В этом разделе мы продемонстрируем, как, используя результаты гл. 8 и $8 \mathrm{~A}$, можно получать бифуркационные теоремы для уравнений Навье – Стокса. Другие (по нашему мнению, более сложные) методы описаны в гл. 9А, 9B, а также в работах Сэттинджера [5] и Джозера и Сэттинджеpa [1].

Новое доказательство бифуркационных теорем, использующее теорию центрального многообразия, как она изложена в гл. 8, позволяет очень просто, с минимумом технических трудностей, получать результаты для уравнений Навье Стокса. Это относится ко всем типам бифуркаций, даже к бифуркации рождения инвариантного тора (см. гл. 6 или работу Иоста и Зендера [1]). Все что мы должны сделатьэто проверить, что поток, полученный из уравнений Навье Стокса, гладкий (в смысле гл. 8A); тогда остальное следует автоматически, так как теорема о центральном многообразии немедленно сводит все к конечномерному случаю (детали см. в гл. 8). Отметим, что уже в работе Рюэля и Такенса имеется простое доказательство теперь уже классических результатов Вельте [1] по стационарным бифуркациям от течения Куэтта к вихрям Тейлора в потоке между вращающимися цилиндрами. Первая часть этой главы посвящается доказательству гладкости полупотока уравнений Навье – Стокса. Для этого мы используем технику Дорро и Марсдена [1] (см. гл. 8A). Гладкость гарантирует нам, что все результаты, полученные в предыдущих разделах для конечномерного случая, включая вычисление условий устойчивости, будут верны и в бесконечномерном.

Во второй части главы кратко излагается описание турбулентности, принадлежащее Рюэлю и Такенсу. Эта схема является пока гипотетической, однако похоже, что постепенно она получает все большее признание, по крайней мере для описания некоторых типов турбулентности. Здесь же кратко обсуждается связь с проблемой глобальной регулярности (или проблемой неограниченной «продолжимости решений» ${ }^{1}$ )).
1) Имеется в виду продолжение на все $t \geqslant 0$. – Прим. перев.

Формулировка теоремы о гладкости
Прежде чем сформулировать теорему о гладкости, напомним уравнения, которые мы рассматриваем. Қлассические уравнения Навье – Стокса, описывающие движение однородной несжимаемой вязкой жидкости, как уже упоминалось в гл. 1, таковы:

Здесь $M$ – компактное риманово многообразие с гладкой границей $\partial M$, обычно – открытое множество в $\mathbb{R}^{3}$.

Уравнения Эйлера получаются в предположении $v=0$ при замене граничных условий на условие $\mathbf{v} \| \partial M^{1}$ ):
$(Э)$
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v} \cdot
abla) \mathbf{v}=-\operatorname{grad} p+\mathbf{b}_{t} \\
\operatorname{div} \mathbf{v}=0 \\
\mathbf{v} \| \partial M
\end{array}\right.
\]

Давление $p(t, x)$ в этих уравнениях определяется из условия несжимаемости.

Уравнения Эйлера являются вырожденным предельным случаем уравнений Навье – Стокса. Переход к пределу при $
u \rightarrow 0$ является очень коварным, и в последнее время он интенсивно изучается. Исчезновение членов со старшей производной и соответствующее резкое изменение граничных условий – вот источник трудностей и причина, почему столь нелегки задачи теории пограничного слоя и теории турбулентности. Эту тему мы обсудим позднее.

Отметим, что уравнения Эйлера обратимы в том смысле, что если мы решим их для любых начальных условий и $t \geqslant$ $\geqslant 0$, то мы можем решить их также для $t<0$. Это следствие того, что если при $t \geqslant 0 \mathbf{v}_{t}$ – решение, то и $\mathbf{w}_{t}=-\mathbf{v}_{-t}, t<$ $<0$ – тоже решение.

Для целых $s \geqslant 0$ и $p, 1<p<\infty$, обозначим через $W^{s, p}$ пространство Соболева функций (или вектор-функций) на $M$, производные которых до порядка $s$ лежат в $L_{p}$; другим опи-
1) См. гл. 1.

санием $W^{s, p}$ является пополнение $C^{\infty}$-функций $f$ по норме
\[
\|f\|_{s, p}=\sum_{0 \leqslant \alpha \leqslant s}\left\|D^{\alpha} f\right\|_{L_{p}},
\]

где $D^{\alpha} f$ есть полная $\alpha$-я производная $f$. Более подробные сведения о пространствах Соболева можно найти у Фридмана [1] ${ }^{1}$ ).

Укажем, что для некомпактной области важную роль играют асимптотические условия, и многие результаты, обсуждаемые здесь, в некомпактном случае неизвестны (см. тем не менее Кантор [1] и Мак-Кракен [2]).

