Предположим, что мы изучаем физическую систему, состояние которой описывается дифференциальным уравнением $\frac{d x}{d t}=X(x)$, удовлетворяющим условиям теоремы существования и единственности решений. Пусть $x_{0}$ – особая точка уравнения, т. е. $X\left(x_{0}\right)=0$. Представим себе, что мы смогли экспериментально установить, что в момент $t=0$ система находится в состоянии $x_{0}$. Можем ли мы быть уверены, что она останется в этом состоянии и далее? Хотя формальноматематический ответ на этот вопрос, очевидно, положителен, он, к сожалению, имеет мало отношения к тому, что мы хотим выяснить. Реальные эксперименты очень редко дают точные ответы на вопросы о поведении идеализированных моделей, и поэтому в большинстве случаев вопрос следует ставить так: будет ли система оставаться вблизи $x_{0}$, если в начальный момент она была близка к этому состоянию? Ответ на уточненный таким образом вопрос уже может быть отрицательным, но даже в этом случае более детальное изучение дифференциального уравнения позволяет иногда предсказывать будущее поведение системы. Проиллюстрируем вышесказанное на простом примере. Рассмотрим два дифференциальных уравнения на действительной прямой
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}(t)=-x(t), \\
x^{\prime}(t)=x(t),
\end{array}
\]

решениями которых соответственно являются
\[
\begin{array}{l}
x\left(x_{0}, t\right)=x_{0} e^{-t}, \\
x\left(x_{0}, t\right)=x_{0} e^{+t} .
\end{array}
\]

Отметим, что 0 -особая точка обоих уравнений. В первом случае $\lim _{t \rightarrow+\infty} x\left(x_{0}, t\right)=0$ для всех $x_{0} \in R$. Точки всей действительной прямой движутся к нулю, поэтому здесь нетрудно предсказать будущее поведение системы: если точка $x_{0}$ находилась вблизи нуля, то и $x\left(x_{0}, t\right)$ будет близка к нулю.

Предположим теперь, что мы наблюдаем систему, состояние которой описывается уравнением (1.2). Эксперимент, из которого получено приблизительное равенство $x_{0}=0$, уже не позволяет утверждать, что и в дальнейшем $x\left(x_{0}, t\right)$ останется вблизи нуля, так как все точки, кроме нуля, быстро уходят от него. Более того, этот эксперимент вообще не позволяет нам дать правдоподобное предсказание относительно положения $x(t)$, поскольку если $x(0)<0$, то $x(t)$ быстро уходит от начала к $-\infty$, а если $x(0)>0$, то $x(t)$ уходит к $+\infty$.
Рис. 1.1a.
Рис. 1.16 .

Поэтому наблюдатель, следящий за такой системой, видел бы, что иногда $x(t) \xrightarrow[t \rightarrow \infty]{\longrightarrow}-\infty$, а иногда $x(t) \xrightarrow[t \rightarrow \infty]{ }+\infty$. Peшение $x(t)=0$, скорее всего, вообще не будет наблюдаться из-за имеющихся всегда слабых возмущений начального состояния. Такой тип поведения часто встречается в природе. И происходит это вовсе не вследствие неединственности решений дифференциального уравнения, а по причине неустойчивости решения относительно малых возмущений начальных условий.

Отсюда мы можем сделать вывод, что при «описании природы» имеют смысл только устойчивые математические модели ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим теперь следующий пример ${ }^{2}$ ). К потолку подвешен жесткий обруч, и в нижней точке обруча покоится маленький шарик. Обруч вращается с частотой $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр (рис. 1.1а). При малых значениях $\omega$ шарик остается в нижней точке обруча, и это положение устойчиво. Когда же $\omega$ проходит через некоторое критическое значение $\omega_{0}$, шарик перекаты-
1) Дальнейшие обсуждения см. в книге Абрахама и Марсдена [1], заключительная глава.
2) Этот пример предложен нам Е. Калаби.

вается по обручу в новое устойчивое положение $x(\omega)$. Шарик может перекатываться вправо или влево в зависимости от направления начального смещения (рис. 1.1б). Нижняя точка обруча остается положением равновесия, однако оно стало неустойчивым и практически никогда не наблюдается. Хотя решения дифференциального уравнения движения шарика удовлетворяют теореме единственности при всех значениях $\omega$, при $\omega>\omega_{0}$ эта единственность ничего нам не дает: мы не можем предсказать, куда сместится шарик. Математи-
Рис. 1.2.

чески это означает, что исходная устойчивая особая точка стала неустойчивой и расщепилась на две устойчивые особые точки (см. рис. 1.2 и упр. 1.16 ниже) ${ }^{1}$ ).

В связи с тем что вопросы устойчивости имеют важное практическое значение, мы сформулируем точное определение устойчивости и выведем некоторые критерии проверки последней.
(1.1) Определение. Пусть $F_{t}$ – некоторый $C^{0}$-поток (или полупоток) ${ }^{2}$ ) на топологическом пространстве $M$, и пусть $A$ – инвариантное множество, т. е. $F_{t}(A) \subset A$ для всех $t$. $\qquad$
1) В настоящем параграфе рассматривается не характер устойчивости данной особой точки (как в предыдущем простом примере), а зависимость поведения системы от параметра. – Прим. ред.
2) То есть $F_{t}: M \rightarrow M, F_{0}$ – тождественное отображение и $F_{t+s}=F_{s} \circ F_{t}$ для всех $t, s \in R$. Символ $C^{0}$ означает, что $F_{t}(\mathrm{x})$ непрерывно по $(t, x)$. Полупоток определен только для $t \geqslant 0$. Более подробно об этом см. Ленг [1], Хартман [1] или Абрахам и Марсден [1], где обсуждаются потоки, порожденные векторными полями. Бесконечномерный случай рассматривается в гл. 8A или у Абрахама и Марсдена [1].

