В этом разделе мы кратко напомним некоторые факты спектральной теории линейных операторов. Подробнее см. у Рудина [1] или Данфорда и Шварца [1,2]. Используя эти результаты, мы докажем теоремы 1.3 и 1.4.

Пусть $T:E\to E$ — ограниченный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве $E$, и $\sigma (T)$ — его спектр, $\sigma (T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid T-\lambda I$ не имеет обратного на комплексификации $E\}$. Тогда $\sigma (T)$ непусто, компактно, и если $\lambda \in \sigma (T)$, то $|\lambda |⩽\Vert T\Vert$. Обозначим через $r(T)$ спектральный радиус $T$, определяемый равенством $r(T)=sup\{|\lambda |\lambda \in \sigma (T)\};r(T)$. можно также определить по формуле
$$r(T)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert T^n\Vert }^{1/n}.$$
(Доказательство этого факта аналогично выводу формулы для радиуса сходимости степенного ряда и может быть легко получено, см. Рудин [1, стр. 264].)

Доказательства следующих двух лемм также несложны и могут быть найдены в книгах, на которые мы уже ссылались.
(2A.1) Лемма. Пусть $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ — елая функция $и$ $\tilde{f}(T)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n$. Тогда $\sigma (\tilde{f}(T))=f(\sigma (T))$.
(2А.2) Лемма. Предположим, что $\sigma (T)={\sigma }_1\cup {\sigma }_2$ причем $d({\sigma }_1,{\sigma }_2)>0$. Тогда однозначно определяются T-инвариантные подпространства $E_1$ и $E_2$, такие, что $E=E_1\oplus E_2$, и если $T_i={T|}_{E_i}$, то $\sigma \left(T_i\right)={\sigma }_i$. $E_i$ называется обобщенным собственным подпространством ${\sigma }_i$.

Лемма 2А. 2 доказывается следующим образом. Выберем замкнутую кривую ${\gamma }_1$, такую, что ${\sigma }_1$ лежит внутри, а ${\sigma }_2-$ вне ее. Тогда
$$T_1=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_1}\frac{dz}{zI-T}{}^1).$$

Отметим, что собственное пространство собственного значения $\lambda$ не всегда совпадает с обобщенным собственным подпространством $\lambda$. В конечномерном случае обобщенное собственное подпространство $\lambda$ совпадает с подпространством, соответствующим всем жордановым клеткам, содержащим $\lambda$ в канонической жордановой форме.
(2А.3) Лемма. Пусть $T,{\sigma }_1,{\sigma }_2$ обозначают то же, что $и$ в лемме 2А. 2 и $d(e^{{\sigma }_1},e^{{\sigma }_2})>0$. Тогда для оператора $e^{\text{tт }}$ обобщенным собственным подпространством множества вб ${}_i$ является $E_i$.

Доказательство: Согласно лемме 2 A.2, $E=E_1⨁E_2$. Поэтому
$$\begin{array}{l}{e}^{tT}(e_1,e_2)=\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{T}^n}{n!}(e_1,e_2)=(\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{T}^n}{n!}{e}_1,\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{T}^n}{n!}{e}_2)=\\ =(\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{T}_1^n}{n!}{e}_1,\sum _0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n{T}_2^n}{n!}{e}_2)=(e^{t{T}_1}{e}_1,e^{t{T}_z}{e}_2).\end{array}$$

Теперь доказательство очевидно.
(2А.4) Лемма. Пусть $T:E\to E$-ограниченный линейный оператор, определенный в банаховом пространстве $E$, и $r$ любое число, большее $r(T)$. Тогда существует норма $|\cdot |$ на $E$, эквивалентная исходной, для которой $|T|⩽r$.

Доказательство. Қак мы знаем, $r(T)$ дается формулой $r(T)=lim{\Vert T^n\Vert }^{1/n}$. Поэтому $\underset{n⩾0}{sup}\frac{\Vert T^n\Vert }{r^n}<\mathrm{\infty }$. Определим $|x|=$ $=\underset{n⩾0}{sup}\frac{\Vert T^n(x)\Vert }{r^n}$. Тогда, как нетрудно видеть, $|\cdot |$ является нормой и
$$\Vert x\Vert ⩽|x|⩽\left(\underset{n⩾0}{sup}\frac{\Vert T^n\Vert }{r^n}\right)\Vert x\Vert .$$

Следовательно,
$$|T(x)|=\underset{n⩾0}{sup}\frac{\Vert T^{n+1}(x)\Vert }{r^n}=r\underset{n>0}{sup}\frac{\Vert T^{n+1}(x)\Vert }{r^{n+1}}⩽r|x|.$$
1) По поводу смысла этого интеграла см. Рудин [1], Дьедонне [1].Прим. перев.

