Многие авторы получили обобщения теоремы Хопфа ${ }^{1}$ ). В частности, Чейфи [1] исключил условие о том, что собственное значение $\lambda(\mu)$ пересекает мнимую ось с ненулевой скоростью. В этом случае рождение периодической орбиты происходит, однако число рождающихся семейств периодических орбит невозможно предсказать, используя только условия на собственные значения.

Результат Чейфи дает хорошее описание поведения потока вблизи точки бифуркации (см. также Баутин [1] ${ }^{2}$ ), и главу $3 \mathrm{C})$.

Теорема Чейфи
Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение вида
\[
\dot{x}=P(\varepsilon) x+X(x, \varepsilon),
\]

где $x$ и $X$ принадлежат евклидову пространству $\mathbb{R}^{n}(n>2)$, $\varepsilon \geqslant 0$ – малый параметр (в предыдущей главе он обозначался через $\mu$ ), а $P$ – действительная ( $n \times n$ )-матрица. Мы будем считать выполненными следующие предположения.
$\left(\Pi_{1}\right)$ Существуют числа $r_{0}>0$ и $\varepsilon_{0}>0$, такие, что $P$ непрерывна на замкнутом интервале $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$, а $X$ непрерывна в области $B^{n}\left(r_{0}\right) \times\left[0, \varepsilon_{0}\right]$.
$\left(\Pi_{2}\right) X(0, \varepsilon)=0$ для любого $\varepsilon$ из интервала $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$, так что $x=0$-состояние равновесия уравнения (3А.1).
$\left(\Pi_{3}\right)$ Для любого $r \in\left[0, r_{0}\right]$ существует $k(r)>0$, такое, что в области $B^{n}(r) \times\left[0, \varepsilon_{0}\right]$ функция $X$ равномерно липшицнепрерывна по $x$ с константой Липшица $k(r)$; более того, $k(r) \rightarrow 0$ при $r \rightarrow 0$.
1) Таким обобщением является также теорема о рождении циклов из сложного фокуса в книге Андронова, Леонтовича, Гордона, Майера [1]. Прим. ред.
2) В статье Баутина рассматривается вопрос о рождении цикла в другом аспекте. Именно, в ней изучается вопрос о максимальном числе циклов, рождающихся из сложного фокуса или центра квадратичной системы. – Прим. ред.

$\left(\Pi_{4}\right)$ Для каждого $\varepsilon \in\left[0, \varepsilon_{0}\right]$ матрица $P(\varepsilon)$ имеет пару комплексно-сопряженных собственных значений $a(\varepsilon) \pm i b(\varepsilon)$, у которых действительная и мнимая части удовлетворяют условиям
\[
a(0)=0, a(\varepsilon)>0\left(0<\varepsilon \leqslant \varepsilon_{0}\right), b(\varepsilon)>0\left(0 \leqslant \varepsilon \leqslant \varepsilon_{0}\right) .
\]

Діругие собственные значения $\lambda_{1}(\varepsilon), \lambda_{2}(\varepsilon), \ldots, \lambda_{n-2}(\varepsilon)$ матрицы $P(\varepsilon)$ имеют отрицательные действительные части для всех $\varepsilon$ из $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$.
( $\left.\Pi_{5}\right)$ При $\varepsilon=0$ находящееся в начале координат состояние равновесия уравнения (3А.1) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова ${ }^{1}$ ) (Лефшец [1] и гл. 1 выше).

