Н. Н. Баутин, Л. П. Шильников

С рождением из состояния равновесия типа фокус (или стягиванием к нему) предельного цикла связан важный для приложений вопрос о поведении динамической системы при значениях параметров, близких к границе области устойчивости состояния равновесия (или периодического движения) и о различном характере границ области устойчивости («опасные» и «безопасные» границы). Как известно, при исследовании конкретных динамических систем и выборе значений параметров приходится считаться не только с требованием устойчивости режимов работы но и с рядом других требований. Так, например, может оказаться, что оптимальные условия работы устройства наилучшим образом достигаются выбором (в пространстве параметров) точек, лежащих вблизи границы области, дозволенной условием устойчивости. Другой важный случай связан с тем, что некоторые параметры системы могут вести себя «квазистационарно» (эволюционировать) и притом так, что система выходит на границу области устойчивости. Естественно возникает вопрос, как при этом будет вести себя система на границе области устойчивости.

Рассмотрим сначала один из возможных случаев, имеющий большое практическое значение. Пусть начало координат есть состояние равновесия динамической системы, определяемой $n$ уравнениями первого порядка, и характеристическое уравнение соответствующей системы первого приближения имеет вид
\[
x^{n}+p_{1} x^{n-1}+\ldots+p_{n}=0 .
\]

Границей области устойчивости состояния равновесия в пространстве коэффициентов $p_{i}$, на которой характеристическое уравнение имеет по крайней мере одну пару чисто мнимых корней, будет поверхность
\[
R \equiv D_{n-1}=0,
\]

где $D_{n-1}$ — предпоследний определитель в условиях Рауса Гурвица. Будем считать коэффициенты $p_{i}$ зависящими от некоторого параметра $\lambda$ и предположим, что при $\lambda=\lambda_{0}$ выполнено $R\left(\lambda_{0}\right)=0$. Ляпунов показал, что для ответа на вопрос о поведении на границе области устойчивости недостаточно уравнений линейного приближения и необходим учет влияния нелинейных членов. Именно Ляпуновым были развиты специальные методы исследования, сводившие задачу исследования устойчивости состояния равновесия на границе области устойчивости к определению знаков или к необращению в нуль некоторых постоянных величин, для вычисления которых Ляпунов дал определенные рецепты и которые получили название ляпуновских величин.

С задачей о поведении динамической системы у границы области устойчивости равновесия типа фокус тесно связаны исследования Ляпунова по устойчивости дви́жения, относящиеся к случаю, когда среди корней характеристического уравнения есть корни, лежащие на мнимой оси [17]. Оказалось, что поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется ее поведением на самой границе. Следующие утверждения, рассматриваемые в предположении, что $R\left(\lambda_{0}\right)=0$, первая ляпуновская величина $L_{1}\left(\lambda_{0}\right)$ отлична от нуля, а $\lambda$ изменяется на некотором достаточно малом интервале $\lambda_{0}-\eta \leqslant \lambda \leqslant \lambda_{0}+\eta$, характеризуют возможные типы границ области устойчивости $[8,11]$.

Теорема 1. Пусть $L_{1}\left(\lambda_{0}\right)<0,(d R / d \lambda)_{\lambda=\lambda_{0}}<0$, и пусть $\lambda^{*}-$ фиксированное значение параметра $\lambda_{0}-\eta \leqslant \lambda^{*} \leqslant \lambda_{0}+\eta$, тогда можно указать такое $\varepsilon_{0}$ (не зависящее от $\lambda^{*}$ ), что для всякого сколь угодно малого положительного $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{0}$ можно найти такое положительное $\eta_{0}<\eta$, что для любой траектории $x_{s}(t)$, начальные значения которой удовлетворяют неравенству $\left|x_{s}(t)\right|<\varepsilon_{0}$, для всех $t$, начиная с некоторого $t>t_{0}$, будет выполняться неравенство $\left|x_{s}(t)\right|<\varepsilon_{1}$, если только $\left|\lambda^{*}-\lambda\right|<\eta_{0}$.

Таким образом, при возрастании параметра состояние равновесия из устойчивого становится неустойчивым, однако изображающая точка остается в малой $\varepsilon_{1}$-окрестности состояния равновесия. При обратном изменении параметра, когда состояние равновесия опять становится устойчивым, изображающая точка снова возвращается к состоянию равновесия. Система ведет себя обратимо.

Теорема 2. Пусть $L_{1}\left(\lambda_{0}\right)>0,(d R / d \lambda)_{\lambda_{2} \lambda_{1}}<0$, и пусть $\lambda^{*}-$ фиксированное значение параметра $\lambda_{0}-\eta \leqslant \lambda^{*} \leqslant \eta_{0}+\eta$, тогда можно указать такое $\varepsilon_{0}$ (не зависящее от $\lambda^{*}$ ), что для всякого сколь угодно малого положительного $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{0}$ можно найти такое положительное $\eta_{0}<\eta$, такие $t_{0}$ а $t_{1}\left(t_{1}>t_{0}\right) u$ такие траектории $x_{s}(t, \lambda)$, что из неравекства $\left|\lambda^{*}-\lambda\right|<\eta_{0}$

для каждой из этих траекторий будут следовать неравенства $\left|x_{s}\left(t_{0}, \lambda^{*}\right)\right|<\varepsilon_{1},\left|x_{s}\left(t_{1}, \lambda^{*}\right)\right|>\varepsilon_{0}\left(t_{0}\right.$ и $t_{1}$ могут быть различны для различных траекторий).

Таким образом, при возрастании параметра состояние равновесия при $\lambda=\lambda_{0}$ из устойчивого становится неустойчивым. Изображающая точка срывается с состояния равновесия и отбрасывается на достаточно далекое расстояние. При обратном изменении параметра изображающая точка не возвращается в состояние равновесия, когда оно опять становится устойчивым. Система ведет себя необратимо.

Следовательно, природа границ области устойчивости может быть двоякой.
«Безопасные» границы — это такие границы, достаточно малое нарушение которых влечет за собой лишь малые (сколь угодно малые при достаточно малых нарушениях) изменения состояния системы. Можно показать, что в этом случае координаты системы будут претерпевать лишь весьма малые периодические изменения, накладывающиеся на равновесное (теперь неустойчивое) положение системы.
«Опасные» границы — это такие границы, сколь угодно малое нарушение которых влечет за собой переход системы в новое состояние, которое не может быть приближено к исходному выбором нарушений границы достаточно малыми.

Описанные ситуации имеют простой физический смысл и соответствуют, например (в частном случае), мягкому и жесткому возникновению автоколебанй. Эти ситуации для системы двух уравнений впервые были описаны А. А. Андроновым в 1931 г. в докладе «Математические проблемы теории автоколебаний» на I Всесоюзной конференции по колебаниям [1].

