1. Введение
Пусть
\[
\dot{x}_{i}=F_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \mu\right) \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

или, в векторных обозначениях,
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}(\mathbf{x}, \omega)
\]
— система дифференциальных уравнений с действительным параметром $\mu$, где $\mathbf{F}$ аналитична по $\mathbf{x}$ и $\mu$ для $\mathbf{x}$ из области $G \subset \mathbb{R}^{n}$ и $|\mu|<c$. Пусть для $|\mu|<c$ система (1.1) имеет семейство стационарных решений $\mathbf{x}=\tilde{\mathbf{x}}(\mu)$, лежащее в $G$ :
\[
\mathbf{F}(\tilde{\mathbf{x}}(\mu), \mu)=0 .
\]

Как хорошо известно, характеристические показатели стационарного решения являются собственными значениями в задаче о собственных значениях
\[
\lambda \mathbf{a}=\mathbf{L}_{\mu} \mathbf{a},
\]

где $\mathbf{L}_{\mu}$ — линейный оператор, зависящий только от $\mu$, соответствующий линейной части разложения $\mathbf{F}$ в ряд в точке $\mathbf{x}=\mathbf{x}$. Эти показатели либо действительные числа, либо пары комплексно-сопряженных и зависят от $\mu$.

Предположим просто, что для значения $\mu=0$ существует стационарное решение $\mathbf{x}_{0}$ в $G$, которое не имеет равных нулю характеристических показателей. Тогда, как хорошо известно, отсюда автоматически следует, что существует единственное стационарное решение $\mathbf{x}(\mu)$ в некоторой окрестности $\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0}$ для каждого достаточно малого $|\mu|$ и что $\tilde{\mathbf{x}}(\mu)$ аналитично в точке $\mu=0$.

Предположим теперь, что при переходе через значение $\mu=0$ мнимую ось пересекает пара комплексно-сопряженных характеристических показателей и ни один из характеристических показателей не равен нулю. Эта ситуация часто встречается в неконсервативных механических системах, например
1) Английский перевод работы Хопфа [1] выполнен Л. Н. Ховардом и н. Қоппель,

в гидродинамических. Следующая теорема утверждает, что при этих предположениях всегда существует периодическое решение уравнения (1.1) в окрестности значений $\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0}$ и $\mu=0$.

Теорема. Пусть для $\mu=0$ ровно два комплексно-сопряженных характеристических показателя $\alpha(\mu), \bar{\alpha}(\mu)$ становятся чисто мнимыми и при этом удовлетворяются условия
\[
\alpha(0)=-\bar{\alpha}(0)
eq 0, \quad \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)
eq 0 .
\]

Тогда существует семейство действительных периодических решений $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t, \varepsilon), \mu=\mu(\varepsilon)$, такое, что $\mu(0)=0, \mathbf{x}(t, 0)=$ $=\tilde{\mathbf{x}}(0)$, причем $\mathbf{x}(t, \varepsilon)
eq \tilde{\mathbf{x}}(\mu(\varepsilon))$ для всех достаточно малых $\varepsilon
eq 0 . \mu(\varepsilon)$ и $\mathbf{x}(t, \varepsilon)$ аналитичны в точке $\varepsilon=0$ и соответственно в каждой точке $(t, 0)$. То же справедливо для периода $T(\varepsilon)$, и
\[
T(0)=2 \pi /|\alpha(0)| .
\]

Для произвольно большого $L$ существует два положительных числа а и $b$, такие, что для $|\mu|<b$ не существует периодических решений, кроме стационарного решения и решений полусемейства $\varepsilon>0$, период которых меньше $L$ и которые целиком лежат в окрестности $\left.|\mathbf{x}-\tilde{\mathbf{x}}(\mu)|<a^{1}\right)$.

Для достаточно малых $\mu$ периодические решения, вообще говоря, существуют для $\mu>0$ или лишь для $\mu<0$; возможно также, что они существуют лишь для $\mu=0^{2}$ ).

Как хорошо известно, характеристические показатели периодического решения $\mathbf{x}(t, \varepsilon)$ являются решениями задачи о собственных значениях
\[
\dot{\mathbf{v}}+\lambda \mathbf{v}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}),
\]

где $\mathbf{v}(t)$ имеет тот же период $T(\varepsilon)$, что и решение, а $\mathbf{L}_{t, \varepsilon}$ линейный оператор, полученный линеаризацией системы в окрестности периодического решения. Он периодически зависит от $t$ с периодом $T$ и аналитичен по $t$ и $\varepsilon$ в точке $\varepsilon=0$.

Характеристические показатели определяются лишь по модулю $(2 \pi i / T)$ и непрерывно зависят от $\varepsilon$. Один из них, естественно, нуль: для $\mathrm{F}$, не зависящего явно от $t$,
\[
\lambda=0, \quad \mathbf{v}=\mathbf{x}(t, \varepsilon)
\]
1) Полусемейство, соответствующее $\varepsilon<0$, представляет те же самые интегральные кривые.
2) По поводу этой теоремы см. комментарий редакторов в конце книги.

является решением задачи о собственных значениях. При $\varepsilon \rightarrow 0$ характеристические показатели по модулю $\left(2 \pi i / T_{0}\right)$ непрерывно стремятся к соответствующим показателям стационарного решения системы (1.1) с $\mu=0$. При этом по предположению ровно два показателя стремятся к мнимой оси. Один из них тождественно равен нулю. Другой, $\beta=\beta(\varepsilon)$, должен быть действительным и аналитичным в точке $\varepsilon=0$, а $\beta(0)=0$. Из приведенной выше теоремы непосредственно следует, что коэффициенты $\mu_{1}$ и $\beta_{1}$ в разложениях в ряды
\[
\begin{array}{c}
\mu=\mu_{1} \varepsilon+\mu_{2} \varepsilon^{2}+\ldots \\
\beta=\beta_{1} \varepsilon+\beta_{2} \varepsilon^{2}+\ldots
\end{array}
\]

удовлетворяют равенствам $\mu_{1}=\beta_{1}=0$. В дополнение к этому ниже будет показано, что имеет место простое соотношение
\[
\beta_{2}=-2 \mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right) .
\]

В общем случае, когда $\mu_{2}
eq 0$, это соотношение дает информацию об условиях устойчивости. Если, например, для $\mu<0$ все характеристические показатели стационарного решения $\mathbf{x}=\tilde{\mathbf{x}}(\mu)$ имеют отрицательные действительные части (устойчивость, малая окрестность $\tilde{\mathbf{x}}$ сжимается к $\tilde{\mathbf{x}}$ при $t \rightarrow \infty$ ), то имеется следующая альтернатива. ЛІибо периодическое решение ответвляется от стационарного после смены устойчивости стационарного решения $(\mu>0)$, и в этом случае все характеристические показатели периодического решения имеют отрицательные действительные части (устойчивость, трубки вокруг периодических решений сжимаются к ним при $t \rightarrow \infty)$; либо, наоборот, семейство периодических решений существует перед сменой устойчивости, т. е. для $\mu<0$, и тогда периодические решения неустойчивы ${ }^{1}$ ).

Так как в природе при достаточно длительном наблюдении мы можем наблюдать лишь устойчивые решения, то бифуркация периодического решения из стационарного может быть обнаружена, только когда стационарное решение становится неустойчивым.

Такие наблюдения хорошо известны в гидродинамике. Так, например, в потоке, обтекающем твердое тело, движение стационарное, если скорость потока достаточно мала. Однако если она, увеличиваясь, станет достаточно большой, то движение может стать периодическим (происходит периодический отрыв вихря): Здесь идет речь о примерах неконсерва-
1) В двумерном случае это очевидно.

сервативных системах, конечно, предположение (1.2) никогда не осуществляется: наряду с характеристическим показателем $\lambda$, всегда имеется и характеристический показатель (- $-\lambda$ ).

