так как сумма корней равна дивергенции поля в $O_{1}$, а она равна – $b-$ $-\sigma-1$, то получаем, что $2 \operatorname{Re} \lambda_{1}^{(1)}+\lambda_{1}^{(1)}<0$ и $\operatorname{Re} \lambda_{1}^{(1)}+\lambda_{3}^{(1)}<0$. Таким образом, с точностью замены времени $t$ на $-t$, мы находимся в условиях применимости второго случая. А это означает, что модель Лоренца при $r$ и $\sigma$ из счетного множества областей имеет устойчивые периодические движения ${ }^{1}$ ).
III) Пусть $\lambda_{1}(0)<\lambda_{2}(0)$ и $\sigma(0)>0$. Как известно, в рассматриваемом случае все траектории, принадлежащие $W^{s}(0)$, за исключением двух, будут входить в $O$, касаясь ведущего направления. Поскольку без ограничения общности можно считать, что система (2) при малых $\mu$ имеет вид
\[
\dot{x}_{i}=\lambda_{i}(\mu) x_{i}+F_{i}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \mu\right), \quad i=1,2,3,
\]

то ведущим направлением будет ось $x_{2}$. Две же исключительные траектории, входящие в $O$, касаются оси $x_{1}$. Вместе с $O$ они образуют неведущее многообразие, которое обозначим через $W_{0}^{s}(0)$. Оно разделяет $W^{s}(0)$ на две области, $W_{+}^{s}(0)$ и $W_{-}^{s}(0)$. Будем предполагать, что $\Gamma_{1}(0) \in W_{+}^{s}(0)$. Пусть $U-$
1) Можно также показать, что к каждой гочке $Q_{i /}$ аримыкает бифуркационная кривая, соответствующая контуру из $O_{1}, \Gamma_{21}, O_{2}, \Gamma_{11}$.

некоторая достаточно малая окрестность $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ и $\mathfrak{R}_{1}$ – связная компонента пересечения $\overline{W_{+}^{s}(0)}$ с $U$, содержащая $\Gamma_{1}(0)$. Как следует из [36], в общем случае $\mathfrak{M}_{1}$ есть двумерная непрерывная поверхность, гомеоморфная либо цилиндру, либо листу Мёбиуса. В $1-$ м случае $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ будем называть ориентируемой петлей, а во втором – неориентируемой.

Теорема 1 [36]. При сделанных предположениях из $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ может родиться только одно периодическое движение $L_{1}(\mu)$ и притом седлового типа. В случае ориентируемой петли $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ условие рождения состоит в том, чтобы
\[
\lim _{\mu \rightarrow 0} \Gamma_{1}(\mu) \supset \Gamma_{2}(0),
\]

в случае неориентируемой $-{ }^{1}$ )
\[
\lim _{\mu \rightarrow 0} \Gamma_{1}(\mu)=\Gamma_{1}(0) .
\]

В первом случае инвариантные многообразия $L_{1}(\mu)$ будут цилиндрами, а во втором – листами Мёбиуса.

Доказательство теоремы основано на исследовании отображения последования $T_{1}(\mu)$, построенного на некоторой секущей пластинке $D$ в плоскости $x_{2}=d$ по траекториям, близким к $\Gamma_{1}(\mu)$. В некоторых локальных переменных на $D$ это отображение может быть записано в виде
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=x_{1}^{* *}(\mu)+y^{\alpha(\mu)} \varphi_{1}(x, y, \mu), \\
\bar{y}=y_{1}^{* *}(\mu)+y^{\alpha(\mu)} \Psi_{1}(x, y, \mu),
\end{array}
\]

