Мы дадим здесь, следуя Ланфорду [1], непосредственный элементарный вывод канонической формы отображения ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$. Напомним, что мы уже привели отображение к виду
$${\mathrm{\Phi }}_{\mu }\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=(1+\mu )\left(\begin{array}{rr}\cos \theta (\mu )& -\sin \theta (\mu )\\ \sin \theta (\mu )& \cos \theta (\mu )\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)+O\left(r^2\right).$$

С помощью последующих замен координат мы хотим упростить члены второго, третьего и четвертого порядков. Удобно отождествить ${\mathbb{R}}^2$ с комплексной плоскостью, полагая $z=$ $=x+iy$. Тогда
$${\mathrm{\Phi }}_{\mu }(z)=\lambda (\mu )z+O\left(|z{|}^2\right),\lambda (\mu )=(1+\mu )e^{i\theta (\mu )}.$$

Начиная с этого места, мы будем, где это возможно, опускать в наших обозначениях $\mu$.

Члены высшего порядка в разложении Тейлора функции Ф могут быть записаны как полиномы по $z$ и $\overline{z}$, т. е.
$$\mathrm{\Phi }(z)=\lambda z+A_2(z)+A_3(z)+\dots ,$$

где, например,
$$A_2(z)=\sum _{j=0}^2{a}_{j2}{z}^{2-j}{\overline{z}}^j.$$

Начнем, как обычно, с $A_2$. Выберем новые координаты $z^{\prime }=$ $=z+\gamma (z)$, где $\gamma$ — однородный многочлен степени 2 , т. е. имеет ту же форму, что и $A_2$. Обратное выражение $z$ через $z^{\prime }$ запишем следующим образом:
$$z=z^{\prime }-\gamma \left(z^{\prime }\right)+\text{ члены высшего порядка. }$$

Сейчас мы интересуемся членами только 2-го порядка и ниже, а члены 3 -го порядка и выше будем опускать; для обозначения этого мы вместо знака равенства будем использовать знак (三). Таким образом, мы имеем
$$z\equiv z^{\prime }-\gamma \left(z^{\prime }\right)=(I-\gamma )\left(z^{\prime }\right).$$

В новых координатах получим
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(z^{\prime }\right)& \equiv (I+\gamma )\mathrm{\Phi }(z^{\prime }-\gamma \left(z^{\prime }\right))\equiv \\ & \equiv (I+\gamma )[\lambda z^{\prime }-\lambda \gamma \left(z^{\prime }\right)+A_2(z^{\prime }-\gamma \left(z^{\prime }\right))]\equiv \\ & \equiv (I+\gamma )[\lambda z^{\prime }-\lambda \gamma \left(z^{\prime }\right)+A_2\left(z^{\prime }\right)]\equiv \\ & \equiv \lambda z^{\prime }-\lambda \gamma \left(z^{\prime }\right)+A_2\left(z^{\prime }\right)+\gamma (\lambda z^{\prime }-\lambda \gamma \left(z^{\prime }\right)+A_2\left(z^{\prime }\right))\equiv \\ & \equiv \lambda z^{\prime }+A_2\left(z^{\prime }\right)+\gamma \left(\lambda z^{\prime }\right)-\lambda \gamma \left(z^{\prime }\right).\end{array}$$

Далее,
$$\begin{array}{c}\gamma \left(z^{\prime }\right)={\gamma }_2{z}^{\prime }{z}^{\prime }+{\gamma }_1{z}^{\prime }{\overline{z}}^{\prime }+{\gamma }_0{\overline{z}}^{\prime }{\tilde{z}}^{\prime }\\ \gamma \left(\lambda z^{\prime }\right)-\lambda \gamma \left(z^{\prime }\right)={\gamma }_2({\lambda }^2-\lambda )z^{\prime }{z}^{\prime }+{\gamma }_1(|\lambda {|}^2-\lambda )z^{\prime }{\overline{z}}^{\prime }+\\ +{\gamma }_0({\overline{\lambda }}^2-\lambda ){\overline{z}}^{\prime }{\overline{z}}^{\prime }.\end{array}$$

С другой стороны,
$$A_2\left(z^{\prime }\right)=a_{22}{z}^{\prime }{z}^{\prime }+a_{12}{z}^{\prime }{\overline{z}}^{\prime }+a_{02}{\overline{z}}^{\prime }{\overline{z}}^{\prime };$$

поэтому, если мы выберем
$${\gamma }_2=\frac{-a_{22}}{{\lambda }^2-\lambda },{\gamma }_1=\frac{-a_{12}}{|\lambda {|}^2-\lambda },{\gamma }_0=\frac{-a_{02}}{\overline{{\lambda }^2}-\lambda }.$$

то получим
$${\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(z^{\prime }\right)=\lambda z^{\prime }+O\left({\left|z^{\prime }\right|}^3\right).$$

Конечно, мы должны быть уверены, что в наших выражениях для ${\gamma }_i$ знаменатели отличны от нуля. Так как $|\lambda |=$ $=1+\mu$, то при $\mu eq0$ это выполнено, но мы хотим, чтобы наша замена координат, зависящая от $\mu$, работала и при $\mu =0$. Это будет так при условии, что
$$e^{2i\theta (0)}eq{e}^{i\theta (0)},1eq{e}^{i\theta (0)},e^{-2i\theta (0)}eq{e}^{i\theta (0)},$$
т. е. когда
$$e^{i\theta (0)}eq1,e^{3i\theta (0)}eq1.$$

Поэтому, если эти условия выполняются, мы можем сделать замену координат, зависящую от $\mu$ и переводящую $A_2$ в нуль. Будем предполагать, что это уже сделано, опустим штрихи в обозначениях
$$\mathrm{\Phi }(z)=\lambda z+A_3(z)+\dots .$$
(здесь $A_3$ уже не исходное $A_3$ ) и посмотрим, что можно сделать с $A_3$.