Выяснение особенностей поведения динамической системы вблизи границ области устойчивости в связи с возникновением или исчезновением периодических решений, классификация основных типов границ и типов поведения, а также разыскание соответствующих критериев представляют и более общий интерес с точки зрения теории бифуркаций. Мы приведем здесь некоторые факты, относящиеся к этой проблеме.
1. Опасные и безопасные границы. Поведение траекторин. Алгоритмические критерии
Рассмотрим систему
\[
\dot{x}=a x+b y+P(x, y), \quad \dot{y}=c x+d y+Q(x, y),
\]

где
\[
P(x, y)=\sum_{i+j \geqslant 2} Q_{i j} x^{i} y^{j}, \quad Q(x, y)=\sum_{i+j \geqslant 2} b_{i j} x^{i} y^{j}
\]

и коэффициенты можно считать зависящими от некоторого параметра $\lambda$ (параметров $\lambda_{i}$ ).
В начале координат будет устойчивый фокус, если
\[
q \equiv\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|>0, \quad p \equiv-(a+d)>0, \quad p^{2}-4 q<0 .
\]

Следуя Ляпунову и Андронову $[17,2]$, строим в окрестности начала координат функцию
\[
\psi\left(\rho_{0}, p\right)=\left(e^{-\frac{2 \pi}{\omega} p}-1\right) \rho_{0}+\alpha_{2} \rho_{0}^{2}+\alpha_{3} \rho_{0}^{3}+\ldots .
\]

Теорема (Ляпунова). Первый не равный нулю коэффициент в разложении функции $\psi\left(\rho_{0}, 0\right)$ непременно нечетного номера.

Если $p=0$, то первый не равный нулю коэффициент $\alpha_{i}$ называется ляпуновской величиной: $\alpha_{3} \equiv L_{1}$ — первая ляпуновская величина; если $\alpha_{3}=0, \alpha_{5}
eq 0$, то $\alpha_{5} \equiv L_{2}$ — вторая ляпуновская величина, и т. д.

Рассмотрение функции (2) в зависимости от параметров позволяет сделать исчерпывающие заключения относительно характера траекторий в окрестности состояния равновесия $x=y=0$ при различных значениях параметров. Отличные от нуля корни функции соответствуют предсльным циклам. Вычисление ляпуновских величин в общем случае системы $n$ уравнений с характеристическим уравнением, имеющим пару чисто мнимых корней и остальные корни с отрицательной действительной частью, с помощью процедуры, указанной Ляпуновым, приводится к вычислению тех же величин $\alpha_{i}$ для некоторой системы второго порядка вида (1), выводимой из предложенной системы $n$ уравнений.

Первая ляпуновская величина, выраженная через коэффициенты системы (1), приведена в $[4,8,11,13]$. Вторая ляпуновская величина вычислена в [21]. Для системы трех и четырех уравнений общего вида в [11] изложено развернутое приведение к каноническому виду и вычислена первая ляпуновская величина через коэффициенты преобразованной системы (в случае чётырех уравнений отдельно для случая, когда вторая пара корней комплексная и когда она действительная). Для системы $n$ уравнений в случае, когда разложения правых частей не содержат членов второго порядка, в [11] дано выражение первой ляпуновской величины в виде интеграла по кривым вспомогательной консервативной системы без приведения исходной системы к каноническому виду. Там же даны аналогичные выражения первой ляпуновской величины и для общего вида систем двух, трех и четырех уравнений.

Опишем применительно к системе (1) простейшие возможные случаи.
А. Пусть $p\left(\lambda_{0}\right)=0$ и $L_{1}\left(\lambda_{0}\right)<0$. При переходе через границу $p=0$ от положительных значений к отрицательным появляется единственный устойчивый предельный цикл. При обратном изменении параметра устойчивый предельный цикл стягивается в точку. Переход через границу $p=0$ соответствует возникновению области неустойчивости внутри устойчивого предельного цикла, которая, однако, остается сколь угодно малой при достаточно малом нарушении условия устойчивости и стягивается в точку при обратном изменении параметра. Практически система при малом нарушении условия устойчивости будет вести себя как устойчивая (граница области устойчивости — безопасная).
Б. Пусть $p\left(\lambda_{0}\right)=0$ и $L_{1}\left(\lambda_{0}\right)>0$. При переходе через границу $p=0$ от положительных значений к отрицательным к состоянию равновесия стягивается единственный неустойчивый предельный цикл. При обратном изменении параметра из состояния равновесия появляется неустойчивый предельный цикл. Переход через границу $p=0$ соответствует исчезновению области устойчивости внутри неустойчивого предельного цикла; изображающая точка при этом срывается с состояния равновесия и уходит за пределы рассматриваемой окрсстности состояния равновесия (граница области устойчивости опасная).

Особенности в поведении динамической системы вблизи тех точек границы $p=0$, где безопасная часть границы переходит в опасную и где, следовательно, первый ляпуновский коэффициент $L_{1}\left(\lambda_{0}\right)$ обращается в нуль, определяются знаком второй ляпуновской величины $L_{2}\left(\lambda_{0}\right)$, для вычисления которой необходимо учесть в разложениях правых частей уравнения (1) члены до пятого порядка включительно. В возможностях, которые здесь возникают, можно ориентироваться, рассматривая функцию (2). Нетрудно показать [10], что если в ряду коэффициентов $p, \alpha_{3} \equiv L_{1}(\lambda), \alpha_{5} \equiv L_{2}(\lambda)$ имеются одна или две перемены знака, то в малой окрестности начала координат будут существовать один или два корня функции $\psi\left(\rho_{0}, p\right)$ и соответственно один или два предельных цикла на фазовой плоскости вокруг начала координат.

В зависимости от знаков первой и второй ляпуновских величин и знака действительной части корней характеристического уравнения в окрестности начала координат могут существовать один или два предельных цикла при всех возможных сочетаниях устойчивости и неустойчивости. Знак второй ляпуновской величины определяет при этом характер устойчивости внешнего предельного цикла и поэтому играет здесь роль, совершенно подобную роли знака первой ляпуновской величины, увеличивая или уменьшая опасность для изображающей точки быть выброшенной случайным толчком из малой окрестности состояния равновесия.

В общем случае системы $n$ уравнений с характеристическим уравнением, имеющим одну пару чисто мнимых корней и остальные корни с отрицательной действительной частью, все сказанное о поведении траекторий системы (1) будет
Puc. 1.

