Главная > БИФУРКАЦИЯ РОЖДЕНИЯ ЦИКЛА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (ДЖ. МАРСДЕН, М. МАК-КРАКЕН)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1.1. Рассуждения Хопфа могут быть значительно упрощены. После приведения уравнения (1.1) к виду (2.3) нужно показать, что для любого достаточно малого $\varepsilon$ существуют $\mu(\varepsilon)$, период $T(\varepsilon)$ и начальные условия $\mathrm{y}_{0}(\varepsilon)$ (подходящим образом нормированные), такие, что имеет место (2.16); семейство решений системы (1.1), существование которых утверждается в теореме, будет тогда
\[
\mathbf{x}(t, \varepsilon)=\varepsilon \mathbf{y}\left(t, \mu(\varepsilon), \varepsilon, \mathbf{y}_{0}\right) .
\]

Теперь (2.16) удовлетворяется, если $\mu=\varepsilon=0, \mathbf{y}_{0}=\mathbf{z}_{0}$. Следовательно, существование функций $\mu(\varepsilon), T(\varepsilon), \mathbf{y}_{0}(\varepsilon)$ следует из простых теоретико-функциональных рассуждений при условии, что матрица
\[
\left.\left(\frac{\partial y}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial \mu}, \frac{\partial y}{\partial \mathbf{y}_{0}}\right)\right|_{t=T_{\mathrm{e}}, \mu=0, \varepsilon=0, \mathrm{y}_{0}=\mathrm{Z}_{0}}
\]

имеет максимальный ранг. (Здесь $\frac{\partial y}{\partial \mathrm{y}_{0}}-(n \times(n-2))$-матрица, представляющая производные у по ( $n-2$ ) начальным направлениям; существуют два ограничения на начальные условия из-за нормировки.) Мы покажем ниже, как можно легко вычислить ранг этой матрицы.

Пусть $\mathbf{r}$ и I-правый и левый собственные векторы, соответствующие чисто мнимому собственному значению $L_{0}$; после перенормировки времени можно считать, что это собственное значение есть $i$ ( $\overline{\mathbf{r}}$ и $\overline{\mathbf{i}}$ – собственные векторы для $-i$ ). Можно также предположить, что $\mathbf{l} \cdot \mathbf{r}=1$. Пусть $L^{\prime}=\left.\frac{d}{d \mu} L_{\mu}\right|_{\mu=0}$. Заметим, что предположение (1.2) может быть перефразировано: $\operatorname{Re}\left(\mathrm{I} \cdot L^{\prime} r\right)
eq 0$. (Чтобы увидеть это, рассмотрим собственный вектор е $(\mu)$ матрицы $L_{\mu}$, который соответствует собственному значению $\alpha(\mu)$, близкому к чисто мнимому собственному значению, и нормирован условием 1.e $=1$, r. е. e $(0)=$ r. Дифференцируя $L_{\mu} \mathrm{e}=\alpha(\mu)$ е по $\mu$ в точке $\mu=0$, получим
\[
L_{0} \frac{d \mathrm{e}}{d \mu}+L^{\prime} \mathbf{r}=\alpha^{\prime}(0) \mathbf{r}+\alpha(0) \frac{d \mathbf{e}}{d \mu} .
\]

Далее, $1 \cdot \frac{d \mathbf{e}}{d \mu}=0$ и $1 L_{0}=\alpha(0) 1$. Следовательно, если (5А.1) помножим на 1 слева, получим $1 \cdot L^{\prime} \mathrm{r}=\alpha^{\prime}(0)$.)

Пусть у определен равенством $\mathbf{y}=\mathbf{x} / \varepsilon, t$ заменено на $s=t /(1+\tau)$, где $\tau$ подобрано так (для каждого $\varepsilon$ ), что период по $s$ равен $2 \pi$. Тогда (1.1) переходит в
\[
\frac{d \mathbf{y}}{d s}=(1+\tau)\left[L_{\mu} \mathrm{y}+\varepsilon S(\mathrm{y}, \varepsilon, \mu)\right] .
\]

Для каждых $\varepsilon, \tau$ и $\mu$ построим решение с начальным условием $\mathbf{y}(0)$ и нормировкой $\mathbf{y}(0)=\frac{1}{2}(\mathbf{r}+\overline{\mathbf{r}})+\mathbf{z}$, где $\mathbf{1 \cdot z}=$ $=\overline{\mathbf{l}} \cdot \mathbf{z}=0$ (Следовательно, начальные условия параметризованы точками $(n-2)$-мерного пространства $W=(1 \oplus \overline{1})^{\perp}$. Заметим, что из-за простоты мнимого собственного значения $W$ трансверсально к $\mathbf{r} \oplus \overline{\mathbf{r}}$ ) Это решение обозначим через $\mathbf{y}(s, \tau, \mu, \mathbf{z}, \boldsymbol{\varepsilon})$.