Следующий результат является специальным случаем общей теоремы, доказанной Морри [1]. Прямое доказательство см. у Бургиньона и Брезиса [1].
(9.1) Лемма (разложение Ходжа). Пусть $M$ то же, что и выше, и $X$-векторное поле на $M$ класса $W^{s, p}, s \geqslant 0, p>1$. Тогда $X$ единственным образом представляется в виде
\[
X=Y+\operatorname{grad} g,
\]

где $\operatorname{div} Y=0$ и $Y \| \partial M$. Кроме того, $Y \in \mathbb{W}^{s, p}$, а $g \in \mathbb{W}^{s+1, p}$.
Пусть $\tilde{W}^{s, p}=\left\{\right.$ векторные поля $X$ на $M \mid X \in W^{s, p} \operatorname{div} X=$ $=0$ и $X \| \partial M\}$. По теореме Ходжа, существует отображение $P: W^{s, p} \rightarrow \mathbb{W}^{s, p}$, именно: $X \mapsto Y$. Тогда задачу решения уравнения Эйлера можно сформулировать так: найти $v_{t} \in \mathscr{W}^{s+1, p}$, такое, что
\[
\frac{d v_{t}}{d t}+P\left(\left(v_{t} \cdot
abla\right) v_{t}\right)=0
\]
(плюс начальные условия). Если $s>\frac{n}{p}{ }^{2}$ ), то произведение двух $W^{s, p}$ функций является также функцией класса $W^{s, p}$, поэтому $(v \cdot
abla) v$ класса $W^{s, p}$, если $v \in W^{s+1, p}$. Таким образом, уравнения такого типа задают эволюционную систему на $W^{s, p}$, как в гл. 8 A.
Введем обозначение:
$\widetilde{W}^{8}{ }^{p}=\left\{\right.$ векторные поля $v$ на $M \mid v$ класса $\widetilde{W}^{s, p}$,
\[
\operatorname{div} v=0 \text { и } v=0 \text { на } \partial M\} .
\]

Если $s=0$, то определение тем не менее имеет смысл, а пространство обозначается $J_{p}$ (см. Ладыженская [1]).
1) См. также Ладыженская [1, 4], Михайлов [1],-Прим. перев.
2) Здесь $n$ – это размерность M. – Прим, перев.

Тогда задачу решения уравнений Навье – Стокса можно записать так: найти $v_{t} \in \widetilde{W}_{0}^{s, p}$, такое, что
\[
\frac{d v_{t}}{d t}-v P \Delta v_{t}+P\left(\left(v_{t} \cdot
abla\right) v_{t}\right)=0,
\]
т. е. опять получаем эволюционное уравнение на $\tilde{W}_{0}^{s, p}$. В терминологии гл. 8А банахово пространство $X$ здесь $\tilde{W}_{0}^{0, p}=J_{p}$, а $Y=\widetilde{W}_{0}^{2, p}$. Бифуркационным параметром чаще всего служит $\mu=\frac{1}{v}$ – число Рейнольдса.

Случай $p
eq 2$ очень труден, и, хотя он и очень важен, мы не будем здесь его касаться. Если $p=2$, обычно пишут
\[
\tilde{H}^{s}=\tilde{W}^{s, 2}, \quad \tilde{H}_{0}^{s}=\widetilde{W}_{0}^{s, 2} \text { и т. д. }
\]
(9.2) Теорема. Уравнения Навье – Стокса в размерности 2 и 3 определяют гладкий локальный полупоток на $\widetilde{H}_{0}^{2} \subset$ $\subset \widehat{H}^{0} \equiv J$.

Этот полупоток удовлетворяет условиям 8.1 и 8.2, предположению о гладкости в п. 8.3 гл. 8 , поэтому можно применять теоремы о рождении. (Остальные предположения в п. 8.3 и п. 8.4 зависят от конкретной задачи и должны проверяться вычислением.)

Другими словами, технические трудности, связаннье с тем, что мы имеем дело с уравнениями в частных производных, а не с обыкновенными дифференциальными уравнениями, преодолеваются автоматически.
(9.3) Замечания. 1. Если границы подвижные и бифуркационный параметр $\mu$ зависит от их скорости, то имеют место те же самые результаты и с аналогичными доказательствами. Так происходит, например, в задаче Тейлора.
2. Вышеприведенная теорема неявно имеется в работах многих авторов. Например, Д. Генри сообщил нам, что он получил ее, используя технику Като и Фуджиты. Она доказана многими авторами для размерности 2 (например, Проди). Первое явное доказательство, которое мы нашли – это работы Иосса $[3,5]$.
3. Случай $p
eq 2$ см. у Мак-Кракен [2].
4. Гладкость полупотока, имеющаяся для уравнений Навье – Стокса, по-видимому, отсутствует у уравнений Эйлера в $H^{s}$ (см. Като [6], Эбин и Марсден [1]). Таким образом, она существенно зависит от диссипативного члена. Удивительно, однако, что поток, определяемый уравнениями Эйлера, гладкий, если пользоваться лагранжевым описанием (Эбин и Марсден [1]). Мы с тем же успехом могли бы воспользоваться лагранжевым описанием для доказательства наших результатов об уравнениях Навье – Стокса, но проще использовать настоящий метод.