справедливо по отношению к некоторому двумерному многообразию в фазовом пространстве системы, заполненному траекториями и содержащему состояние равновесия и предельные циклы (если последние существуют). Для остальных траекторий это многообразие будет элементом притяжения. Изложенное иллюстрирует (применительно к системе трех уравнений) рис. 1. В случае $L_{1}\left(\lambda_{0}\right)<0$ при изменении знака $p$ неустойчивый предельный цикл, расположенный на двумерном многообразии, стягивается к состоянию равновесия. При этом исчезает пространственная область устойчивости, заполненная траекториями, идущими к состоянию равновесия (область стягивается к паре сепаратрис, идущих в состояние равновесия).

Рассмотрим поведение динамической системы в малой окрестности точки на границе области устойчивости, в которой первая ляпуновская величина обращается в нуль. Рис. $2 a, 6$ дают разбиения плоскости параметров (параметрами могут быть, например, сами величины $p$ и $L_{1}$ ) для случаев $L_{2}>0$ и $L_{2}<0$ в точке смыкания опасной и безопасной границ. Жирной линией отмечена безопасная часть границы $p=0$, тонкой — опасная. Пунктиром отмечена бифуркационная кривая двойных циклов. Ее точкам соответствуют двойные циклы (полуустойчивые), возникшие из сгущения траекторий. При смещении параметров с кривой двойных циклов двойной предельный цикл либо исчезает, либо разделяется на два (устойчивый и неустойчивый). Если $L_{2}>0$, то при обходе точки $p=0, L_{1}=0$, начиная с области $p>0$,

Рис. 2. Разбиение плоскости параметров в окрестности точки, где опасная часть границы переходит в безопасную.
$L_{1}<0$ в направлении против часовой стрелки, последовательно осуществляются бифуркации: рождение устойчивого предельного цикла из состояния равновесия, слияние неустойчивого предельного цикла с устойчивым, исчезновение двойного цикла, рождение неустойчивого цикла. Если $L_{2}<0$, то бифуркации осуществляются в таком порядке: рождение устойчивого, рождение неустойчивого, слияние устойчивого с неустойчивым и исчезновение двойного цикла. Штриховкой покрыта область существования двух циклов. Оценка расположения бифуркационной кривой двух циклов в зависимости от значения $L_{2}$ дана в [21]. Асимптотическое представление кривой двойных циклов (в обозначениях разд. 1) дается формулой
\[
\sqrt{q} L_{1}^{2}+8 \pi L_{2} p=0 \quad\left(L_{1} L_{2}<0\right) .
\]

Более сложные ситуации возникают, если первая не обращающаяся в нуль на границе $p=0$ ляпуновская величина будет $L_{k}$, где $k>2$. В этом случае при малых изменениях параметров $\lambda_{i}$ в окрестности состояния равновесия в начале координат может появиться более двух предельных циклов. Ситуации здесь будут похожими на уже рассмотренные при $L_{1}
eq 0$ или $L_{2}
eq 0$ на границе $p=0$ и будут зависеть от знака первой отличной от нуля ляпуновской величины и от того, сколько будет циклов (четное или нечетное число). Сложность, возникающая в этом случае, связана в первую очередь с тем, что технические трудности вычисления последовательных ляпуновских величин с ростом их номера быстро возрастают. Эту трудность можно обойти, используя ЭВМ для алгебраического вычисления ляпуновских величин.
С. Д. Щуко $[29,30,31]$ разработала алгоритм, позволяющий последовательно вычислять на ЭВМ ляпуновские величины (каждую следующую в предположении равенства нулю всех предыдущих). В качестве исходной для вычисления ляпуновских величин рассматривается каноническая система уравнений
\[
\dot{x}=-y+\sum_{m=2}^{n} P_{m}(x, y), \quad \dot{y}=x+\sum_{m=2}^{n} Q_{m}(x, y),
\]

где $P_{m}$ и $Q_{m}$ — однородные полиномы степени $m$, взятые из разложений правых частей системы (1) после приведения ее к каноническому виду, наибольшие степени которых, $n$, согласуются с порядковым номером вычисляемой ляпуновской величины.

Для вычислений удобны методы, позволяющие осуществлять внутренний контроль вычислений в силу симметрии получающихся выражений. Это реализуется при переходе к комплексным переменным [14].
Полагая $z=x+i y, \bar{z}=x-i y$, получаем
\[
\frac{d \bar{z}}{d z}=-\frac{\bar{z}+Z(z, \bar{z})}{z+\bar{Z}(z, \bar{z})},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
Z(z, \bar{z})=\sum_{m=2}^{n} \sum_{k=0}^{m} a_{k m} z^{k} \bar{z}^{m-k}, \\
\bar{Z}(z, \bar{z})=\sum_{m=2}^{n} \sum_{k=0}^{m} \bar{a}_{k m} \bar{z}^{k} z^{m-k} .
\end{array}
\]

Наличие центра в начале координат равносильно существованию голоморфного интеграла
\[
\Phi(z, \bar{z})=\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{m} \Phi_{k, m-k} z^{k} \bar{z}^{m-k}
\]

уравнения
\[
L(\Phi)=\frac{\partial \Phi}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}+\frac{\partial \Phi}{\partial \bar{z}} \cdot \frac{d \bar{z}}{d t} .
\]

Функции $\Phi(z, \bar{z})$ сопоставляется последовательность $(m+1)$-мерных комплексных векторов $\Phi_{m}$ с компонентами, двляющимися коэффициентами однородных полиномов степени $m$ из (5):
\[
\Phi_{m}=\left\{\Phi_{0, m} ; \Phi_{1, m-1} ; \ldots ; \Phi_{m-1,1} ; \Phi_{m, 0}\right\} .
\]

Для того чтобы в начале координат был центр системы (3), необходимо и достаточно [18], чтобы векторное уравнение (6) имело решение $\Phi=\left\{\Phi_{m}\right\}$, удовлетворяющее условиям
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{0,0}=\Phi_{0,1}=\Phi_{1,0}=\Phi_{0,2}=\Phi_{2,0}=0 ; \quad \Phi_{k, k}=0, \quad k \geqslant 2 ; \\
\Phi_{1,1}=1 ; \quad \Phi_{k, m-k}=\bar{\Phi}_{m-k, k} .
\end{array}
\]

Векторы $\Phi_{m}$ находятся по рекуррентной формуле
\[
\Phi_{m}=-C_{m, m}^{-1}\left\{\sum_{l=2}^{m-1} C_{m, l} \Phi_{l}\right\}, \quad m>2 .
\]