Предположения ( $\Pi_{1}$ ) и ( $\Pi_{3}$ ) гарантируют обычные свойства существования, единственности и непрерывности по начальным условиям решений уравнения (3A.1). Решение (3A.1) с начальным условием $x_{0}$ при $t=0$ будем обозначать $x\left(t, x_{0}, \varepsilon\right)$. В связи с этим обозначением напомним хорошо известное свойство автономности уравнения (3A.1): решение (3A.1) с начальным условием $x_{0}$ при фиксированном $t$, скажем, $t_{0}$, имеет вид $x\left(t-t_{0}, x_{0}, \varepsilon\right)$. Предположение $\left(\Pi_{5}\right)$ заменяет ранее рассмотренное предположение о «слабом ат. тракторе».
(3А.1) Теорема. Пусть для уравнения (3А.1) выполнены предположения $\left(\Pi_{1}\right)-\left(\Pi_{5}\right)$, и пусть $r_{0}, \varepsilon_{0}$ выбраны в соответствии с $\left(\Pi_{1}\right)$. Тогда существуют числа $r_{1}, r_{2} u \varepsilon_{1}, 0<r_{2} \leqslant$ $\leqslant r_{1} \leqslant r_{0}, 0<\varepsilon_{1} \leqslant \varepsilon_{0}$, такие, что имеют место следующие утверждения:
I. Для каждого $\varepsilon \in\left(0, \varepsilon_{1}\right]$ существуют две замкнутые орбиты $\gamma_{1}(\varepsilon), \gamma_{2}(\varepsilon)$ уравнения (3А.1) (не обязательно различные), которые лежат внутри окрестности вида $B^{n}(r(\varepsilon))$, где $0<r(\varepsilon) \leqslant r_{2}, r(\varepsilon) \rightarrow 0$ при $\varepsilon \rightarrow+0$. Кроме того, $\gamma_{1}(\varepsilon)$ и $\gamma_{2}(\varepsilon)$. лежат на локальном интегральном многообразии $M^{2}(\varepsilon)$, гомеоморфном открытому диску в $\mathbb{R}^{2}$ и содержащем начало координат $x=0$. Если эти кривые различны, то рассматриваемые как замкнутые жордановы кривые в $M^{2}(\varepsilon)$, они концентрически расположены вокруг начала координат, например $\gamma_{1}(\varepsilon)$ внутри $\gamma_{2}(\varepsilon)$.
II. Для каждого $\varepsilon \in\left(0, \varepsilon_{1}\right]$ часть $M^{2}(\varepsilon)$, лежащая внутри $\gamma_{1}^{\prime}(\varepsilon)$, заполнена решениями (3А.1), которые приближаются $\kappa$ началу при $t \rightarrow-\infty$ и которые, за исключением состояния равновесия $x=0$, стремятся к $\gamma_{1}(\varepsilon)$ при $t \rightarrow+\infty$. Не существует других решений (3A.1), остающихся в $B^{n}\left(r_{1}\right)$ при всех $t<0$.
1) См. Ляпунов [1].- Прия. ред.

III. Для каждого $\varepsilon \in\left(0, \varepsilon_{1}\right]$ часть $M^{2}(\varepsilon)$, лежащая вне $\gamma_{2}(\varepsilon)$, но содержащаяся в $B^{n}\left(r_{2}\right)$, заполнена решениями уравнения (3А.1), которые остаются в $M^{2}(\varepsilon) \cap B^{n}\left(r_{1}\right)$ для всех $t>0$ и которые стремятся $\kappa \gamma_{2}(\varepsilon)$ при $t \rightarrow+\infty$.
IV. Для каждого $\varepsilon \in\left(0, \varepsilon_{1}\right]$ существуют решения (3A.1), которые стремятся к началу координат $x=0$ при $t \rightarrow+\infty$. Эти решения заполняют локальное интегральное многообразие (т. е. инвариантное многообразие) $M^{n-2}(\varepsilon)$, гомеоморфное открытому шару в $\mathbb{R}^{n-2}$ и содержащее начало координат $x=0$.
Рис. 3A.1.
V. Если для данного $\varepsilon \in\left(0, \varepsilon_{0}\right], x\left(t, x_{0}, \varepsilon\right)$ есть решение (3А.1), для которого $x_{0} \in B^{n}\left(r_{2}\right)$, то $x\left(t, x_{0}, \varepsilon\right)$ остается в $B^{n}\left(r_{1}\right)$ при всех $t>0$. Кроме того, если $x\left(t, x_{0}, \varepsilon\right)
rightarrow 0$ при $t \rightarrow+\infty$ (см. (IV)), то при $t \rightarrow+\infty, x\left(t, x_{0}, \varepsilon\right)$ стремится $\kappa$ замкнутому инвариантному множеству $\Omega(\varepsilon)$, состоящему из тех точек в $M^{2}(\varepsilon)$, которые лежат на $\gamma_{1}(\varepsilon)$, или $\gamma_{2}(\varepsilon)$, или между ними. Решения, которые стремятся к $\Omega(\varepsilon)$, содержат $в$ своем $\omega$-предельном множестве одну или большее число замкнутых орбит (которые могут совпадать с $\gamma_{1}(\varepsilon)$ или $\gamma_{2}(\varepsilon)$ ). (См. рис. 3A.1.)

Чейфи [2] также доказал теорему, аналогичную 3A.1, для случая, когда векторное поле в момент $t$ зависит от потока в момент $t-\alpha$ для некоторого $\alpha \geqslant 0$, т. е. $\dot{x}=F\left(t, x_{t}\right)$, где $x_{t}=x(t-\alpha)$.