Будем называть множество $A$ устойчивым (соответственно асимптотически устойчивым или аттрактором), если для любой окрестности $U$ множества $A$ существует такая его окрестность $V$, что траектория $x\left(x_{0}, t\right) \equiv F_{t}\left(x_{0}\right)$ принадлежит $U$, если $x_{0} \in V \quad\left(\right.$ соответственно $\left.\prod_{t \geqslant 0} F_{t}(V)=A\right)$.

Другими словами, множество $A$ устойчиво (или является притягивающим), если для любой начальной точки, близкой

Рис. 1.3. $а$-устойчивая особая точка; б-асимптотически устойчивая особая точка; $в$ – устойчивая замкнутая орбита.

к $A$, траектория, проходящая через эту точку, остается вблизи $A$ (соответственно стремится к $A$ ) (см. рис. 1.3).

Множество $A$ называется нецстойчивым, если оно не является устойчивым.
(1.2) Упражнение. Показать, что в примере с шариком в обруче нижняя точка обруча является устойчивой при $\omega<\omega_{0}=\sqrt{g / R}$, а при $\omega>\omega_{0}$ существуют две устойчивые особые точки, определяемые уравнением $\cos \theta=g / \omega^{2} R$, где $\theta$ – угол, отсчитываемый от направленной вертикально вниз оси, $R$ – радиус обруча, $g$ – ускорение силы тяжести.

Простейший случай, когда можно установить устойчивость особой точки $x_{0}$, – это случай конечномерной линейной системы. Пусть $X: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ – линейное отображение; тогда $x\left(x_{0}, t\right)=e^{t X}\left(x_{0}\right)$ – поток, соответствующий этому отображению ${ }^{1}$ ). Очевидно, что нуль является особой точкой.
1) Здесь под $e^{t x}$ понимается линейный оператор, который является аналитической функцией оператора $X$ и который может быть записан в виде суммы ряда $\sum t^{k} / k$. Если в $\mathrm{R}^{n}$ выбран базис, то $X$ задается $(n \times n)$-матрицей $B$ и $e^{t X}$ задается матрицей $e^{t B} .-\Pi$ рим. перев.

Обозначим через $\left\{\lambda_{j}\right\}$ множество собственных значений $X$. Тогда $\left\{e^{\lambda_{j} t}\right\}$ – множество собственных значений $e^{t x}$. Предположим, что $\operatorname{Re} \lambda_{f}<0$ для всех $j$. Используя каноническую жорданову форму матрицы, можно проверить, что в этом случае точка 0 асимптотически устойчива, так как $e^{\lambda_{f} t} \mid=e^{\operatorname{Re} \lambda_{j} t} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$. Если же существует $\lambda_{j}$ с положительной действительной частью, то 0 – неустойчивая точка. В более общем случае имеет место
(1.3) Теорема. Пусть $X: E \rightarrow E$ – непрерывное линейное отображение банахова пространства $E$ в себя. Нуль является устойчивой притягивающей точкой потока, порожденного $X$, если спектр $\sigma(X)$ отображения $X$ лежит в открытой левой полуплоскости ${ }^{1}$ ). Если существует $z \in \sigma(X)$ с $\operatorname{Re} z>0$, то нуль – неустойчивая точка.

Эта теорема будет доказана в гл. 2 A, где помещен также обзор некоторых необходимых сведений о спектральной теории.

Обратимся теперь к случаю нелинейных систем. Пусть $P$ – банахово многообразие $\left.{ }^{2}\right), X$ – векторное поле класса $C^{1}$ на $P$. Пусть $X\left(p_{0}\right)=0$. Тогда $d X\left(p_{0}\right): T_{p_{0}}(P) \rightarrow T_{p}(P)$ – непрерывное линейное отображение банахова прострапства в себя. Следующую основную теорему Ляпунова [1] мы также докажем в гл. 2 А.
(1.4) Теорема. Пусть $X$-векторное поле класса $C^{1} н а$ банаховом многообразии $P$ и $p_{0}$-особая точка $X$, т. $е$. $X\left(p_{0}\right)=0$. Обозначим через $F_{t}$ поток, определенный полем $X$, т. e. $\frac{\partial}{\partial t} F_{t}(x)=X\left(F_{t}(x)\right), F_{0}(x)=x . \quad$ (Заметим, что $F_{t}\left(p_{0}\right)=$ $=p_{0}$ для всех $t$.)

Если спектр $d X\left(p_{0}\right)$ лежит в левой полуплоскости, т. е. $\sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right) \subset\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} z<0\}$, то особая точка $p_{0}$ асимптотически устойчива.

Если в спектре существует изолированная точка $z \in$ $\in \sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right)$, для которой $\operatorname{Re} z>0$, то особая точка $p_{0}$ неустойчива. Если же $\sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z \leqslant 0\}$ и существует $z \in \sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right) \quad$ с $\operatorname{Re} z=0$, то устойчивость не может быть определена по линеаризованному уравнению.
(1.5) Упражнение. Рассмотрим следующее векторное поле на $\mathrm{R}^{2}: X(x, y)=\left(y, \mu\left(1-x^{2}\right) y-x\right)$. Определить, является ли
1) Напомним, что спектр непрерывного линейного оператора является компактным множеством. – Прим. перев.
2) Мы будем использовать только самые элементарные факты теории многообразий, главным образом из-за удобства геометрического языка, Qсновные ее идеи изложены у Ленга [1] или Марсдена [4].

начало координат неустойчивой, устойчивой или притягивающей точкой при $\mu<0, \mu=0$ и $\mu>0$.