Пусть $\mathbf{V}(\tau, \mu, \mathbf{z}, \varepsilon)=\mathbf{y}(2 \pi, \tau, \mu, \mathbf{z}, \varepsilon)-\mathbf{y}(0, \tau, \mu, \mathbf{z}, \varepsilon)$. При $\mu=\tau=\varepsilon=0, \mathbf{z}=0$ имеем $\mathbf{y}(s) \equiv \mathbf{y}_{0}(s)=\operatorname{Re}\left(\mathrm{re}^{i s}\right)$ и $\mathbf{V}=\mathbf{0}$. Чтобы показать, что существует семейство $2 \pi$-периодических функций с $\tau=\tau(\varepsilon), \mu=\mu(\varepsilon), \mathbf{z}=\mathbf{z}(\varepsilon)$, достаточно показать, что $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial(\tau, \mu, \mathbf{z})}$ имеет ранг $n$ при $\mu=\tau=\varepsilon=0, \mathbf{z}=\mathbf{0}$.

Пусть $\mathbf{y}_{\tau}(s)=\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \tau}(s, 0,0,0,0)$. Тогда $\mathbf{y}_{\tau}$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d \mathbf{y}_{\tau}}{d s}=L_{0} \mathbf{y}_{\tau}+L_{0} \mathbf{y}_{0}
\]

с начальным условием $\mathbf{y}_{\tau}(0)=0$. Решением этого уравнения является $\mathbf{y}_{\tau}=s \frac{d \mathbf{y}_{0}}{d s}$, откуда следует, что $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \tau}=2 \pi \frac{i}{2}(\mathbf{r}-\overline{\mathbf{r}})=$ $=-2 \pi \operatorname{Im} \mathrm{r}$.

Теперь мы вычислим $\mathbf{y}_{\mu}(s)=\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mu}(s, 0,0,0,0)$, которое удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d}{d s} \mathbf{y}_{\mu}=L_{0} \mathbf{y}_{\mu}+L^{\prime} \mathbf{y}_{0}
\]

с начальным условием $\mathbf{y}_{\mu}(0)=0$. Так как $L^{\prime} \mathbf{y}_{0}=\operatorname{Re} L^{\prime} \mathrm{r} e^{t s}$, то $\mathbf{y}_{\mu}$ является действительной частью $\eta$, где $\eta$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d}{d s} \boldsymbol{\eta}-L_{0} \boldsymbol{\eta}=L^{\prime} \mathbf{r} e^{i s}
\]

с начальным условием $\eta(0)=0$. Частное решение (5А.2) равно $\mathbf{y}=s\left(1 \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r e}^{i s}+\mathbf{b} e^{i s}$, где $\mathbf{b}$ – произвольный комплексный вектор, удовлетворяющий условию
\[
\left(i I-L_{0}\right) \mathbf{b}+\left(1 \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}=L^{\prime} \mathbf{r} ;
\]

хотя оператор $i I-L_{0}$ вырожден, все же (5A.3) может быть разрешено относительно $\mathbf{b}$, так как $1 \cdot\left(L^{\prime} \mathbf{r}-\left(1 \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}=0\right.$. Все решения $\mathbf{b}$ имеют вид $\mathbf{b}_{0}+k \mathbf{r}$ с произвольным $k$. Существует единственное значение $\mathbf{b}$, для которого $1 \cdot \operatorname{Re} \mathbf{b}=\overline{\mathbf{l}} \cdot \operatorname{Re} \mathbf{b}=0$ (нужно взять $k=-1 \cdot\left(\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{0}\right)$ ). Воспользуемся этим значением b. Тогда решение (5A.2), удовлетворяющее $\eta(0)=0$, имеет действительную часть
\[
\boldsymbol{\eta}_{\mu}=\operatorname{Re}\left\{\left(s\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}+\mathbf{b}\right) e^{i s}\right\}+\boldsymbol{\gamma},
\]