Перед доказательством гладкости нам необходимо иметь локальную теорему существования. Так как ее легко найти в литературе (Ладыженская [1]), мы только вкратце изложим метод ее доказательства, отличный от обычного (см. Соболевский [1]).

Локальная теория существования решений
Основной метод, который здесь можно применить, – это использовать интегральные уравнения, как в методе Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения с частными производными его разрабатывали Сегал [1], Като и Фуджита [1], Иосс [3, 6], Сэттинджер [2] и др. (общие предпосылки см. у Кэррола [1]).

Нижеследующий результат сформулирован Вейслером [1] (обсуждение в связи с техникой Иосса см. в гл. 9А).

Сначала некоторые обозначения: $\mathbb{E}_{0}, \mathbb{E}_{1}, \mathbb{E}_{2}$ – три банаховых пространства с нормами $\|\cdot\|_{0},\|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2}, \mathbb{E}_{2} \subset \mathbb{E}_{1} \subset \mathbb{E}_{0}$, где включения плотны и непрерывны (некоторые из этих пространств могут совпадать). Пусть $e^{t A}-$ линейная $C^{0}$-полугруппа на $\mathbb{E}_{0}$, ограничение которой на $\mathbb{E}_{2}$ является сжимающей полугруппой. Предположим, что $e^{t A}: \mathbb{E}_{1} \rightarrow \mathbb{E}_{2}-$ ограниченное линейное отображение при $t>0$, и пусть его норма обозначается через $\mu(t)$. Наше первое предположение:
\[
\text { П1) При } T>0 \int_{0}^{T} \mu(\tau) d \tau<\infty \text {. }
\]

Для уравнений Навье – Стокса $A=v P \Delta$, и мы можем выбрать или
\[
\mathbb{E}_{0}=J_{2}, \mathbb{E}_{1}=\tilde{H}^{1} \quad \text { и } \quad \mathbb{E}_{2}=\tilde{H}_{0}^{2}
\]

или
(2) $\mathbb{E}_{0}=\mathbb{E}_{1}=\tilde{H}^{-\frac{1}{2}}=$ пополнение $J$ относительно нормы $\left\|(-v P \Delta)^{-1 / 4} u\right\|_{L_{2}}, \quad \mathbb{E}_{2}=\widetilde{H}^{1}=$ область определения оператора $(-v P \Delta)^{1 / 2}$.
Случай (2) рассмотрен Като и Фуджитой [1].
П1) выполняется вследствие того, что $A$ – отрицательный самосопряженный оператор на $J$ с областью определения $\widetilde{H}_{0}^{2}$ (Ладыженская [1]), и поэтому он определяет аналитическую полугруппу; таким образом, норма $e^{t A}$, как отображения из $\widetilde{H}_{0}^{2}$ в $J_{2}$, меньше или равна $C / t$ (см. Иосида [1]). Имеется, однако, неравенство Соболева
\[
\|f\|_{H^{1}} \leqslant\|f\|_{H^{n}}^{1 / 2} \cdot\|f\|_{L^{2}}^{1 / 2} .
\]

Легче всего его можно получить из общего неравенства Соболева – Ниренберга – Гальярдо, имеющегося у Ниренберга [1]:
\[
\left\|D^{\prime} f\right\|_{L_{p}} \leqslant C\left\|D^{m} f\right\|_{L^{r}}^{a} \cdot\|f\|_{L^{q}}^{1-a},
\]

где
\[
\frac{1}{p}=\frac{j}{n}+a\left(\frac{1}{r}-\frac{m}{n}\right)+(1-a) \frac{1}{q}, \quad \frac{j}{m} \leqslant a \leqslant 1
\]
(если $m-j-n / r-$ целое число $\geqslant 1$, то случай $a=1$ исключается). Поэтому мы можем выбрать $\mu(t) \leqslant C \sqrt{t}$ и, следовательно, П1) выполняется. Таким же образом в случае (2) можно показать, что $\mu(t) \leqslant C / t^{3 / 4}$ (Като и Фуджита [1]).

