Главная > БИФУРКАЦИЯ РОЖДЕНИЯ ЦИКЛА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (ДЖ. МАРСДЕН, М. МАК-КРАКЕН)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Мы дадим здесь, следуя Ланфорду [1], непосредственный элементарный вывод канонической формы отображения Φμ:R2R2. Напомним, что мы уже привели отображение к виду
Φμ(xy)=(1+μ)(cosθ(μ)sinθ(μ)sinθ(μ)cosθ(μ))(xy)+O(r2).

С помощью последующих замен координат мы хотим упростить члены второго, третьего и четвертого порядков. Удобно отождествить R2 с комплексной плоскостью, полагая z= =x+iy. Тогда
Φμ(z)=λ(μ)z+O(|z|2),λ(μ)=(1+μ)eiθ(μ).

Начиная с этого места, мы будем, где это возможно, опускать в наших обозначениях μ.

Члены высшего порядка в разложении Тейлора функции Ф могут быть записаны как полиномы по z и z¯, т. е.
Φ(z)=λz+A2(z)+A3(z)+,

где, например,
A2(z)=j=02aj2z2jz¯j.

Начнем, как обычно, с A2. Выберем новые координаты z= =z+γ(z), где γ — однородный многочлен степени 2 , т. е. имеет ту же форму, что и A2. Обратное выражение z через z запишем следующим образом:
z=zγ(z)+ члены высшего порядка. 

Сейчас мы интересуемся членами только 2-го порядка и ниже, а члены 3 -го порядка и выше будем опускать; для обозначения этого мы вместо знака равенства будем использовать знак (三). Таким образом, мы имеем
zzγ(z)=(Iγ)(z).

В новых координатах получим
Φ(z)(I+γ)Φ(zγ(z))(I+γ)[λzλγ(z)+A2(zγ(z))](I+γ)[λzλγ(z)+A2(z)]λzλγ(z)+A2(z)+γ(λzλγ(z)+A2(z))λz+A2(z)+γ(λz)λγ(z).

Далее,
γ(z)=γ2zz+γ1zz¯+γ0z¯z~γ(λz)λγ(z)=γ2(λ2λ)zz+γ1(|λ|2λ)zz¯++γ0(λ¯2λ)z¯z¯.

С другой стороны,
A2(z)=a22zz+a12zz¯+a02z¯z¯;

поэтому, если мы выберем
γ2=a22λ2λ,γ1=a12|λ|2λ,γ0=a02λ2λ.

то получим
Φ(z)=λz+O(|z|3).

Конечно, мы должны быть уверены, что в наших выражениях для γi знаменатели отличны от нуля. Так как |λ|= =1+μ, то при μeq0 это выполнено, но мы хотим, чтобы наша замена координат, зависящая от μ, работала и при μ=0. Это будет так при условии, что
e2iθ(0)eqeiθ(0),1eqeiθ(0),e2iθ(0)eqeiθ(0),
т. е. когда
eiθ(0)eq1,e3iθ(0)eq1.

Поэтому, если эти условия выполняются, мы можем сделать замену координат, зависящую от μ и переводящую A2 в нуль. Будем предполагать, что это уже сделано, опустим штрихи в обозначениях
Φ(z)=λz+A3(z)+.
(здесь A3 уже не исходное A3 ) и посмотрим, что можно сделать с A3.

Выберем новые координаты z=z+γ(z), где γ — однородный многочлен третьей степени, и будем проводить вычисления по модулю членов порядка 4 и больше. Қак и выше, получим
Φ(z)(I+γ)Φ(zγ(z))λz+A3(z)+γ(λz)λγ(z).

Мы снова выпишем
γ(z)=γ3(z)3+γ2(z)2z¯+γ1z(z¯)2+γ0(z¯)3γ(λz)λγ(z)=γ3(λ3λ)(z)3+γ2(|λ|21)λ(z)2z¯++γ1(|λ|2λ¯λ)z(z¯)2+γ0(λ¯3λ)(z¯)3A3(z)=a33(z)3+a23(z)2z¯+a13z(z¯)2+a03(z¯)3.

Выбирая подходящим образом γ3,γ1,γ0, мы можем исключить члены a33,a13,a03 при условии, что
e2iθ(0)eq1,e4iθ(0)eq1.

Совсем иного рода член a23. При μeq0 мы, конечно, можем исключить его, полагая
γ3=a23λ(|λ|21).

Однако при μ0 это выражение неограниченно растет независимо от значения θ(0). По этой причине мы будем пытаться убрать этот член и просто положим γ3=0. Тогда в новых координатах (опуская штрихи) получаем
Φ(z)=(λ+a23|z|2)z+O(|z|4).

Далее мы намереваемся уничтожить члены порядка 4 заменой координат z=z+γ(z), где γ-однородный многочлен 4 -й степени. Уже знакомое нам вычисление показывает, что такая замена не меняет членов порядка 3, а члены 4 -го порядка могут быть исключены, если
e5iθ(0)eq1

Таким образом, мы получаем
Φ(z)=(λ+a23|z|2)z+O(|z|5).

Однако это еще не совсем та форма, которую мы хотели получить. Чтобы закончить вывод, запишем
λ+a23|z|2=(1+μ)eiθ(μ)[1f1(μ)1+μ|z|2+if3(μ)|z|2]==(1+μf1(μ)|z|2)ei[θ(μ)+f3(μ)|z|2]+O(|z4,|)

где f1 и f3 действительны. Поэтому
Φ(z)=(1+μf1(μ)|z|2)ei[θ(μ)+f3(μ)|z|2]z+O(|z|5).

Когда мы перейдем к полярным координатам, то получим как раз искомую каноническую форму.

1
Оглавление
email@scask.ru