где $\frac{d \boldsymbol{\gamma}}{d s}=L_{0} \boldsymbol{\gamma}$ и $\boldsymbol{\gamma}(0)=-\mathrm{Reb}$. Следовательно, $\frac{d \mathbf{V}}{d \mu}=2 \pi \times$ $\times \operatorname{Re}\left(\mathbf{1} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}+\boldsymbol{\gamma}(2 \pi)-\gamma(0)$. Заметим, что $\gamma(2 \pi)-\gamma(0)=\gamma_{1}$ удовлетворяет условию $\mathbf{I} \cdot \gamma_{1}=\overline{\mathbf{I}} \cdot \gamma_{1}=0$. (Это следует из того, что $\frac{d}{d s}(\mathbf{1} \cdot \boldsymbol{\gamma})=\mathbf{1} \cdot L_{0} \boldsymbol{\gamma}=i \mathbf{l} \cdot \boldsymbol{\gamma}$. Так как $\mathbf{1} \cdot \boldsymbol{\gamma}(0)=-\mathbf{1} \cdot \operatorname{Re} \mathbf{b}=0$, $1 \cdot \boldsymbol{\gamma}(s) \equiv 0$. Аналогично, $1 \cdot \dot{\gamma}(s) \equiv 0$.)

Наконец, вычислим $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z}$. Пусть $\delta \mathbf{y}$ – вариация $\mathbf{y}$, определенная вариацией $\boldsymbol{\delta z}$ в начальных условиях. Тогда $\boldsymbol{\delta}(s)$ удовлетворяет системе $\frac{d}{d s}(\delta \mathrm{y})=L_{0}(\delta \mathrm{y}), \delta \mathbf{y}(0)=\delta \mathbf{z} \cdot и \boldsymbol{l} \cdot \delta \mathrm{z}=$ $=\overline{\mathbf{1}} \cdot \delta \mathbf{z}=0$. Отсюда следует равенство $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \mathbf{z}}(\delta \mathbf{z})=\left(e^{2 \pi L_{0}}-I\right) \delta \mathbf{z}$. Далее, $\boldsymbol{\delta} \mathbf{z}$ лежит в подпространстве $W$, ортогональном к 1 и $\overline{\mathbf{1}}$. Так как не существует других чисто мнимых собственных значений $L_{0}$ (в частности, нет значений, кратных $\frac{ \pm}{\partial \mathrm{V}} i$ ), то матрица $\left(e^{2 \pi L_{0}}-I\right)$ обратима на $W$. Следовательно, $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \mathbf{z}}$ имеет ранг $n-2$.

Пространство $R^{n}$ теперь является прямой суммой $W$ и линейной оболочки Rer и Imr (это следует из простоты чисто мнимого собственного значения). Образ ( $e^{2 \pi L_{0}}-I$ ) есть $W$, поэтому $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial(\tau, \mu, \mathbf{z})}$ имеет ранг $n$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{Im} \mathbf{r}$ и $\operatorname{Re}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}$ независимы. Это, очевидно, выполнено, если $\operatorname{Re}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)
eq 0$.
I.2. Рассуждения этого раздела не требуют аналитичности, достаточно выполнения условий теоремы о неявной функции. Следовательно, это позволяет получить доказательство при помощи $C^{r}$-варианта этой теоремы. Точнее, предположим, что $\mathbf{F}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\mu})$ дифференцируема $r$ раз по $\mathbf{x}$ и $\mu$. Тогда правая часть (2.3) $r$ раз дифференцируема по $\mathbf{x}$ и $\mu$, но лишь $y-1$ раз по є. Функция $\mathbf{V}(\tau, \mu, z, \varepsilon)$, определенная выше, класса $C^{r-1}$ по $\varepsilon$ и по меньшей мере $C^{\prime}$ по другим переменным. Следовательно, теорема о неявной функции утверждает, что функции $\tau(\varepsilon), \mu(\varepsilon), \mathbf{z}(\varepsilon)$ и $\mathbf{y}(s, \varepsilon) \equiv \mathbf{y}(s, \mu(\varepsilon), \varepsilon, \mathbf{z}(\varepsilon))$ класса $C^{r-1}$. Периодические решения (1.1), а именно $\mathbf{x}(t, \varepsilon)=\mathrm{y}\left(\frac{t}{1+\tau(\varepsilon)}, \varepsilon\right)$, будут класса $C^{r}$.
II. Полученные Хопфом результаты о единственности слабее, чем в теореме (3.15) настоящей книги. Конкретнее, в работе Хопфа не доказано, что найденное периодическое решение единственно в некоторой окрестности особой точки. Например, рассуждения Хопфа не исключают существования последовательности периодических функций $x_{k}(t)$, таких, что $\max \left|x_{k}(t)\right| \rightarrow 0$ вместе с $\mu_{k} \rightarrow 0$, а периоды $T_{k} \rightarrow \infty$. Невозможность этого следует из теоремы о центральном многообразии, которая утверждает, что каждая точка, не лежащая на центральном многообразии, должна, по крайней мере на время, покинуть достаточно малую окрестность особой точки или она стремится к центральному многообразию при $t \rightarrow \infty$. Таким образом, центральное многообразие содержит все достаточно малые замкнутые орбиты; так как центральное многообразие трехмерно (включая размерность параметра), единственность периодического решения есть следствие единственности для двумерной теоремы.
III. Формулы, эквивалентные формулам Хопфа, но более удобные в употреблении, могут быть получены проще. Основи благодаря этому обойтись без введения правила скобок.

