1. Введение
Пусть
или, в векторных обозначениях,
— система дифференциальных уравнений с действительным параметром , где аналитична по и для из области и . Пусть для система (1.1) имеет семейство стационарных решений , лежащее в :
Как хорошо известно, характеристические показатели стационарного решения являются собственными значениями в задаче о собственных значениях
где — линейный оператор, зависящий только от , соответствующий линейной части разложения в ряд в точке . Эти показатели либо действительные числа, либо пары комплексно-сопряженных и зависят от .
Предположим просто, что для значения существует стационарное решение в , которое не имеет равных нулю характеристических показателей. Тогда, как хорошо известно, отсюда автоматически следует, что существует единственное стационарное решение в некоторой окрестности для каждого достаточно малого и что аналитично в точке .
Предположим теперь, что при переходе через значение мнимую ось пересекает пара комплексно-сопряженных характеристических показателей и ни один из характеристических показателей не равен нулю. Эта ситуация часто встречается в неконсервативных механических системах, например
1) Английский перевод работы Хопфа [1] выполнен Л. Н. Ховардом и н. Қоппель,
в гидродинамических. Следующая теорема утверждает, что при этих предположениях всегда существует периодическое решение уравнения (1.1) в окрестности значений и .
Теорема. Пусть для ровно два комплексно-сопряженных характеристических показателя становятся чисто мнимыми и при этом удовлетворяются условия
Тогда существует семейство действительных периодических решений , такое, что , причем для всех достаточно малых и аналитичны в точке и соответственно в каждой точке . То же справедливо для периода , и
Для произвольно большого существует два положительных числа а и , такие, что для не существует периодических решений, кроме стационарного решения и решений полусемейства , период которых меньше и которые целиком лежат в окрестности .
Для достаточно малых периодические решения, вообще говоря, существуют для или лишь для ; возможно также, что они существуют лишь для ).
Как хорошо известно, характеристические показатели периодического решения являются решениями задачи о собственных значениях
где имеет тот же период , что и решение, а линейный оператор, полученный линеаризацией системы в окрестности периодического решения. Он периодически зависит от с периодом и аналитичен по и в точке .
Характеристические показатели определяются лишь по модулю и непрерывно зависят от . Один из них, естественно, нуль: для , не зависящего явно от ,
1) Полусемейство, соответствующее , представляет те же самые интегральные кривые.
2) По поводу этой теоремы см. комментарий редакторов в конце книги.
является решением задачи о собственных значениях. При характеристические показатели по модулю непрерывно стремятся к соответствующим показателям стационарного решения системы (1.1) с . При этом по предположению ровно два показателя стремятся к мнимой оси. Один из них тождественно равен нулю. Другой, , должен быть действительным и аналитичным в точке , а . Из приведенной выше теоремы непосредственно следует, что коэффициенты и в разложениях в ряды
удовлетворяют равенствам . В дополнение к этому ниже будет показано, что имеет место простое соотношение
В общем случае, когда , это соотношение дает информацию об условиях устойчивости. Если, например, для все характеристические показатели стационарного решения имеют отрицательные действительные части (устойчивость, малая окрестность сжимается к при ), то имеется следующая альтернатива. ЛІибо периодическое решение ответвляется от стационарного после смены устойчивости стационарного решения , и в этом случае все характеристические показатели периодического решения имеют отрицательные действительные части (устойчивость, трубки вокруг периодических решений сжимаются к ним при ; либо, наоборот, семейство периодических решений существует перед сменой устойчивости, т. е. для , и тогда периодические решения неустойчивы ).
Так как в природе при достаточно длительном наблюдении мы можем наблюдать лишь устойчивые решения, то бифуркация периодического решения из стационарного может быть обнаружена, только когда стационарное решение становится неустойчивым.
Такие наблюдения хорошо известны в гидродинамике. Так, например, в потоке, обтекающем твердое тело, движение стационарное, если скорость потока достаточно мала. Однако если она, увеличиваясь, станет достаточно большой, то движение может стать периодическим (происходит периодический отрыв вихря): Здесь идет речь о примерах неконсерва-
1) В двумерном случае это очевидно.
сервативных системах, конечно, предположение (1.2) никогда не осуществляется: наряду с характеристическим показателем , всегда имеется и характеристический показатель (- ).