Многие интересные физические задачи приводят к дифференциальным уравнениям, зависящим от параметра (например, угловая скорость $\omega$ в задаче о шарике в обруче). Пусть $X_{\mu}: P \rightarrow T P$ – векторное поле (гладкое) на банаховом многообразии $P$, зависящее от параметра $\mu$. Предположим, что существует непрерывная кривая $p(\mu)$ на многообразии $P$, такая, что $X_{\mu}(p(\mu))=0$, т. е. при каждом $\mu$ точка $p(\mu)$ – особая точка потока $X_{\mu}$. Предположим, что точка $p(\mu)$ является притягивающей для $\mu<\mu_{0}$ и неустойчивой для $\mu>\mu_{0}$. В этом случае точка ( $\left.p\left(\mu_{0}\right), \mu_{0}\right)$ называется точкой бифуркации потока $X_{\mu}$. При значениях $\mu<\mu_{0}$ поток $X_{\mu}$ можно описать (по крайней мере в окрестности точки $p(\mu)$ ), сказав, что траектории потока стремятся к $p(\mu)$ при $t \rightarrow \infty$. Однако при значениях $\mu>\mu_{0}$ это уже не так, и поэтому при переходе через значение $\mu_{0}$ характер потока может внезапно измениться. Так как особая точка $p(\mu)$ неустойчива при $\mu>\mu_{0}$, то нас, естественно, будет интересовать существование устойчивого режима при $\mu>\mu_{0}$. Таким образом, нас интересуют те.бифуркации, в результате которых при значениях параметра, больших критического, возникают устойчивые режимы.

Пусть, например, существует несколько кривых $p_{i}(\mu)$, таких, что при всех $\mu$ выполняется равенство $X_{\mu}\left(p_{i}(\mu)\right)=0$, т. е. $p_{i}(\mu)$ – особая точка потока $X_{\mu}$ при всех $\mu$. При значении $\mu=\mu_{0}$ эти кривые могут иметь общую точку.

Могут существовать кривые устойчивых особых точек при $\mu>\mu_{0}$. Так, в примере с шариком в обруче существуют две кривые $p_{1}(\omega)$ и $p_{2}(\omega)$ для $\omega \geqslant \omega_{0}$, одна поднимается с левой стороны обруча, а другая – с правой (рис. 1.2).

Возможен и другой тип бифуркаций, связанный с появлением периодических орбит ${ }^{1}$ ). Именно, могут существовать кривые $\alpha: I \rightarrow P$, такие, что $\alpha\left(\mu_{0}\right)=p\left(\mu_{0}\right)$, а $\alpha(\mu)\left(\mu
eq \mu_{0}\right)$ является точкой, лежащей на замкнутой орбите $\gamma_{\mu}$ потока $X_{\mu}$ (рис. 1.4). К этому типу принадлежит бифуркация рождения цикла из фокуса. Ниже мы кратко рассмотрим примеры таких бифуркаций в гидродинамике.

Появление устойчивых замкнутых орбит (периодических решений) можно интерпретировать как «сдвиг устойчивости» от исходного стационарного решения к периодическому решению, так как точка, взятая вблизи исходной особой точки,
1) Авторы вместо широко используемого в русской математической литературе термина «траектория» используют термин «орбита». Мы сохраняем терминологию авторов. – Прим. ред.

Рис. 1.4. Общее понятие о бифуркации рождения цикла: $a$ – суперкритическая бифуркация (устойчивые замкнутые орбиты); б-субкритическая бифуркация (неустойчивые замкнутые орбиты).

тегерь уже притягивается к замкнутой орбите и со временем становится неотличимой от нее (рис. 1.4 и 1.5).

Возможны также и другие бифуркации, например появление устойчивого двумерного тора из устойчивой замкнутой орбиты. При наличии симметрий ситуация еще более усложняется. Подробно все это рассматривается в гл. 7, здесь же мы только приведем пример.
(1.6) Пример: шарик в сфере. Твердая полая сфера подвешена к потолку и вращается с частотой $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр (рис. 1.6).

При малых $\omega$ нижняя точка сферы устойчива, но при $\omega>\omega_{0}$ шарик поднимается на боковую часть сферы в новое положение равновесия. Для каждого $\omega>\omega_{0}$ существует устойчивая инвариантная окружность состояний равновесия (рис. 1.7). Из-за наличия симметрии в этой задаче мы получаем окружность состояний равновесия, а не изолированное состояние равновесия.

Прежде чем обсуждать методы определения типа бифуркации и связанные с этим вопросы устойчивости, мы кратко

Рис. 1.5. Бифуркация рождения цикла: $a$-устойчивая точка; 6 – появление замкнутой орбиты; $ө$ – амплитуда замкнутой орбиты возрастает.

опишем общую схему изменения областей притяжения, данную Р. Абрахамом [1], [2].

Представим себе некий ландшафт, по которому течет вода. Аттрактору сопоставим бассейн, собирающий воду. Более точно, если $F_{t}$ – поток на $M$ и $A$ – аттрактор, то бассейн
Рис. 1.6.
Рис. 1.7.

аттрактора $A$ – это множество тех $x \in M$, которые стремятся к $A$ при $t \rightarrow+\infty$ (обычно в этом случае используют менее живописный термин: не бассейн, а «устойчивое многообразие»).

При изменении параметров ландшафт деформируется и поток изменяется. Бассейны могут объединяться, образовываться новые бассейны, старые исчезать, сами аттракторы усложняться ит. д. Бифуркацию рождения цикла из особой точки можно представить себе следующим образом. Мы начинаем с простого бассейна, имеющего форму параболоида,
что соответствует точечному аттрактору. Когда параметр меняется, в центре бассейна вырастает маленький холмик. Теперь новый аттрактор есть окружность (аналог периодической орбиты в теореме о рождении цикла) и ее бассейн равен исходному за вычетом верхней точки холмика ${ }^{1}$ ). Заметим; что при этом могут самопроизвольно появляться или исчезать сложные аттракторы, если возвышенное плато, опускаясь, превратится в бассейн или бассейн поднимется, образуя плато.