где $\alpha(\mu)=\left|\lambda_{2}(\mu)\right| \lambda_{3}^{-1}(\mu), \quad P_{1}\left(x_{1}^{* *}(\mu), \quad y_{1}^{* *}(\mu)\right)$ точка 1 -го пересечения $\Gamma_{1}$ с $D$, причем $y_{1}^{* *}(0)=0 ; y=0$ есть уравнение пересечения $W^{s}(\mu)$ с плоскостью $x_{2}=d$, а функции $\varphi_{1}$ и $\psi_{1}$ определены, непрерывны и дифференцируемы по $x$ и $y>0$ в $D_{1}$ при $\mu \geqslant 0$. При $y \rightarrow 0$ ч и $\psi_{1}$ допускают доопределение по непрерывности величиной, зависящей только от $\mu$. Предел $\psi_{1}$ при $y \rightarrow 0$ будем обозначать через $A_{1}(\mu)$. Кроме того, имеют место оценки
\[
K_{1}<\left|\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial y} \cdot y^{1-\beta_{1}(\mu)}\right|<K_{2}, K_{3}<\left|\frac{\partial \psi_{1}}{\partial y} \cdot y^{1-\beta_{2}(\mu)}\right|<K_{4},
\]

где $K_{1}, \ldots, K_{4}$ – константы, а $\beta_{1}(\mu)$ и $\beta_{2}(\mu)$ – некоторые положительные функции, не превосходящие 1 . На языке ото-
1) Здесь через $\lim$ обозначен топологический предел.

бражений условие $A_{1}(0)>0$ означает, что петля $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ ориентируемая, $A_{2}(0)<0$ – что она неориентируема.

Пусть $W_{1}^{s}(\mu)$ и $W_{1}^{u}(\mu)$ устойчивое и неустойчивое многообразия периодического движения $L_{1}(\mu)$. В силу того что $L_{1}(\mu)$ отрождается от $\bar{\Gamma}_{1}(0)$, можно показать, что $W_{1}^{s}(\mu)$ при $\mu \rightarrow 0$ имеет топологическим пределом множество, содержащее $W_{+}^{s}(0)$, а расстояние между $W_{1}^{s}(\mu)$ и $W^{s}(\mu)$ в $D$ имеет порядок $\left|y_{1}^{* *}(\mu)\right|^{1 / \alpha(\mu)}$. Относительно $W_{1}^{u}(\mu)$ можно сказать следующее. $W_{1}^{u}(\mu)$ трансверсально пересекает $W^{s}(\mu)$ и в его границу входит $\Gamma_{1}(\mu)$.

Как мы уже отмечали, модель Лоренца допускает группу симметрии. Поэтому существование одной петли означает существование другой, причем обе сепаратрисы $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ будут входить в $O$, касаясь друг друга. Из сказанного нетрудно извлечь, что устойчивые и неустойчивые многообразия родившихся периодических движений трансверсально пересекаются. А это означает, что при переходах через $l_{i}, i=1,4,5$ будет возникать гомоклинический контур, а следовательно, нетривиальное гиперболическое множество [35]. Однако это множество, вообще говоря, у́же всего появившегося предельного множества.
2. О рождении гиперболического множества $\Omega_{1}(\mu)$

Предположим, что при $\mu=0$ обе сепаратрисы $\Gamma_{1}(0)$ и $\Gamma_{2}(0)$ возвращаются в седло и выполнены условия случая III. Предположим, что $\Gamma_{1}(0)$ и $\Gamma_{2}(0)$ входят в седло $O$, касаясь друг друга. Очевидно, в этом случае секущую площадку $D$ можно выбрать так, чтобы и $\Gamma_{1}(0)$ и $\Gamma_{2}(0)$ пересекали ее. Обозначим точки пересечения $\Gamma_{i}(\mu)$ с $D$ через $P_{i}\left(x_{i}^{* *}(\mu)\right.$, $y_{i}^{* *}(\mu)$ ). Аналогично $T_{1}(\mu)$, при $y<0$ на $D_{2} \subset D$ можно построить отображение $T_{2}(\mu)$, которое запишется в виде
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=x_{2}^{* *}(\mu)+(-y)^{\alpha(\mu)} \varphi_{2}(x, y, \mu), \\
\bar{y}=y_{2}^{* *}(\mu)-(-y)^{\alpha(\mu)} \Psi_{2}(x, y, \mu),
\end{array}
\]

где $\varphi_{2}$ и $\psi_{2}$ удовлетворяют условиям, аналогичным $\varphi_{1}$ и $\psi_{1}$. Предел $\psi_{2}$ при $y \rightarrow 0$ обозначим через $A_{2}(\mu)$.
Имеют место три основных случая:

Случай А (ориентируемый) $-A_{1}(0)>0, A_{2}(0)>0$.
Случай В (полуориентируемый) $-A_{1}(0)>0, A_{2}(0)<0$.
Случай $\mathrm{C}$ (неориентируемый) $-A_{1}(0)<0, A_{2}(0)<0$.