В литературе я не встречал бифуркационных задач, рассмотренных на основании предположения (1.2). Однако я думаю, что едва ли имеется что-нибудь существенно новое в сформулированной выше теореме. Методы были развиты Пуанкаре, возможно, лет 50 назад ) и являются сегодня составной частью классической теории периодических решений в малом. Так как, однако, теорема представляет интерес для задач неконсервативной механики, мне кажется, что полное ее изложение имеет смысл. Чтобы облегчить переход к системе с бесконечно многими степенями свободы, например к фундаментальным уравнениям движения вязкой жидкости, я буду отдавать предпочтение общим методам линейной алгебры, а не специальной технике (например, выбору подходящей системы координат).
Конечно, с таким же успехом может случиться, что при действительный характеристический показатель стационарного решения пересекает мнимую ось, т. е. , в то время как другие отделены от нее. В этом случае не периодическое, а другое стационарное решение ответвляется от данного ). Ограничимся формулировкой теоремы для этого простого случая. Существует аналити-
1) Мне неизвестен пример из гидродинамики, в котором осуществляется второй случай. O существовании неустойчивых решений можно догадаться, если при очень тщательно поставленном эксперименте (очень медленное изменение параметров) всегда наблюдается внезапное разрушение стационарного движения в одной и той же точке.
) «Новые методы небесной механики». Периодические решения, определенные выше, представляют простейший предельный случай периодических решений Пуанкаре второго типа («рода»), см. т. III, гл. 28, 30-31. Пуанкаре, имея в виду приложения к небесной механике, тщательно изучил эти решения (с помощью интегральных инвариантов) лишь в случае канонических систем дифференциальных уравнений, где ситуация сложнее, чем выше. Пуанкаре использовал вспомогательный параметр \& в гл. 30 при вычислении коэффициентов (вычисления в нашем § 4 по существу те же самые), но не при доказательстве существования, которое благодаря этому становится проще.
Пенлеве в короткой заметке в т. I, стр. 156 затрагивает этот вопрос: «Les petits mouvements périodiques des systèmes, Comptes Rendus, Paris, XXIV (1897), p. 1222. Общая теорема, сформулированная там, охватывает случай в нашей системе (1.1), но для общего случая она неверна. Для законности этого утверждения должна удовлетворять специальным условиям.
3) Подобный пример в гидродинамике осуществляется при движении жидкости между двумя концентрическими цилиндрами (G. I. Taylor).
ческое семейство стационарных решений, отличных от . Если (общий случай), тогда решения существуют для для . Для характеристического показателя , который переходит через нуль, справедлив аналог формулы (1.4)
Если устойчиво для и неустойчиво для , тогда для осуществляется прямо противоположное (обнаружить для все равно, что для ). В особом случае ситуация может быть различной. Если , тогда новые решения существуют лишь для либо для . Тогда для фиксированного существуют два решения (одно с положительным , другое — с отрицательным). При этом справедливо равенство
Из него можно получить утверждение об устойчивости, аналогичное сформулированному выше. В этом случае или оба решения устойчивы, или оба неустойчивы.
Существование периодических решений
Без ограничения общности можно предположить, что стационарное решение находится в начале координат, т. е.
Пусть разложение в ряд по степеням имеет вид
где вектор-функции
являются линейными функциями каждого аргумента и симметричны по этим векторам.
Подстановка
преобразует (1.1) в
( произвольно). Рассмотрим случай в (2.3), т. е. линейное однородное дифференциальное уравнение
Для вопросов существования оно имеет решающее значение.
Комплексно-сопряженные характеристические показатели , о которых говорилось в предположениях теоремы, просты для всех малых . В соответствующих решениях
уравнения (2.4) комплексный вектор а определен поэтому с точностью до комплексного скалярного множителя; а̄ — сопряженный вектор. Кроме того, в силу простоты не существует решений вида
В точке -аналитическая функция. Можно выбрать фиксированный действительный вектор так, чтобы для всех малых для . Тогда единственным образом определяется условием
По предположению
В точке a аналитична.
Действительные решения уравнения (2.4), являющиеся линейными комбинациями (2.5), имеют вид
с комплексным скаляром с. Они образуют семейство, зависящее от двух действительных параметров; один из этих параметров пропорционален множителю, а другой представляет собой аддитивную по постоянную (решения образуют лишь однопараметрическое семейство кривых).