В литературе я не встречал бифуркационных задач, рассмотренных на основании предположения (1.2). Однако я думаю, что едва ли имеется что-нибудь существенно новое в сформулированной выше теореме. Методы были развиты Пуанкаре, возможно, лет 50 назад $^{2}$ ) и являются сегодня составной частью классической теории периодических решений в малом. Так как, однако, теорема представляет интерес для задач неконсервативной механики, мне кажется, что полное ее изложение имеет смысл. Чтобы облегчить переход к системе с бесконечно многими степенями свободы, например к фундаментальным уравнениям движения вязкой жидкости, я буду отдавать предпочтение общим методам линейной алгебры, а не специальной технике (например, выбору подходящей системы координат).

Конечно, с таким же успехом может случиться, что при $\mu=0$ действительный характеристический показатель $\alpha(\mu)$ стационарного решения $\mathbf{x}(\mu)$ пересекает мнимую ось, т. е. $\alpha(0)=0, \alpha^{\prime}(0)
eq 0$, в то время как другие отделены от нее. В этом случае не периодическое, а другое стационарное решение ответвляется от данного ${ }^{3}$ ). Ограничимся формулировкой теоремы для этого простого случая. Существует аналити-
1) Мне неизвестен пример из гидродинамики, в котором осуществляется второй случай. O существовании неустойчивых решений можно догадаться, если при очень тщательно поставленном эксперименте (очень медленное изменение параметров) всегда наблюдается внезапное разрушение стационарного движения в одной и той же точке.
${ }^{2}$ ) «Новые методы небесной механики». Периодические решения, определенные выше, представляют простейший предельный случай периодических решений Пуанкаре второго типа («рода»), см. т. III, гл. 28, 30-31. Пуанкаре, имея в виду приложения к небесной механике, тщательно изучил эти решения (с помощью интегральных инвариантов) лишь в случае канонических систем дифференциальных уравнений, где ситуация сложнее, чем выше. Пуанкаре использовал вспомогательный параметр \& в гл. 30 при вычислении коэффициентов (вычисления в нашем § 4 по существу те же самые), но не при доказательстве существования, которое благодаря этому становится проще.

Пенлеве в короткой заметке в т. I, стр. 156 затрагивает этот вопрос: «Les petits mouvements périodiques des systèmes, Comptes Rendus, Paris, XXIV (1897), p. 1222. Общая теорема, сформулированная там, охватывает случай $\mu=0$ в нашей системе (1.1), но для общего случая она неверна. Для законности этого утверждения $\mathbf{F}$ должна удовлетворять специальным условиям.
3) Подобный пример в гидродинамике осуществляется при движении жидкости между двумя концентрическими цилиндрами (G. I. Taylor).

ческое семейство $\mathbf{x}=\mathbf{x}^{*}(\varepsilon), \mu=\mu^{*}(\varepsilon)$ стационарных решений, отличных от $\tilde{\mathbf{x}}, \mu^{*}(0)=0, \mathbf{x}^{*}(0)=\tilde{\mathbf{x}}(0)$. Если $\mu_{1}
eq 0$ (общий случай), тогда решения существуют для $\mu>0$ для $\mu<0$. Для характеристического показателя $\beta(\varepsilon)$, который переходит через нуль, справедлив аналог формулы (1.4)
\[
\beta_{1}=-\mu_{1} \alpha^{\prime}(0) .
\]

Если $\mathbf{x}$ устойчиво для $\mu<0$ и неустойчиво для $\mu>0$, тогда для $\mathbf{x}^{*}$ осуществляется прямо противоположное (обнаружить $\tilde{\mathbf{x}}$ для $\mu<0$ все равно, что $\mathbf{x}^{*}$ для $\mu>0$ ). В особом случае $\mu_{1}=0$ ситуация может быть различной. Если $\mu_{2}
eq 0$, тогда новые решения существуют лишь для $\mu>0$ либо для $\mu<0$. Тогда для фиксированного $\mu$ существуют два решения (одно с положительным $\varepsilon$, другое — с отрицательным). При этом справедливо равенство
\[
\beta_{2}=-2 \mu_{2} \alpha^{\prime}(0) .
\]

Из него можно получить утверждение об устойчивости, аналогичное сформулированному выше. В этом случае или оба решения устойчивы, или оба неустойчивы.

Существование периодических решений
Без ограничения общности можно предположить, что стационарное решение находится в начале координат, т. е.
\[
\mathbf{F}(0, \mu)=0 .
\]

Пусть разложение $\mathbf{F}$ в ряд по степеням $x_{i}$ имеет вид
\[
\mathbf{F}(\mathbf{x}, \mu)=\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{x})+\mathbf{Q}_{\boldsymbol{\mu}}(\mathbf{x}, \mathbf{x})+\mathbf{K}_{\mu}(\mathbf{x}, \mathbf{x}, \mathbf{x})+\ldots,
\]

где вектор-функции
\[
\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{x}), \mathbf{Q}_{\mu}(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \mathbf{K}_{\mu}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), \ldots
\]

являются линейными функциями каждого аргумента и симметричны по этим векторам.
Подстановка
\[
\mathbf{x}=\mathbf{e y}
\]

преобразует (1.1) в
\[
\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{y})+\varepsilon \mathbf{Q}_{\mu}(\mathbf{y}, \mathbf{y})+\varepsilon^{2} \mathbf{K}_{\mu}(\mathbf{y}, \mathbf{y}, \mathbf{y})+\ldots .
\]
$=\mathbf{y}^{0}$ ( $\mathbf{y}^{0}$ произвольно). Рассмотрим случай $\varepsilon=0$ в (2.3), т. е. линейное однородное дифференциальное уравнение
\[
\dot{\mathrm{z}}=\mathrm{L}_{\mu}(\mathrm{z}) .
\]

Для вопросов существования оно имеет решающее значение.

Комплексно-сопряженные характеристические показатели $\alpha(\mu), \bar{\alpha}(\mu)$, о которых говорилось в предположениях теоремы, просты для всех малых $|\mu|$. В соответствующих решениях
\[
e^{\alpha t} \mathbf{a}, \quad e^{\bar{a} t} \overline{\mathbf{a}}
\]

уравнения (2.4) комплексный вектор а определен поэтому с точностью до комплексного скалярного множителя; а̄ — сопряженный вектор. Кроме того, в силу простоты не существует решений вида
\[
e^{a t}(t \mathbf{b}+\mathbf{c}), \quad \mathbf{b}
eq 0 .
\]

В точке $\mu=0 \alpha(\mu)$-аналитическая функция. Можно выбрать фиксированный действительный вектор $\mathbf{e}
eq 0$ так, чтобы для всех малых $|\mu| \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}
eq 0$ для $\mathbf{a}
eq 0$. Тогда $\mathbf{a}=$ $=\mathbf{a}(\mu)$ единственным образом определяется условием
\[
\mathbf{a}(\mu) \cdot \mathbf{e}=\frac{1}{\alpha(\mu)-\bar{a}(\mu)}, \quad(\mathbf{e}=\overline{\mathbf{e}}
eq 0) .
\]

По предположению
\[
\alpha(0)=-\bar{\alpha}(0)
eq 0 .
\]

В точке $\mu=0$ a $(\mu)$ аналитична.
Действительные решения уравнения (2.4), являющиеся линейными комбинациями (2.5), имеют вид
\[
\mathbf{z}=c e^{\bar{\alpha} t} \mathbf{a}+\bar{c} e^{\bar{a} t} \mathbf{a}
\]

с комплексным скаляром с. Они образуют семейство, зависящее от двух действительных параметров; один из этих параметров пропорционален множителю, а другой представляет собой аддитивную по $t$ постоянную (решения образуют лишь однопараметрическое семейство кривых).
В силу того что $\mathbf{e}=\overline{\mathbf{e}}$, имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\mathbf{z} \cdot \mathbf{e}=c \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}+\bar{c} \overline{\mathbf{a} \cdot \mathrm{e}} \\
\dot{\mathbf{z}} \cdot \mathbf{e}=c \alpha \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}+\bar{c} \bar{\alpha} \overline{\mathbf{a} \cdot \mathrm{e}}
\end{array}\right\} \text { при } \quad t=0 .
\]

Для $c=1$ (2.9) превращается в
\[
\mathbf{z}=e^{\alpha t} \mathbf{a}+e^{\bar{a} \overline{\mathbf{a}}}=\mathbf{z}(t, \mu) .
\]

В силу (2.7) это z удовлетворяет условиям:
\[
t=0: \mathrm{z} \cdot \mathrm{e}=0, \quad \frac{d}{d t}(\mathrm{z} \cdot \mathrm{e})=1 .
\]

Это единственное решение вида (2.9); удовлетворяющее этим условиям, так как из
\[
t=0: \mathbf{z} \cdot \mathbf{e}=\mathbf{z} \cdot \mathbf{e}=0
\]

и из (2.9), (2.7) и (2.8) следует, что $c=0$; таким образом, $\mathbf{z}=0$.