Для определенности будем предполагать, что из $\overline{\Gamma_{1}(0)}$ и $\overline{\Gamma_{2}(0)}$ при $\mu>0$ рождаются периодические движения, т.е. $A_{1}(0) \cdot y_{1}^{* *}(\mu)<0$ и $A_{2}(0) \cdot y_{2}^{* *}(0)>0$.

Теорема 2. Пусть $y_{1}^{* *}(\mu)$ и $y_{2}^{* *}(\mu)$ имеют одинаковый порядок при $\mu \rightarrow 0$. Тогда при достаточно малых $\mu$ множество $\Omega_{1}(\mu)$ всех траекторий целиком лежащих в некоторой окрестности $\overline{\Gamma_{1}(0) \cup \Gamma_{2}(0)}$, исключая $O$, будет гомеоморфно надстройке над схемой Бернулли из двух символов ${ }^{1}$ ).

Надо сказать, что теорема 2 сформулирована при весьма ограничительном предположении, которое, однако, для модели Лоренца выполняется. Ниже мы приведем более сильную теорему, а здесь только заметим, что изучение рассматриваемой бифуркации требует рассмотрения двухпараметрического семейства систем, поскольку системы типа $X_{0}$ образуют бифуркационное множество коразмерности два.
3. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца

Дальнейшее рассмотрение связано с исследованием предельных множеств $X_{\mu}$ при не малых $\mu$. Прежде всего будем предполагать $\lambda_{1}(\mu)<\lambda_{2}(\mu), \sigma(\mu)=\max _{i=1,2} \lambda_{i}(\mu)+\lambda_{3}(\mu)>0$. Кроме того, предположим, что существует площадка без контакта $D$, такая, что:
(1) на $D$ можно ввести евклидовы координаты $(x, y)$ так, что
\[
D=\{(x, y)|\quad| x|\leqslant 1,| y \mid \leqslant 2\},
\]
(2) уравнение $y=0$ описывает компоненту связности $S$ пересечения $W^{s}(\mu) \cap D$, такую, что все $\omega$-полутраектории, начинающиеся на $S$, не имеют больше точек пересечения с $D$ при $t \rightarrow+\infty$;
(3) по траекториям системы определены отображения $T_{1}(\mu)$ : $D_{1} \rightarrow D$ и $T_{2}(\mu): D_{2} \rightarrow D$, где $D_{1}=\{(x, y)|| x \mid \leqslant 1,0<y \leqslant$ $\leqslant 1\}, D_{2}=\{(x, y)|| x \mid \leqslant 1,-1 \leqslant y<0\}$, причем $T_{i}(\mu)$ записывается в виде
\[
\bar{x}=f_{i}(x, y, \mu), \bar{y}=g_{i}(x, y, \mu),
\]

где $f_{i}, g_{i}$ – гладкие функции по $x$ и $y$ и непрерывные по $\mu$. (4) $f_{i}$ и $g_{i}$ допускают доопределение по непрерывности на $S$,
1) О надстройках над топологическими марковскими цепями см. $[1,3]$

причем
\[
\begin{array}{c}
\lim _{y \rightarrow 0} f_{i}(x, y, \mu)=x_{i}^{* *}(\mu), \lim _{y \rightarrow 0} g_{i}(x, y, \mu)=y_{i}^{* *}(\mu), \\
T_{1}(\mu) D_{1} \cap D \subset \Pi_{1}=\left\{\left.(x, y)\left|\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1,\right| y \right\rvert\, \leqslant 2\right\}, \\
T_{2}(\mu) D_{2} \cap D \subset \Pi_{2}=\left\{\left.(x, y)\left|-1 \leqslant x \leqslant-\frac{1}{2},\right| y \right\rvert\, \leqslant 2\right\} .
\end{array}
\]