В оставшейся части книги, а также в литературе, указанной в библиографии, приведено большое число примеров из различных разделов естествознания, в которых важную роль играет бифуркация рождения цикла из особой точки. Она описывает возникновение колебаний в химических и биологических системах (см., например, Қоппель, Ховард [1-6] ${ }^{2}$ ), Абрахам [1-2] и гл. 10,11 настоящей книги), включая такие явления, как фибрилляция сердца ${ }^{3}$ ).

Один из наиболее изученных примеров возникает в гидродинамике. Для того чтобы рассмотреть его, мы сначала изложим некоторые основные понятия этой науки.

Уравнения Навье-Стокса
Пусть $D \subseteq \mathbb{R}^{3}$ – открытое ограниченное множество с гладкой границей. Будем считать $D$ заполненным несжимаемой однородной (постоянной плотности) жидкостью. Обозначим через $и$ и $p$ скорость и давление жидкости соответственно. Если жидкость вязкая и изменениями температуры можно пренебречь, то уравнения, описывающие движения жидкости, таковы:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot
abla) u-v \Delta u=-\operatorname{grad} p, \\
\operatorname{div} u=0 .
\end{array}
\]

В качестве граничных условий обычно берется $\left.u\right|_{\partial D}=0$ (или $\left.u\right|_{\partial D}$ считается заданным, если граница движущаяся), а в качестве начальных условий $-u(x, 0)=u_{0}(x)$. Задача состоит в отыскании $u(x, t)$ и $p(x, t)$ для $t>0$. Первое урав- $\qquad$
1) Здесь иллюстрируется возникновение аттрактора в форме замкнутой кривой, но этот аттрактор является не периодической траекторией, а кривой неподвижных точек. – Прим. перев.
2) См. также Андронов и др. [1], где рассмотрены различные случаи появления автоколебаний в технических устройствах. – Прим. ред.
3) То, что фибрилляция сердца связана с бифуркацией рождения цикла, является гипотезой, сообщенной нам А. Фишером; см. Зиман [2].

.нение (1.3) аналогично второму закону Ньютона, второе уравнение (1.4) эквивалентно условию несжимаемости жидкости ${ }^{1}$ ).

Дифференциальное уравнение (1.3) можно трактовать как торных полей на $D$; поэтому оно определяет поток на $D$ (мы не касаемся сейчас имеющихся здесь существенных. технических трудностей; см. гл. 8).

Число Рейнольдса потока определяется как $N_{\mathrm{Re}}=\frac{U L}{v}$, где $U$ и $L$-характерные скорость и длина, $v$ – коэффициент
Рис. 1.8.

кинематической вязкости. Так, например, если мы рассматриваем поток, обтекающий сферу и имеющий постоянную скорость на бесконечности $U_{\infty} \mathbf{i}$ (рис. 1.8), то в качестве $L$ можно взять радиус сферы и $U=U_{\infty}$.

Если жидкость идеальная ( $v=0$ ), то $N_{\mathrm{Re}}=\infty$ и движение жидкости удовлетворяет уравнениям Эйлера:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot
abla) u=-\operatorname{grad} p, \\
\operatorname{div} u=0 .
\end{array}
\]

Граничные условия теперь выбираются так: $\left.u\right|_{\partial D}$ параллельна $\partial D$ (обозначим это для краткости $u \mid \partial D$ ). Это резкое изменение граничных условий от $u=0$ на $\partial D$ к $u \| \partial D$ имеет фундаментальное значение. Оно является причиной многих трудностей в гидромеханике при очень больших $N_{\text {Re }}$ (см. сноску ниже).

Число Рейнольдса потока имеет то характерное свойство, что при переходе к новым масштабам
\[
u^{*}=\frac{U^{*}}{U} u, \quad x^{*}=\frac{L^{*}}{L} x, \quad t^{*}=\frac{T^{*}}{T} t, \quad p^{*}=\left(\frac{U^{*}}{U}\right)^{2} p
\]
1) Обсуждение этих вопросов имеется в любой книге по гидромеханике, например Серрин [1], Шинброт [1] или Хьюз и Марсден [3].

и выборе $T=\frac{L}{U}, T^{*}=\frac{L^{*}}{U^{*}}$ мы получим при $N_{\mathrm{Re}}^{*}=U^{*} L^{*} / v^{*}=$ $=N_{\operatorname{Re}}=U L / v$, что $u^{*}$ удовлетворяет тем же самым уравнениям относительно $x^{*}, t^{*}$, каким удовлетворяет $u$ относительно $x$ и $t$, т. е.
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}}+\left(u^{*} \cdot
abla^{*}\right) u^{*}-v^{*}
abla u^{*}=-\operatorname{grad} p^{*}, \\
\operatorname{div} u^{*}=0
\end{array}
\]

с тем же самым граничным условием $\left.u^{*}\right|_{\partial D}=0$, что и выше (это свойство уравнений называется законом подобия Рейнольдса и легко проверяется). Таким образом, природа указанных двух решений уравнений Навье – Стокса одинакова. Тот факт, что возможно такое изменение масштабов, играет важную роль в практических задачах. Например, благодаря ему инженеры, испытав небольшую модель самолета при низких скоростях, могут решить, будет ли летать настоящий самолет при высоких скоростях.
(1.7) Пример. Рассмотрим поток, изображенный на рис. 1.8. Если жидкость невязкая, то в качестве граничного
Рис. 1.9.

условия берется равенство нулю нормальной компоненты скорости на поверхности сферы, и жидкость гладко обтекает сферу (рис. 1.9).