В силу того что , имеем
Для (2.9) превращается в
В силу (2.7) это z удовлетворяет условиям:
Это единственное решение вида (2.9); удовлетворяющее этим условиям, так как из
и из (2.9), (2.7) и (2.8) следует, что ; таким образом, .
По предположению при и — единственные из всех характеристических показателей, являющиеся чисто мнимыми. Следовательно, для (2.9) определяет все действительные периодические решения (2.4). Их период
В частности, для (2.10)-единственное периодическое решение со свойствами (2.11).
Для дальнейшего заметим также, что при (2.4) не имеет решений вида
где и имеют общий период и не тождественно равна нулю. Иначе бы (2.4) распалось на два уравнения
и р было бы нетривиальной линейной комбинацией (2.5). Разложение в ряд Фурье приводило бы тогда к решению вида (2.6).
Дифференцируя (2.4) по в точке , получим неоднородное дифференциальное уравнение
а для производной по от (2.10):
Множитель при есть решение уравнения (2.4). Если его линейно выразить через решение (2.10) и , то из (2.8) будет следовать, что
где
Пусть теперь
решение (2.3), удовлетворяющее начальному условию при . Согласно хорошо известным теоремам, оно аналитически зависит от всех своих аргументов в каждой точке . Это решение периодично с периодом в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет уравнению
Если обозначить через начальное условие фиксированного решения (2.10) уравнения (2.4) при , то (2.16) выполняется при значениях
Возникает задача: для данного решить уравнение (2.16) относительно и у0. Это уравнений с неизвестными. Чтобы сделать решение единственным, добавим еще два уравнения
где е-действительный вектор, введенный выше, а при . Как будет показано в следующем параграфе, введение этих условий не налагает ограничений на все множество решений в малом. Из (2.11) следует, что для начальных условий этим уравнениям удовлетворяют решения (2.10).
Для всех достаточно малых (2.16) и (2.18) имеют точно одно решение
в некоторой окрестности системы значений
в следующем случае: система линейных уравнений, образованная взятием дифференциалов (в равенствах (2.16)) по переменным , имеет единственное решение при данном . Это эквивалентно тому, что функции (2.19) существуют, если эти линейные уравнения при имеют нулевое решение . Именно этот случай и осуществляется, как сейчас будет показано. Имеем
В частности,
есть решение (2.10). Дифференциал является суммой дифференциалов относительно отдельных аргументов, когда все остальные фиксированы. Если ввести для дифференциалов
как для независимых констант или векторов, обозначения
то вышеуказанный дифференциал запишется как . Здесь у и берутся в точке , и — это решение
с начальным условием при . Согласно (2.22), . Если положить , тогда — решение урав. нения
Линейное векторное уравнение, получающееся из (2.16), таково:
где обозначает решение (2.10) уравнения
— какое-нибудь решение этого однородного линейного дифференциального уравнения с постоянным , и — решение (2.23). Покажем сейчас, что соотношение (2.24) возможно лишь тогда, когда и .
Теперь для всех
Это выполняется, так как имеет период , поэтому из (2.23) следует, что выражение в квадратных скобках есть решение (2.25); также решение (2.25), следовательно, вся левая часть (2.26) есть решение (2.25). Из (2.24) и того обстоятельства, что , следует, что начальное условие этого решения нулевое и, таким образом, оно тождественно равно нулю. Теперь из (2.13) и (2.23) следует, что
Таким образом, по (2.14) и (2.15) квадрагная скобка в (2.26) равна
Положим
Тогда получим, что
rде — решение, а — периодическое решение (2.25). Это значит, что
с периодической функцией . Однако, как мы перед этим установили, таких решений не существует, если .
Так как и линейно независимы, то из (2.27) и предположения (1.2) следует, что и . Таким образом, по имеет период .
Наконец, так как и при , из уравнений (2.18) следует, что при . Периодическое решение уравнения с такими свойствами обязано быть нулевым, как мы установили выше.
Этим завершается доказательство существования семейства периодических решений ).
Решения (2.19) аналитичны в точке ,
Периодические решения уравнения (2.23) и семейство периодических решений
уравнения (1.1) аналитичны в каждой точке .