Из поведения траектории вблизи $W^{s}(\mu)$ вытекает, что в малой окрестности $S$ для $T_{1}(\mu)$ имеет место представление вида (3), а для $T_{2}(\mu)$ – представление вида (4). Ясно, что точка $P_{i}\left(x_{i}^{* *}(\mu), y_{i}^{* *}(\mu)\right)$ есть первая точка пересечения $\Gamma_{i}(\mu)$ с $D$.
Введем отображение $T(\mu)$, определенное на $D_{1} \cup D_{2}$ :
\[
\bar{x}=f(x, y, \mu), \bar{y}=g(x, y, \mu),
\]

где $f=f_{i}, g=g_{i}$, если $(x, y) \in D_{i}$. Наложим на $T(\mu)$ следующие ограничения ${ }^{1}$ ):
а) $\left\|f_{x}\right\|<1$,
б) $\left\|g_{y}^{-1}\right\|<1$,
в) $1-\left\|f_{x}\right\|\left\|g_{y}^{-1}\right\|>2 \sqrt{\left\|g_{y}^{-1}\right\| \cdot\left\|g_{x}\right\| \cdot\left\|g_{y}^{-1} \cdot f_{y}\right\|}$,
г) $\left\|g_{y}^{-1} \cdot f_{y}\right\| \cdot\left\|g_{x}\right\|<\left(1-\left\|f_{x}\right\|\right)\left(1-\left\|g_{y}^{-1}\right\|\right)$.

Здесь и ниже $\|\cdot\|=\sup |\cdot|,(x, y) \in D_{1} \cup D_{2}$.
Все наложенные на $T(\mu)$ условия являются естественным обобщением условий на отображения $T_{1}(\mu)$ и $T_{2}(\mu)$, которые рассматривались выше при малых $\mu$. В частности заметим, что поскольку $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ представимы в виде $\psi_{i}=A_{i}(\mu)+\ldots$, где многоточие означает члены, стремящиеся к нулю при $y \rightarrow$ $\rightarrow 0$, из условия (6) следует, что $A_{i}(\mu)$ не меняют знака. Поэтому понятие ориентируемого, полуориентируемого и неориентируемого случая можно распространить на любую систему $X_{\mu}$. Для простоты удобно считать, что $A_{i}(\mu)$ не обращаются в нуль. При этом получаем, что для существования периодических движений $L_{1}(\mu)$ и $L_{2}(\mu)$ в случае $A$ требуется, чтобы $P_{1} \in D_{2}, P_{2} \in D_{1}$, в случае В- $P_{1} \in D_{2}, P_{2} \in D_{2}$, а в случае $\mathrm{C}-P_{1} \in D_{1}, P_{2} \in D_{2}$. Неподвижную точку – точку пересечения $L_{i}(\mu)$ с $D$ – будем обозначать через $M_{i}\left(x_{i}^{*}(\mu), y_{i}^{*}(\mu)\right)$. В случае $C$ существует также еще одно периодическое движение $L_{3}(\mu)$, причем такое, что $L_{3}(\mu) \cap D=M_{3}\left(x_{3}^{*}(\mu), y_{3}^{*}(\mu)\right) \cup$ $M_{4}\left(x_{4}^{*}(\mu), y_{4}^{*}(\mu)\right)$, где $M_{3} \in D_{1}, M_{4} \in D_{2}$. Ясно, что все эти периодические движения имеют седловой тип. Из наложенных
1) Эти ограничения аналогичны условиям принципа кольца, использованного нами в задаче разрушения инвариантного тора $[4,5]$.