Здесь $C_{m, l}=\left\{c_{r s}^{(m, l)}\right\}-\quad$ матрица из $m+1$ строк и $l+1$ столбцов, причем
\[
c_{r s}^{(m, l)}=(l-s) a_{r-s, m-l+1}+s \bar{a}_{m-l-r+s, m-l+1},
\]

ғде $r$ — номер строки, $s$ — номер столбца, $C_{m . m}^{1-}=\left\{c_{r s}^{-1}\right\}$ қвадратная диагональная $(m+1)$-матрица с элементами вида
\[
c_{r s}^{-1}=\left\{\begin{array}{ccc}
-\frac{i \delta_{r s}}{m-2 s} & \text { при } & m
eq 2 s \\
0 & \text { при } & m=2 s
\end{array} ; \delta_{r s}-\right.\text { символ Кронекера. }
\]

Ляпуновские величины имеют тогда вид
\[
L_{k} \equiv \alpha_{2 k+1}=i \sum_{l=2}^{2 k-1} T_{2 k, l} \Phi_{l},
\]

где $T_{2 k, l}$ — средняя строка матрицы $C_{2 k, l}$. Поскольку все элементы матриц, входящих в (7), содержат в качестве множителя $i$, вектор $\Phi_{m}$ не будет иметь мнимого множителя.

При реализации алгоритма на ЭВМ нужно учитывать необходимость проведения тождественных алгебраических преобразований над полиномами, коэффициенты которых являются обыкновенными дробями, и недопустимость приближенного представления дробей как в записи исходной информации, так и на всех промежуточных этапах. Поэтому для реализации алгоритма строится арифметика обыкновенных дробей, сохраняющая целочисленность числителя и знаменателя и обеспечивающая возможность выполнения в целых числах операций умножения, сложения и сокращения обыкновенных дробей без использования арифметических операций, реализованных в системе команд ЭВМ, а также пере вод числителя из двоичной систем́ы в десятичную [31].

Қак видно из (7), для построения вектора $\Phi_{m}$ необходимо хранить в оперативной памяти машины предыдущие векторы, что предъявляет определен̈ные требования к объему памяти машины.

Разработанный алгоритм был применен С. Д. Щуко для вычисления ляпуновских величин некоторых систем вида (3).
a) Для системы
\[
\dot{x}=-y+P_{2}(x, y), \quad \dot{y}=x+Q_{2}(x, y),
\]

приведенной к виду (4), где
\[
Z(\boldsymbol{x}, \bar{z})=\alpha \bar{z}^{2}+\beta z \bar{z}+\gamma z^{2},
\]

получены три последовательные ляпуновские величины
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{3}=\bar{\alpha} \bar{\beta}-\alpha \beta \\
\alpha_{5}=\frac{2}{3}\left(\bar{\alpha}^{2} \beta \bar{\gamma}-\alpha^{2} \bar{\beta} \gamma\right)+\frac{2}{3}\left(\bar{\beta}^{3} \gamma-\beta^{3} \bar{\gamma}\right)+\bar{\alpha} \beta^{2} \bar{\gamma}-\alpha \bar{\beta}^{2} \gamma \\
\alpha_{7}=8\left(\alpha^{2} \beta \bar{\beta}^{2} \gamma-\bar{\alpha}^{2} \bar{\beta} \beta^{2} \bar{\gamma}\right)+\frac{5}{4}\left(\bar{\alpha} \beta^{2} \bar{\gamma}^{2} \gamma-\alpha \bar{\beta}^{2} \gamma^{2} \bar{\gamma}\right)+ \\
+\frac{5}{8}\left(\bar{\beta}^{3} \gamma^{2} \bar{\gamma}-\beta^{3} \bar{\gamma}^{2} \gamma\right)+\frac{53}{4}\left(\alpha \beta \bar{\beta}^{3} \gamma-\bar{\alpha} \bar{\beta} \beta^{3} \bar{\gamma}\right)+\frac{69}{8}\left(\bar{\beta} \beta^{4} \bar{\gamma}-\beta \bar{\beta}^{4} \gamma\right) .
\end{array}
\]
б) Для системы
\[
\dot{x}=-y+P_{3}(x, y), \quad \dot{y}=x+Q_{3}(x, y),
\]

приведенной к виду (4), где
\[
Z(z, \bar{z})=\alpha \bar{z}^{3}+\beta \bar{z}^{2} z+\gamma z^{2} \bar{z}+\delta z^{3},
\]

получено шесть последовательных ляпуновских величин
\[
\begin{aligned}
\alpha_{3}= & k_{3}(\beta-\bar{\beta}), \quad \alpha_{5}=k_{5}(\alpha \gamma-\bar{\alpha} \bar{\gamma}), \\
\alpha_{7}= & k_{7}\left[\left(\alpha^{2} \delta-\bar{\alpha}^{2} \bar{\delta}\right)+\frac{8}{3}(\alpha \bar{\gamma} \delta-\bar{\alpha} \gamma \bar{\delta})+\left(\gamma^{2} \delta-\bar{\gamma}^{2} \bar{\delta}\right)\right], \\
\alpha_{9}= & k_{9}\left[(\alpha \bar{\gamma} \delta-\bar{\alpha} \gamma \bar{\delta})+\frac{1}{3}\left(\gamma^{2} \bar{\delta}-\bar{\gamma}^{2} \delta\right)\right] \bar{\beta}, \\
\alpha_{11}= & k_{11}\left[(\alpha \bar{\gamma} \delta-\bar{\alpha} \gamma \bar{\delta})\left(\frac{207}{4} \bar{\alpha} \bar{\gamma}+\delta \bar{\delta}\right)+\right. \\
& \left.+\left(\gamma^{2} \bar{\delta}-\bar{\gamma}^{2} \delta\right)\left(\frac{1}{3} \delta \bar{\delta}-134 \bar{\alpha} \bar{\gamma}+\frac{605}{12} \gamma \bar{\gamma}\right)\right], \\
\alpha_{13} \equiv & 0, \quad k_{j}=\text { const }>0,
\end{aligned}
\]

В случаях а) и б) обращение в нуль найденных ляпуновских величин дает необходимые и достаточные условия центра для систем (8) и (9), полученные впервые соответственно Каптейном [15] и K. Е. Малкиным [18].