По предположению при $\mu=0 \alpha$ и $\bar{\alpha}$ — единственные из всех характеристических показателей, являющиеся чисто мнимыми. Следовательно, для $\mu=0$ (2.9) определяет все действительные периодические решения (2.4). Их период
\[
T_{0}=2 \pi / \alpha(0) \mid .
\]

В частности, для $\mu=0$ (2.10)-единственное периодическое решение со свойствами (2.11).

Для дальнейшего заметим также, что при $\mu=0$ (2.4) не имеет решений вида
\[
t \mathbf{p}(t)+\mathbf{q}(t),
\]

где $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$ имеют общий период и $\mathbf{p}$ не тождественно равна нулю. Иначе бы (2.4) распалось на два уравнения
\[
\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{p}), \quad \mathbf{p}+\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{q}),
\]

и р было бы нетривиальной линейной комбинацией (2.5). Разложение $\mathbf{q}(t)$ в ряд Фурье приводило бы тогда к решению вида (2.6).

Дифференцируя (2.4) по $\mu$ в точке $\mu=0$, получим неоднородное дифференциальное уравнение
\[
\dot{\mathbf{z}}^{\prime}=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{z}^{\prime}\right)+\mathbf{L}_{0}^{\prime}(\mathbf{z}) ; \quad \mathbf{L}_{0}^{\prime}=\frac{d}{d \mu} \mathbf{L}_{\mu}(\mu=0),
\]

а для производной по $\mu$ от (2.10):
\[
\mathbf{z}^{\prime}=t\left(\alpha^{\prime} e^{\alpha t} \mathbf{a}+\bar{\alpha}^{\prime} e^{\bar{a} \overline{\mathbf{a}}}\right)+\left(e^{\alpha t} \mathbf{a}^{\prime}+e^{\bar{a} \overline{\mathbf{a}^{\prime}}}\right), \quad(\mu=0) .
\]

Множитель при $t$ есть решение уравнения (2.4). Если его линейно выразить через решение (2.10) и $\dot{\mathbf{z}}$, то из (2.8) будет следовать, что
\[
\mathbf{z}^{\prime}=t\left(\operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \mathbf{z}+\frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha} \cdot \dot{\mathbf{z}}\right)+\mathbf{h}(t)
\]

где
\[
\mathbf{h}\left(t+T_{0}\right)=\mathbf{h}(t) .
\]

Пусть теперь
\[
\mathbf{y}=\mathbf{y}\left(t, \mu, \boldsymbol{\varepsilon}, \mathbf{y}^{0}\right)
\]

решение (2.3), удовлетворяющее начальному условию $\mathbf{y}=\mathbf{y}^{\mathbf{0}}$ при $t=0$. Согласно хорошо известным теоремам, оно аналитически зависит от всех своих аргументов в каждой точке $\left(t, 0,0, \mathbf{y}^{0}\right)$. Это решение периодично с периодом $T$ в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет уравнению
\[
\mathbf{y}\left(T, \mu, \boldsymbol{\varepsilon}, \mathrm{y}^{0}\right)-\mathbf{y}^{0}=0 .
\]

Если обозначить через $\mathbf{z}^{0}$ начальное условие фиксированного решения (2.10) уравнения (2.4) при $\mu=0$, то (2.16) выполняется при значениях
\[
T=T_{0}, \quad \mu=\varepsilon=0, \quad \mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0} .
\]

Возникает задача: для данного $\varepsilon$ решить уравнение (2.16) относительно $T, \mu$ и у0. Это $n$ уравнений с $(n+2)$ неизвестными. Чтобы сделать решение единственным, добавим еще два уравнения
\[
\mathbf{y}^{0} \cdot \mathbf{e}=0, \quad \dot{\mathbf{y}}^{0} \cdot \mathbf{e}=1,
\]

где е-действительный вектор, введенный выше, а $\dot{\mathbf{y}}^{0}=\dot{\mathbf{y}}$ при $t=0$. Как будет показано в следующем параграфе, введение этих условий не налагает ограничений на все множество решений в малом. Из (2.11) следует, что для начальных условий $\mu=\varepsilon=0, \mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0}$ этим уравнениям удовлетворяют решения (2.10).

Для всех достаточно малых $|\varepsilon|$ (2.16) и (2.18) имеют точно одно решение
\[
T=T(\varepsilon), \quad \mu=\mu(\varepsilon), \quad \mathbf{y}^{0}=\mathrm{y}^{0}(\varepsilon)
\]

в некоторой окрестности системы значений
\[
T=T_{0}, \quad \mu=0, \quad \mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0}
\]

в следующем случае: система линейных уравнений, образованная взятием дифференциалов (в равенствах (2.16)) по переменным $T, \mu, \varepsilon, \mathbf{y}^{0}$, имеет единственное решение при данном $d \varepsilon$. Это эквивалентно тому, что функции (2.19) существуют, если эти линейные уравнения при $d \varepsilon=0$ имеют нулевое решение $d T=d \mu=d \mathbf{y}^{0}=0$. Именно этот случай и осуществляется, как сейчас будет показано. Имеем
\[
\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{y}), \quad \mathbf{y}=\mathbf{y}\left(t, \mu, 0, \mathbf{y}^{0}\right) .
\]

В частности,
\[
\mathbf{y}\left(t, \mu, 0, \mathbf{z}^{0}\right)=\mathbf{z}(t, \mu)
\]

есть решение (2.10). Дифференциал $d \mathbf{y}\left(t, \mu, 0, \mathbf{y}^{0}\right)$ является суммой дифференциалов относительно отдельных аргументов, когда все остальные фиксированы. Если ввести для дифференциалов
\[
d t, \quad d \mu, \quad d \mathbf{y}^{0},
\]

как для независимых констант или векторов, обозначения
\[
\rho, \sigma, \mathbf{u}^{0},
\]

то вышеуказанный дифференциал запишется как $\rho \dot{\mathbf{y}}+\sigma \mathbf{y}^{\prime}+$ $+\mathbf{u}$. Здесь у и $\mathbf{y}^{\prime}=\partial \mathbf{y} / \partial \mu$ берутся в точке $T=T_{0}, \mu=0$, $\mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0}$ и $\mathbf{u}$ — это решение
\[
\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{L}_{0} \mathbf{u}
\]

с начальным условием $\mathbf{u}^{0}$ при $t=0$. Согласно (2.22), $\dot{\mathbf{y}}=$ $=\dot{\mathbf{z}}(t, 0)$. Если положить $\mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{v}$, тогда $\mathbf{v}(t)$ — решение урав. нения
\[
\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{v})+\mathbf{L}_{0}^{\prime}(\mathbf{z}), \quad \mathbf{v}(0)=0 .
\]