условий вытекает, что уравнения пересечений связных компонент устойчивых многообразий $W_{i}^{s}(\mu)$ периодических движений $L_{i}(\mu), i=1,2$, с $D$, содержащих неподвижные точки $M_{i}$, представимы в виде $y=y_{i}(x, \mu),|x| \leqslant 1$. Будем считать, что $W_{1}^{s}(\mu)$ в случае В есть вложенный цилиндр. В случае С уравнение связной компоненты $D \cap W_{3}^{s}(\mu)$, содержащей точку $M_{j}$, также будет записываться в виде
\[
y=y_{j}(x, \mu),|x| \leqslant 1, j=3,4 .
\]

Определим следующие функции $R_{1}(\mu)$ и $R_{2}(\mu)$ :
в случае А $R_{1}(\mu)=y_{2}^{* *}(\mu)-y_{1}\left(x_{2}^{* *}(\mu), \mu\right)$,
\[
R_{2}(\mu)=-\left(y_{1}^{* *}(\mu)-y_{2}\left(x_{2}^{* *}(\mu), \mu\right) ;\right.
\]

в случае В $R_{1}(\mu)=y_{2}^{* *}(\mu)-y_{1}\left(x_{2}^{* *}(\mu), \mu\right)$,
\[
R_{2}(\mu)=v^{* *}(\mu)-y_{1}\left(u^{* *}(\mu) \mu\right),
\]

где $u_{i}^{* *}(\mu), v_{i}^{* *}(\mu)$ есть координаты $T P_{i}, i=1,2$; в случае С $R_{1}(\mu)=y_{2}^{* *}(\mu)-y_{3}\left(x_{2}^{* *}(\mu), \mu\right), R_{2}(\mu)=-\left(y_{1}^{* *}(\mu)-y_{4}\left(x_{1}^{* *}(\mu), \mu\right)\right)$.

Обозначим через $\Sigma(\mu)$ замыкание множества всех точек траекторий отображения $T(\mu)$, целиком лежащих в $D$.

Теорема 3. Пусть $R_{1}(\mu)>0, R_{2}(\mu)>0$. Тогда $T(\mu)$ на $\Sigma(\mu)$ сопряжено со схемой Бернулли из двух символов.

Рассмотрим теперь случаи, когда нарушены условия теоремы.
1). Пусть $R_{1}(\mu)>0, R_{2}(\mu) \leqslant 0,\left(R_{1} \leqslant 0, R_{2}>0\right)$. Здесь (при некоторых дополнительных условия в случаях А и В) будет существовать нульмерное нетривиальное неустойчивое предельное множество $\Sigma(\mu)$. Но в отличие от вышеприведенного оно может быть негрубым для нульмерного множества значений $\mu$, причем для континуума значений $\mu \Sigma(\mu)$ не будет описываться конечной топологической марковской цепью.
2). $R_{1}(\mu)<0, R_{2}(\mu)=0 \quad\left(R_{1}=0, R_{2} \leqslant 0\right)$. Здесь $\Sigma(\mu)$ уже будет одномерным. Однако оно неустойчиво.
3). $R_{1}(\mu)<0, R_{2}(\mu)<0$. В этом случае $\Sigma(\mu)$ также будет одномерным. При этом, если из $\Sigma(\mu)$ выбросить $M_{1} \cup M_{2}$ в случае А, $M_{1}$ в случае В, и $M_{3} \cup M_{4}$ в случае С, то оставшееся множество $\tilde{\Sigma}(\mu)$ будет притягивающим. С прикладной точки зрения $\widetilde{\Sigma}(\mu)$ вполне можно считать странным аттрактором, поскольку в нем нет устойчивых периодических точек и они не возникают при шевелении $\mu$. Однако $\widetilde{\Sigma}(\mu)$ может не быть неблуждающим множеством. В том случае, когда оно является неблуждающим, $\tilde{\Sigma}(\mu)$ будем называть аттрактором Лоренца.

Дальнейшее рассмотрение мы ограничим случаем А, да и то симметричным, хотя результаты будут аналогичными и в общем случае.
Предположим, что
\[
f_{2}(x, y, \mu)=-f_{1}(-x,-y, \mu), g_{2}(x, y, \mu)=-g_{1}(-x,-y, \mu)
\]

Очевидно, в этом случае $R_{1}(\mu)=R_{2}(\mu)=R(\mu)$. Пусть $R(\mu)>$ $>0$ при $\mu \in\left(0, \mu_{0}\right), R\left(\mu_{0}\right)=0, R(\mu)<0$ при $\mu \in\left(\mu_{0}, 1\right]$.
Рис. 6.