Предположим снова, что время перенормировано так, что чисто мнимыми собственными значениями $L_{0}$ являются $\pm i$, и будем использовать обозначения, введенные в п. I. Следуя Хопфу, используем перенормировку $t=(1+\tau(\varepsilon)) s, \tau(0)=0$, и положим $\mathbf{x}=\varepsilon \mathbf{y}$. Тогда (1.1) перейдет в
\[
\dot{\mathbf{y}}=[1+\tau(\varepsilon)]\left[L_{0} \mathrm{y}+\mu L^{\prime} \mathrm{y}+\varepsilon Q(\mathrm{y}, \mathbf{y})+\varepsilon^{2} K(\mathrm{y}, \mathbf{y}, \mathbf{y})+\ldots\right],
\]

где $Q$ и $K$ – квадратичные и кубичные члены при $\mu=0$.
Пусть $2 \pi$-периодическое решение (5A.4) будет $\mathbf{y}(s, \varepsilon)=$ $=\mathbf{y}_{0}+\varepsilon \mathbf{y}_{1}+\varepsilon^{2} \mathbf{y}_{2}+\ldots$, где, как и. выше, $\mathbf{y}_{0}=\operatorname{Re}\left(e^{i s} \mathbf{r}\right)$, а $\mathbf{y}_{i}-2 \pi$-периодичны, причем $\mathbf{1} \cdot \mathbf{y}_{i}(0)=\overline{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{y}_{i}(0)=0$ для $i \geqslant 1$. (Так как $\mathbf{y}_{i}$ действительно, можно просто потребовать $\mathbf{1} \cdot \mathbf{y}_{i}(0)=0$.)

Чтобы получить рекуррентные уравнения для $\mathbf{y}_{i}$, ряд для $\mathbf{y}(s, \varepsilon)$ подставляется в (5А.4) и собираются члены при одинаковых степенях $\varepsilon$. При этом используется то обстоятельство, что $\tau_{1}=\mu_{1}=0$, поэтому $\tau=\varepsilon^{2} \tau_{2}+\ldots$ и $\mu=\varepsilon^{2} \mu_{2}+\ldots$. Получаем, что $\mathbf{y}_{1}$ должен удовлетворять соотношению $\mathbf{y}_{1}=A \mathbf{y}_{1}+\mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)$, а $\mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)=\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[e^{2 i s} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r})\right]$.
Периодическое решение этого уравнения равно $\mathrm{a}+\operatorname{Re}\left(\mathrm{c} e^{2 i s}\right)$, где а и с-постоянные векторы, удовлетворяющие условиям
\[
\begin{aligned}
-L_{0} \mathbf{a} & =\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}}), \\
\left(2 i I-L_{0}\right) \mathbf{c} & =\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r}) .
\end{aligned}
\]
(Так как $-L_{0}$ и $2 i I-L_{0}$ не вырождены, то эти формулы определяют а и с.) Таким образом, $\mathbf{y}_{1}=\mathbf{a}+\operatorname{Re}\left(\mathbf{c} e^{2 t s}\right)+$ $+\operatorname{Re}\left(c_{1} \mathrm{r} e^{i s}\right)$, где комплексное число $c_{1}$ выбрано так, чтобы $1 \cdot \mathbf{y}_{1}(0)=0$; используя (5A.5), легко установить, что
\[
\boldsymbol{c}_{1}=\frac{1}{2} \mathbf{l} \cdot\left[\mathbf{Q}(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})-\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r})+\frac{1}{6} \mathbf{Q}(\overline{\mathbf{r}}, \overline{\mathbf{r}})\right] .
\]