Те же самые периодические решения получаются, если вместо начать с кратного периода , т. е. если рассмат. ривать окрестность системы значений
вместо (2.20). Ничего существенного в доказательстве не изменится.
3. Завершение доказательства теоремы
Для произвольно большого существуют два положительных числа и со следующими свойствами: каждое периодическое решение уравнения (1.1) с периодом меньше , которое соответствует значению для и остается в области , принадлежит семейству (2.29),
1) См. редакторские комментарии I в гл. 5A.
(2.28), , если начало отсчета выбрать подходящим образом.
Если бы это было не так, существовала бы последовательность периодических решений , имеющих ограниченные периоды , и соответствующих значений , таких, что
причем ни одна пара не принадлежала бы указанному выше семейству.
Положим
является решением (2.3) с вместо , и удовлетворяет равенству
Рассмотрим сначала подпоследовательность, для которой начальные значения сходятся, . Тогда равномерно для имеем , где и . Так как максимум | равен единице, тождественно не равно нулю, поэтому представляется в форме (2.9) и имеет основной период . Если сдвинуть начало отсчета в функции в ту точку, где , то можно установить, что в ней . Эту величину можно считать положительной. В противном случае, так как
то этого можно достичь сдвигом из в . Следо вательно,
Отсюда следует, что в окрестности и для малых и все решения дифференциального уравнения (2.3) ( вместо ) пересекают гиперплоскость однократно. Пусть для точек пересечения . Тогда нетрудно убедиться, что для рассматриваемой последовательности (с этим выбором начала отсчета) всегда . Кроме того,
тогда — решение (2.3) для значений параметров и . Для этого решения имеем
Периоды в последовательности решений должны сходиться к кратному (относительно ) периоду . Кроме того, . Однако отсюда следует, что начиная с некоторого момента последовательность входит в упомянутую выше окрестность значений (2.20) или (2.30), в которой для всех достаточно малых существует только одно решение системы уравнений. Тогда решения из нашей последовательности должны принадлежать указанному выше семейству с , что противоречит предположению. Таким образом, утверждение доказано ).
Из только что доказанного факта следует, что если , то первый отличный от нуля коэффициент в разложении — четного порядка; то же самое имеет место для разложения , так как для решения семейства и соответствующие значения и должны уже содержаться среди решений для ). В частности,
При достаточно малых и периодические решения существуют только для , или только для , или только при .
4. Определение коэффициентов
Нам потребуется следующий результат, который дает критерий разрешимости неоднородной системы дифференциальных уравнений
где имеет период . Пусть
1) См. редакторские комментарии II в гл. 5А.
2) И действительно, получаются при сдвиге начала отсчета приблиэительно на .
— дифференциальное уравнение, сопряженное к однородной части уравнения (4.1); — сопряженный к оператор (транспонированная матрица), определенный соотношением
Тогда (4.1) имеет периодическое решение c периодом , если и только если
для всех решений (4.2), которые имеют период . Этот результат следует из известного критерия разрешимости системы линейных уравнений. Необходимость следует непосредственно из (4.1) и (4.2). Достаточность этого условия можно показать следующим образом. Сопряженное уравнение имеет те же самые характеристические показатели, и поэтому оно также имеет два решения вида
из которых линейной комбинацией может быть образовано любое периодическое решение. Далее, разложение в ряд Фурье показывает, что достаточно рассмотреть случай
и аналогичный случай с вместо — . Подставим
в (4.1), получим
Из (4.4) и (4.2) следует
в то время как (4.3) влечет за собой . Отсюда с учетом теоремы вытекает требуемое утверждение.
Кроме того, нам потребуется следующий факт. Для каждого решения уравнения , имеющего период , всегда существует решение сопряженного уравнения с тем же самым периодом, для которого
1) В дальнейшем скалярное произведние двух комплексных векторов a и b определяется как .
2) К тому же подинтегральное выражение всегда постоянно.
В противном случае уравнение имело бы решение ) было бы решением однородного дифференциального уравнения, что противоречит простоте характеристического показателя .