(2А.5) Лемма. Пусть $A:E\to E$-ограниченный оператор, и пусть $r>\sigma (A)$ (т. е. если $\lambda \in \sigma (A)$, то $\mathrm{Re}\lambda <r$ ). Тогда существует эквивалентная норма $|\cdot |$ на $E$, такая, что для $t⩾0$
$$\left|e^{tA}\right|⩽e^{rt}.$$

Доказательство. Заметим, что $e^{\text{rt }}$ больше спектрального радиуса $e^{tA}$ (см. лемму $2A.1$ ), т. е.
$$e^{rt}⩾\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert e^{ntA}\Vert }^{1/n}.$$

Положим
$$|x|=\underset{\begin{array}{c}n⩾0\\ t⩾0\end{array}}{sup}\frac{\Vert e^{ntA}(x)\Vert }{e^{\text{rnt }}}.$$

Далее доказательство ведется так же, как и в лемме 2A.4.
Аналогичную лемму можно доказать для случая $r<\sigma (A)$. Тогда $\left|e^{tA}\right|⩾{\mathrm{e}}^{rt}$. Располагая такой техникой, мы вернемся к доказательству теорем $1.3,1.4$ гл. 1.
(1.3) Теорема. Пусть $T:E\to E$-ограниченный линейный оператор. Если $\sigma (T)\subset \{z\mid \mathrm{Re}z<0\}$ (соответственно $\sigma (T)\subset$ $\subset \{z\mid \mathrm{Re}z>0\}$ ), то нуль является притяаивающей (соответственно отталкивающей) неподвижной точкой потока ${\phi }_t=$ $=e^{tT}$.

Доказательство. Утверждение теоремы есть очевидное следствие леммы $2A.5$, ибо при $\sigma (T)\subset \{z\mid \mathrm{Re}z<0\}$ существует $r<0$, такое, что $\sigma (T)<r$, так как $\sigma (T)$ компактно. Тем самым $\left|e^{tA}\right|⩽e^{rt}\to 0$ при $t\to +\mathrm{\infty }$.
Теперь мы докажем первую часть теоремы 1.4 из гл. 1.
(1.4) Теорема. Пусть $X$-векторное поле класса $C^1$ на банаховом многообразии $P$ и $X\left(p_0\right)=0$. Если $\sigma \left(dX\left(p_0\right)\right)\subset$ $\subset \{z\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}z<0\}$, то ро асимптотически устойчиво.

Доказательство. Мы можем считать $P$ банаховым пространством $E$ и $p_0=0$. Как и выше, перенормируем $E$ и найдем $\epsilon >0$, при котором $\Vert e^{tA}\Vert ⩽e^{-et}$, где $A=dX(0)$.

Локальная теорема существования для обыкновенных дифференциальных уравнений ${}^1$ ) позволяет найти $r$-шар с центром в нуле, для которого время, где гарантируется существование решения, не зависит от начальной точки $x_0$, если $x_0$ лежит в этом шаре.
1) См., например, Хейл [1], Хартман [1], Ленг [1] и др.

Пусть $R(x)=X(x)-DX(0)\cdot x$. Возьмем $r_2⩽r_1$ такое, что из $\Vert x\Vert ⩽r_2$ следует $\Vert R(x)\Vert ⩽\alpha \Vert x\Vert$, где $\alpha =\frac{\epsilon }{2}$.

Пусть $B$-открытый ( $r_2/2)$-шар с центром в нуле. Теорема будет доказана, если мы покажем, что при $x_0\in B$ траектория, начинающаяся в точке $x_0$, остается в $B$ и стремится к 0 при $t\to +\mathrm{\infty }$.