У систем (8) и (9) при изменении коэффициентов (в том числе и линейных членов) из состояния равновесия $(0,0)$ не может появиться более трех (для системы (8)) или более пяти (для системы (9)) предельных циклов [10, 22].
в) Для системы
\[
\dot{x}=-y+P_{5}(x, y), \quad \dot{y}=x+Q_{5}(x, y),
\]

приведенной к виду (4), где
\[
Z(z, \bar{z})=\alpha \bar{z}^{5}+\beta \bar{z}^{4} z+\gamma \bar{z}^{3} z^{2}+\delta \bar{z}^{2} z^{3}+\varepsilon \bar{z} z^{4}+\zeta z^{5},
\]

получены первые три ляпуновские величины
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{3}=k_{3}(\gamma-\bar{\gamma}), \quad \alpha_{5}=k_{5}[(\alpha \varepsilon-\bar{\alpha} \bar{\varepsilon})+(\beta \delta+\bar{\beta} \bar{\delta})], \\
\alpha_{7}=k_{7}\left[(\alpha \beta \zeta-\bar{\alpha} \bar{\beta} \bar{\zeta})+\frac{9}{2}\left(\alpha \delta^{2}-\bar{\alpha} \bar{\delta}^{2}\right)+\frac{3}{2}(\tilde{\alpha} \beta \bar{\delta}-\alpha \bar{\beta} \delta)+\right. \\
+\frac{9}{2}(\alpha \bar{\delta} \zeta-\bar{\alpha} \delta \bar{\zeta})+\frac{9}{2}(\beta \bar{\delta} \varepsilon-\bar{\beta} \delta \bar{\varepsilon})+3\left(\beta \bar{\varepsilon} \zeta-\bar{\beta}_{\varepsilon} \bar{\zeta}\right)+ \\
\left.+\frac{3}{2}\left(\delta^{2} \bar{\varepsilon}-\bar{\delta}^{2} \varepsilon\right)+\frac{5}{2}(\delta \varepsilon \bar{\xi}-\bar{\delta} \bar{\varepsilon} \zeta)\right], \quad k_{j}=\text { const }>0 . \\
\end{array}
\]
г) В общем случае системы
\[
\dot{x}=-y+P(x, y), \quad \dot{y}=x+Q(x, y),
\]

где $P(x, y)$ и $Q(x, y)$ — функции, аналитические в окрестности начала координат, разложения которых начинаются с членов порядка не меньше двух, для вычисления $\alpha_{3}$ в разложениях правых частей нужно удерживать члены до третьего порядка включительно, а для вычисления $\alpha_{5}$ — до пятого включительно. После приведения (10) к виду (4) получаем
\[
\begin{aligned}
Z(z, \bar{z})= & \alpha \bar{z}^{2}+\beta \bar{z} z+\gamma z^{2}+\delta \bar{z}^{3}+\varepsilon \bar{z}^{2} z+\varphi \bar{z} z^{2}+\varphi z^{3}+ \\
& +x \bar{z}^{4}+\lambda \bar{z}^{3} z+\mu \bar{z}^{2} z^{2}+v \bar{z} z^{3}+\pi z^{4}+\rho \bar{z}^{5}+\sigma \bar{z}^{4} z+ \\
& +\tau \bar{z}^{3} z^{2}+\theta \bar{z}^{2} z^{3}+\zeta \bar{z} z^{4}+\chi z^{5}
\end{aligned}
\]

Первые две ляпуновские величины будут
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{3}=-\alpha \beta+\bar{\alpha} \bar{\beta}+\varepsilon-\bar{\varepsilon}, \\
\alpha_{5}=-\frac{2}{3}\left(\alpha^{2} \bar{\beta} \gamma-\bar{\alpha}^{2} \beta \bar{\gamma}\right)+\left(\bar{a} \beta^{2} \bar{\gamma}-\alpha \bar{\beta}^{2} \gamma\right)+\frac{2}{3}\left(\bar{\beta}^{3} \gamma-\beta^{3} \gamma\right)+ \\
+(\alpha \bar{\beta} \bar{\delta}-\bar{\alpha} \beta \delta)+\frac{2}{3}(\alpha \gamma \delta-\bar{a} \bar{\gamma} \bar{\delta})+2\left(\beta^{2} \delta-\bar{\beta}^{2} \bar{\delta}\right)+ \\
+\frac{5}{3}(\bar{\beta} \gamma \delta-\beta \bar{\gamma} \bar{\delta})+(\bar{\varepsilon}-\varepsilon) \bar{\alpha} \bar{\beta}+\frac{4}{3}(\bar{\varepsilon}-\varepsilon) \gamma \bar{\gamma}+ \\
+(\alpha \beta \varphi-\bar{\alpha} \bar{\beta} \bar{\varphi})+\frac{2}{3}(\alpha \gamma \bar{\varphi}-\bar{\alpha} \bar{\gamma} \varphi)+(\beta \bar{\gamma} \varphi-\bar{\beta} \gamma \bar{\varphi})+ \\
+\frac{2}{3}(\alpha \bar{\gamma} \psi-\bar{\alpha} \gamma \bar{\psi})+\frac{1}{3}(\beta \gamma \bar{\psi}-\bar{\beta} \bar{\gamma} \psi)+(\bar{\delta} \bar{\varphi}-\delta \varphi)+ \\
+(\varepsilon-\bar{\varepsilon}) \varepsilon-\frac{4}{3}(\gamma x-\bar{\gamma} \bar{x})+(\bar{\alpha} \lambda+\alpha \bar{\lambda})+ \\
+2(\bar{\beta} \bar{\lambda}-\beta \lambda)+(\beta \bar{\mu}-\bar{\beta} \mu)+\frac{1}{3}(\gamma \bar{v}-\bar{\gamma} v)+(\tau-\bar{\tau}) . \\
\end{array}
\]
2. Основные типы границ областей устойчивости состояний равновесия и периодических движений

Рассмотрим $n$-мерную гладкую динамическую систему, задаваемую уравнениями
\[
\dot{x}=X(\dot{x}, \lambda)
\]

и непрерывно зависящую от параметров $\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}\right) \in$ $\in R^{k}$. Предположим, что система при $\lambda=\lambda_{0}$ имеет сток $\Gamma_{\lambda_{0}}$, который есть либо грубое устойчивое состояние равновесия, либо грубое устойчивое периодическое движение. Тогда, как известно, при всех достаточно малых $\lambda-\lambda_{0}$ система также будет иметь сток $\Gamma_{\lambda}$, близкий к $\Gamma_{\lambda_{0}}$. Введем понятие стока $\Gamma$ рассматриваемой системы и его области устойчивости. Предварительно заметим, однако, что на эту систему, зависящую от $\lambda$, нужно смотреть как на $k$-параметрическое семейство систем $X_{\lambda}$.

