Вычисления, проведенные выше, возможно, являются немного громоздкими, однако они не сложны. Здесь мы подытожим результаты этих вычислений в виде некоего специального алгоритма, который можно применить к каждому конкретному векторному полю. В двумерном случае алгоритм заканчивает работу очень быстро, в общем случае – времени требуется значительно больше. Примеры будут піриведены в следующей главе 4В.
Устойчивость определяется знаком $V^{\prime \prime \prime}(0)$; таким образом, объектом наших вычислений должно служить именно это число. Будем предполагать, что задача выиисления спектра линеаризованных уравнений уже решена.
Перед тем как перейти к вычислению $V^{\prime \prime \prime}(0)$, напомним, с чего мы начинали.
Пусть $X_{\mu}: E \rightarrow E$ – векторное поле класса $C^{k}(k \geqslant 5)$ на банаховом пространстве $E$ (если $X_{\mu}$ – векторное поле на многообразии, то при вычислении условий устойчивости всегда можно считать, что мы работаем с фиксированной локальной картой). Предположим, что $X_{\mu}(a(\mu))=0$ для всех $\mu$, и пусть спектр $\sigma\left(d X_{\mu}(a(\mu))\right)$ удовлетворяет следующим условиям: $\sigma\left(d X_{\mu}(a(\mu)) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\}\right.$ для $\mu<\mu_{0}, d X_{\mu}(a(\mu))$ имеет два комплексно-сопряженных простых собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$. При $\mu=\mu_{0} \lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ пересекает мнимую ось с ненулевой скоростью и $\lambda\left(\mu_{0}\right)
eq 0$. Остальная часть спектра лежит в левой полуплоскости и отделена от мнимой оси.
I. При этих условиях:
(A) Имеет место бифуркация периодических траекторий, описанная в теореме 3.1.
Выберем такие координаты, в которых $X_{\mu_{0}}=\left(X_{\mu_{0}}^{1}, X_{\mu}^{2}\right.$, $\left.X_{u_{0}}^{3}\right)$, где $X_{\mu_{1}}^{1}$ и $X_{\mu_{0}}^{2}$ – координаты поля в пространстве, соответствующем $\lambda\left(\mu_{0}\right)$ и $\overline{\lambda\left(\mu_{0}\right)}$, а $X_{\mu}^{3}$ – координата в некотором дополнительном подпространстве, подобранном таким образом, чтобы ${ }^{1}$ ).
\[
\left.d X_{u_{0}} a\left(\mu_{0}\right)\right)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & \left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right| & 0 \\
-\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right| & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)
\end{array}\right) .
\]
(В) Если коэффициент $V^{\prime \prime \prime}(0)$, вычисляемый в п. II ниже, отрицателен, то периодическая траектория рождается при $\mu>\mu_{0}$ и является притягивающей. Если $V^{\prime \prime \prime}(0)>0$, то периодическая орбита возникает при $\mu<\mu_{0}$, является отталкивающей на центральном многообразии и, следовательно, неустойчива в целом.
(C) Если $V^{\prime \prime \prime}(0)=0$, то мы ничего не можем сказать и должны для вычисления $V^{(5)}(0)$ использовать процедуру, описанную в гл. 4. Желаем удачи!
II. Выпишем полностью выражение для $V^{\prime \prime \prime}(0)$ :
\[
\begin{array}{l}
V^{\prime \prime \prime}(0)=\frac{3 \pi}{4\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right|}\left(\frac{\partial^{3} \widehat{X}_{u_{0}}^{1}}{\partial x_{1}^{3}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)+\right. \\
+\frac{\partial^{3} \widehat{X}_{\mu_{0}}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)+\frac{\partial^{3} \widehat{X}_{\mu_{0}}^{2}}{\partial x_{1}^{2} \partial x_{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)+ \\
\left.+\frac{\partial^{3} \widehat{X}_{\mu_{0}}^{2}}{\partial x_{2}^{3}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)\right)+ \\
+\frac{3 \pi}{4\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right|^{2}}\left(-\frac{\partial \widehat{X}_{\mu_{0}}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \frac{\partial^{2} \widehat{X}_{\mu_{1}}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)+\right. \\
+\frac{\partial^{2} X_{\mu_{0}}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \cdot \frac{\partial^{2} X_{\mu}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)+ \\
+\frac{\partial^{2} X_{\mu_{1}}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \cdot \frac{\partial^{2} X_{u_{0}}^{2}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)- \\
-\frac{\partial^{2} X_{\mu_{0}}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \cdot \frac{\partial^{2} X_{\mu_{0}}^{1}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}\left(a_{2}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)+ \\
+\frac{\partial^{2} X_{\mu_{0}}^{1}}{\partial x_{1}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \cdot \frac{\partial^{2} X_{\mu_{0}}^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)- \\
\left.-\frac{\partial^{2} X_{\mu_{0}}^{1}}{\partial x_{2}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \cdot \frac{\partial^{2} X_{\mu_{0}}^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)\right) . \\
\end{array}
\]
1) См. примеры 4В. 2 и 4В.8. Для нахождения указанной системы координат имеются вычислительные программы. См., например: A program to Compute the Real Schur Form of a Real Square Matrix by B. N. Parlett and R. Feldman; ERL Memorandum M 526 (1975). Univ. of Calif., Berkeley.