Линейное векторное уравнение, получающееся из (2.16), таково:
\[
\rho \dot{\mathbf{z}}\left(T_{0}\right)+\sigma \mathbf{v}\left(T_{0}\right)+\mathbf{u}\left(T_{0}\right)-\mathbf{u}(0)=0,
\]

где $\mathbf{z}(t)$ обозначает решение (2.10) уравнения
\[
\dot{\mathbf{z}}=\mathrm{L}_{0}(\mathbf{z}),
\]
$\mathbf{u}(t)$ — какое-нибудь решение этого однородного линейного дифференциального уравнения с постоянным $\mathbf{L}_{0}$, и $\mathbf{v}(t)$ — решение (2.23). Покажем сейчас, что соотношение (2.24) возможно лишь тогда, когда $\rho=\sigma=0$ и $\mathbf{u}(t)=0$.
Теперь для всех $t$
\[
\dot{\rho \mathbf{z}}(t)+\sigma\left[\mathbf{v}\left(t+T_{0}\right)-\mathbf{v}(t)\right]+\mathbf{u}\left(t+T_{0}\right)-\mathbf{u}(t)=0 .
\]

Это выполняется, так как $z(t)$ имеет период $T_{0}$, поэтому из (2.23) следует, что выражение в квадратных скобках есть решение (2.25); $\mathbf{z}$ также решение (2.25), следовательно, вся левая часть (2.26) есть решение (2.25). Из (2.24) и того обстоятельства, что $\mathbf{v}(0)=0$, следует, что начальное условие этого решения нулевое и, таким образом, оно тождественно равно нулю. Теперь из (2.13) и (2.23) следует, что
\[
\mathbf{v}(t)-\mathbf{z}^{\prime}(t)+\mathbf{g}(t), \quad \dot{\mathbf{g}}(t)=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{g}) .
\]

Таким образом, по (2.14) и (2.15) квадрагная скобка в (2.26) равна
\[
T_{0}\left[\operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \cdot \mathbf{z}(\dot{\mathbf{t}})+\frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha} \cdot \dot{\mathbf{z}}(t)\right]+\left[\mathrm{g}\left(t+T_{0}\right)-\mathbf{g}(t)\right] .
\]

Положим $\mathbf{u}+\sigma \mathrm{g}=\mathbf{w} \mathbf{~}$
\[
\sigma T_{0} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \cdot \mathbf{z}(t)+\left[\rho+\sigma T_{0} \frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha}\right] \dot{z}(t)=\tilde{\mathbf{z}}(t) .
\]

Тогда получим, что
\[
\tilde{\mathbf{z}}(t)+\mathbf{w}\left(t+T_{0}\right)-\mathbf{w}(t)=0,
\]
rде $\mathbf{w}(t)$ — решение, а $\tilde{\mathbf{z}}(t)$ — периодическое решение (2.25). Это значит, что
\[
\mathbf{w}(t)=-\frac{i}{T_{0}} \tilde{z}(t)+q(t)
\]

с периодической функцией $q$. Однако, как мы перед этим установили, таких решений не существует, если $\tilde{\mathbf{z}}
eq 0$.

Так как $\mathbf{z}$ и $\dot{\mathbf{z}}$ линейно независимы, то из (2.27) и предположения (1.2) следует, что $\sigma=0$ и $\rho=0$. Таким образом, по $(2.24) \mathbf{u}(t)$ имеет период $T_{0}$.

Наконец, так как $d \mathbf{y}^{0}=\mathbf{u}^{0}$ и $d \mathbf{y}^{0}=\dot{\mathbf{u}}$ при $t=0$, из уравнений (2.18) следует, что $\mathbf{u} \cdot \mathbf{e}=\dot{\mathbf{u} \cdot \mathbf{e}}=0$ при $t=0$. Периодическое решение уравнения $\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{u})$ с такими свойствами обязано быть нулевым, как мы установили выше.

Этим завершается доказательство существования семейства периодических решений ${ }^{1}$ ).
Решения (2.19) аналитичны в точке $\varepsilon=0$,
\[
\begin{array}{l}
T=T_{0}\left(1+\tau_{1} \varepsilon+\tau_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right), \\
\mu=\mu_{1} \varepsilon+\mu_{2} \varepsilon^{2}+\ldots .
\end{array}
\]

Периодические решения $\mathbf{y}(t, \varepsilon)$ уравнения (2.23) и семейство периодических решений
\[
\mathbf{x}(t, \varepsilon)=\varepsilon \mathbf{y}(t, \varepsilon)
\]

уравнения (1.1) аналитичны в каждой точке $(t, 0)$.
Те же самые периодические решения получаются, если вместо $T_{0}$ начать с кратного периода $m T_{0}$, т. е. если рассмат. ривать окрестность системы значений
\[
T=m T_{0}, \quad \mu=0, \quad \mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0}
\]

вместо (2.20). Ничего существенного в доказательстве не изменится.
3. Завершение доказательства теоремы

Для произвольно большого $L>T_{0}$ существуют два положительных числа $a$ и $b$ со следующими свойствами: каждое периодическое решение $\mathbf{x}(t)
eq 0$ уравнения (1.1) с периодом меньше $L$, которое соответствует значению $\mu$ для $|\mu|<b$ и остается в области $|\mathbf{x}|<a$, принадлежит семейству (2.29),
1) См. редакторские комментарии I в гл. 5A.

(2.28), $\varepsilon>0$, если начало отсчета $t$ выбрать подходящим образом.

Если бы это было не так, существовала бы последовательность периодических решений $\mathbf{x}_{k}(t)
eq 0$, имеющих ограниченные периоды $T_{k}<L$, и соответствующих значений $\mu_{k}$, таких, что
\[
x_{k}=\max _{t}\left|\mathbf{x}_{k}(t)\right| \rightarrow 0, \quad \mu_{k} \rightarrow 0,
\]

причем ни одна пара $\mathbf{x}_{k}(t), \mu_{k}$ не принадлежала бы указанному выше семейству.
Положим
\[
\mathbf{y}_{k}(t)=\frac{1}{x_{k}} \mathbf{x}_{k}(t) .
\]
$\mathbf{y}_{k}(t)$ является решением (2.3) с $x_{k}$ вместо $\varepsilon$, и $\mathbf{y}_{k}$ удовлетворяет равенству
\[
\max _{t}\left|\mathbf{y}_{k}(t)\right|=1 \text {. }
\]

Рассмотрим сначала подпоследовательность, для которой начальные значения сходятся, $\mathbf{y}_{k}^{0} \rightarrow \mathbf{z}^{0}$. Тогда равномерно для $|t|<L$ имеем $\mathbf{y}_{k}(t) \rightarrow \mathbf{z}(t)$, где $\mathbf{z}=\mathbf{L}_{0}(z)$ и $\mathbf{z}(0)=\mathbf{z}^{0}$. Так как максимум $\mid \mathbf{z}$ | равен единице, $\mathbf{z}$ тождественно не равно нулю, поэтому $z$ представляется в форме (2.9) и имеет основной период $T_{0}$. Если сдвинуть начало отсчета $t$ в функции $\mathbf{z}(t)$ в ту точку, где $\mathbf{z} \cdot \mathbf{e}=0$, то можно установить, что в ней $\mathbf{z} \cdot \mathbf{e}
eq 0$. Эту величину можно считать положительной. В противном случае, так как
\[
\mathbf{z}\left(t+\frac{1}{2} T_{0}\right)=-\mathbf{z}(t)
\]

то этого можно достичь сдвигом из $t=0$ в $1 / 2 T_{0}$. Следо вательно,
\[
\mathbf{z}^{0} \cdot \mathbf{e}=0, \quad \dot{\mathbf{z}}^{0} \cdot \mathbf{e}>0 .
\]