Системы $X_{\lambda_{1}}$ и $X_{\lambda_{2}}$ будем называть Г-эквивалентными, если в пространстве параметров существует простая дуга $\Lambda$, соединяющая системы $X_{\lambda_{1}}$ и $X_{\lambda_{2}}$ и такая, что система $X_{\lambda}$ при $\lambda \in \Lambda$ имеет грубый сток $\Gamma_{\lambda}$, непрерывно зависящий от $\lambda$. Множество Г-эквивалентных систем в пространстве параметров будем обозначать через $D_{\Gamma}$ и называть областью устойчивости стока $\Gamma$ рассматриваемой системы или областью грубости устойчивого движения $\Gamma$.

Современное состояние теории устойчивости и теории бифуркаций позволяет в принципе решить задачу, связанную с выделением основных типов границ области $D_{F}$, т. е, гипер-поверхностей $S^{k-1}$ размерности $k-1$. Для изучения переходов через эти граничные поверхности удобно ограничиться рассмотрением однопараметрических семейств $X_{\lambda(\mu)}=X(\mu)$, где $\mu \in\left[-\mu_{0}, \mu_{0}\right]$ и выбирается так, что при $\mu \stackrel{\leq}{<}$ будет $X(\mu) \in D_{\Gamma}, X(0) \in S^{k-1}$, а при $\mu>0$ будет $X(\mu)
otin \bar{D}_{\Gamma}$. Сток $\Gamma$ при $\mu<0$ будем тогда обозначать через $\Gamma(\mu)$, а топологический предел $\Gamma(\mu)$ при $\mu \rightarrow 0$ через $\Gamma^{*}$. Множество. Г* есть состояние равновесия, если $\Gamma(\mu)$ — состояние равновесия. В случае же, когда $\Gamma(\mu)$ есть периодическое движение, $\Gamma^{*}$ может быть и более сложным множеством. Так, $\Gamma^{*}$ в ряде случаев есть контур, составленный из траекторий, одной из которых является состояние равновесия ${ }^{1}$ ).

Критерии безопасных границ. 1. Пусть $\Gamma(\mu)$ — состояние равновесия и $\Gamma^{*}$ на границе имеет только одну пару чисто мнимых корней. Қак известно, в этом случае система $X(\mu)$ в некоторых подходящих переменных может быть записана в виде
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=\rho(\mu) x-\omega(\mu) y+[L(\mu) x-a(\mu) y]\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots \\
\cdots+f(x, y, z) z \\
\dot{y}=\omega(\mu) x+\rho(\mu) y+[a(\mu) x+L(\mu) y]\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots \\
\cdots+g(x, y, z) z, \\
\dot{z}=[A(\mu)+h(x, y, z)] z,
\end{array}
\]

где $\omega(0)
eq 0, \rho(0)=0$ и $\rho(\mu) \cdot \mu>0$ при $\mu
eq 0$, а матрица $A(\mu)$ устойчивая. Граница $S_{1}^{k-1}$, соответствующая этому случаю, будет безопасной, если $L(0)<0$. При возрастании $\mu$ от нуля из устойчивого негрубого фокуса $\Gamma^{*}$ рождается устойчивое периодическое движение, которое и будет установившимся режимом системы (рис. 3).
2. Пусть $\Gamma(\mu)$ — периодическое движение и при выходе на границу области устойчивости один из мультипликаторов становится равным (-1). Соответствующее отображение последования $T$ на площадке, трансверсальной к периодическому движению, можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=\rho(\mu) x+a_{2}(\mu) x^{2}+a_{3}(\mu) x^{3}+\ldots+f(x, y, \mu) y, \\
\bar{y}=[A(\mu)+g(x, y, \mu)] y,
\end{array}
\]

где $\rho(0)=-1,|\rho(\mu)|<1$ при $\mu<0$ и $|\rho(\mu)|>1$ при $\mu>$ $>0$, а собственные числа $A(\mu)$ лежат внутри единичной окружности. Граница $S_{2}^{k-1}$, соответствующая этому случаю, будет безопасной, если ляпуновская величина $L(0)=-2 a_{3}(0)$ —
1) Невозможность других бифуркационных пленок коразмерности один, соответствующих другим топологическим пределам $\Gamma(\mu)$, в настоящее время полностью еще не доказана.

$-2 a_{2}(0)^{2}$, отрицательна. Из вида отображения $T$ следует, что инвариантное многообразие, соответствующее $y=0$, есть лист
Рис. 3.

Мёбиуса со средней линией, являющейся нашим периодическим движением. Поэтому при $\mu>0$ от него будет ответвляться
$\square$
Рис. 4.
устойчивое периодическое движение с периодом, близким к удвоенному периоду $\Gamma^{*}[20]$, на которое и будет «наматываться» изображающая точка (рис. 4).

3. Пусть $\Gamma(\mu)$ — периодическое движение и при выходе системы на границу два мультипликатора становятся равными $e^{i \varphi(0)}$, где $\varphi(0)
eq 0, \frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \pi$. Здесь отображение последования $T$ можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\bar{x}= & \rho(\mu)[x \cos \varphi(\mu)-y \sin \varphi(\mu)]+ \\
& +[g(\mu) x-b(\mu) y]\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots+f(\cdot) z, \\
\bar{y}= & \rho(\mu)[x \sin \varphi(\mu)+y \cos \varphi(\mu)]+ \\
& +[b(\mu) x+g(\mu) y]\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots+h() z, \\
\bar{z}= & {[A(\mu)+h(x, y, z ; \mu)] z, }
\end{aligned}
\]

где $\rho(\mu)<1$ при $\mu<0, \rho(0)=1$ и $\rho(\mu)>1$ при $\mu>0$. В этом случае граница $S_{3}^{k-1}$ безопасная, если $g(0)<0$. Переход через $S_{3}^{k-1}$ приводит к рождению из периодического
Рис. 5. Рождение устойчивого инвариантного тора.

движения устойчивого двумерного инвариантного тора (см. настоящую книгу). По образному выражению А. А. Андронова, поставившего эту задачу, «с цикла слезает шкура». Таким образом, в этом случае имеет место мягкий переход от автоколебаний к «режиму биений» (рис. 5).
4. Этот случай характерен тем, что пределом $\Gamma(\mu)$ при $\mu \rightarrow 0$ является контур $\Gamma^{*}$, составленный из простейшего негрубого состояния равновесия типа седло-узел (см. случай 6) и сепаратрисы седло-узла, возвращающейся в него. То, что граница $S_{4}^{k-1}$ (а она выделяется еще дополнительным условием, что $\Gamma^{*}$ — гладкий контур) является безопасной, есть простое следствие устойчивости $\Gamma^{*}$. При $\mu>0$ установившимся режимом системы будет устойчивое состояние равновесия, возникающее при разделении седло-узла (рис. 6).

Критерии опасных границ. 5. В этом случае топологическим пределом периодического движения $Г(\mu)$ является кон-

Рис. 6. Исчезновение устойчивого предельного цикла с возникновением устойчивого узла.