Относительно нелинейных членов будем предполагать справедливым следующее предположение.

П2) $J_{t}: \quad \mathbb{E}_{2} \rightarrow \mathbb{E}_{1}$ – полулипшицево отображение (т.е. липшицево па ограпиченных множествах) локально равномерно по $t$, и $J_{t}(\varphi)$ непрерывно по $(t, \varphi)$. Для простоты мы можем считать $J_{t}(0)=0$.
Рассмотрим «формальное» дифференциальное уравнение
\[
\frac{d \varphi}{d t}=A \varphi+J_{t}(\varphi)
\]

в форме интегрального уравнения (см., например, Сегал [1])
\[
W\left(t, t_{0}\right) \varphi=e^{\left(t-t_{n}\right) A} \varphi+\int_{t_{0}}^{t} e^{(t-\tau) A J_{\tau}}\left(W\left(\tau t_{0}, \varphi\right) d \tau,\right.
\]

где $t>t_{0}$ (добавление неоднородного члена не вносит дополнительных трудностей).
(9.4). Теорема. При условиях П1), П2) уравнение (9.2) определяет единственный локальный полупоток (т.е. эволюционную систему) на $\mathbb{E}_{2}$ (в смысле гл. 8A), для которого отображения $W\left(t, t_{0}\right): \quad \mathbb{E}_{2} \rightarrow \mathbb{E}_{2}$ локально равномерно липшицевы и непрерывно зависят от $t$.

Доказательство. Воспользуемся обычным принципом сжимающих отображений, как для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. Ленг [1]): выберем $\alpha_{0}, 0<\alpha_{0}<\alpha$, и пусть $K_{\alpha}(t)$ обозначает константу Липшица отображения $J_{t}$ на шаре $B_{\alpha}$ радиуса $\alpha$; выберем $T$ таким, чтобы выполнялось
\[
\left(\int_{0}^{T-t_{0}} \mu(\tau) d \tau\right)\left(\sup _{\tau \in\left[t_{0}, T\right]} K_{\alpha}(\tau)\right) \leqslant 1-\frac{\alpha_{0}}{\alpha} .
\]

Возьмем теперь $\varphi \in B_{\alpha_{0}}$, и пусть $M$ – полное метрическое пространство $C^{0}$ отображений $\Phi:[0, T] \rightarrow \mathbb{E}_{2} \quad$ с $\boldsymbol{\Phi}\left(t_{0}\right)=\varphi$, $\Phi(t) \in B_{\alpha}$ и метрикой
\[
d(\Phi, \Psi)=\sup _{t \in\left[t_{0}, T\right]}\|\Phi(t)-\Psi(t)\|_{2} .
\]

Определим $\mathscr{F}: M \rightarrow M$ по формуле
\[
\mathscr{F} \Phi(t)=e^{\left(t-t_{0}\right) A} \varphi+\int_{t_{0}}^{t} e^{(t-\tau) A J_{\tau}}(\Phi(\tau)) d \tau .
\]

Из определения и (9.3) получаем две важные оценки: вопервых,
\[
\begin{array}{l}
\|\mathscr{F} \Phi(t)\|_{2} \leqslant \alpha_{0}+\int_{t_{r}}^{T} \mu(t-\tau) K_{\alpha}(\tau) \cdot \alpha d \tau \leqslant \\
\leqslant \alpha_{0}+\alpha\left(1-\frac{\alpha_{0}}{\alpha}\right)=\alpha \\
\end{array}
\]
(напомним, что здесь $J_{\tau}(0)=0$ ), откуда следует, что $\mathscr{F}$ отображает $M$ в $M$, и во-вторых, тем же способом,
\[
d(\mathscr{F} \Phi, \mathscr{F} \Psi) \leqslant\left(1-\int \frac{\alpha_{0}}{\alpha}\right) d(\Phi, \Psi),
\]

откуда следует, что $\mathscr{F}$ – сжимающее. Отсюда легко вытекает требуемый результат.
(9.5) Упражнения. 1. Показать, что $W\left(t, t_{0}\right)$ имеет в $\mathbb{E}_{2}$ константу Липшица, равную $\alpha / \alpha_{0}$. Проверить, что $W(t, s) \times$ $\times W\left(s, t_{0}\right)=W\left(t, t_{0}\right)$.
2. Пусть $\varphi_{t}$ – максимальное решение (9.2) на $[0, T]$ и $T<\infty$; показать, что $\lim \sup _{t \rightarrow T}\left\|\varphi_{t}\right\|_{2}=\infty$, т. е. проверить условие продолжимости 8.2.
3. Используя неравенство Соболева, проверить, что оператор $J_{t}(u)=P((u \cdot
abla) u)$ удовлетворяет предположениям случая (1) выше. По поводу случая (2) см. Като и Фуджита [1].