Пусть и суть два линейно независимых решения (4.2) с периодом . Пусть
Тогда критерий разрешимости (4.1) может быть записан как
Заметим также, что могут быть выбраны так, чтобы
где — решение (2.10) уравнения (2.4) с (биортогонализация).
Задача определения коэффициентов степенного ряда для периодического семейства теперь может быть решена следующим общим способом. Если определить новую независимую переменную равенством
то, согласно (2.28), период в семействе решений станет постоянным, равным как функция (или ) аналитична в каждой точке . Получаем
где все имеют период . Производная по будет снова обозначаться точкой. Для простоты будем писать
Тогда, используя (3.2) и подставляя (4.7) и (4.8) в (2.3), получим рекуррентные уравнения
1) В оригинале , что неверно.
из которых нужно определить . В дополнение к ним имеем условия, вытекающие из (2.18):
для . В уравнениях мы опять пишем вместо . По (4.10) и (4.12) у однозначно определяется как периодическая функция периода . Сначала с помощью (2.13) из (4.11) должна быть исключена . Так как круглые скобки в первом слагаемом (2.14) являются решением , то (2.13) может быть записано в виде
Пусть
где , согласно (2.15), имеет период . Так как , то отсюда следует, что
Таким образом, согласно (4.6),
В силу (1.2) отсюда могут быть определены и . Тогда можно разрешить (4.15) относительно и из (4.14), (4.12) при однозначно получить . Аналогичным образом из последующих рекуррентных формул могут быть получены все высшие коэффициенты. В общем случае . Если положительно, то периодические решения существуют лишь для ; соответствующее утверждение имеет место для ).
5. Характеристические показатели периодических решений
В дальнейшем мы иногда будем использовать определители; этого, однако, можно избежать. В линейном уравнении, полученном линеаризацией уравнения (2.3) в окрестности периодического решения
1) См. редакторские комментарии III в гл. 5A.
из (2.3) получаем
Фундаментальная система , получающаяся для фиксированных начальных условий, аналитически зависит от . Коэффициенты в выражении аналитичны в точке . Характеристическое уравнение
определяет характеристические показатели и решения уравнения (1.3), где
Так как (5.1) имеет решение , то есть корень (5.3). Показатель , о котором говорилось во введении, соответствует простому корню уравнения, полученному делением на . Таким образом, действителен и аналитичен в точке ( равен нулю на том же основании, что и ). Теперь, если не , тогда существует некоторый минор порядка в определителе (5.3) (с соответствующим Ђ), который не равен 0 . Отсюда следует, что (1.3) при имеет решение , которое аналитично в точке . Даже если , то существует минор порядка ( , не равный нулю. Как известно, в этом случае существует решение уравнения (5.1), аналитическое в точке , вида с периодическими , , где или , или и линейно не зависит от решения ). Из того, что — решение, следует, что
После этих предварительных замечаний приступим к вычислению . Предположим здесь, что . Тогда, как будет далее показано, тождество невозможно. Если использовать (4.7) и ввести как новое в (1.3), то
Имеем также (с новым )
где все имеют один и тот же период . Если рассмотреть степенные ряды для , то отсюда будет следовать
1) См., например, Moulton F. R., Periodic Orbits, Washington, 1920, p. 26 .
(индекс нуль в операторах, как и выше, опускается), что
Эти уравнения имеют тривиальное решение
Таким образом, получаем
Так как можно считать, что , то
где по крайней мере один из коэффициентов не 0 . Если положить
то из (4.10), (5.6) и (5.9) будет следовать, что , и, таким образом,
Если образовать комбинацию (5.7)- , в которой исключается , и положить , тогда, используя (5.11) и (5.12), можно получить
где . Если теперь применить правило скобок Iредыдущего параграфа к (4.10) и (5.9), то из (5.13) будет следовать, что
Если его применить к (5.14), в котором и имеет период , то из (4.6) (с ) получим, что
1) и в (5.11) не следует пугать с символами и , которые использовались в п. 2.
Следовательно, по (4.16)
Аналогично получаем, что
Отсюда или дается формулой (1.4) (и тогда не нуль, так как ), или . В обоих случаях однозначно определено (во втором случае ).