Отсюда следует, что в окрестности $\mathbf{z}^{0}$ и для малых $x$ и $\mu$ все решения дифференциального уравнения (2.3) ( $x$ вместо $\varepsilon$ ) пересекают гиперплоскость $\mathbf{y} \cdot \mathbf{e}=0$ однократно. Пусть для точек пересечения $t=0$. Тогда нетрудно убедиться, что для рассматриваемой последовательности $\mathbf{y}_{k}(t), x_{k}, \mu_{k}$ (с этим выбором начала отсчета) всегда $\mathbf{y}_{k}^{0} \rightarrow \mathbf{z}^{0}$. Кроме того,
\[
\mathbf{y}_{k}^{0} \cdot \mathrm{e}=0, \quad \rho_{k}=\dot{\mathbf{y}}_{k}^{0} \cdot \mathrm{e} \rightarrow \dot{\mathbf{z}}^{0} \cdot \mathbf{e}=\rho \rightarrow 0, и $x_{k} \rightarrow 0, \mu_{k} \rightarrow 0$. Если теперь положить
\[
\tilde{\mathbf{y}}_{k}(t)=\frac{1}{\rho_{k}} \mathbf{y}_{k}(t)=\frac{1}{\rho_{k} x_{k}} \mathbf{x}_{k}(t), \quad \rho_{k} \chi_{k}=\varepsilon_{k},
\]

тогда $\tilde{\mathbf{y}}_{k}$ — решение (2.3) для значений параметров $\boldsymbol{\varepsilon}_{k}>0$ и $\mu_{k}$. Для этого решения имеем
\[
\tilde{\mathbf{y}}_{k} \cdot \mathbf{e}=0, \quad \dot{\tilde{\mathbf{y}}}_{k} \cdot \mathrm{e}=1, \quad t=0 .
\]

Периоды в последовательности решений должны сходиться к кратному (относительно $T_{0}$ ) периоду $m T_{0}$. Кроме того, $\varepsilon_{k} \rightarrow 0$. Однако отсюда следует, что начиная с некоторого момента последовательность входит в упомянутую выше окрестность значений (2.20) или (2.30), в которой для всех достаточно малых $\varepsilon$ существует только одно решение системы уравнений. Тогда решения из нашей последовательности должны принадлежать указанному выше семейству с $\varepsilon>0$, что противоречит предположению. Таким образом, утверждение доказано ${ }^{1}$ ).

Из только что доказанного факта следует, что если $\mu(\varepsilon)
eq 0$, то первый отличный от нуля коэффициент в разложении $\mu=\mu_{1} \varepsilon+\mu_{2} \varepsilon^{2}+\ldots$ — четного порядка; то же самое имеет место для разложения $T=T_{0}\left(1+\tau_{1} \varepsilon+\tau_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right)$, так как для $\varepsilon<0$ решения семейства и соответствующие значения $\mu$ и $T$ должны уже содержаться среди решений для $\varepsilon>0^{2}$ ). В частности,
\[
\mu_{1}=\tau_{1}=0 .
\]

При достаточно малых $|\mu|$ и $|\mathbf{x}|$ периодические решения существуют только для $\mu>0$, или только для $\mu<0$, или только при $\mu=0$.
4. Определение коэффициентов

Нам потребуется следующий результат, который дает критерий разрешимости неоднородной системы дифференциальных уравнений
\[
\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}(\mathbf{w})+\mathbf{q}, \quad\left(\mathbf{L}=\mathbf{L}_{0}\right),
\]

где $\mathbf{q}(t)$ имеет период $T_{0}$. Пусть
\[
\dot{\mathbf{z}}^{*}=-\mathbf{L}^{*}\left(\mathbf{z}^{*}\right)
\]
1) См. редакторские комментарии II в гл. 5А.
2) И действительно, получаются при сдвиге начала отсчета приблиэительно на $T_{0} / 2$.

— дифференциальное уравнение, сопряженное к однородной части уравнения (4.1); $\mathbf{L}^{*}$ — сопряженный к $\mathbf{L}$ оператор (транспонированная матрица), определенный соотношением
\[
\left.\mathbf{L}(\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}=\mathbf{u} \cdot \mathbf{L}^{*}(\mathbf{v})^{1}\right) .
\]

Тогда (4.1) имеет периодическое решение $\mathbf{w}$ c периодом $T_{0}$, если и только если
\[
\int_{0}^{T_{0}} \mathbf{q} \cdot \mathbf{z}^{*} d t=0
\]

для всех решений (4.2), которые имеют период $T_{0}$. Этот результат следует из известного критерия разрешимости системы линейных уравнений. Необходимость следует непосредственно из (4.1) и (4.2). Достаточность этого условия можно показать следующим образом. Сопряженное уравнение имеет те же самые характеристические показатели, и поэтому оно также имеет два решения вида
\[
e^{a t} \mathrm{a}^{*}, \quad e^{-\alpha t} \overline{\mathrm{a}}^{*}, \quad \alpha=\alpha(0)=-\bar{\alpha}(0),
\]

из которых линейной комбинацией может быть образовано любое периодическое решение. Далее, разложение $\mathbf{q}(t)$ в ряд Фурье показывает, что достаточно рассмотреть случай
\[
\mathbf{q}=e^{-\alpha t} \mathbf{b}
\]

и аналогичный случай с $\alpha$ вместо — $\alpha$. Подставим
\[
\mathbf{w}=e^{-a t} \mathbf{c}
\]

в (4.1), получим
\[
(\alpha I+\mathbf{L}) \cdot \mathbf{c}=\mathbf{b} .
\]

Из (4.4) и (4.2) следует
\[
(\alpha I+\mathbf{L})^{*} \mathbf{a}^{*}=0,
\]

в то время как (4.3) влечет за собой $\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}^{*}=0$. Отсюда с учетом теоремы вытекает требуемое утверждение.

Кроме того, нам потребуется следующий факт. Для каждого решения $\mathbf{z}
eq 0$ уравнения $\mathbf{z}=\mathbf{L}(\mathbf{z})$, имеющего период $T_{0}$, всегда существует решение $z^{*}$ сопряженного уравнения с тем же самым периодом, для которого
\[
\left.\int_{0}^{T_{0}} \mathbf{z} \cdot \mathbf{z}^{*} d t
eq 0^{2}\right) .
\]
1) В дальнейшем скалярное произведние двух комплексных векторов a и b определяется как $\Sigma \bar{a}_{i} b_{b}$.
2) К тому же подинтегральное выражение всегда постоянно.

В противном случае уравнение $\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}(\mathbf{w})+\mathbf{z}$ имело бы решение $\mathbf{w}, \mathbf{a} \mathbf{w}-t \mathbf{z}^{1}$ ) было бы решением однородного дифференциального уравнения, что противоречит простоте характеристического показателя $\alpha$.

Пусть $z_{1}^{*}$ и $z_{2}^{*}$ суть два линейно независимых решения (4.2) с периодом $T_{0}$. Пусть
\[
[\mathrm{q}]_{l}=\int_{0}^{T_{1}} \mathbf{q} \cdot \mathbf{z}_{l}^{*} d t, \quad(i=1,2) .
\]

Тогда критерий разрешимости (4.1) может быть записан как
\[
[q]_{1}=[q]_{2}=0 .
\]

Заметим также, что $z_{1}^{*}, z_{2}^{*}$ могут быть выбраны так, чтобы
\[
[\mathbf{z}]_{1}=[\dot{\mathbf{z}}]_{2}=1, \quad[\mathbf{z}]_{2}=[\dot{\mathbf{z}}]_{1}=0,
\]

где $\mathbf{z}$ — решение (2.10) уравнения (2.4) с $\mu=0$ (биортогонализация).