Теперь рассмотрим ту же ситуацию, но в случае вязкой жидкости. Предположим, что $N_{\text {Re }}$ постепенно возрастает, начиная с малых значений (в лаборатории это обычно достигается ростом $U_{\infty} \mathbf{i}$, но мы можем представлять себе, что $v \rightarrow 0$, как будто патока постепенно превращается в воду). Ввиду условия прилипания на поверхности сферы при увеличении $U_{\infty}$ градиент скорости возрастает. Это является причиной все большего усложнения течения (рис. 1.10) ${ }^{1}$ ).

Для малых значений числа Рейнольдса поле скоростей позади шара будет стационарным или приблизительно ста-
$N_{R e}=75$ (слабо осциллирующее периодическое решение)
Рис. 1.10 .

ционарным, но когда число Рейнольдса проходит критическое значение, поле становится периодическим. При больших значениях числа Рейнольдса периодическое решение теряет устойчивость и происходят другие бифуркации. Следующая бифуркация показана на рис. 1.10, и кажется, что она представляет собой бифуркацию от устойчивой периодической орбиты к периодической орбите на устойчивом 2 -торе в $\mathscr{X}$. Эти последующие бифуркации, видимо, могут привести к турбулентности (см. замечание 1.15 и гл. 9 ниже).
(1.8) Пример. Течение Куэтта ${ }^{2}$ ). Вязкая несжимаемая однородная жидкость заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными вращающимися цилиндрами. Они могут, например, вращаться в противоположных направлениях с частотой $\omega$ (рис. 1.11). Для малых значений $\omega$ поток горизонтален, ламинарен и стационарен. После про-
1) Большие скоростные градиенты означают, что при численном изучении интересных течений конечно-разностная техника становится бесполезной. Недавно А. Чорин [1] предложил хорошую методику для преодоления этих трудностей и смог моделировать численно начальный этап «вихревой дорожки Кармана», показанной на рис. 1.10 (см. также Марс ден [5] и Марсден и Мак-Кракен [2]).
2) Течение Куэтта интенсивно изучалось в литературе (см. Серрин [1], Коулз [1]) и является стационарным решением как уравнений Эйлера, так и уравнений Навье – Стокса (см. следующее упражнение).

хождения частоты через некоторое значение $\omega_{0}$ жидкость разбивается на слои, называемые вихрями Тейлора. (рис. 1.12). Вихри Тейлора также являются стационарными решениями уравнений Навье – Стокса. Для бо́льших значений $\omega$ могут иметь место бифуркации с рождением периодического, два-
Рис. 1.12 .

жды периодического и более сложных режимов (рис. 1.13). При еще больших значениях $\omega$ структура вихрей Тейлора усложняется и при некоторых условиях полностью разру-

Рис. 1.13. $a$-геликоидная структура; б-структура с двойной периодичностью.

шается, а поток становится турбулентным. Дальнейшую информацию можно найти у Коулза [7] и в гл. 7.
(1.9) Упражнение. Найти стационарное решение и уравнений Навье – Стокса в цилиндрических координатах, для которого и зависит только от $r, u_{r}=u_{z}=0$, внешняя сила $f=0$, а угловая скорость $\omega$ удовлетворяет условиям $\left.\omega\right|_{r=A_{1}}=-\rho_{1},\left.\omega\right|_{t=A_{2}}=+\rho_{2}$ (т. е. найти течение Куэтта).

Показать, что и также есть решение уравнений Эйлера.
\[
\text { (Ответ: } \omega=\frac{\alpha}{r^{2}}+\beta \text {, где } \alpha=\frac{-\left(\rho_{1}+\rho_{2}\right) A_{1}^{2} A_{2}^{2}}{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}} \text { и } \beta=\frac{\rho_{1}^{2} A_{1}^{2}+\rho_{2}^{2} A_{2}^{2}}{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}} \text {.) }
\]

Другой важный случай в гидромеханике, где неустойчивость подобного рода имеет место, – это поток в трубе. Поток является установившимся и ламинарным (течение Пуазейля) до значения числа Рейнольдса примерно 4000, после которого он становится неустойчивым и происходит переход к хаотичному или турбулентному потоку. Однако если эксперимент сделан аккуратно ${ }^{1}$ ), то турбулентность возникает при значительно больших $N_{\mathrm{Re}}$. Это напоминает балансирование шарика на кончике стержня, диаметр которого уменьшается.

Формулировки основных бифуркационных теорем
Пусть $X_{\mu}: P \rightarrow T(P)$ – векторное поле класса $C^{k}$ на многообразии $P$, гладко зависящее от действительного параметра $\mu$. Обозначим через $F_{t}^{\mu}$ поток, порожденный полем $X_{\mu}$. Будем считать, что $p_{0}$ является особой точкой $X_{\mu}$ для всех $\mu$, причем притягивающей для $\mu<\mu_{0}$ и неустойчивой для $\mu>\mu_{0}$. Напомним (теорема 1.4), что условие устойчивости $p_{0}$ состоит в том, что $\sigma\left(d X_{\mu}\left(p_{0}\right)\right) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\}$. Следовательно, при $\mu=\mu_{0}$ некоторая часть спектра $d X_{\mu}\left(p_{0}\right)$ пересекает мнимую ось. Природа бифуркации, которая имеет место в точке $\left(p_{0}, \mu_{0}\right)$, зависит от того, как это пересечение происходит (она зависит, например, от размерности обобщенного собственного подпространства ${ }^{2}$ ) оператора $d X_{\text {u. }}\left(p_{0}\right)$, соответствующего части спектра, пересекающей ось). Если $P$ конечномерное пространство, то существуют теоремы, дающие необходимые условия, при которых происходят определенные типы бифуркаций. Если $P$ бесконечномерно, мы можем тем не менее свести задачу к конечной размерности, применяя теорему о центральном многообразии и используя следующую простую, но полезную конструкцию. Обозначим через $\psi$ отображение через единицу времени потока $F_{t}=\left(F_{t}^{\mu}, \mu\right)$ на $P \times \mathbb{R}$. Как мы покажем в гл. $2 A, \sigma\left(d \psi\left(p_{0}, \mu_{0}\right)\right)=e^{\sigma\left(d X\left(p_{0}, u_{0}\right)\right)}$. Поэтому $\sigma\left(d \psi\left(p_{0}, \mu_{0}\right)\right)=e^{\sigma\left(d X_{\mu_{0}}\left(p_{0}\right)\right)} \cup\{1\} . \quad K \quad \psi$ теперь можно применить следующую теорему (подробности см. в гл. 2-4):
(1.10) Теорема о центральном многообразии (Келли [1], Хирш, Пью и Шуб [1], Хартман [1], Такенс [2] и др.). Пусть
1) См. Шлихтинг [1].
2) Определение и основные свойства собраны в главе $2 \mathrm{~A}$.