Возьмем траекторию $x(t)$ поля $X$, начинающуюся в точке $x_0$. Допустим, что $x(t)$ остается в $B$ при $0⩽t<T$. Заметим, что
$$x(t)=x_0+{\int }_0^{t}X(x(s))ds=x_0+{\int }_0^t[A(x(s))+R(x(s))]ds,$$

поэтому (по формуле Дюамеля, упр. 2.9)
$$x(t)=e^{tA}{x}_0+{\int }_0^t{e}^{(t-s)A}R(x(s))ds,$$

и, следовательно,
$$\Vert x(t)\Vert ⩽e^{-t\epsilon }{x}_0+\alpha {\int }_0^t{e}^{-(t-s)\epsilon }\Vert x(s)\Vert ds.$$

Если мы теперь положим $f(t)=e^{t\epsilon }\Vert x(t)\Vert$, то
$$f(t)⩽x_0+\alpha {\int }_0^{t}f(s)ds$$

и, следовательно,
$$f(t)⩽\Vert x_0\Vert e^{\alpha t}.$$
(Это элементарное неравенство обычно называется неравенством Гронуолла, см. Хартман [1].)
Таким образом,
$$\Vert x(t)\Vert ⩽\Vert x_0\Vert e^{(\alpha -\epsilon )t}=\Vert x_0\Vert e^{-\epsilon t/2}.$$

Отсюда следует, что $x(t)\in B,0⩽t<T$, поэтому $x(t)$ можно продолжить на все $t$, и вышеприведенная оценка продолжает выполняться. Этим доказано, что $x(t)\to 0$ при $t\to +\mathrm{\infty }$.

Та часть теоремы 1.4, которая касается неустойчивости, требует использования теорем об инвариантных многообразиях, соответствующих расщеплению спектра на две части, расположенные в правой и левой полуплоскостях. Вышеприведенный анализ показывает, что в подпространстве, соответствующем спектру в правой полуплоскости, $p_0$-отталкивающая точка и поэтому неустойчива.
(2A.6) Замечания. Теорема 1.3 остается верной, причем с тем же доказательством, если $T$ — неограниченный оператор, при условии, что $\sigma \left(e^{tT}\right)=e^{t\sigma (T)}$; это часто выполняется для не очень плохих $T$ (например, если $T$ имеет дискретный спектр), но в общем случае справедливо не всегда. (см. Хилле и Филлипс [1]). Это замечание важно для применений к уравнениям с частными производными.

Доказательство теоремы 1.4 требует, вообще говоря, условия $R(x)=o(\Vert x\Vert )$, что нереально для уравнений с частными производными. Тем не менее справедливо следующее утверждение.
Предположим, что
$$\sigma (D{F}_t(0))=e^{t\sigma (DX(0))},$$

и мы рассматриваем $C^0$ поток $F_t,y$ которого каждое $F_t$ класса $C^1$ с производной, сильно непрерывной по $t$ (см. гл. 8A). Тогда теорема 1.4 по-прежнему верна.

Это можно доказать следующим образом: при тех же обозначениях по формуле Тейлора
$$F_t(x)-0=F_t(x)-F_t(0)=D{F}_t(0)\cdot x+R(t,x),$$

где $R(t,x)$-остаточный член. Далее, до тех пор, пока $x$ остается в малой окрестности 0 , выполняется оценка
$$\Vert R(t,x)\Vert =O(\Vert x\Vert )e^{-\epsilon t}.$$

Это вытекает из неравенства $\Vert D{F}_t(0)\Vert ⩽e^{-2\epsilon t}$, откуда
$$\Vert D{F}_t(x)\Vert ⩽e^{-\epsilon t}$$

при некотором $\epsilon >0$ и $x$ в окрестности 0 ; напомним также, что
$$R(t,x)={\int }_0^1\{D{F}_t(sx)\cdot x-D{F}_t(0)\cdot x\}ds.$$

Таким образом, рассуждая как в теореме 1.4, мы можем получить, что $x$ остается вблизи нуля и $F_t(x)$ экспоненциально стремится к нулю при $t\to \mathrm{\infty }$.
(2A.7) Упражнение. Пусть $E$ — банахово пространство и $F:E\to E$ — отображение класса $C^1,F(0)=0$, а спектр $DF(0)$ лежит внутри единичной окружности. Показать, что существует окрестность $U$ точки 0 , для которой из $x\in U$ следует $F^n(x)\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$, т. е. 0 — устойчивая точка $F$.