В дальнейшем мы бы хотели все же иметь решение дифференциального уравнения. Поэтому сделаем дополнительное предположение.

ПЗ) Предположим, что область определения $A$ как оператора, действующего $\mathbb{E}_{0}$, в точности совпадает с $\mathbb{E}_{2}$.
(9.6) Теорема. Если условия П1), П2), ПЗ) выполнены, то любое решение (9.2) удовлетворяет (9.1) как эволюционной системе в $\mathbb{E}_{0}$ с областью определения $D=\mathbb{E}_{2}$ (в терминологии гл. 8A $W\left(t, t_{0}\right)$ – это (зависящий от времени) локальный поток оператора $X(\varphi)=A(\varphi)+J_{t}(\varphi)$, отображающего $\mathbb{E}_{2}$ в $\mathbb{E}_{0}$ ). Решения (9.2) в $\mathbb{E}_{2}$ единственны.

Доказательство. Пусть $\varphi \in \mathbb{E}_{2} \quad u \quad \varphi(t)=W\left(t, t_{0}\right) \varphi \in$ $\in \mathbb{E}_{2}$ – решение (9.2); тогда, выбирая для простоты $t_{0}=0$, имеем
\[
\varphi(t)=e^{t A} \varphi+\int_{0}^{t} e^{(t-\tau) A} \cdot J_{\tau}(\varphi(\tau)) d \tau .
\]

Легко проверить, что
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{h}\{\varphi(t+h)-\varphi(t)\}=\frac{1}{h}\left\{e^{h A} \varphi(t)-\varphi(t)\right\}-J_{t}(\varphi(t))+ \\
+\frac{1}{h} \int_{t}^{t+h}\left\{e^{(t+h-\tau) A J_{\tau}}(\varphi(\tau))-J_{t}(\varphi(t))\right\} d \tau .
\end{array}
\]

Из выражения
\[
\begin{array}{l}
e^{(t+h-\tau) A J_{\tau}}(\varphi(\tau))-J_{t}(\varphi(t))= \\
=e^{(t+h-\tau) A}\left[J_{\tau}(\varphi(\tau))-J_{t}(\varphi(t))\right]+e^{t+h-\tau} J_{t}(\varphi(t))-J_{t}(\varphi(t))
\end{array}
\]

нетрудно увидеть, что последний член (9.6) стремится к нулю при $h \rightarrow 0$ в $\mathbb{E}_{1}$ и, следовательно, в $\mathbb{E}_{0}$. Первый член в $(9.6)$ стремится в $\mathbb{E}_{0}$ к $A(\varphi(t))-J_{t}(\varphi(t))$ при $h \rightarrow 0$, так как $\varphi(t) \in \mathbb{E}_{2}$ – области определения $\mathrm{A}$.

Таким образом, мы можем заключить, что уравнения Навье – Стокса определяют локальный полупоток в $\widetilde{H}_{0}^{2}$, который продолжается до локального полупотока в $\mathscr{H}^{1}$ (с помощью интегрального уравнения).

Гладкость
(9.7) Теорема. Пустб выполнены условия П1), П2), П3) и дополнительно условие

П4) $J_{t}: \quad \mathbb{E}_{2} \rightarrow \mathbb{E}_{1}$-отображение класса $C^{\infty}$ с производными, непрерывно зависящими от $t$,

Тогда полупоток на $\mathbb{E}_{2}$, определяемый уравнением (9.1), является полупотоком класса $C^{\infty}$, т. е. каждое $W\left(t, t_{0}\right)$ класса $C^{\infty}$, а его производные непрерывно зависят от $t$ в сильной топологии (см. гл. 8).

Доказательство. Проверим условия теоремы (8А.31). В нашем случае $X=\mathbb{E}_{0}$ и $Y=\mathbb{E}_{2}, D=Y$. Из предположений теоремы следует, что условие (а) теоремы 8A.31 наверняка выполняется. Так как $Z\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ – оператор того же типа, что и рассмотренный выше, то из (9.4) следует, что условие (б) выполняется, (в) выполняется в силу доказанной в (9.4) липшиц-непрерывности $W\left(t, t_{0}\right)$ в $\mathbb{E}_{2}$. Условие (г), очевидно, выполнено. Следовательно, $W\left(t, t_{0}\right): \quad \mathbb{E}_{2} \rightarrow \mathbb{E}_{2}$ дифференцируемо по Гато.