Задача определения коэффициентов степенного ряда для периодического семейства теперь может быть решена следующим общим способом. Если определить новую независимую переменную равенством
\[
t=s\left(1+\tau_{2} \varepsilon^{2}+\tau_{3} \varepsilon^{3}+\ldots\right),
\]

то, согласно (2.28), период в семействе решений $\mathbf{y}=\mathbf{y}(s, \varepsilon)$ станет постоянным, равным $T_{0} ; \mathbf{y}$ как функция $s$ (или $t$ ) аналитична в каждой точке $(s, 0)$. Получаем
\[
\mathbf{y}=\mathbf{y}_{0}(s)+\varepsilon \mathbf{y}_{1}(s)+\varepsilon^{2} \mathbf{y}_{2}(s)+\ldots,
\]

где все $\mathbf{y}_{i}$ имеют период $T_{0}$. Производная по $s$ будет снова обозначаться точкой. Для простоты будем писать
\[
\mathbf{L}_{0}=\mathbf{L}, \quad \mathbf{L}_{0}^{\prime}=\mathbf{L}^{\prime}, \quad \mathbf{Q}_{3}=\mathbf{Q}, \quad \mathbf{K}_{0}=\mathbf{K}, \ldots
\]

Тогда, используя (3.2) и подставляя (4.7) и (4.8) в (2.3), получим рекуррентные уравнения
\[
\begin{array}{c}
\dot{y}_{0}=\mathbf{L}\left(\mathbf{y}_{0}\right) \quad\left(\mathrm{y}_{0}=\mathrm{z}\right), \\
\dot{\mathbf{y}}_{1}=\mathbf{L}\left(\mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{Q}\left(\mathrm{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right) \\
-\boldsymbol{\tau}_{2} \dot{\mathbf{y}}_{0}+\dot{\mathbf{y}}_{2}=\mathbf{L}\left(\mathbf{y}_{2}\right)+\mu_{2} \mathbf{L}^{\prime}\left(\mathbf{y}_{0}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right),
\end{array}
\]
$\qquad$
1) В оригинале $\mathbf{w}+t \mathbf{z}$, что неверно.

из которых нужно определить $\mathrm{y}_{i}, \mu_{i}, \tau_{i}$. В дополнение к ним имеем условия, вытекающие из (2.18):
\[
\mathbf{y}_{k} \cdot \mathbf{e}=\dot{\mathbf{y}}_{k} \cdot \mathbf{e}=0 \text { при } \quad s=0
\]

для $k=1,2, \ldots$. В уравнениях мы опять пишем $t$ вместо $s$. По (4.10) и (4.12) у $_{1}$ однозначно определяется как периодическая функция периода $T_{0}$. Сначала с помощью (2.13) из (4.11) должна быть исключена $\mathbf{L}^{\prime}$. Так как круглые скобки в первом слагаемом (2.14) являются решением $\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{L}(\mathbf{z})$, то (2.13) может быть записано в виде
\[
\operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \cdot \mathbf{z}+\frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha} \dot{\mathbf{z}}+\dot{\mathbf{h}}=\mathbf{L}(\mathbf{h})+\mathbf{L}^{\prime}(\mathbf{z}) .
\]

Пусть
\[
\mathbf{y}_{2}-\mu_{2} \mathbf{h}=\mathbf{v},
\]

где $v$, согласно (2.15), имеет период $T_{0}$. Так как $z=y_{0}$, то отсюда следует, что
\[
\begin{aligned}
-\mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \mathbf{y}_{0}- & \left(\tau_{2}+\mu_{2} \frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha}\right) \dot{\mathbf{y}}_{0}+\dot{\mathbf{v}}= \\
& =\mathbf{L}(\mathbf{v})+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, согласно (4.6),
\[
\begin{aligned}
\mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) & =-\left[2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+K\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right]_{1}, \\
\tau_{2}+\mu_{2} \frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha} & =-\left[2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right]_{2} .
\end{aligned}
\]

В силу (1.2) отсюда могут быть определены $\mu_{2}$ и $\tau_{2}$. Тогда можно разрешить (4.15) относительно $v$ и из (4.14), (4.12) при $k=2$ однозначно получить $\mathbf{y}_{2}$. Аналогичным образом из последующих рекуррентных формул могут быть получены все высшие коэффициенты. В общем случае $\mu_{2}
eq 0$. Если $\mu_{2}$ положительно, то периодические решения существуют лишь для $\mu>0$; соответствующее утверждение имеет место для $\mu_{2}<0^{1}$ ).
5. Характеристические показатели периодических решений

В дальнейшем мы иногда будем использовать определители; этого, однако, можно избежать. В линейном уравнении, полученном линеаризацией уравнения (2.3) в окрестности периодического решения
\[
\mathbf{u}=\mathbf{L}_{i, \varepsilon}(\mathbf{u}),
\]
1) См. редакторские комментарии III в гл. 5A.

из (2.3) получаем
\[
\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{u})=\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{u})+2 \varepsilon \mathbf{Q}_{\mu}(\mathbf{y}, \mathbf{u})+3 \varepsilon^{2} \mathbf{K}_{\mu}(\mathbf{y}, \mathbf{y}, \mathbf{u})+\ldots
\]

Фундаментальная система $\mathbf{u}_{i}(t, \varepsilon)$, получающаяся для фиксированных начальных условий, аналитически зависит от $(t, \varepsilon)$. Коэффициенты в выражении $\mathbf{u}_{i}(T, \varepsilon)=\sum a_{i v}(\varepsilon) \cdot \mathbf{u}_{v}(0)$ аналитичны в точке $\varepsilon=0$. Характеристическое уравнение
\[
\left\|a_{i k}(\varepsilon)-\zeta \delta_{i k}\right\|=0, \quad \zeta=e^{\lambda T(\varepsilon)}
\]

определяет характеристические показатели $\lambda_{k}$ и решения $\mathbf{v}$ уравнения (1.3), где
\[
\mathbf{u}=e^{\lambda t} \mathbf{v} .
\]

Так как (5.1) имеет решение $\mathbf{u}=\dot{\mathbf{y}}$, то $\zeta=1$ есть корень (5.3). Показатель $\beta$, о котором говорилось во введении, соответствует простому корню уравнения, полученному делением на $\zeta-1$. Таким образом, $\beta(\varepsilon)$ действителен и аналитичен в точке $\varepsilon=0, \beta=\beta_{2} \varepsilon^{2}+\ldots$ ( $\beta_{1}$ равен нулю на том же основании, что $\mu_{1}$ и $\tau_{1}$ ). Теперь, если $\beta$ не $\equiv 0$, тогда существует некоторый минор порядка $n-1$ в определителе (5.3) (с соответствующим Ђ), который не равен 0 . Отсюда следует, что (1.3) при $\lambda=\beta$ имеет решение $\mathbf{v}
eq 0$, которое аналитично в точке $\varepsilon=0$. Даже если $\beta \equiv 0$, то существует минор порядка ( $n-2)$, не равный нулю. Как известно, в этом случае существует решение уравнения (5.1), аналитическое в точке $\varepsilon=0$, вида $\mathbf{u}=t \mathbf{v}+\mathbf{w}$ с периодическими $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$, где или $\mathbf{v}
eq 0$, или $\mathbf{v}=0$ и $\mathbf{w}$ линейно не зависит от решения $\mathbf{u}=\dot{\mathbf{y}}^{1}$ ). Из того, что $t \mathbf{v} \mathbf{w}$ — решение, следует, что
\[
\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}), \quad \mathbf{v}+\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{w}) .
\]

После этих предварительных замечаний приступим к вычислению $\beta_{2}$. Предположим здесь, что $\mu_{2}
eq 0$. Тогда, как будет далее показано, тождество $\beta \equiv 0$ невозможно. Если использовать (4.7) и ввести $s$ как новое $t$ в (1.3), то
\[
\left(1-\tau_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right) \dot{\mathbf{v}}+\beta \mathbf{v}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}) .
\]

Имеем также (с новым $t$ )
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}(t)+\varepsilon \mathbf{v}_{1}(t)+\varepsilon^{2} \mathbf{v}_{2}(t)+\ldots,
\]

где все $\mathbf{v}_{i}$ имеют один и тот же период $T_{0}$. Если рассмотреть степенные ряды для $\mu, \beta, \mathbf{v}, \mathbf{y}$, то отсюда будет следовать
1) См., например, Moulton F. R., Periodic Orbits, Washington, 1920, p. 26 .