Далее, $\mathbf{y}_{2}$ есть периодическое решение уравнения
\[
\dot{\mathbf{y}}_{2}=L_{0} \mathbf{y}_{2}+\mu_{2} L^{\prime} \mathbf{y}_{0}+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)+\tau_{2} L_{0} \mathbf{y}_{0} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{y}}_{2} & -L_{0} \mathbf{y}_{2}=\operatorname{Re} \mu_{2} L^{\prime} \mathbf{r} e^{i s}+\operatorname{Re} \mathbf{Q}\left(\mathbf{r} e^{i s}+\overline{\mathbf{r}} e^{-i s}, \mathbf{a}+\mathbf{c} e^{2 l s}+C_{1} \mathbf{r} e^{i s}\right)+ \\
& +\frac{1}{4} \operatorname{Re}\left[K(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \mathbf{r}) e^{3 i s}+3 K(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}}) e^{i s}\right]+\tau_{2} \operatorname{Re}\left[i \mathbf{r} e^{i s}\right]= \\
& =\operatorname{Re}\left\{C_{1} \mathbf{Q}(\overline{\mathbf{r}}, \mathbf{r})+e^{i s}\left[\left(\mu_{2} L^{\prime}+i \tau_{2} I\right) \mathbf{r}+2 \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{a})+\mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{c})+\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{3}{4}(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})\right]+e^{2 i s} C_{1} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r})+e^{3 i s}\left[\mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{c})+\frac{1}{4} \mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \mathbf{r})\right]\right\} .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения имеют периодическое решение тогда и только тогда, когда нет резонанса, для чего требуется, чтобы коэффициент при $e^{i s}$ в этой последней формуле был ортогонален к 1 (неявное правило скобок). Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\mu_{2}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)+i \tau_{2}=-2 \mathbf{1} \cdot \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{a})-1 \cdot \mathbf{Q}(\overline{\mathbf{r}}, \mathbf{c})- \\
-\frac{3}{4} \mathbf{1} \cdot \mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}}) \equiv B .
\end{array}
\]

Отсюда получаем формулы для $\mu_{2}$ и $\tau_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
\mu_{2} \operatorname{Re}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)=-\operatorname{Re} B, \\
\tau_{2}=-\mu_{2} \operatorname{Im}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)-\operatorname{Im} B,
\end{array}
\]

где а и с-решения (5A.5). (Эти формулы не меняются, если собственным значением вместо $i$ будет $i \omega$, лишь с будет решением уравнения ( $\left.2 i \omega I-L_{0}\right) \mathbf{c}=\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r})$, а не второго уравнения (5А.5) и, кроме того, значение $C_{1}$, данное выше, будет поделено на $\omega$.)

Формулы (5А.6) эквивалентны формулам Хопфа (4.16). Определение левого собственного вектора 1 и решение линейных уравнений (5A.5) заменяет нахождекие присоединенных собственных функций и вычисление интегралов, использующееся при применении правила скобок.
IV. 1. Переводчики должны признать, что они нашли этот параграф несколько менее прозрачным, чем остальную часть работы. В своей работе Джозеф и Сэттинджер [1] указали на явный порочный круг в некоторых рассуждениях Хопфа. Ими также показано, как легче всего это исправить.
IV.2. Соотношение между $\beta$ – показателем Флоке периодического решения вблизи нуля – коэффициентом $\mu_{2}$ может быть найдено сравнительно небольшими вычислениями. Рассматриваемая система
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{x}}=F_{\mu}(\mathbf{x}), \\
\dot{\mu}=0
\end{array}
\]