$\psi$-отображение окрестности точки $\alpha_{0}$ банахова многообразия $P$ в $P$. Предположим, что $\psi$ имеет $k$ непрерывных производных и $\psi\left(\alpha_{0}\right)=\alpha_{0}$. Будем также предполагать, что $d \psi\left(\alpha_{0}\right)$ имеет спектральный радиус 1 и что спектр $d \psi\left(\alpha_{0}\right)$ расщепляется на две части: одна лежит на едининнй окружности, а другая находится на ненулевом расстоянии от единичной окружности. Обозначим через $Y$ обобщенное собственное подпространство оператора $d \psi\left(\alpha_{0}\right)$, соответствующее части спектра, лежащей на единичной окружности; будем предполагать, что размерность $Y \operatorname{dim} Y=d<\infty$. Тогда в $P$ существует окрестность $V$ точки $\alpha_{0}$ и $C^{k-1}$-подмногообразие $M$ размерности $d$, лежащее в $V$, проходящее через точку $\alpha_{0}$ и касающееся $Y$ в точке $\alpha_{0}$. Оно называется центральным многообразием точки $\alpha_{0}$ и обладает следующими свойствами:
(a) (локальная инвариантность): если $x \in M u \psi(x) \in V$, то $\psi(x) \in M$;
(б) (локальная устойчивость): если $\psi^{n}(x) \in V$ для всех $n=0,1,2, \ldots$, то $\psi^{n}(x) \rightarrow$ м при $n \rightarrow \infty$.
(1.11) Замечание. Из доказательства теоремы о центральном многообразии будет следовать, что если $\psi$ – определенное выше отображение за единицу времени потока $F_{t}$, то центральное многообразие $M$ можно выбрать так, что свойства (а) и (б) выполняются для $F_{t}$ при всех $t>0$.
(1.12) Замечание. Теорема о центральном многообразии не всегда верна для отображения $\psi$ класса $C^{\infty}$; так как $\psi \in$ $\in \dot{C}^{k}$ для всех $k$, то мы получаем последовательность центральных многообразий $M^{k}$, однако их пересечение может быть пустым (см. замечания 2.6 , относящиеся к дифференцируемости $M$ ).

Нас будет особенно интересовать случай, когда при бифуркации возникают устойчивые замкнутые орбиты. Пусть $X_{\mu}$ обозначает то же, что и выше, и предположим, что при $\mu=\mu_{0}$ (соответственно $\left.\mu>\mu_{0}\right) \sigma\left(d X_{\mu}\left(p_{0}\right)\right.$ ) имеет два изолированных ненулевых простых ${ }^{1}$ ) комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, таких, что $\operatorname{Re} \lambda(\mu)=0$ (сгответственно $>0$ ) и $\left.\frac{d(\operatorname{Re} \lambda(\mu))}{d \mu}\right|_{\mu=\mu_{0}}>0$.

Предположим также, что остальная часть $\sigma\left(d X_{\mu}\left(p_{0}\right)\right)$ остается в левой полуплоскости на ненулевом расстоянии от мнимой оси. Используя теорему о центральном многообразии, мы получаем 3 -многообразие $M \in P \times \mathbb{R}$, касательное
1) Простота означает, что обсбщенное собственное пространство соб. ственного значения одномерно.

к собственному подпространству $\lambda\left(\mu_{0}\right), \overline{\lambda\left(\mu_{0}\right)}$ и к $\mu$-оси при $\mu=\mu_{0}$, локально инвариантное относительно потока $X$ и содержащее всю локальную рекуррентность ${ }^{1}$ ). Теперь получаем аналогичную задачу для векторного поля размерности 2: $\widehat{X}_{\mu}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$. Можно применить теорему Хопфа для размерности 2 (см. подробности в гл. 3, а также рис. 1.4, 1.5).
(1.13) Теорема Хопфа для векторных полей (Пуанкаре [1], А. А. Андронов и А. Витт [1], Хопф [1], Рюэль и Такенс [1], Чейфи [1] и др.). Пусть $X_{\mu}$-векторное поле класса $C^{k}(k \geqslant 4)$ на $\mathbb{R}^{2}, X_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$, и пусть поле $X=$ $=\left(X_{\mu}, 0\right)$ также класса $C^{k}$. Предположим, что $d X_{\mu}(0,0)$ имеет два различных простых комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, таких, что $\operatorname{Re} \lambda(\mu)<0$ для $\mu<0 ; \operatorname{Re} \lambda(\mu)=0$ для $\mu=0 u \operatorname{Re} \lambda(\mu)>0$ для $\mu>0$. Будем также предполагать, что $\left.\frac{d \operatorname{Re} \lambda(\mu)}{d \mu}\right|_{\mu=0}>0$. Тогда существует $C^{k-2}$-функция $\mu:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow \mathbb{R}, \mu(0)=0$, такая, что для любого $x_{1}
eq 0^{2}$ ) точка $\left(x_{1}, 0, \mu\left(x_{1}\right)\right.$ ) лежит на замкнутой орбите потока $X$, имеющей период $\approx 2 \pi /|\lambda(0)|$ и радиус, растущий как $\sqrt{\mu}$. Существует такая окрестность $U$ точки $(0,0,0)$ в $\mathbb{R}^{3}$, в которой любая замкнутая орбита поля $X$ совпадает с одной из орбит полученного семейства. Кроме того, если 0 является «слабым аттрактором» ${ }^{3}$ ) для $X_{0}$, то $\mu\left(x_{1}\right)>0$ для всех $x_{1}
eq 0 \quad и$ замкнутые орбиты-притяаивающие (рис. 1.4, 1.5).