(индекс нуль в операторах, как и выше, опускается), что
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{v}}_{0}=\mathbf{L}\left(\mathbf{v}_{0}\right), \\
\dot{\mathbf{v}}_{1}=\mathbf{L}\left(\mathbf{v}_{1}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{v}_{0}\right), \\
\boldsymbol{\beta}_{2} \mathbf{v}_{0}-\tau_{2} \dot{\mathbf{v}}_{0}+\dot{\mathbf{v}}_{2}=\mathbf{L}\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\mu_{2} \mathbf{L}^{\prime}\left(\mathbf{v}_{0}\right)+ \\
+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{1}, \mathbf{v}_{0}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{v}_{1}\right)+3 \mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{v}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения имеют тривиальное решение
\[
\beta_{i}=0, \quad \mathbf{v}_{i}=\dot{\mathrm{y}}_{i} \quad(i=0,1, \ldots) .
\]

Таким образом, получаем
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\mathbf{y}}_{1}=\mathbf{L}\left(\dot{\mathbf{y}}_{1}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \dot{\mathbf{y}}_{0}\right) . \\
-\tau_{2} \ddot{\mathbf{y}}_{0}+\ddot{\mathbf{y}}_{2}=\mathbf{L}\left(\dot{\mathbf{y}}_{2}\right)+\mu_{2} L^{\prime}\left(\dot{\mathbf{y}}_{0}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{1}, \dot{\mathbf{y}}_{0}\right)+ \\
\\
+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \dot{\mathbf{y}}_{1}\right)+3 \mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \dot{\mathbf{y}}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Так как можно считать, что $\mathrm{v}_{0}
eq 0$, то
\[
\left.\mathbf{v}_{0}=\rho \mathbf{y}_{0}+\sigma \dot{\mathbf{y}}_{0}{ }^{1}\right),
\]

где по крайней мере один из коэффициентов не 0 . Если положить
\[
\mathbf{v}_{1}-2 \rho \mathbf{y}_{1}-\sigma \mathbf{y}_{1}=\mathbf{w},
\]

то из (4.10), (5.6) и (5.9) будет следовать, что $\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}(\mathbf{w})$, и, таким образом,
\[
\mathbf{w}=\rho^{\prime} \mathbf{y}_{0}+\sigma^{\prime} \dot{\mathbf{y}}_{0} .
\]

Если образовать комбинацию (5.7)- $\rho(4.11)-\sigma(5.10)$, в которой исключается $L^{\prime}$, и положить $\mathbf{v}_{2}-\rho \mathbf{y}_{2}-\sigma \dot{\mathbf{y}}_{2}=\mathbf{u}$, тогда, используя (5.11) и (5.12), можно получить
\[
\boldsymbol{\beta}_{2} \mathbf{v}_{0}+\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{L}(\mathbf{u})+2 \rho\left(2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right)+\mathbf{R},
\]

где $\mathbf{R}=2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{w}\right)$. Если теперь применить правило скобок Iредыдущего параграфа к (4.10) и (5.9), то из (5.13) будет следовать, что
\[
[\mathbf{R}]_{1}=[\mathbf{R}]_{2}=0 .
\]

Если его применить к (5.14), в котором и имеет период $T_{0}$, то из (4.6) (с $\mathrm{z}=\mathrm{y}_{0}$ ) получим, что
\[
\rho \beta_{2}=2 \rho\left[2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right]_{1} .
\]
1) $\rho$ и $\sigma$ в (5.11) не следует пугать с символами $\rho$ и $\sigma$, которые использовались в п. 2.

Следовательно, по (4.16)
\[
\rho \beta_{2}=-2 \rho \mu_{2} \mathbf{R}\left(\alpha^{\prime}\right) .
\]

Аналогично получаем, что
\[
\sigma \beta_{2}=-2 \rho\left(\tau_{2}+\mu_{2} \frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha}\right) .
\]

Отсюда или $\beta_{2}$ дается формулой (1.4) (и тогда $\beta_{2}$ не нуль, так как $\mu_{2}
eq 0$ ), или $\beta_{2}=0$. В обоих случаях $\rho: \sigma$ однозначно определено (во втором случае $\rho=0$ ).

Чтобы проверить, что на самом деле осуществляется первый случай, нам придется предпринять несколько более длинное вычисление. Схематично можно представлять этот процесс следующим образом. Уравнение, связывающее $\beta$ и $\mathbf{v}$ (а именно уравнение, которое следует за уравнением (5.4)) следует поделить на множитель в круглых скобках. Оно тогда примет вид
\[
\dot{\mathbf{v}}+\beta \mathbf{v}=\mathbf{L}_{t, \boldsymbol{\varepsilon}}(\mathbf{v}),
\]

причем
\[
\mathbf{L}_{t, \varepsilon}=\mathbf{L}_{0}+\varepsilon \mathbf{L}_{1}+\varepsilon^{2} \mathbf{L}_{2}+\ldots,
\]

где $\mathbf{L}_{0}$ — постоянный оператор, а $\mathbf{L}_{i}, i>0$ периодически зависят от $t$ с периодом $T_{0}$. Коэффициенты при 1 и $\varepsilon$ не меняются при делении. Раскладывая в степенные ряды, получим
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{v}}_{0} & =\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{v}_{0}\right), \\
\dot{\mathbf{v}}_{1} & \left.=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{v}_{0}\right)^{1}\right), \\
\beta_{2} \mathbf{v}_{0}+\dot{\mathbf{v}}_{2} & =\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\mathbf{L}_{2}\left(\mathbf{v}_{0}\right), \\
\boldsymbol{\beta}_{3} \mathbf{v}_{0}+\beta_{2} \mathbf{v}_{1}+\dot{\mathbf{v}}_{3} & =\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{v}_{3}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\mathbf{L}_{2}\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\mathbf{L}_{3}\left(\mathbf{v}_{0}\right)
\end{aligned}
\]

и так далее. Ситуация следующая. Для $\varepsilon=0$ существует два решения $\mathbf{z}, \dot{\mathbf{z}}$ с периодом $T_{0}$. Кроме того,
\[
\mathbf{v}_{0}=\rho z+\sigma \dot{\mathbf{z}}
\]

и
\[
\left[\mathbf{L}_{1}(\mathbf{z})\right]=\left[\mathrm{L}_{1}(\dot{\mathbf{z}})\right]=0
\]

для обоих индексов при скобках. Отсюда следует, что
\[
\mathbf{v}_{1}=\rho \mathrm{g}+\sigma \mathrm{h}+\rho^{\prime} \mathbf{z}+\sigma^{\prime} \mathbf{z}
\]
1) Можно не предполагать $\beta_{1}=0$. По правилу скобок это следует из (5.17).