Эта процедура может быть повторена. Те же самые рассуждения можно применить к полупотоку
\[
\widetilde{W}\left(t, t_{0}\right)(\varphi, \psi)=\left(W\left(t, t_{0}\right) \varphi, D W\left(t, t_{0}\right) \varphi \cdot \psi\right),
\]

действующему в $\mathbb{E}_{2} \times \mathbb{E}_{2}$. Следовательно, отображение $W$. класса $C^{1}$ (см. 8A.32)) и по индукции класса $C^{\infty}$.

Для уравнения (9.1) не обязательно использовать всю технику гл. 8A, в частности тонкие результаты о зависимости решений эволюционных уравнений от времени. Действительно, можно прямо доказать (9.7) тем же методом, что и теорему (8A.31). Однако желательно получать результаты такого типа с единой точки зрения.
(9.8) Задача. Предположим дополнительно, что
П5) $A$ порождает аналитическую полугруппу.
Показать, что при $t>0$ и $\varphi \in \mathbb{E}_{1}, \quad \varphi(t)$ лежит в области определения любой степени $A$ и что $\varphi(t)$ – функция от $t$ класса $C^{\infty}$ для $t>0$. (Указание: использовать (8А.33).) Показать также гладкость по $v$, если $A$ заменено на $v A$ (см. замечания, следующие за (8А.33)).

Более внимательный анализ показывает, что в действительности для уравнения Навье – Стокса отображения $W\left(t, t_{0}\right)$ принадлежат к классу $C^{\infty}$ на $\tilde{H}^{1}$ (т. е. предположение ПЗ) не нужно). См. по этому поводу Вейслер [1].

Таким образом, мы доказали требуемую гладкость для уравнений Навье – Стокса, поэтому доказательство (9.2) и, следовательно, бифуркационных теорем для этих уравнений обосновано.

Проблема турбулентности
Мы уже видели, как бифуркации могут приводить от устойчивых особых точек к устойчивым периодическим орбитам, а затем к устойчивым двумерным торам. Подобным образом мы можем прийти к торам более высоких размерностей ${ }^{1}$ ). Рюэль и Такенс [1] утверждают, что в этой и других ситуациях можно ожидать появление сложных («странных») аттракторов и что это лежит в основе объяснения турбулентности.

В частном случае, когда при изменении параметра образуются торы возрастающей размерности, такая модель является техническим усовершенствованием идеи Хопфа [4] ${ }^{2}$ ); при этом турбулентность является результатом последовательных потерь устойчивости и ветвления. Однако странные аттракторы, по-видимому, могут образовываться также другим путем, как в уравнениях Лоренца (см. гл. 4В) (строго говоря, имеется только «странное» инвариантное множество). Это хорошо согласуется с общей картиной Рюэля и Такенса, а также тесно связано с идеей жесткого возникновения колебаний Джозефа и Сэттинджера [1].

В процессе ветвления при возрастании числа Рейнольдса устойчивые решения становятся неустойчивыми. Следовательно, предполагается, что турбулентность есть необходимое следствие уравнений, действительно является «типичным случаем» и просто представляет собой сложное решение. Например, в течении Куэтта с ростом угловой скорости $\Omega_{1}$ внутреннего цилиндра при некотором бифуркационном значении $\Omega_{1}$ происходит переход от ламинарного потока к вихрям Тейлора или течению подобного типа и в конце концов развивается турбулентность. По такой схеме, как это делалось в течение длительного времени, сначала доказывают теорему устойчивости и смотрят, когда теряется устойчивость (Хопф [2], Чандрасекар [1], Линь [1] и т. д.). Например, если параметр остается достаточно близким к значению, при котором существует ламинарный поток, следует ожидать, что поток останется приблизительно ламинарным. Серрин [2] доказал теорему такого типа, которую мы приведем в качестве иллюстрации.
(9.9) Теорема об устойчивости. Пусть $D \subset \mathbb{R}^{3}$ – ограниченная область и поток $v_{t}^{v}$ на дD задан (что соответствует.
1) Рождение $(k+1)$-мерного тора из $k$-мерного при $k \geqslant 2$ пока являстся нерешенной задачей, гораздо более сложной, чем рождение из точки и замкнутой орбиты. – Прим. перев.
2) Гораздо раньше такая идея была высказана Л. Д. Ландау. Прим. перев.

подвижной границе, как в потоке Куэтта). Пусть $V=\max _{x \in D, t \geqslant 0}\left\|v_{t}^{v}(x)\right\|, d$-диаметр $D, a v$-вязкость. Тогда если число Рейнольдса $N_{\mathrm{Re}}=V d / v \leqslant 5,71$, то у гвляется абсолютно $L^{2}$-устойчивым для всех решений уравнений Навье – Стокса.

Абсолютная $L^{2}$-устойчивость означает, что если $\bar{v}_{t}^{v}-$ любое другое решение уравнений с теми же самыми граничными условиями, тогда $L^{2}$-норма (или энергия) разности $\bar{v}_{t}^{v}-v_{t}^{v}$ стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$.