Значение $\mu=\mu_{0}$ бифуркационное, в этот момент $\Gamma_{1}\left(\mu_{0}\right)$ ложится на $W_{2}^{s}\left(\mu_{0}\right)$, а $\Gamma_{2}\left(\mu_{0}\right)$ на $W_{1}^{s}\left(\mu_{0}\right)$ (рис. 6) $\left.{ }^{1}\right)$.

Теорема 3. $\Sigma\left(\mu_{0}\right)$ одномерно, является неблуждающим множеством, в нем всюду плотны грубые периодические точки, состоит из двух компонент связности, во всех точках не принадлежащих $у=y_{i}(x, \mu), i=1,2, \Sigma\left(\mu_{0}\right)$ локально устрое-
1) Бифуркации контуров, подобных контуру из $L_{2}\left(\mu_{0}\right), \Gamma_{1}\left(\mu_{0}\right), O$ и траектории, соединяющей $L_{2}\left(\mu_{0}\right)$ с $O$, рассматривались в [39].

но как прямое произведение канторовского множества на отрезок.

Поскольку не все точки неустойчивых многообразий $W_{i}^{u}\left(\mu_{0}\right)$, принадлежат $\Sigma\left(\mu_{0}\right)$, то оно неустойчиво. Пусть $\tilde{D}$ есть область, заключенная между кривыми $y=y_{2}(x, \mu)$ и $y=$ $=y_{1}(x, \mu)$. Очевидно, в силу условия $R(\mu)<0$ при $\mu>\mu_{0}$, $T(\mu)(\tilde{D} \backslash S) \subset \tilde{D}$. Замыкание множества всех неблуждающих точек $T(\mu)$ на $\tilde{D} \backslash S$ и будет $\widetilde{\Sigma}(\mu)$. Пусть $N(\mu)$ таково, что при $k=N(\mu), \quad T^{k}(\mu) P_{2} \in D_{1}$, а при $k=0,1,2, \ldots, N(\mu)-1$ $T^{k}(\mathrm{u}) P_{2}
otin D_{1}$.
Введем в рассмотрение следующую величину:
\[
\begin{aligned}
q(\mu)=\frac{1}{2\left\|g_{y}^{-1}\right\|} & \cdot\left(1+\left\|f_{x}\right\| \cdot\left\|g_{y}^{-1}\right\|+\right. \\
& +\sqrt{\left(1-\left\|f_{x}\right\| \cdot\left\|g_{y}^{-1}\right\|\right)^{2}-4\left\|g_{y}^{-1}\right\| \cdot\left\|g_{x}\right\|\left\|g_{y}^{-1} \cdot f_{y}\right\|} .
\end{aligned}
\]

Из условия (6), наложенного на $T(\mu)$, можно извлечь, что $q\left(\mu^{*}\right)>q_{0}>1$.
Теорема 4. При выполнении условия $\left.{ }^{1}\right)$
\[
q(\mu)^{N(\mu)}>2
\]
1) $\check{\Sigma}(\mu)$ есть аттрактор Лоренца; 2) $\check{\Sigma}(\mu)$ состоит из двух компонент связности, окрестность которого расслоена непрерывным устойчивым слоением на липиицируемые слои, по которым точки притягиваются к нему; 3) $\widetilde{\Sigma}(\mu)$ – негрубое ${ }^{2}$ ); 4) в $\tilde{\Sigma}(\mu)$ всюду плотны грубые периодические точки; 5) существует последовательность $T(\mu)$-инвариантных нульмерных множеств $\Delta_{k}(\mu), k \in \mathbb{Z}_{+}$, таких, что $T(\mu) \mid \Delta_{k}(\mu)$ сопряжено конечной транзитивной топологической марковской цепи, причем $\Delta_{k+1}(\mu) \subset \Delta_{k}(\mu) \quad$ и $\Delta_{k}(\mu) \rightarrow \widetilde{\Sigma}(\mu)$ при $k \rightarrow+\infty$; 6) в общем случае $T(\mu)$ на $\check{\Sigma}(\mu)$ для счетного всюду плотного множества значений $\mu$ допускает конечное марковское разбиение и не допускает для континуума значений $\mu^{3}$ ).