с фиксированными периодическими функциями $\mathbf{g}$ и h. Для третьего из уравнений (5.15) правило скобок дает
\[
\begin{array}{l}
\beta_{2} \rho=A_{1} \rho+B_{1} \sigma, \\
\beta_{2} \sigma=A_{2} \rho+B_{2} \sigma,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A_{i}=\left[\mathbf{L}_{1}(\mathbf{g})+\mathbf{L}_{2}(\mathbf{z})\right]_{i}, \\
B_{i}=\left[\mathbf{L}_{1}(\mathbf{h})+\mathbf{L}_{2}(\dot{\mathbf{z}})\right]_{i},
\end{array}
\]

в то время как из (5.17) следует, что $\rho^{\prime}$ и $\sigma^{\prime}$ исключаются. Ситуация теперь такова, что уравнения (5.19) с неизвестными $\beta_{2}, \rho, \sigma$ имеют два различных действительных решения $\beta_{2}{ }^{1}$ ). K ним относятся две линейно независимых пары $(\rho, \sigma)$. Қаждое из двух решений системы теперь приводит к однозначному определению $\beta_{i}$ и $\mathbf{v}_{i}$ при помощи рекуррентных формул, если подходящим образом нормировать v. Чтобы это доказать, выберем постоянный вектор $\mathbf{a}
eq 0$ таким образом, что $\mathrm{v}_{0} \cdot \mathrm{a}=1(t=0)$ для обеих пар $(\rho, \sigma)$ в (5.16). Тогда получаем, что
\[
\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}=1, \quad t=0,
\]
т. е. $\mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{a}=0$ при $t=0$ для $i>0$. Пусть
\[
\mathbf{z} \cdot \mathbf{a}=C, \quad \dot{\mathbf{z}} \cdot \mathbf{a}=D \quad(t=0) .
\]

Тогда для обоих значений $\beta_{2}$ система уравнений
\[
\begin{array}{l}
\left(A_{1}-\beta_{2}\right) \rho+B_{1} \sigma=0, \\
A_{2} \rho+\left(B_{2}-\beta_{2}\right) \sigma=0, \\
C \rho+D \sigma=1
\end{array}
\]

однозначно определяет неизвестные $\rho$ и $\sigma$. Теперь $\beta_{2}, \rho, \sigma, \mathbf{v}_{0}$ определены. Используя определения $\mathbf{g}$, h и (5.18), из третьего уравнения (5.15) получаем
\[
\mathbf{v}_{2}=\rho^{\prime} \mathbf{g}+\sigma^{\prime} \mathbf{h}+\rho^{\prime \prime} \mathbf{z}+\sigma^{\prime \prime} \dot{\mathbf{z}}+\ldots,
\]

где опущенные члены уже известны. Из четвертого уравнения (5.15) с использованием (5.18), (5.20), (5.22) и правила скобок получаем уравнения
\[
\begin{array}{l}
\rho \beta_{3}-\left(A_{1}-\beta_{2}\right) \rho^{\prime}-B_{1} \sigma^{\prime}=\ldots, \\
\sigma \beta_{3}-A_{2} \rho^{\prime}-\left(B_{2}-\beta_{2}\right) \sigma^{\prime}=\ldots
\end{array}
\]
1) В общем случае, т. е. если специальные условия (5.17) не выполнены, расщепление на два случая происходит уже во втором уравнении (5.15). Решение задачи в этом случае можно найти в книге F. R. Moulton, Pefiodic Orbits. См. гл. 1, в особенности стр. 34 и 40.

Так как $\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{a}=0(t=0)$, добавляем к этим уравнениям уравнение
\[
C \rho^{\prime}+D \sigma^{\prime}=\ldots
\]

Трп величины $\beta_{2}, \rho^{\prime}, \sigma^{\prime}$ теперь однозначно определяются из этих трех уравнений. С помощью (5.21) устанавливается, что определитель равен
\[
A_{1}+B_{2}-2 \beta_{2} \text {. }
\]

Это выражение не равно нулю, так как по предположению (5.15) имеет два различных решения $\beta_{2}$. Отсюда следует, что можно определить
\[
\beta_{3}, \rho^{\prime}, \sigma^{\prime} \text { и } \mathbf{v}_{1} \text {. }
\]

Теперь легко видеть, что на следующем шаге $\beta_{4}, \rho^{\prime \prime}, \sigma^{\prime \prime}$ определяются из уравнений с точно такими же левыми частями, и дальше все определяется аналогичным образом.

Вернемся теперь к специальной задаче, которая нас интересует, и предположим, что при подходящей нормировке существует два различных формальных степенных ряда для пар $(\beta, \mathbf{v})$, которые удовлетворяют уравнению
\[
\left(1-\tau_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right) \dot{\mathrm{v}}+\beta \mathbf{v}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}) .
\]

C другой стороны, предварительно было показано, что при предположении $\beta
eq 0$ существует два действительных решения, одно из которых известно, именно (5.8). При этом предположении второе (нормированное) решение может, следовательно, быть представлено степенным рядом, и формула (1.4) для $\beta_{2}$ действительно имеет место.

Чтобы покончить с этим, мы должны еще показать, что если $\mu_{2}
eq 0$, то случай $\beta \equiv 0$ не может осуществиться. Мы здесь набросаем только схему. Так как (5.19) имеет решение $\beta_{2}=\rho=0$ и второе $\beta_{2}
eq 0$, то
\[
B_{1}=B_{2}=0, \quad A_{1}
eq 0 .
\]

Если бы $\beta$ было $\equiv 0$, тогда (5.4) имело бы решение с описанными здесь свойствами.
Разложение $\mathbf{v}$ и w в степенные ряды дает
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{v}_{0}+\dot{\mathbf{w}}_{0}=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{w}_{0}\right), \\
\mathbf{v}_{1}+\dot{\mathbf{w}}_{1}=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{w}_{1}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{w}_{0}\right), \\
\mathbf{v}_{2}+\dot{\mathbf{w}}_{2}=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{w}_{2}\right)+\mathbf{L}_{1}\left(\mathbf{w}_{1}\right)+\mathbf{L}_{2}\left(\mathbf{w}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Имеем
\[
\mathbf{w}_{0}=\rho \mathbf{z}+\sigma \dot{\mathbf{z}} .
\]

Так как $\mathbf{v}_{0}$ также имеет этот вид, то, согласно правилу скобок, $\mathbf{v}_{0}$ должно быть равно нулю. Аналогично из (5.17) следует, что $\mathbf{v}_{1}=0$. Так же как в (5.18) находим, что
\[
\mathbf{w}_{1}=\rho g+\sigma h+\rho^{\prime} \mathbf{z}+\sigma^{\prime} \dot{z} .
\]

Выше было показано, что уравнение $\dot{\mathrm{v}}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathrm{v})$ имеет решение (у) с периодом $T_{0}$, единственное с точностью до множителя. Таким образом, мы получаем
\[
\mathbf{v}_{2}=\lambda \dot{\mathbf{z}} \text {. }
\]

Как и выше, используя (5.20) и применяя правило скобок к (5.24), получаем уравнения
\[
\begin{array}{l}
0=A_{1} \rho+B_{1} \sigma, \\
\lambda=A_{2} \rho+B_{2} \sigma
\end{array}
\]
(в которых $\rho^{\prime}, \sigma^{\prime}$ сокращаются). Согласно (5.23), отсюда следует $\rho=\lambda=0$, откуда получаем $\mathbf{v}_{2}=0$. Согласно (5.25), $\mathbf{w}_{0}=\boldsymbol{\sigma} \mathbf{z}$. Если вычесть из второго уравнения (5.4) решение $\sigma \mathbf{y}$ уравнения $\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}(\mathbf{w})$ и разделить на $\varepsilon$, то эта процедура может быть повторена; последовательно устанавливается, что $\mathbf{v}_{0}=0$, и, значит, $\mathbf{v}=0$. Этим доказано, что $\beta$ не может быть равно нулю.

Таким образом, при предположении $\mu_{2}
eq 0$ проверка формулы (1.4) завершена. Это предположение можно было бы заменить предположением $\mu
eq 0$. Рассмотрение изменилось бы лишь в том, что при вычислении коэффициентов расщепление произошло бы позднее.

Трудности, возникающие при таком подходе, могли бы быть обойдены следующим образом. Сначала чисто формально, как и выше, вычисляются коэффицненты степенных рядов для $\boldsymbol{\beta}$ и v и непосредственно доказывается сходимость с помощью метода мажорант. Это соответствовало бы нашей цели облегчить приложение к дифференциальным уравнениям в частных производных. Но можно также провести рассмотрение случая расщепления и доказательство (1.4) исключительно с использованием определителей ${ }^{1}$ ).
1) См. редакторские комментарии IV в гл. 5A.