Доказательство этой теоремы очень простое, и поэтому мы советуем прочитать Серрина [1,2]. Используя теорему 1.4 гл. 2 А и идеи гл. 8, можно получить локальную устойчивость и в сильной топологии.

Критерии такого типа для потока Куэтта подробно анализировали Чандрасекар [1], Серрин [2] и Вельте [3].

Қак частный случай, мы обнаруживаем теперь то, что мы и ожидали. Именно, если $v_{t}^{v}$ – любое решение, равное нулю на $\partial M$ и $v \rightarrow 0$, то $v_{t}^{y} 0$ при $t \rightarrow \infty$ в $L^{2}$-норме, так как нулевое решение абсолютно устойчиво.

Традиционное определение (Хопф [2], Ландау и Лифшиц [1]) говорит, что при развитии турбулентности векторное поле $v_{t}$ описывается квазипериодическими функциями, т.е. $v_{t}\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right)=f\left(t w_{1}, \ldots, t w_{n}\right)$, где $f$ является периодической по каждой координате, но периоды рационально независимы. Например, если орбиты $v_{t}$ на торе, который получается из теоремы Хопфа, являются спиралями с рационально независимыми углами, то $v_{t}$ – именно такой поток.

Если рассмотреть этот пример несколько подробнее, становится ясно, что существует много орбит потока $v_{t}$, которые качественно похожи на квазипериодические, но сами не являются квазипериодическими, и действительно, малая окрестность квазипериодической функции может не содержать достаточно много других таких функций. Хотелось бы, однако, чтобы множество функций, описывающих турбулентность, содержало бы большинство функций, а не было бы тощим множеством. Точнее, назовем подмножество топологического пространства $S$ типичным, если оно является бэровским множеством (т.е. счетным пересечением открытых всюду плотных множеств). Естественно ожидать, что функции, описывающие турбулентность, будут типичными, так как турбулентность – явление общего характера, а уравнения, описывающие поток, никогда не являются точными. Таким образом, хотелось бы, чтобы построенная теория турбулентности не рушилась при добавлении малых возмущений к уравнениям движения.

Такого рода причины привели Рюэля и Такенса [1] к следующей точке зрения: маловероятно, чтобы квазипериодические функции могли «реально» описывать турбулентность, так как они не типичны. Вместо них предлагается использовать «странные аттракторы». Решения, лежащие на странных аттракторах, обладают многими качественными свойствами, которые можно ожидать от «турбулентных» решений уравнений Навье – Стокса, и они устойчивы при возмущениях уравнений, т. е. «структурно устойчивы» ${ }^{1}$ ).

За примерами странных аттракторов мы отсылаем к Смейлу [1]. Обычно странный аттрактор устроен, как произведение канторовского множества на многообразие, по крайней мере, локально ${ }^{2}$ ).

Рюэль и Такенс показали, что если мы определим странный аттрактор как аттрактор, не являющийся точкой или замкнутой орбитой и пренебрежем нетипичными случаями, вроде «восьмерки», то такие странные аттракторы существуют на торе $T^{4}$, т. е. каждое векторное поле из некоторого открытого множества пространства векторных полей имеет странный аттрактор.

Если притягивающее множество потока, который порождается уравнениями Навье – Стокса на пространстве векторных полей, является странным, то ясно, что решение, притягивающееся к этому множеству, ведет себя сложным, турбулентным образом. В то время как в целом множество устойчиво, индивидуальная точка может не быть таковой. Притягивающаяся орбита все время проходит около неустойивого (близкого к периодическому) решения и смещается аттрактором случайным образом (см. рис. 9.1). Таким образом, мы приходим к следующему определению турбулентности, предложенному Рюэлем и Такенсом: «… движение жидкой среды турбулентно, если это движение описывается интегральной кривой векторного поля $X_{\mu}$, которая стремится к непустому множеству $A$, не являющемуся состоянием равновесия или замкнутой орбитой».
1) Как сейчас уже стало ясно, многие аттракторы не являются устойqивыми в обычном смысле. Например, таков аттрактор в уравнениях Лоренца (см. Афраймович, Быков, Шильников [1]). Однако при возмущениях сам аттрактор сохраняется (хотя структура на нем меняется). Прим. перев.
2) Здесь имеются в виду аттракторы, являющиеся базисными множествами в смысле Смейла. В общем случае это не так (см. Гукенхеймер [2]). – Прим. перев.