имеет в начале координат состояние равновесия. В этой критической точке существует три собственных значения с нулевой действительной частью: нулевое собственное значение с собственным вектором, лежащим на оси $\mu$, и пара мнимых собственных значений $\pm i$ (после подходящей перенормировки времени) с собственными векторами $\mathbf{r}$ и $\overline{\mathbf{r}}$. Все остальные собственные значения отделены от мнимой оси, следовательно, эта особая точка имеет трехмерное центральное многообразие. Это центральное многообразие должно содержать ось $\mu$, периодическое решение, даваемое теоремой Хопфа, и каждую траекторию, которая для всех значений времени остается вблизи начала координат; оно касается линейного пространства, натянутого на ось $\mu$ и действительную и мнимую части $\mathbf{r}$. Пусть $\mathbf{x}=\varepsilon(\xi \mathrm{r}+\bar{\xi})+\mathbf{x}_{2}$, где $\mathbf{1} \cdot \mathbf{x}_{2}=\overline{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{x}_{2}=0$. На $\varepsilon \geqslant 0$ можно смотреть как на замену параметра $\mu$, осуществляемую функцией $\mu(\varepsilon)$ из теоремы Хопфа: $\mu=\mu(\varepsilon)=$ $=\mu_{2} \varepsilon^{2}+\ldots$; теперь мы предполагаем $\mu_{2}
eq 0$. Таким образом, можно мыслить себе действительную и мнимые части $\zeta$ и $\varepsilon$ как параметры на центральном многообразии. Для любых $(\mathbf{x}, \mu)$ на этом многообразии $\mathrm{x}_{2}=O\left(\varepsilon^{2}\right)$, так как оно по меньшей мере квадратично по $\overline{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{x}=\varepsilon \xi$ и $\mathbf{1} \cdot \mathbf{x}=\varepsilon \bar{\zeta}$. Таким образом, можно написать уравнение центрального многообразия как $\mu=\mu(\varepsilon), \mathbf{x}_{2}=\varepsilon^{2} \mathbf{g}(\zeta, \bar{\zeta}, \varepsilon)$, где $1 \cdot \mathbf{g}=\overline{\mathbf{l}} \cdot \mathbf{g}=0$ и $\mathbf{g}$ по меньшей мере квадратична по $\zeta$ и $\bar{\xi}$. Тогда; используя обозначения пунктов (I) и (III) этой главы, для каждой траектории на центральном многообразии получаем
\[
\begin{aligned}
\mathbf{r} \dot{\zeta}+\overline{\mathbf{r}} \dot{\zeta}+\varepsilon\left(\mathbf{g}_{\zeta} \dot{\zeta}+\mathbf{g}_{\bar{\xi}} \dot{\bar{\zeta}}\right)=i \zeta \mathbf{r}-i \bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}}+\varepsilon L_{0} \mathbf{g}+ \\
+\mu_{2} \varepsilon^{2} L^{\prime}(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+\varepsilon Q(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+2 \varepsilon^{2} Q(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}}, \mathbf{g})+ \\
+\varepsilon^{2} C(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Умножая слева на 1 , получим
\[
\begin{aligned}
\dot{\zeta}= & i \zeta+\mu_{2} \varepsilon^{2} \mathbf{l} \cdot L^{\prime}(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+ \\
& +\varepsilon \mathbf{1} \cdot\left[\zeta^{2} Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+2 \zeta \bar{\zeta} Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\bar{\zeta}^{2} Q(\overline{\mathbf{r}}, \overline{\mathbf{r}})\right]+\varepsilon^{2} \gamma(\zeta, \bar{\zeta})+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{aligned}
\]

где $\gamma$ кубична по $\zeta$ и $\bar{\zeta}$.
Введем в рассмотрение функцию
\[
\begin{array}{l}
I(\zeta, \bar{\zeta})=\frac{1}{2} \zeta \bar{\zeta}+\varepsilon \operatorname{Re}\left[\frac{i \zeta^{3}}{3} \overline{1} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+i \zeta^{2} \bar{\zeta}(2 \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\right. \\
+\mathbf{1} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r}))] .
\end{array}
\]