(A) Если рассматриваемое пространство двумерно, то $X^{1}=X^{1}, X^{2}=X^{2}$, т. е. вычисление $V^{\prime \prime \prime}(0)$ уже сделано, а результаты сформулированы в п. I. В противном случае нужно выполнить шаг В.
(B) В выражении (4A.2) распишем
\[
d_{j} \widehat{X}_{\mu_{1}}^{i}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)=d_{j} X_{\iota_{0}}^{i}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) \quad \text { для } \quad i, j=1,2,
\]
$d_{k} d_{j} \widehat{X}_{\mu_{0}}^{l}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)=d_{k} d_{j} X_{\mu_{0}}^{i}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)$ для $i, j, k=1,2$ (4A.4) и
\[
\begin{aligned}
& d_{l} d_{k} d_{j} \hat{X}_{u_{0}}^{l}\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)=d_{l} d_{k} d_{j} X_{\mu_{0}}^{i}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)+ \\
+ & d_{3} d_{l} X_{\mu_{0}}^{i}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) \circ d_{l} d_{k} f\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)+ \\
+ & d_{3} d_{k} X_{\mu_{0}}^{i}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) \circ d_{l} d_{j} f\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)+ \\
+ & d_{3} d_{l} X_{u_{0}}^{i}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) \circ d_{k} d_{j} f\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)
\end{aligned}
\]
для $i, j, k, l=1,2$.
(C) Выразим теперь $d_{i} d_{j}$ :
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{l}
d_{1} d_{1} f\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \\
d_{1} d_{9} f\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \\
d_{2} d_{2} f\left(a_{1}\left(\mu_{0}\right), a_{2}\left(\mu_{0}\right)\right)
\end{array}\right)= \\
=\Delta^{-1}\left[\begin{array}{cc}
2\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right|^{2}+\left(d_{3} X_{\mu_{n}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)\right)^{2} & -2\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right| d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) \\
\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right| d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) & \left(d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)\right)^{2} \\
2\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right|^{2} & 2\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right| d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)
\end{array}\right. \\
\left.\begin{array}{c}
2\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right|^{2} \\
-\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right| d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) \\
\left|\lambda\left(\mu_{0}\right)\right|^{2}+\left(d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)\right)^{2}
\end{array}\right] \quad\left(\begin{array}{l}
-d_{1} d_{1} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) \\
-d_{1} d_{2} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right) \\
-d_{2} d_{2} X_{\mu}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)
\end{array}\right), \\
\end{array}
\]
где $\Delta=\left(d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)\right)\left(\left(d_{3} X_{\mu_{0}}^{3}\left(a\left(\mu_{0}\right)\right)\right)^{2}+4|\lambda(0)|^{2}\right)$. (Заметим, что если $X^{3}$ линейно, то все производные $f$ равны нулю.)
(D) Если эти выкладки проделаны правильно, то $V^{\prime \prime \prime}(0)$ выразится через известные величины и в каждом конкретном случае будет известным действительным числом, после чего останется объяснить результаты.
Замечание. Недавно С. Ван получил формулу устойчивости, используя комплексные обозначения, что несколько проще. Кроме того, такой подход позволяет получить информацию о периоде (он тесно связан с выражением $\beta_{0}+i a_{0} b_{0}$ из гл. $3 \mathrm{C}$; устойчивость определяется его действительной частью, а период – мнимой частью). Эти формулы запрограммированы, и на их основе сделана интересная численная работа Б. Хассаром (SUNY в Буффало).