тур $\Gamma^{*}$, составленный из седла и траектории, двоякоасимптотической к нему. Общий случай границы, которую обозначим qерез $S_{5}^{k-1}$, выделяется следующими условиями $[4,8,9,10]$ :

Рис. 7. Исчезновение предельного цикла через образование петли сепаратрисы седла.

корни $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$ характеристического уравнения в седле таковы, что $\operatorname{Re} \rho_{i}<0(i=1, \ldots, n-1), \rho_{n}>0$, и все седловые величины $\sigma_{i}=\rho_{i}+\rho_{n}<0$ ( $\left.i=1, \ldots, n-1\right)$. Таким образом, одна из траекторий, выходящих из седла, будет принадлежать $\Gamma^{*}$. Контур $\Gamma^{*}$ неустойчив, так как другая траектория, выходящая из седла, покидает любую малую окрестность $\Gamma^{*}$ (рис. 7 ).

6. Пусть у состояния равновесия $\Gamma(\mu)$ один корень харак теристического уравнения при $\mu \rightarrow 0$ обращается в нуль. Тогда при достаточно малом $\mu$ система в окрестности $\Gamma^{*}$ может быть записана в виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=R(x, \mu)+f(x, y, \mu) y, \\
\dot{y}=[A(\mu)+g(x, y, \mu)] y,
\end{array}
\]

где $R(0,0)=R_{x}(0,0)=0$. Общий случай здесь выделяется условием $l_{2}=R_{x x}(0,0)
eq 0$. Поскольку мы предположим, что

Рис. 8. Исчезновение устойчивого узла при слиянии с состоянием равновесия седлового типа.

выход на границу происходит со стороны отрицательных $\mu$, то $l_{2}>0$. Соответствующая этому случаю граница $S_{6}^{k-1}$ будет опасной: при стремлении $\mu$ к нулю к $\Gamma(\mu)$ подтягивается другое состояние равновесия седлового типа; при $\mu=0$ они сольются, образовав сложное неустойчивое состояние равновесия $\Gamma^{*}$ типа седло-узел. При $\mu>0(R(x, \mu)>0)$ состояние равновесия исчезает и все траектории покинут окрестность $\Gamma^{*}[3,19]$ (рис. 8 ).
7. То же, что и в случае 1 , но $L(0)>0$. Здесь при $\mu \rightarrow 0$ в $\Gamma^{*}$ влипает периодическое движение седлового типа. Это и обусловливает опасный тип границы $S_{7}^{k-1}$, поскольку исчезновение периодического движения приводит к появлению у $\Gamma^{*}$ двумерного неустойчивого многообразия $W^{\mu}$ (рис. 1).
8. То же, что и в случае 2 , но $L(0)>0$. Неустойчивость в этом случае обусловлена влипанием неустойчивого-периодического движения с периодом, близким к удвоенному периоду $\Gamma(\mu)$. При $\mu \geqslant 0$ возникает неустойчивое периодическое движение, имеющее неустойчивое многообразие $W^{u}$ лист Мёбиуса.
9. То же, что и в случае 3 , но $g(0)>0$. Неустойчивость $\Gamma^{*}$ здесь связана с влипанием в него неустойчивого двумерного тора. При $\mu \geqslant 0$ периодическое движение уже будет иметь неустойчивое многообразие $W^{u}$, размерность которого равна трем.
10. Пусть у периодического движения $\Gamma(\boldsymbol{\mu})$ при $\mu \rightarrow 0$ один мультипликатор $\rho(\mu)$ становится равным 1. Соответствующее отображение последования на секущей здесь может быть записано в виде
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=x+R(x, \mu)+f(x, y, \mu) y, \\
\bar{y}=[A(\mu)+g(x, y, \mu)] y .
\end{array}
\]

Граница области устойчивости здесь будет ( $k-1)$-мерна, если $l_{2}=R_{x x}(0,0)
eq 0$. При сделанных выше предположениях о вхождении параметра $\mu$, из $l_{2}
eq 0$ следует, что $l_{2}>0$. Опасный характер $S_{10}^{k-1}$ в этом случае обусловлен тем, что $\Gamma(\mu)$ сливается при $\mu \rightarrow 0$ с периодическим движением седлового типа. Г* есть периодическое движение типа седло-узел, неустойчивое многообразие $W^{u}$ которого является гомеоморфным образом цилиндра $S^{1} \times R^{+}$, где $R^{+}$- полупрямая.

Таким образом, в границу области устойчивости состояния равновесия могут входить поверхности трех типов: $S_{1}^{k-1}$, $S_{6}^{k-1}$ и $S_{7}^{k-1}$. В границу же области устойчивости периодического движения — девяти типов $S_{5}^{k-1}, S_{8}^{k-1}, S_{9}^{k-1}, S_{10}^{k-1}$ — опасные и $S_{2}^{k-1}, S_{3}^{k-1}, S_{4}^{k-1}, \tilde{S}_{1}^{k-1}, \tilde{S}_{2}^{k-1}$-безопасные ( $\tilde{S}_{1}^{k-1}$ и $\tilde{S}_{2}^{k-1}$ соответствуют влипанию периодического движения в сложный фокус и в периодическое движение половинного периода).

Другие точки границ $D_{\text {г }}$ связаны с более высоким вырождением и здесь не рассматриваются. С частью из них можно познакомиться по работам $[4,5,23,28]$. Отметим только, что бифуркационные явления в таких случаях весьма сложны и еще недостаточно изучены.
3. Динамически определенные и неопределенные опасные границы

Пусть изображающая точка, описывающая состояние системы $X(\mu)$, при $\mu<0$ находится или в стоке $\Gamma$, или в его «бесконечно малой» окрестности, другими словами, Г является установившимся режимом системы. При переходе через опасную границу положение изображающей точки будет неопределено, поскольку $\Gamma^{*}$ либо исчезает, либо становится неустойчивым. Поэтому естественно высказать следующую аксиому.

Аксиома неопределенности. При переходе через опасную границу: 1) изображающая точка покидает окрестность $U\left(\Gamma^{*}\right) ; 2$ ) выход ее может происходить по любой траектории, покидающей $U\left(\Gamma^{*}\right) ; 3$ ) новым установившимся режимом может быть только аттрактор, т.е. притягивающее предельное множество.

Дальнейшее рассмотрение связано с ответом на следующий вопрос: куда при переходе через опасную границу «перескакивает» изображающая точка [27]?