Следующий пример (см. Чейфи [1]) показывает, что, вообще говоря, невозможно предсказать число различных семейств рождающихся замкнутых орбит. Пусть в цилиндрических координатах
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d r}{d t} & =r\left(\varepsilon-r^{2}\right)^{n_{1}}\left(2 \varepsilon-r^{2}\right)^{n_{2}}\left(3 \varepsilon-r^{2}\right)^{n_{3}} \cdots\left(m \varepsilon-r^{2}\right)^{n_{m}}= \\
& =r f(r, \varepsilon), \\
\frac{d \theta}{d t} & =1, \\
\frac{d z}{d t} & =-z,
\end{array}\right\}
\]

где $n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{m}$ нечетно.
Это уравнение класса $C^{\infty}$ в прямоугольных координатах. Кроме того, оно имеет $m$ различных семейств замкнутых орбит, которые рождаются из начала координат при $\varepsilon=0$ (т. е. при $r^{2}=j \varepsilon, z=0$ ). В прямоугольных координатах производная векторного поля в начале координат есть
\[
\left(\begin{array}{rrr}
a & -1 & 0 \\
1 & a & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right),
\]

где $\alpha=\left({ }_{\varepsilon^{j} n_{j}}\right) \prod\left(j_{j}{ }^{n}\right)$. Собственные значения равны $=1$ и $\alpha \pm i$. Меняя $m$ и $n_{j}$, можно изменить число различных замкнутых орбит независимо от порядка малости $\alpha$ в нуле. Например,
\[
\frac{d r}{d t}=r\left(\varepsilon-r^{2}\right)\left(2 \varepsilon-r^{2}\right)\left(3 \varepsilon-r^{2}\right), \quad \text { или } \quad \frac{d r}{d t}=r\left(\varepsilon-r^{2}\right)^{3},
\]

или $\frac{d r}{d t}=r\left(\varepsilon-r^{2}\right)\left(2 \varepsilon-r^{2}\right)^{2}$.
Чейфи указал нам другие примеры, показывающие, что дифференцируемость по параметру необходима, чтобы обеспечить единственность замкнутых орбит. Пусть в полярных координатах задана система
\[
\frac{d r}{d t}=r(r-\sqrt[3]{\varepsilon})^{2}(2 \sqrt[3]{\varepsilon}-r), \quad \frac{d \theta}{d t}=1 .
\]
(3А.2) Упражнение. Показать, что, хотя $\left.\frac{d \operatorname{Re} \lambda(\varepsilon)}{d \varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=$ $=2>0$, происходит рождение двух различных периодических орбит (при $r=\varepsilon^{1 / 3}$ и $r=2 \varepsilon^{1 / 3}$ ).
(3A.3) Замечания. В работе Иоста и Зендера [1] рассмотрена ситуация, где $X$ зависит более чем от одного параметра. (См. также Такенс [1].).

Из некоторых недавних интересных результатов Джозефа следует другое доказательство результата Чейфи, состоящего в том, что условие $V^{\prime \prime \prime}(0)
eq 0$ не является необходимым, и достаточно лишь потребовать устойчивости особой точки при $\mu=0$ (см. также гл. 3В). Джозеф тоже умеет рассматривать случай рождения периодических орбит конечной амплитуды. Детали см. в работах Джозефа и Нилда [1] и Джозефа [2]. Для случая, когда число параметров больше 1, Такенс [1] также получил бифуркации с конечной амплитудой.

В работе Александера и Иорка [1] доказано, грубо говоря, следующее предложение: если векторное поле $X_{\mu}$ имеет замкнутую орбиту $\gamma_{\mu}$, то при возрастании $\mu$ или $\gamma_{\mu}$ остается замкнутой орбитой, или период $\gamma_{\mu}$ становится бесконечным, или $\gamma_{\mu}$ влипает в особую точку ${ }^{1}$ ). Делается это без предположений устойчивости $\gamma_{\mu}$. Другое доказательство см. у Изэ [[1] (мы благодарим Л. Ниренберга, обратившего наше внимание на эту работу).
1) Здесь рассматривается ситуация, когда векторное поле зависит от параметра $\mu$ и замкнутая орбита существует при $\mu \in\left[\mu_{1}, \mu_{2}\right)$, непрерывно зависит от параметра на этом множестве и ставится вопрос: что будет с этой орбитой при $\mu=\mu_{2}$ ? – Прим. перев.