Чтобы проверить, что на самом деле осуществляется первый случай, нам придется предпринять несколько более длинное вычисление. Схематично можно представлять этот процесс следующим образом. Уравнение, связывающее и (а именно уравнение, которое следует за уравнением (5.4)) следует поделить на множитель в круглых скобках. Оно тогда примет вид
причем
где — постоянный оператор, а периодически зависят от с периодом . Коэффициенты при 1 и не меняются при делении. Раскладывая в степенные ряды, получим
и так далее. Ситуация следующая. Для существует два решения с периодом . Кроме того,
и
для обоих индексов при скобках. Отсюда следует, что
1) Можно не предполагать . По правилу скобок это следует из (5.17).
с фиксированными периодическими функциями и h. Для третьего из уравнений (5.15) правило скобок дает
где
в то время как из (5.17) следует, что и исключаются. Ситуация теперь такова, что уравнения (5.19) с неизвестными имеют два различных действительных решения ). K ним относятся две линейно независимых пары . Қаждое из двух решений системы теперь приводит к однозначному определению и при помощи рекуррентных формул, если подходящим образом нормировать v. Чтобы это доказать, выберем постоянный вектор таким образом, что для обеих пар в (5.16). Тогда получаем, что
т. е. при для . Пусть
Тогда для обоих значений система уравнений
однозначно определяет неизвестные и . Теперь определены. Используя определения , h и (5.18), из третьего уравнения (5.15) получаем
где опущенные члены уже известны. Из четвертого уравнения (5.15) с использованием (5.18), (5.20), (5.22) и правила скобок получаем уравнения
1) В общем случае, т. е. если специальные условия (5.17) не выполнены, расщепление на два случая происходит уже во втором уравнении (5.15). Решение задачи в этом случае можно найти в книге F. R. Moulton, Pefiodic Orbits. См. гл. 1, в особенности стр. 34 и 40.
Так как , добавляем к этим уравнениям уравнение
Трп величины теперь однозначно определяются из этих трех уравнений. С помощью (5.21) устанавливается, что определитель равен
Это выражение не равно нулю, так как по предположению (5.15) имеет два различных решения . Отсюда следует, что можно определить
Теперь легко видеть, что на следующем шаге определяются из уравнений с точно такими же левыми частями, и дальше все определяется аналогичным образом.
Вернемся теперь к специальной задаче, которая нас интересует, и предположим, что при подходящей нормировке существует два различных формальных степенных ряда для пар , которые удовлетворяют уравнению
C другой стороны, предварительно было показано, что при предположении существует два действительных решения, одно из которых известно, именно (5.8). При этом предположении второе (нормированное) решение может, следовательно, быть представлено степенным рядом, и формула (1.4) для действительно имеет место.
Чтобы покончить с этим, мы должны еще показать, что если , то случай не может осуществиться. Мы здесь набросаем только схему. Так как (5.19) имеет решение и второе , то
Если бы было , тогда (5.4) имело бы решение с описанными здесь свойствами.
Разложение и w в степенные ряды дает
Имеем
Так как также имеет этот вид, то, согласно правилу скобок, должно быть равно нулю. Аналогично из (5.17) следует, что . Так же как в (5.18) находим, что
Выше было показано, что уравнение имеет решение (у) с периодом , единственное с точностью до множителя. Таким образом, мы получаем
Как и выше, используя (5.20) и применяя правило скобок к (5.24), получаем уравнения
(в которых сокращаются). Согласно (5.23), отсюда следует , откуда получаем . Согласно (5.25), . Если вычесть из второго уравнения (5.4) решение уравнения и разделить на , то эта процедура может быть повторена; последовательно устанавливается, что , и, значит, . Этим доказано, что не может быть равно нулю.
Таким образом, при предположении проверка формулы (1.4) завершена. Это предположение можно было бы заменить предположением . Рассмотрение изменилось бы лишь в том, что при вычислении коэффициентов расщепление произошло бы позднее.
Трудности, возникающие при таком подходе, могли бы быть обойдены следующим образом. Сначала чисто формально, как и выше, вычисляются коэффицненты степенных рядов для и v и непосредственно доказывается сходимость с помощью метода мажорант. Это соответствовало бы нашей цели облегчить приложение к дифференциальным уравнениям в частных производных. Но можно также провести рассмотрение случая расщепления и доказательство (1.4) исключительно с использованием определителей ).
1) См. редакторские комментарии IV в гл. 5A.