Для случая двумерных автоколебательных систем, близких к линейным консервативным, эта задача была решена A. А. Андроновым еще в 30 -х годах в связи с изучением явлений мягкого и жесткого режимов возбуждения колебаний. Характерной особенностью конкретных систем, рассмотренных как в работах А. А. Андронова, так и в публикациях других авторов, явилось следующее обстоятельство: после прохождения опасной границы новый установившийся режим системы указывался однозначно. Однако в общем случае это может быть не так. Свое рассмотрение мы ограничим случаем, когда $X(\mu)$ при $\mu \leqslant 0$ имеет только конечное число периодических движений и состояний равновесия, каждое из которых, кроме $\Gamma^{*}$ на границе, является грубым, а их устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально (за исключением случая негрубого контура $\Gamma^{*}$ на границе $S_{5}^{k-1}$ ).

Опасную границу $S_{\alpha}^{k-1}$ назовем динамически определенной, если для любой системы $X \in S_{\alpha}^{k-1}$ все траектории, выходящие из $U\left(\Gamma^{*}\right)$, за исключением тех, которые лежат в устойчивых многообразиях седел и седловых периодических движений, идут к одному стоку. Если по крайней мере две траектории, выходящие из $U\left(\Gamma^{*}\right)$, имеют разные стоки, то назовем границу динамически неопределенной.

Рассмотрим случай 5. В силу наших предположений траектория, выходящая из седла и не принадлежащая контуру $\Gamma^{*}$, будет стремиться к некоторому стоку $\Sigma(0)$. Опасная граница $S_{5}^{k-1}$ является динамически определенной; при малых $\mu \geqslant 0$ установившимся режимом системы будет сток $\Sigma(\mu)$.

В случае 6 при $\mu=0$ возникает слоӝное состояние равновесия $\Gamma^{*}$ типа седло-узел, из которого выходит только одна траектория $\beta(t)$. Относительно поведения $\beta(t)$ здесь возможны два подслучая: 1) $\beta(t)$ имеет своим предельным элементом новый сток $\Sigma(0), 2) \beta(t)$ при $t \rightarrow \infty$ стремится к $\Gamma^{*}$. Границы, соответствующие этим подслучаям, будем обозначать через $S_{6_{1}}^{k-1}$ и $S_{6_{2}}^{k-1}$. Опасная граница $S_{6_{i}}^{k-1}$ является динамически определенной. При переходах через $S_{6_{1}}^{k-1}$ установившимся режимом системы будет сток $\Sigma(\mu)$; при переходах через $S_{6_{2}}^{k-1}$ — устойчивое периодическое движение, рождающееся из контура $\Gamma^{*}[3,4,32]$.

Қак мы уже отмечали, в случаях $7-10$ при $\mu=0 \Gamma^{*}$ будет иметь неустойчивое многообразие $W^{u}$. Множество предельных

Рис. 9. Динамическая неопределенность при исчезновении области устойчивости состояния равновесия.

точек траекторий из $W^{u} \backslash \Gamma^{*}$ будем обозначать через $\partial W^{u}$. Предположим, что в случае $10 \Gamma^{*}
otin \partial W^{u}$. Границу $S_{10}^{k-1}$ обо. значим тогда через $S_{10_{1}}^{k-1}$. Граница $S_{l}^{k-1}\left(i=7,8,9,10_{1}\right)$ будет динамически определенной, если в $\partial W^{u}$ содержится только один сток $\Sigma(0)$. Заметим, что, хотя новый установившийся режим определен однозначно, переходный процесс может носить квазислучайный характер (см. [6]).

Если же в $\partial W^{u}$ содержится несколько стоков $\Sigma_{1}(0), \ldots$ $\ldots, \Sigma_{n}(0)$, то граница $S_{i}^{k-1}\left(i=7,8,9,10_{1}\right)$ будет динамически неопределенной. Выбор стока при переходе через такую опасную границу носит случайный характер (рис. 9).

Рассмотрим случай 10 в предположении, что $\Gamma^{*} \subset \partial W^{u}$. Сразу же заметим, что тогда $W^{u}$ не может быть самопредельным, ибо в противном случае мы имели бы негрубую гомоклиническую структуру и, следовательно, счетное множество периодических движений [16]. Здесь мы ограничимся только тем случаем, когда $\partial W^{u}=\Gamma^{*}$ и когда $\bar{W}^{u}$ есть тор ${ }^{1}$ ). При этом возможны два подслучая: тор $\bar{W}^{u}$ может быть глад-
1) $\overline{\mathscr{W}}^{\mu}$ может быть также и бутылкой Клейна.

ким и негладким (рис. 10). В первом подслучае изображающая точка будет наматываться на инвариантный тор, бифурцирующий из $\bar{W}^{u}$ при исчезновении $\Gamma^{*}$ [7]. Во втором ее предельное множество будет лежать в малой окрестности

Рис. 10. Пересечение негладкого тора секущей.
$\widetilde{W}^{u}$ и, как правило, будет содержать счетное множество седловых периодических движений, гомоклинических траекторий, континуум траекторий, устойчивых по Пуассону, а также устойчивые периодические движения с малыми областями притяжения [7]. Поскольку в обоих случаях устойчивые периодические движения имеют малые области устойчивости по параметру $\mu$ и предельные множества на любом интервале $(0, \mu)$ претерпевают континуум бифуркаций, то новый сток

Рис. 11. Развертка фазового циливдра. Динамическая неопределенность при разрушении петли сепаратрисы на цилиндре.

нельзя указать однозначно. Тем не менее с практической точки зрения можно считать, что при малых $\mu$ в первом подслучае новым установившимся режимом будет «режим биений», а во втором — «режим квазислучайных биений».

Все безопасные границы, перечисленные выше, являются динамически определенными, поскольку при $\mu>0$ в окрестности $\Gamma^{*}$ возникает только один сток. Однако если система допускает группу симметрии, ее новые безопасные границы могут быть уже динамически неопределенными. Так, безопасная граница $r=1$ в модели Лоренца является динамически неопределенной, поскольку при потере устойчивости от состояния равновесия 0 рождается два устойчивых стока. Более сложные примеры дают уравнения маятникового типа
\[
\ddot{x}+f(x, \dot{x}, \lambda)=0 \text {, }
\]

где $f(x, \dot{x}, \lambda)$ — периодическая по $x$ и $f(x, \dot{x}, \lambda)=$ $=-f(-x,-\dot{x}, \lambda)$, в которых переход через границу области устойчивости лимитационных автоколебаний приводит к появлению двух симметричных предельных циклов, соответствующих противоположным вращениям маятника. Здесь $\Gamma^{*}$ будет контуром, составленным из седла и его сепаратрис, охватывающих цилиндр [12] (рис. 11).