Если взамен пары комплексно-сопряженных собственных значений мнимую ось пересекает действительное собственное значение, то вместо рождения замкнутой орбиты особая точка распадается на две, как это было в примере шарика в обруче (см. также упр. 1.16).

После төго как появились устойчивые замкнутые орбиты, можно поинтересоваться, как будут выглядеть дальнейшие бифуркации. Так, например, нетрудно представить себе рождение инвариантного 2-мерного тора из замкнутой орбиты
1) Под локальной рекуррентностью авторы подразумевают множество неблуждающих точек потока, содержащихся в окрестности рассматриваемой точки. О неблуждающих точках см. Немыцкий и Степанов [1].Прим. перев.
2) Здесь ( $\left.x_{1}, x_{2}\right)$ – координаты на плоскости $\mathrm{R}^{2}$. Прим. перев.
з) Это условие подробно разбирается ниже, в гл. 4А оно сводится к специальному условию на $X$. См. также гл. 4С. Случай, когда $d \operatorname{Re} \lambda(\mu) / d \mu=0$, обсуждается в гл. ЗА. В гл. ЗВ показывается, что термин кслабый аттрактор» можно заменить на «асимптотически устойчивый». Обсуждение общего случая см. у Рюэля и Такенса [1], Сотомайера [1], Ньюхауса и Пейлиса [1], а также в гл. 7.

(рис. 1.14). Такое явление действительно может произойти. Для того чтобы понять, как это происходит, рассмотрим устойчивую замкнутую орбиту потока $F_{t}^{\mu}$. Свяжем с этой орбитой отображение Пуанкаре. Для построения отображения Пуанкаре возьмем точку $x_{0}$, на орбите и многообразие $N$ коразмерности 1, проходящее через $x_{0}$ трансверсально орбите.
Рис 1.14.

Отображение Пуанкаре $P_{\mu}$ переводит любую точку $x$ из малой окрестности точки $x_{0}$ на $N$ в ту точку, в которой $F_{t}^{\mu}(x)$ пересекает $N$ (рис. 1.15). Оно является диффеоморфизмом $U$ на $V=P_{\mu}(U) \subseteq N, P_{\mu}\left(x_{0}\right)=x_{0}$ (см. гл. $2 \mathrm{~B}$, где приведены свойства отображения Пуанкаре). Орбита является устойчивой, если $\sigma\left(d P_{\mu}\left(x_{0}\right)\right) \subset\{z|| z \mid<$ $<1\}$, и является неустойчивой, если существует $z \in \sigma\left(d P_{\mu}\left(x_{0}\right)\right)$ с $|z|>1$. Мы будем рассматривать, как и выше, $C^{k}$-векторное поле $X_{\mu}: P \rightarrow T P$ на банаховом многообразии $P$, для которого $X_{\mu}\left(p_{0}\right)=0$ для всех $\mu$. Будем считать, что $p_{0}$ устойчива для
Рис. 1.15.
$\mu<\mu_{0}$, а при переходе через значение $\mu=\mu_{0}$ происходит рождение устойчивой замкнутой орбиты $\gamma(\mu)$, и $p_{0}$ станет неустойчивой. Пусть $P_{\mu}$ – отображение Пуанкаре, связанное с $\gamma(\mu)$, и пусть $x_{0}(\mu) \cong \gamma(\mu)$. Будем далее предполагать, что при $\mu=\mu_{1}$ единичную окружность пересекают два изолированных простых комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ линейного отображения $d P_{\mu}\left(x_{0}(\mu)\right)$, где $\left.\frac{d|\lambda(\mu)|}{d \mu}\right|_{\mu=\mu_{1}}>0$, а остальная часть спектра $\sigma\left(d P_{\mu}\left(x_{0}(\mu)\right)\right)$ остается внутри единичной окружности на ненулевом расстоянии от нее. Тогда мы можем применить теорему о центральном многообразии к отображению $P=\left(P_{\mu}, \mu\right)$ и получить для $P$, как и выше, локально инвариантное трехмерное многообразие. Затем можно использовать бифуркационную теорему для диффеоморфизмов (п. 1.14 ниже) и получить однопараметрическое семейство инвариантных устойчивых замкнутых кривых для отображений $P_{\mu}$ при $\mu>\mu_{1}$. Для поля $X_{\mu}$ замкнутой кривой соответствует устойчивый инвариантный 2-тор потока $F_{t}^{\mu}$ (рис. 1.16).
(1.14) Бифуркационная теорема для диффеоморфизмов (Сакер [1], Неймарк [2], Рюэль и Такенс [1]). Пусть дано однопараметрическое семейство $C^{k}$-диффеоморфизмов $(k \geqslant 5)$, удовлетворяющее условиям:
(a) $P_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$;
(б) $\partial л я \mu<0, \sigma\left(d P_{\mu}(0)\right) \subset\{z|| z \mid<1\}$;
(в) для $\mu=0(\mu>0), \sigma\left(d P_{\mu}(0)\right)$ имеет два изолированных, простых, комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, для котоpых $|\lambda(\mu)|=1(|\lambda(\mu)|>1)$, а остальная часть спектра $\sigma\left(d P_{\mu}(0)\right)$ лежит внутри единичной окружности;
(г) $\left.\frac{d|\lambda(\mu)|}{d \mu}\right|_{\mu=0}>0$.
Тогда при некотором достаточно малом $\varepsilon>0$ ( $и$ двух дополнительных предположениях, которые будут сделаны в процессе доказательства теоремы) существует непрерывное однопараметрическое семейство