Из того, что $q(\mu)^{\Phi(\mu)} \rightarrow \infty$ при $\mu \rightarrow \mu_{0}$, следует, что существует такое $\mu_{1} \leqslant 1$, что при $\mu_{0}<\mu \leqslant \mu_{1}$ (а не $\mu_{0}<\mu \leqslant 1$, как было неверно выписано в нашей работе [6]) система $X_{\mu}$ будет иметь аттрактор Лоренца. Аттрактор Лоренца содержит $O, \Gamma_{1}(\mu)$ и $\Gamma_{2}(\mu)$, причем заметим, что периодические дви-
1) Для сравнения заметим, что в несимметричном случае аналогичное условие записывается в виде $q^{N_{1}+N_{2}}>q^{N_{1}}+q^{N_{2}}$.
2) Эскиз доказательства негрубости в одном весьма частном случае отображення $T$ был предложен Гукенхеймером [17].
) О марковских разбиениях см. [1].

жения при изменении $\mu$ могут исчезать только путем влипания в петли сепаратрис седла $O$.

В случае, когда $T(\mu)$ допускает конечное марковское разбиение, а оно имеет место, когда $\Gamma_{1}(\mu)$ и $\Gamma_{2}(\mu)$ стремятся либо к $O$, либо к периодическим движениям, $\tilde{\Sigma}(\mu)$ устроено весьма просто: в малой окрестности любой точки, не содержащей ( $\left.\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}\right) \cap D$, оно гомеоморфно прямому произведению канторовского множества на отрезок. В окрестности же точки $P(\mu)$, принадлежащей $\Gamma_{i}(\mu)$, связная компонента $\tilde{\Sigma}(\mu)$, содержащая $P(\mu)$ устроена, как букет бесконечного множества лучей, поскольку $\Gamma_{1}(\mu)$ и $\Gamma_{2}(\mu)$ являются границами неустойчивых многообразий точек $\widetilde{\Sigma}(\mu)$. Свойство (2) говорит о том, что изучение $T(\mu)$ можно свести к кусочно-монотонному отображению отрезка на прямой. При этом следует заметить, что на каждом куске непрерывности (а их два) отображение, вообще говоря, будет лишь непрерывным.

В общем случае $\tilde{\Sigma}(\mu)$ также будет пределом нульмерных множеств $\Delta_{k}(\mu)$, но на них $T(\mu)$ уже не обязательно будет сопряжено транзитивной марковской цепи. Здесь в $\tilde{\Sigma}(\mu)$, кроме одномерного негрубого неблуждающего множества $\tilde{\Sigma}_{1}(\mu)$, может также входить конечное число грубых нульмерных множеств, как тривиальных (периодические орбиты), так и нетривиальных (описываемые ТМЦ). Тем не менее $\tilde{\Sigma}_{1}(\mu)$, за исключением, быть может, конечного множества значений $\mu$, будет «странным» аттрактором.
4. Заключение

Из приведенного видно, что многие методы и приемы теории бифуркаций нашли свое применение при изучении модели Лоренца. При ее рассмотрении мы встретились с самыми различными, но ранее известными типами бифуркаций: это бифуркации состояний равновесия и периодических движений, бифуркации сепаратрисных контуров как с одним и двумя седлами, так и с седлом и периодическим движением и т. д. Однако и модель Лоренца в свою очередь поставила перед теорией бифуркаций ряд принципиально новых вопросов, на некоторые из которых мы ответили, а некоторые еще ждут своего решения. И здесь хочется особо подчеркнуть следующий факт, выявившийся в результате исследования модели Лоренца, но далеко выходящий за рамки данного конкретного случая: «странные» аттракторы могут возникать из неустойчивых предельных множеств. Естественно, что этот практически важный вывод не может не поколебать в какой-то мере укоренившееся представление, что переход от простых движений к сложным должен сопровождаться некоторой серией «мягких» бифуркаций.

Автор считает необходимым отметить, что результаты, связанные с исследованием модели Лоренца, были получены совместно с В. С. Афраймовичем и В. В. Быковым. В основу изложения были положены наряду с [6] работа [40], содержащая развернутое изложение большинства затронутых здесь вопросов, а также результаты новых численных экспериментов.