Одна из возможностей возникновения турбулентного движения – это его появление на торе $T^{k}$, рождающемся в результате бифуркации рождения цикла. Такое может случиться после конечного числа последовательных бифуркаций. Однако С. Смейл и К. Симон указали нам, что здесь могут иметь место бесконечное число других бифуркаций (таких, как различные пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий и т.д.). Однако турбулентность, по-видимому, может возникать и другим путем. Например, в примере 4B.9
Рис. 9.1.
(уравнения Лоренца) бифуркация рождения цикла является субкритической, и странный аттрактор может появиться неожиданно, когда $\mu$ проходит критическое значение, без предварительного появления автоколебаний. Описание возникающего здесь аттрактора имеется в гл. 12. См. также МакЛафлин и Мартин [1,2], Гукенхеймер и Иорк [1] и Ланфорд [2] ${ }^{1}$ ).

Суммируя сказанное, эту точку зрения на турбулентность можно сформулировать следующим образом. При малых (соответствующих числу Рейнольдса во многих проблемах гидродинамики) наши решения устойчивы, а при возрастании $\mu$ эти решения становятся неустойчивыми при определенном критическом значении $\mu$, после чего решения стремятся к более сложному устойчивому решению; в конце концов после определенного (конечного) числа таких бифуркаций решение попадает на странный аттрактор (в пространстве всех решений задачи). Такое решение, которое блуждает вблизи странного аттрактора, называется турбулентным.
1) См. работу В. С. Афраймовича, В. В. Быкова и Л. П. Шильникова, где описана схема появления аттрактора, а также приложение Л.П. Шильникова к настоящей книге. – Прим. перев.

Попадание на странный аттрактор может случаться после бифуркации рождения цикла, а затем инвариантного тора или с помощью других механизмов, таких, как в уравнениях Лоренца («жесткое возникновение турбулентности»).

Лере [3] утверждал, что уравнения Навье – Стокса могут терять смысл, их решения перестают быть гладкими, когда начинается турбулентность. Эта идея еще более распространилась, когда Хопф [3] в 1950 году доказал глобальное существование (по времени) слабых решений уравнений, но не их единственность. Было выдвинуто предположение, что турбулентность возникает, когда сильное решение становится слабым и нарушается единственность. Однако до сих пор неизвестно, так это или нет в действительности (см. Ладыженская $[1,2]$ ).

Представление Рюэля и Такенса и представление Лере противоречат друг другу. В самом деле, если объяснением являются странные аттракторы, то их устойчивость влечет за собой гладкость решений для всех $t$. Действительно, как мы знаем из нашего доказательства теоремы Хопфа, вблизи устойчивой замкнутой орбиты решения определены, остаются гладкими и удовлетворяют условию единственности для всех $t \geqslant 0$ (см. гл. 8, а также Сэттинджер [2]). И это происходит уже в области интересных чисел Рсйпольдса, гдс глобальная гладкость не получается из классических оценок.

Известно, что в двумерных задачах решения уравнений Эйлера и Навье – Стокса существуют глобально по $t$ и остаются гладкими. В трехмерной задаче это неизвестно и называется задачей «глобальной регулярности» или «задачей продолжения на все время».

Недавние численные результаты (см. Темам и др. [1]) наводят на мысль, что для уравнений Эйлера ответ отрицательный.

Теоретические исследования, включающие анализ спектра, пока не дают окончательного ответа на этот вопрос для уравнений Навье – Стокса (см. Марсден, Эбин и Фишер [1] и статьи Фриша и др. в книге Темама и др. [1]).

Мы хотим сформулировать в качестве гипотез два утверждения:
1. В картине Рюэля и Такенса глобальная регулярность для всех начальных условий не является априорно необходимой, области притяжения аттракторов будут определять, какие решения регулярны, и будут гарантировать регулярность для турбулентных решений (которые существуют, как считает теперь большинство специалистов).
2. Глобальная регулярность, если она верна в общем, вероятно никогда не будет доказана с помощью оценок на уравнения. Необходимо гораздо более глубоко исследовать притягивающие множества бесконечномерной динамической системы уравнений Навье – Стокса и получить таким путем априорные оценки.

Две важные открытые проблемы
1. Получить странный аттрактор в конкретной задаче для уравнений Навье – Стокса (например, для течения в трубе, обтекания цилиндра и т. д.).
2. Связать эргодическую теорию на странном аттракторе (Боуэн и Рюэль [1] ) 1) со статистической теорией турбулентности (стандартная ссылка здесь Бэтчелор [1] 2); однако в этой теории далеко не все ясно, некоторые идеи Хопфа [5] были недавно развиты в работах Чорина, Фойаша и др.).
1) См. также Бунимович и Синай [1]. – Прим. перев.
2) На русском языке такой стандартной ссылкой является Монин и яглом [1].- Прим. перев.