инвариантных устойчивых замкнутых кривых отображений $P_{\mu}$, по одной для каждого $\mu \in(0, \varepsilon)$.
(1.15) Замечание. В гл. 8 и 9 мы обсудим, как бифуркационные теоремы о рождении замкнутых орбит и инвариантных торов могут быть применены к уравнениям Навье Стокса. Одна из основных трудностей состоит в требовании гладкости потока, которую мы преодолеем, используя общие теоремы о гладкости (гл. 8A). Юдович [1-11], Иосс [1-6] и Джозеф и Сэттинджер использовали для получения этих результатов оригинальный метод Хопфа. Рюэль и Такенс [1] выдвинули гипотезу, что дальнейшие бифуркации приводят к многомерному устойчивому инвариантному тору и что поток становится турбулентным, когда интегральные кривые притягиваются к «странному аттрактору» (странные аттракторы, как показано, в изобилии существуют на $k$-мерном торе при $k \geqslant 4)$; см. гл. 9. Аттракторы также могут появляться спонтанно (см. 4В.8 и гл. 12). Вопрос о том, что происходит с системой при переходе (по параметру) от особой точки к странному аттрактору, сложен и требует дальнейшего изучения. Важные работы в этом направлении принадлежат $\mathrm{Ta}$ кенсу $[1,2]$, Ньюхаусу [1] и Ньюхаусу и Пейксото [1] ${ }^{1}$ ).
(1.16) Упражнение (а). Докажите следующее утверждение.
Теорема. Пусть $\mathrm{H}$-гильбертово пространство (или многообразие) и $\Phi_{\mu}: H \rightarrow H$-отображение, определенное для
Рис. 1.17.

каждого $\mu \in \mathbb{R}$ и такое, что отображение $(\mu, x) \longmapsto \Phi_{\mu}(x)$ из. $\mathbb{R} X \mathrm{H}$ в $\boldsymbol{H}$ касса $C^{k}, k \geqslant 1$ и для всех $\mu \in \mathbb{R}, \Phi_{\mu}(0)=0$. Определим $L_{\mu}=D \Phi_{\mu}(0)$ и предположим, что спектр $L_{\mu}$ лежит внутри единичной окружности при $\mu<0$. Допустим, что существует действительное, простое, изолированное собственное значение $\lambda(\mu)$, для которого $\lambda(0)=1, d \lambda(\mu) /\left.d \mu\right|_{\perp=0}>$ $>0$ и $L_{0}^{*}$ имеет собственным значением 1 (рис. 1.17).

Тогда для отображения $\Phi$ : $(x, \mu) \mapsto\left(\Phi_{\mu}(x), \mu\right)$ около точки $(0,0) \in H \times \mathbb{R}$ существует $C^{k-1}$ кривая неподвижных точек $l$. Эта кривая касается $\mathrm{H}$ в точке $(0,0)$ пространства $\mathbb{H} \times \mathbb{R}$ Рис. 1.18. (рис. 1.18). Точки этой кривой, точки вида $(0, \mu)$ и только они являются неподвижными точками Ф в окрестности $(0,0)$.
(б) Покажите, что условия теоремы применимы к примеру с шариком в обруче (см. упр. 1.2).

Указание. Для отображения ( $\left.L_{0}, 0\right)$ в $H \times R$ возьмем собственный вектор $(z, 0)$ с собственным значением 1. Используя теорему о центральном многообразии, получим для ото-
1) См. также важную работу Афраймовича, Быкова и Шильникова [1].- Прим, перев.

бражения $\Phi(x, \mu)=\left(\Phi_{\mu}(x), \mu\right)$ инвариантное 2 -многообразие $C$, касательное к $(z, 0)$ и $\mu$-оси. На $C$ выберем координаты $(\alpha, \mu)$, где $\alpha$ – проекция на нормированный собственный вектор $z(\mu)$ отображения $L_{\mu}$. В этих координатах $\Phi(x, \mu)=$ $=(f(\alpha, \mu), \mu)$. Обозначим $g(\alpha, \mu)=\frac{f(\alpha, \mu)}{\alpha}-1$ и используем теорему о неявной функции, чтобы получить кривую нулей $g$ в $C$ (см. Рюэль и Такенс [1], стр. 190).
(1.17). Замечание. Замкнутые орбиты, которые дает теорема Хопфа, не обязательно бывают глобально устойчивы

Рис. 1.19. $а$ – особые точки сливаются; б- особые точки сходят с оси симметрии, и образуется замкнутая орбита.

и могут исчезать при больших значениях параметра (см. замечание 3A.3).
(1.18) Замечание. Сведение к конечномерному случаю с использованием теоремы о центральном многообразии аналогично сведению к конечной размерности в теории бифуркаций стационарных решений уравнений эллиптического типа, которое известно под названием «теории Ляпунова – Шмидта». См. Ниренберг [1] и Вайнберг и Треногин [1, 2].
(1.19) Замечание. Рождение замкнутых орбит может происходить с помощью механизмов, отличных от вышерассмотренных. На рис. 1.19 показан пример С. Вана ${ }^{1}$ ).
1) О рождении замкнутых орбит см. Андронов и др. [1], Шильников [1-4], а также Дополнение I. – Прим. ред.