Қак мы увидим ниже, $I(\zeta, \bar{\zeta})$ «почти» инвариантна вдоль траекторий, лежащих на центральном многообразии. Для каждой траектории на центральном многообразии, используя (5А.9) и уравнение, комплексно-сопряженное с ним, имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d t}=\operatorname{Re}\left\{\bar{\zeta} \dot{\zeta}+\varepsilon\left[i \zeta^{2} \dot{\zeta} \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+i\left(\zeta^{2} \dot{\bar{\zeta}}+2 \zeta \bar{\zeta} \dot{\zeta}\right)(2 \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\right.\right. \\
+\mathbf{1} \cdot Q(\mathrm{r}, \mathrm{r}))]\}= \\
=\operatorname{Re}\left\{i \zeta \bar{\zeta}+\boldsymbol{\varepsilon} \mathbf{1} \cdot\left[\bar{\zeta} \zeta^{2} Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+2 \xi \bar{\zeta}^{2} Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\bar{\zeta}^{3} Q(\overline{\mathbf{r}}, \overline{\mathbf{r}})\right]+\right. \\
+\varepsilon\left[-\zeta^{3} \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+\left(\zeta^{2} \bar{\zeta}-2 \zeta^{2} \bar{\zeta}\right) \cdot(2 \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+1 \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r}))\right]+ \\
\left.+\mu_{2} \varepsilon^{2} \bar{\zeta} \mathbf{l} \cdot L^{\prime}(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+\varepsilon^{2} \bar{\zeta} \gamma(\zeta, \bar{\zeta})+\varepsilon^{2} \delta(\zeta, \bar{\zeta})\right\}+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\end{array}
\]

где $\delta$ квадратична по $\zeta$ и $\bar{\zeta}$. Члены порядка $\varepsilon$ в соотношении выше:
\[
\begin{array}{l}
\text { \& } \operatorname{Re}\left\{\bar{\zeta}^{3} \mathbf{1} \cdot Q(\overline{\mathbf{r}}, \overline{\mathbf{r}})-\zeta^{3} \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+\bar{\zeta}^{2} \zeta^{2} \mathbf{l} \cdot Q\left(\mathbf{r},{ }^{\cdot} \mathbf{r}\right)-\right. \\
\left.-\bar{\zeta} \zeta^{2} \mathbf{l} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+2 \zeta \bar{\zeta}^{2} \mathbf{1} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})-2 \bar{\zeta} \zeta^{2} \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})\right\} \equiv 0 . \\
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\frac{d I}{d t}=\mu_{2} \varepsilon^{2} \operatorname{Re}\left[\bar{\zeta} \mathbf{\zeta} \cdot L^{\prime}(\zeta r+\bar{\zeta} r)\right]+\varepsilon^{2} \delta_{1}(\zeta, \bar{\zeta})+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]
где $\delta_{1}$ также квадратична по $\zeta$ и $\bar{\zeta}$, т. е. $\frac{d I}{d t}$ имеет порядок $\boldsymbol{\varepsilon}^{2}$. $\left(I_{0}=\frac{1}{2}|\zeta|^{2}\right.$ также почти инвариант, но $\frac{d I_{0}}{d t}$ есть $O(\varepsilon)$, тогда как $\frac{d I}{d t}$ лишь $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Если мы рассмотрим траекторию на центральном многообразии, начинающуюся при $t=0$ в точке $\zeta=\bar{\zeta}=c$, то мы видим из (5А.9), что она с точностью до $O(\varepsilon)$ дается формулой $\zeta=c e^{i t}$; таким образом, через время, приблизительно равное $2 \pi$, она должна каждый раз возвращаться во множество $\operatorname{Im} \zeta=0$. Эта дуга с точностью до $O(\varepsilon)$ является окружностью, но более аккуратно (с точностью до $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ ) она описывается как линия уровня функции $I$ ).

Из (5А.10) видно, что приращение $I$ при однократном обороте вдоль этого пути с точностью до $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ дается формулой
\[
\Delta I=2 \pi\left[\mu_{2} \varepsilon^{2} c^{2} \operatorname{Re}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)+\boldsymbol{\varepsilon}^{2} c^{4} \boldsymbol{\delta}_{2}\right],
\]

где $\delta_{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \delta_{1}\left(e^{i t}, e^{-i t}\right) d t$. Однако мы знаем, что если $c=1$, то решение является периодическим, и для него $\Delta I=0$; следовательно, $\delta_{2}=-\mu_{2} \operatorname{Re}\left(1 \cdot L^{\prime} r\right)=-\mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)$, как отмечено в I. Таким образом, вообще говоря,
\[
\Delta I=2 \pi \varepsilon^{2} \mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)\left(c^{2}-c^{4}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Так как $c=1$ дает периодическое решение, член $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ также делится на ( $c-1$ ). Получаем, что для $c$, близких к 1 , (5А.12) может быть записано:
\[
\Delta I=2 \pi \varepsilon^{2}(c-1)\left[-2 \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)+O(c-1)\right] .
\]