Выберем новые координаты $z^{\prime }=z+\gamma (z)$, где $\gamma$ — однородный многочлен третьей степени, и будем проводить вычисления по модулю членов порядка 4 и больше. Қак и выше, получим
$${\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(z^{\prime }\right)\equiv (I+\gamma )\mathrm{\Phi }(z^{\prime }-\gamma \left(z^{\prime }\right))\equiv \lambda z^{\prime }+A_3\left(z^{\prime }\right)+\gamma \left(\lambda z^{\prime }\right)-\lambda \gamma \left(z^{\prime }\right).$$

Мы снова выпишем
$$\begin{array}{c}\gamma \left(z^{\prime }\right)={\gamma }_3{\left(z^{\prime }\right)}^3+{\gamma }_2{\left(z^{\prime }\right)}^2{\overline{z}}^{\prime }+{\gamma }_1{z}^{\prime }{\left({\overline{z}}^{\prime }\right)}^2+{\gamma }_0{\left({\overline{z}}^{\prime }\right)}^3\\ \gamma \left(\lambda z^{\prime }\right)-\lambda \gamma \left(z^{\prime }\right)={\gamma }_3({\lambda }^3-\lambda ){\left(z^{\prime }\right)}^3+{\gamma }_2(|\lambda {|}^2-1)\lambda {\left(z^{\prime }\right)}^2{\overline{z}}^{\prime }+\\ +{\gamma }_1(|\lambda {|}^2\overline{\lambda }-\lambda )z^{\prime }{\left({\overline{z}}^{\prime }\right)}^2+{\gamma }_0({\overline{\lambda }}^3-\lambda ){\left({\overline{z}}^{\prime }\right)}^3\\ A_3\left(z^{\prime }\right)=a_{33}{\left(z^{\prime }\right)}^3+a_{23}{\left(z^{\prime }\right)}^2{\overline{z}}^{\prime }+a_{13}{z}^{\prime }{\left({\overline{z}}^{\prime }\right)}^2+a_{03}{\left({\overline{z}}^{\prime }\right)}^3.\end{array}$$

Выбирая подходящим образом ${\gamma }_3,{\gamma }_1,{\gamma }_0$, мы можем исключить члены $a_{33},a_{13},a_{03}$ при условии, что
$$e^{2i\theta (0)}eq1,e^{4i\theta (0)}eq1.$$

Совсем иного рода член $a_{23}$. При $\mu eq0$ мы, конечно, можем исключить его, полагая
$${\gamma }_3=\frac{-a_{23}}{\lambda (|\lambda {|}^2-1)}.$$

Однако при $\mu \to 0$ это выражение неограниченно растет независимо от значения $\theta (0)$. По этой причине мы будем пытаться убрать этот член и просто положим ${\gamma }_3=0$. Тогда в новых координатах (опуская штрихи) получаем
$$\mathrm{\Phi }(z)=(\lambda +a_{23}|z{|}^2)z+O\left(|z{|}^4\right).$$

Далее мы намереваемся уничтожить члены порядка 4 заменой координат $z^{\prime }=z+\gamma (z)$, где $\gamma$-однородный многочлен 4 -й степени. Уже знакомое нам вычисление показывает, что такая замена не меняет членов порядка $⩽3$, а члены 4 -го порядка могут быть исключены, если
$$e^{5i\theta (0)}eq1\text{. }$$

Таким образом, мы получаем
$$\mathrm{\Phi }(z)=(\lambda +a_{23}|z{|}^2)z+O\left(|z{|}^5\right).$$

Однако это еще не совсем та форма, которую мы хотели получить. Чтобы закончить вывод, запишем
$$\begin{array}{l}\lambda +a_{23}|z{|}^2=(1+\mu )e^{i\theta (\mu )}[1-\frac{f_1(\mu )}{1+\mu }|z{|}^2+i{f}_3(\mu )|z{|}^2]=\\ =(1+\mu -f_1(\mu )|z{|}^2)e^{i[\theta (\mu )+f_3(\mu )|z{|}^2]}+O\left(|z^4,|\right)\end{array}$$

где $f_1$ и $f_3$ действительны. Поэтому
$$\mathrm{\Phi }(z)=(1+\mu -f_1(\mu )|z{|}^2)e^{i[\theta (\mu )+f_3(\mu )|z{|}^2]}z+O\left(|z{|}^5\right).$$

Когда мы перейдем к полярным координатам, то получим как раз искомую каноническую форму.