Для малых $\varepsilon$ каждая траектория на центральном многообразии с $\zeta=0(1)$ должна идти близко к окружности. Однако она не может стать периодической, если не пройдет через точку $\zeta=1$. Следовательно, из (5А.12) вытекает, что при $\mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)>0$ все траектории на центральном многообразии (при фиксированном $\varepsilon$ и, следовательно, $\mu$ ), которые лежат внутри периодического решения, должны накручиваться на него при $t \rightarrow \infty$ (или при $t \rightarrow-\infty$, если $\mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)<0$ ). Так как $I$ приближенно равно $\frac{1}{2}|\zeta|^{2}$, то $\Delta I \cong(\zeta(2 \pi)-c) c$. Таким образом, из (5A.13) следует, что эти траектории асимптотически приближаются к периодическому решению с показателем экспоненты $\beta=-2 \varepsilon^{2} \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)+O\left(\varepsilon_{3}\right)$, который поэтому должен являться наименьшим ненулевым показателем Флоке.

IV.3. Уравнение (5A.12) в действительности дает нам больше; из него следует, что мы можем приближенно описывать траектории на центральном многообразии как медленно расширяющиеся (или сжимающиеся, если $\mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)<0$ ) окружности, радиус которых меняется согласно формуле
\[
c^{2}=\frac{1}{2}\left(1+\operatorname{th}\left(\varepsilon^{2} \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)\left(t-t_{1}\right)\right)\right),
\]

где $t_{1}$-момент времени, для которого $c^{2}=1 / 2$.
IV.4. Функция $I$ может быть также использована для связи вышеизложенного материала с условием «слабого аттрактора» ${ }^{1}$ ). Если положить $\mu=0$, то $n$-мерная система $\dot{\mathrm{x}}=F_{0}(\mathbf{x})$ имеет двумерное центральное многообразие особой точки 0 , касающееся линейного пространства; натянутого на действительную и мнимую части $\mathbf{r}$. Қак и в предыдущем параграфе, положим $\mathbf{x}=\varepsilon(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+\mathbf{x}_{2}$, где $\mathbf{1} \cdot \mathbf{x}_{2}=\overline{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{x}_{2}=0$. $\mathrm{Ha}$ этом центральном многообразии $\mathbf{x}_{2}=O\left(\varepsilon^{2}\right)$ и по меньшей мере квадратично по $\zeta$ и $\bar{\zeta} ; \varepsilon$ теперь – произвольный масштабный множитель. Для каждой траектории на этом центральном многообразии устанавливается та же самая формула (5A.9), за исключением опущенного члена с $\mu_{2} L^{\prime}$; другие члены, записанные внизу, получаются из зависящих от $\mu$ членов в разложении функции $F_{\mu}$. Если мы теперь рассмотрим функцию $I$ для траектории на центральном многообразии, то снова получим (5А.10) без члена с $\mu_{2}$, но с тем же самым $\delta_{1}$; интегрируя по периоду, получим (5A.11) без члена с $\mu_{2}$, но с тем же самым $\delta_{2}$. Так как $\delta_{2}=-\mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)$, то для траекторий на центральном многообразии при $\mu=0$ с точностью до $\varepsilon^{2}$ имеем
\[
\Delta\left(\frac{1}{2} c^{2}\right)=-2 \pi \varepsilon^{2} \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0) c^{4},
\]

нли
\[
\Delta(\varepsilon c)=-2 \pi \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)(\varepsilon c)^{3} .
\]

Так как $\Delta(\varepsilon c)$ есть $V\left(x_{1}\right)$ (отображение Пуанкаре минус тождественное), где $\varepsilon c=x_{1}$ является координатой $\operatorname{Re}(\mathbf{l} \cdot \mathbf{x})$, то
\[
V^{\prime \prime \prime}(0)=-2 \pi \mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right) \cdot 6=-2 \pi \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right) \cdot 3 \mu^{\prime \prime}(0) .
\]

Это связывает проведенные здесь вычисления с вычислениями условий устойчивости в гл. 4.
1) См. п. 3.12 гл. 3. – Прим. ред.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru