1.1. Рассуждения Хопфа могут быть значительно упрощены. После приведения уравнения (1.1) к виду (2.3) нужно показать, что для любого достаточно малого $\varepsilon$ существуют $\mu(\varepsilon)$, период $T(\varepsilon)$ и начальные условия $\mathrm{y}_{0}(\varepsilon)$ (подходящим образом нормированные), такие, что имеет место (2.16); семейство решений системы (1.1), существование которых утверждается в теореме, будет тогда
\[
\mathbf{x}(t, \varepsilon)=\varepsilon \mathbf{y}\left(t, \mu(\varepsilon), \varepsilon, \mathbf{y}_{0}\right) .
\]

Теперь (2.16) удовлетворяется, если $\mu=\varepsilon=0, \mathbf{y}_{0}=\mathbf{z}_{0}$. Следовательно, существование функций $\mu(\varepsilon), T(\varepsilon), \mathbf{y}_{0}(\varepsilon)$ следует из простых теоретико-функциональных рассуждений при условии, что матрица
\[
\left.\left(\frac{\partial y}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial \mu}, \frac{\partial y}{\partial \mathbf{y}_{0}}\right)\right|_{t=T_{\mathrm{e}}, \mu=0, \varepsilon=0, \mathrm{y}_{0}=\mathrm{Z}_{0}}
\]

имеет максимальный ранг. (Здесь $\frac{\partial y}{\partial \mathrm{y}_{0}}-(n \times(n-2))$-матрица, представляющая производные у по ( $n-2$ ) начальным направлениям; существуют два ограничения на начальные условия из-за нормировки.) Мы покажем ниже, как можно легко вычислить ранг этой матрицы.

Пусть $\mathbf{r}$ и I-правый и левый собственные векторы, соответствующие чисто мнимому собственному значению $L_{0}$; после перенормировки времени можно считать, что это собственное значение есть $i$ ( $\overline{\mathbf{r}}$ и $\overline{\mathbf{i}}$ – собственные векторы для $-i$ ). Можно также предположить, что $\mathbf{l} \cdot \mathbf{r}=1$. Пусть $L^{\prime}=\left.\frac{d}{d \mu} L_{\mu}\right|_{\mu=0}$. Заметим, что предположение (1.2) может быть перефразировано: $\operatorname{Re}\left(\mathrm{I} \cdot L^{\prime} r\right)
eq 0$. (Чтобы увидеть это, рассмотрим собственный вектор е $(\mu)$ матрицы $L_{\mu}$, который соответствует собственному значению $\alpha(\mu)$, близкому к чисто мнимому собственному значению, и нормирован условием 1.e $=1$, r. е. e $(0)=$ r. Дифференцируя $L_{\mu} \mathrm{e}=\alpha(\mu)$ е по $\mu$ в точке $\mu=0$, получим
\[
L_{0} \frac{d \mathrm{e}}{d \mu}+L^{\prime} \mathbf{r}=\alpha^{\prime}(0) \mathbf{r}+\alpha(0) \frac{d \mathbf{e}}{d \mu} .
\]

Далее, $1 \cdot \frac{d \mathbf{e}}{d \mu}=0$ и $1 L_{0}=\alpha(0) 1$. Следовательно, если (5А.1) помножим на 1 слева, получим $1 \cdot L^{\prime} \mathrm{r}=\alpha^{\prime}(0)$.)

Пусть у определен равенством $\mathbf{y}=\mathbf{x} / \varepsilon, t$ заменено на $s=t /(1+\tau)$, где $\tau$ подобрано так (для каждого $\varepsilon$ ), что период по $s$ равен $2 \pi$. Тогда (1.1) переходит в
\[
\frac{d \mathbf{y}}{d s}=(1+\tau)\left[L_{\mu} \mathrm{y}+\varepsilon S(\mathrm{y}, \varepsilon, \mu)\right] .
\]

Для каждых $\varepsilon, \tau$ и $\mu$ построим решение с начальным условием $\mathbf{y}(0)$ и нормировкой $\mathbf{y}(0)=\frac{1}{2}(\mathbf{r}+\overline{\mathbf{r}})+\mathbf{z}$, где $\mathbf{1 \cdot z}=$ $=\overline{\mathbf{l}} \cdot \mathbf{z}=0$ (Следовательно, начальные условия параметризованы точками $(n-2)$-мерного пространства $W=(1 \oplus \overline{1})^{\perp}$. Заметим, что из-за простоты мнимого собственного значения $W$ трансверсально к $\mathbf{r} \oplus \overline{\mathbf{r}}$ ) Это решение обозначим через $\mathbf{y}(s, \tau, \mu, \mathbf{z}, \boldsymbol{\varepsilon})$.

Пусть $\mathbf{V}(\tau, \mu, \mathbf{z}, \varepsilon)=\mathbf{y}(2 \pi, \tau, \mu, \mathbf{z}, \varepsilon)-\mathbf{y}(0, \tau, \mu, \mathbf{z}, \varepsilon)$. При $\mu=\tau=\varepsilon=0, \mathbf{z}=0$ имеем $\mathbf{y}(s) \equiv \mathbf{y}_{0}(s)=\operatorname{Re}\left(\mathrm{re}^{i s}\right)$ и $\mathbf{V}=\mathbf{0}$. Чтобы показать, что существует семейство $2 \pi$-периодических функций с $\tau=\tau(\varepsilon), \mu=\mu(\varepsilon), \mathbf{z}=\mathbf{z}(\varepsilon)$, достаточно показать, что $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial(\tau, \mu, \mathbf{z})}$ имеет ранг $n$ при $\mu=\tau=\varepsilon=0, \mathbf{z}=\mathbf{0}$.

Пусть $\mathbf{y}_{\tau}(s)=\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \tau}(s, 0,0,0,0)$. Тогда $\mathbf{y}_{\tau}$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d \mathbf{y}_{\tau}}{d s}=L_{0} \mathbf{y}_{\tau}+L_{0} \mathbf{y}_{0}
\]

с начальным условием $\mathbf{y}_{\tau}(0)=0$. Решением этого уравнения является $\mathbf{y}_{\tau}=s \frac{d \mathbf{y}_{0}}{d s}$, откуда следует, что $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \tau}=2 \pi \frac{i}{2}(\mathbf{r}-\overline{\mathbf{r}})=$ $=-2 \pi \operatorname{Im} \mathrm{r}$.

Теперь мы вычислим $\mathbf{y}_{\mu}(s)=\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mu}(s, 0,0,0,0)$, которое удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d}{d s} \mathbf{y}_{\mu}=L_{0} \mathbf{y}_{\mu}+L^{\prime} \mathbf{y}_{0}
\]

с начальным условием $\mathbf{y}_{\mu}(0)=0$. Так как $L^{\prime} \mathbf{y}_{0}=\operatorname{Re} L^{\prime} \mathrm{r} e^{t s}$, то $\mathbf{y}_{\mu}$ является действительной частью $\eta$, где $\eta$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d}{d s} \boldsymbol{\eta}-L_{0} \boldsymbol{\eta}=L^{\prime} \mathbf{r} e^{i s}
\]

с начальным условием $\eta(0)=0$. Частное решение (5А.2) равно $\mathbf{y}=s\left(1 \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r e}^{i s}+\mathbf{b} e^{i s}$, где $\mathbf{b}$ – произвольный комплексный вектор, удовлетворяющий условию
\[
\left(i I-L_{0}\right) \mathbf{b}+\left(1 \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}=L^{\prime} \mathbf{r} ;
\]

хотя оператор $i I-L_{0}$ вырожден, все же (5A.3) может быть разрешено относительно $\mathbf{b}$, так как $1 \cdot\left(L^{\prime} \mathbf{r}-\left(1 \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}=0\right.$. Все решения $\mathbf{b}$ имеют вид $\mathbf{b}_{0}+k \mathbf{r}$ с произвольным $k$. Существует единственное значение $\mathbf{b}$, для которого $1 \cdot \operatorname{Re} \mathbf{b}=\overline{\mathbf{l}} \cdot \operatorname{Re} \mathbf{b}=0$ (нужно взять $k=-1 \cdot\left(\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{0}\right)$ ). Воспользуемся этим значением b. Тогда решение (5A.2), удовлетворяющее $\eta(0)=0$, имеет действительную часть
\[
\boldsymbol{\eta}_{\mu}=\operatorname{Re}\left\{\left(s\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}+\mathbf{b}\right) e^{i s}\right\}+\boldsymbol{\gamma},
\]

где $\frac{d \boldsymbol{\gamma}}{d s}=L_{0} \boldsymbol{\gamma}$ и $\boldsymbol{\gamma}(0)=-\mathrm{Reb}$. Следовательно, $\frac{d \mathbf{V}}{d \mu}=2 \pi \times$ $\times \operatorname{Re}\left(\mathbf{1} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}+\boldsymbol{\gamma}(2 \pi)-\gamma(0)$. Заметим, что $\gamma(2 \pi)-\gamma(0)=\gamma_{1}$ удовлетворяет условию $\mathbf{I} \cdot \gamma_{1}=\overline{\mathbf{I}} \cdot \gamma_{1}=0$. (Это следует из того, что $\frac{d}{d s}(\mathbf{1} \cdot \boldsymbol{\gamma})=\mathbf{1} \cdot L_{0} \boldsymbol{\gamma}=i \mathbf{l} \cdot \boldsymbol{\gamma}$. Так как $\mathbf{1} \cdot \boldsymbol{\gamma}(0)=-\mathbf{1} \cdot \operatorname{Re} \mathbf{b}=0$, $1 \cdot \boldsymbol{\gamma}(s) \equiv 0$. Аналогично, $1 \cdot \dot{\gamma}(s) \equiv 0$.)

Наконец, вычислим $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial z}$. Пусть $\delta \mathbf{y}$ – вариация $\mathbf{y}$, определенная вариацией $\boldsymbol{\delta z}$ в начальных условиях. Тогда $\boldsymbol{\delta}(s)$ удовлетворяет системе $\frac{d}{d s}(\delta \mathrm{y})=L_{0}(\delta \mathrm{y}), \delta \mathbf{y}(0)=\delta \mathbf{z} \cdot и \boldsymbol{l} \cdot \delta \mathrm{z}=$ $=\overline{\mathbf{1}} \cdot \delta \mathbf{z}=0$. Отсюда следует равенство $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \mathbf{z}}(\delta \mathbf{z})=\left(e^{2 \pi L_{0}}-I\right) \delta \mathbf{z}$. Далее, $\boldsymbol{\delta} \mathbf{z}$ лежит в подпространстве $W$, ортогональном к 1 и $\overline{\mathbf{1}}$. Так как не существует других чисто мнимых собственных значений $L_{0}$ (в частности, нет значений, кратных $\frac{ \pm}{\partial \mathrm{V}} i$ ), то матрица $\left(e^{2 \pi L_{0}}-I\right)$ обратима на $W$. Следовательно, $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial \mathbf{z}}$ имеет ранг $n-2$.

Пространство $R^{n}$ теперь является прямой суммой $W$ и линейной оболочки Rer и Imr (это следует из простоты чисто мнимого собственного значения). Образ ( $e^{2 \pi L_{0}}-I$ ) есть $W$, поэтому $\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial(\tau, \mu, \mathbf{z})}$ имеет ранг $n$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{Im} \mathbf{r}$ и $\operatorname{Re}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right) \mathbf{r}$ независимы. Это, очевидно, выполнено, если $\operatorname{Re}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)
eq 0$.
I.2. Рассуждения этого раздела не требуют аналитичности, достаточно выполнения условий теоремы о неявной функции. Следовательно, это позволяет получить доказательство при помощи $C^{r}$-варианта этой теоремы. Точнее, предположим, что $\mathbf{F}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\mu})$ дифференцируема $r$ раз по $\mathbf{x}$ и $\mu$. Тогда правая часть (2.3) $r$ раз дифференцируема по $\mathbf{x}$ и $\mu$, но лишь $y-1$ раз по є. Функция $\mathbf{V}(\tau, \mu, z, \varepsilon)$, определенная выше, класса $C^{r-1}$ по $\varepsilon$ и по меньшей мере $C^{\prime}$ по другим переменным. Следовательно, теорема о неявной функции утверждает, что функции $\tau(\varepsilon), \mu(\varepsilon), \mathbf{z}(\varepsilon)$ и $\mathbf{y}(s, \varepsilon) \equiv \mathbf{y}(s, \mu(\varepsilon), \varepsilon, \mathbf{z}(\varepsilon))$ класса $C^{r-1}$. Периодические решения (1.1), а именно $\mathbf{x}(t, \varepsilon)=\mathrm{y}\left(\frac{t}{1+\tau(\varepsilon)}, \varepsilon\right)$, будут класса $C^{r}$.
II. Полученные Хопфом результаты о единственности слабее, чем в теореме (3.15) настоящей книги. Конкретнее, в работе Хопфа не доказано, что найденное периодическое решение единственно в некоторой окрестности особой точки. Например, рассуждения Хопфа не исключают существования последовательности периодических функций $x_{k}(t)$, таких, что $\max \left|x_{k}(t)\right| \rightarrow 0$ вместе с $\mu_{k} \rightarrow 0$, а периоды $T_{k} \rightarrow \infty$. Невозможность этого следует из теоремы о центральном многообразии, которая утверждает, что каждая точка, не лежащая на центральном многообразии, должна, по крайней мере на время, покинуть достаточно малую окрестность особой точки или она стремится к центральному многообразию при $t \rightarrow \infty$. Таким образом, центральное многообразие содержит все достаточно малые замкнутые орбиты; так как центральное многообразие трехмерно (включая размерность параметра), единственность периодического решения есть следствие единственности для двумерной теоремы.
III. Формулы, эквивалентные формулам Хопфа, но более удобные в употреблении, могут быть получены проще. Основи благодаря этому обойтись без введения правила скобок.

Предположим снова, что время перенормировано так, что чисто мнимыми собственными значениями $L_{0}$ являются $\pm i$, и будем использовать обозначения, введенные в п. I. Следуя Хопфу, используем перенормировку $t=(1+\tau(\varepsilon)) s, \tau(0)=0$, и положим $\mathbf{x}=\varepsilon \mathbf{y}$. Тогда (1.1) перейдет в
\[
\dot{\mathbf{y}}=[1+\tau(\varepsilon)]\left[L_{0} \mathrm{y}+\mu L^{\prime} \mathrm{y}+\varepsilon Q(\mathrm{y}, \mathbf{y})+\varepsilon^{2} K(\mathrm{y}, \mathbf{y}, \mathbf{y})+\ldots\right],
\]

где $Q$ и $K$ – квадратичные и кубичные члены при $\mu=0$.
Пусть $2 \pi$-периодическое решение (5A.4) будет $\mathbf{y}(s, \varepsilon)=$ $=\mathbf{y}_{0}+\varepsilon \mathbf{y}_{1}+\varepsilon^{2} \mathbf{y}_{2}+\ldots$, где, как и. выше, $\mathbf{y}_{0}=\operatorname{Re}\left(e^{i s} \mathbf{r}\right)$, а $\mathbf{y}_{i}-2 \pi$-периодичны, причем $\mathbf{1} \cdot \mathbf{y}_{i}(0)=\overline{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{y}_{i}(0)=0$ для $i \geqslant 1$. (Так как $\mathbf{y}_{i}$ действительно, можно просто потребовать $\mathbf{1} \cdot \mathbf{y}_{i}(0)=0$.)

Чтобы получить рекуррентные уравнения для $\mathbf{y}_{i}$, ряд для $\mathbf{y}(s, \varepsilon)$ подставляется в (5А.4) и собираются члены при одинаковых степенях $\varepsilon$. При этом используется то обстоятельство, что $\tau_{1}=\mu_{1}=0$, поэтому $\tau=\varepsilon^{2} \tau_{2}+\ldots$ и $\mu=\varepsilon^{2} \mu_{2}+\ldots$. Получаем, что $\mathbf{y}_{1}$ должен удовлетворять соотношению $\mathbf{y}_{1}=A \mathbf{y}_{1}+\mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)$, а $\mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)=\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left[e^{2 i s} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r})\right]$.
Периодическое решение этого уравнения равно $\mathrm{a}+\operatorname{Re}\left(\mathrm{c} e^{2 i s}\right)$, где а и с-постоянные векторы, удовлетворяющие условиям
\[
\begin{aligned}
-L_{0} \mathbf{a} & =\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}}), \\
\left(2 i I-L_{0}\right) \mathbf{c} & =\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r}) .
\end{aligned}
\]
(Так как $-L_{0}$ и $2 i I-L_{0}$ не вырождены, то эти формулы определяют а и с.) Таким образом, $\mathbf{y}_{1}=\mathbf{a}+\operatorname{Re}\left(\mathbf{c} e^{2 t s}\right)+$ $+\operatorname{Re}\left(c_{1} \mathrm{r} e^{i s}\right)$, где комплексное число $c_{1}$ выбрано так, чтобы $1 \cdot \mathbf{y}_{1}(0)=0$; используя (5A.5), легко установить, что
\[
\boldsymbol{c}_{1}=\frac{1}{2} \mathbf{l} \cdot\left[\mathbf{Q}(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})-\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r})+\frac{1}{6} \mathbf{Q}(\overline{\mathbf{r}}, \overline{\mathbf{r}})\right] .
\]

Далее, $\mathbf{y}_{2}$ есть периодическое решение уравнения
\[
\dot{\mathbf{y}}_{2}=L_{0} \mathbf{y}_{2}+\mu_{2} L^{\prime} \mathbf{y}_{0}+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)+\tau_{2} L_{0} \mathbf{y}_{0} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{y}}_{2} & -L_{0} \mathbf{y}_{2}=\operatorname{Re} \mu_{2} L^{\prime} \mathbf{r} e^{i s}+\operatorname{Re} \mathbf{Q}\left(\mathbf{r} e^{i s}+\overline{\mathbf{r}} e^{-i s}, \mathbf{a}+\mathbf{c} e^{2 l s}+C_{1} \mathbf{r} e^{i s}\right)+ \\
& +\frac{1}{4} \operatorname{Re}\left[K(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \mathbf{r}) e^{3 i s}+3 K(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}}) e^{i s}\right]+\tau_{2} \operatorname{Re}\left[i \mathbf{r} e^{i s}\right]= \\
& =\operatorname{Re}\left\{C_{1} \mathbf{Q}(\overline{\mathbf{r}}, \mathbf{r})+e^{i s}\left[\left(\mu_{2} L^{\prime}+i \tau_{2} I\right) \mathbf{r}+2 \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{a})+\mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{c})+\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{3}{4}(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})\right]+e^{2 i s} C_{1} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r})+e^{3 i s}\left[\mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{c})+\frac{1}{4} \mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \mathbf{r})\right]\right\} .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения имеют периодическое решение тогда и только тогда, когда нет резонанса, для чего требуется, чтобы коэффициент при $e^{i s}$ в этой последней формуле был ортогонален к 1 (неявное правило скобок). Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\mu_{2}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)+i \tau_{2}=-2 \mathbf{1} \cdot \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{a})-1 \cdot \mathbf{Q}(\overline{\mathbf{r}}, \mathbf{c})- \\
-\frac{3}{4} \mathbf{1} \cdot \mathbf{K}(\mathbf{r}, \mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}}) \equiv B .
\end{array}
\]

Отсюда получаем формулы для $\mu_{2}$ и $\tau_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
\mu_{2} \operatorname{Re}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)=-\operatorname{Re} B, \\
\tau_{2}=-\mu_{2} \operatorname{Im}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)-\operatorname{Im} B,
\end{array}
\]

где а и с-решения (5A.5). (Эти формулы не меняются, если собственным значением вместо $i$ будет $i \omega$, лишь с будет решением уравнения ( $\left.2 i \omega I-L_{0}\right) \mathbf{c}=\frac{1}{2} \mathbf{Q}(\mathbf{r}, \mathbf{r})$, а не второго уравнения (5А.5) и, кроме того, значение $C_{1}$, данное выше, будет поделено на $\omega$.)

Формулы (5А.6) эквивалентны формулам Хопфа (4.16). Определение левого собственного вектора 1 и решение линейных уравнений (5A.5) заменяет нахождекие присоединенных собственных функций и вычисление интегралов, использующееся при применении правила скобок.
IV. 1. Переводчики должны признать, что они нашли этот параграф несколько менее прозрачным, чем остальную часть работы. В своей работе Джозеф и Сэттинджер [1] указали на явный порочный круг в некоторых рассуждениях Хопфа. Ими также показано, как легче всего это исправить.
IV.2. Соотношение между $\beta$ – показателем Флоке периодического решения вблизи нуля – коэффициентом $\mu_{2}$ может быть найдено сравнительно небольшими вычислениями. Рассматриваемая система
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{x}}=F_{\mu}(\mathbf{x}), \\
\dot{\mu}=0
\end{array}
\]

имеет в начале координат состояние равновесия. В этой критической точке существует три собственных значения с нулевой действительной частью: нулевое собственное значение с собственным вектором, лежащим на оси $\mu$, и пара мнимых собственных значений $\pm i$ (после подходящей перенормировки времени) с собственными векторами $\mathbf{r}$ и $\overline{\mathbf{r}}$. Все остальные собственные значения отделены от мнимой оси, следовательно, эта особая точка имеет трехмерное центральное многообразие. Это центральное многообразие должно содержать ось $\mu$, периодическое решение, даваемое теоремой Хопфа, и каждую траекторию, которая для всех значений времени остается вблизи начала координат; оно касается линейного пространства, натянутого на ось $\mu$ и действительную и мнимую части $\mathbf{r}$. Пусть $\mathbf{x}=\varepsilon(\xi \mathrm{r}+\bar{\xi})+\mathbf{x}_{2}$, где $\mathbf{1} \cdot \mathbf{x}_{2}=\overline{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{x}_{2}=0$. На $\varepsilon \geqslant 0$ можно смотреть как на замену параметра $\mu$, осуществляемую функцией $\mu(\varepsilon)$ из теоремы Хопфа: $\mu=\mu(\varepsilon)=$ $=\mu_{2} \varepsilon^{2}+\ldots$; теперь мы предполагаем $\mu_{2}
eq 0$. Таким образом, можно мыслить себе действительную и мнимые части $\zeta$ и $\varepsilon$ как параметры на центральном многообразии. Для любых $(\mathbf{x}, \mu)$ на этом многообразии $\mathrm{x}_{2}=O\left(\varepsilon^{2}\right)$, так как оно по меньшей мере квадратично по $\overline{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{x}=\varepsilon \xi$ и $\mathbf{1} \cdot \mathbf{x}=\varepsilon \bar{\zeta}$. Таким образом, можно написать уравнение центрального многообразия как $\mu=\mu(\varepsilon), \mathbf{x}_{2}=\varepsilon^{2} \mathbf{g}(\zeta, \bar{\zeta}, \varepsilon)$, где $1 \cdot \mathbf{g}=\overline{\mathbf{l}} \cdot \mathbf{g}=0$ и $\mathbf{g}$ по меньшей мере квадратична по $\zeta$ и $\bar{\xi}$. Тогда; используя обозначения пунктов (I) и (III) этой главы, для каждой траектории на центральном многообразии получаем
\[
\begin{aligned}
\mathbf{r} \dot{\zeta}+\overline{\mathbf{r}} \dot{\zeta}+\varepsilon\left(\mathbf{g}_{\zeta} \dot{\zeta}+\mathbf{g}_{\bar{\xi}} \dot{\bar{\zeta}}\right)=i \zeta \mathbf{r}-i \bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}}+\varepsilon L_{0} \mathbf{g}+ \\
+\mu_{2} \varepsilon^{2} L^{\prime}(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+\varepsilon Q(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+2 \varepsilon^{2} Q(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}}, \mathbf{g})+ \\
+\varepsilon^{2} C(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Умножая слева на 1 , получим
\[
\begin{aligned}
\dot{\zeta}= & i \zeta+\mu_{2} \varepsilon^{2} \mathbf{l} \cdot L^{\prime}(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+ \\
& +\varepsilon \mathbf{1} \cdot\left[\zeta^{2} Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+2 \zeta \bar{\zeta} Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\bar{\zeta}^{2} Q(\overline{\mathbf{r}}, \overline{\mathbf{r}})\right]+\varepsilon^{2} \gamma(\zeta, \bar{\zeta})+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{aligned}
\]

где $\gamma$ кубична по $\zeta$ и $\bar{\zeta}$.
Введем в рассмотрение функцию
\[
\begin{array}{l}
I(\zeta, \bar{\zeta})=\frac{1}{2} \zeta \bar{\zeta}+\varepsilon \operatorname{Re}\left[\frac{i \zeta^{3}}{3} \overline{1} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+i \zeta^{2} \bar{\zeta}(2 \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\right. \\
+\mathbf{1} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r}))] .
\end{array}
\]

Қак мы увидим ниже, $I(\zeta, \bar{\zeta})$ «почти» инвариантна вдоль траекторий, лежащих на центральном многообразии. Для каждой траектории на центральном многообразии, используя (5А.9) и уравнение, комплексно-сопряженное с ним, имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d t}=\operatorname{Re}\left\{\bar{\zeta} \dot{\zeta}+\varepsilon\left[i \zeta^{2} \dot{\zeta} \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+i\left(\zeta^{2} \dot{\bar{\zeta}}+2 \zeta \bar{\zeta} \dot{\zeta}\right)(2 \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\right.\right. \\
+\mathbf{1} \cdot Q(\mathrm{r}, \mathrm{r}))]\}= \\
=\operatorname{Re}\left\{i \zeta \bar{\zeta}+\boldsymbol{\varepsilon} \mathbf{1} \cdot\left[\bar{\zeta} \zeta^{2} Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+2 \xi \bar{\zeta}^{2} Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+\bar{\zeta}^{3} Q(\overline{\mathbf{r}}, \overline{\mathbf{r}})\right]+\right. \\
+\varepsilon\left[-\zeta^{3} \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+\left(\zeta^{2} \bar{\zeta}-2 \zeta^{2} \bar{\zeta}\right) \cdot(2 \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})+1 \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r}))\right]+ \\
\left.+\mu_{2} \varepsilon^{2} \bar{\zeta} \mathbf{l} \cdot L^{\prime}(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+\varepsilon^{2} \bar{\zeta} \gamma(\zeta, \bar{\zeta})+\varepsilon^{2} \delta(\zeta, \bar{\zeta})\right\}+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\end{array}
\]

где $\delta$ квадратична по $\zeta$ и $\bar{\zeta}$. Члены порядка $\varepsilon$ в соотношении выше:
\[
\begin{array}{l}
\text { \& } \operatorname{Re}\left\{\bar{\zeta}^{3} \mathbf{1} \cdot Q(\overline{\mathbf{r}}, \overline{\mathbf{r}})-\zeta^{3} \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+\bar{\zeta}^{2} \zeta^{2} \mathbf{l} \cdot Q\left(\mathbf{r},{ }^{\cdot} \mathbf{r}\right)-\right. \\
\left.-\bar{\zeta} \zeta^{2} \mathbf{l} \cdot Q(\mathbf{r}, \mathbf{r})+2 \zeta \bar{\zeta}^{2} \mathbf{1} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})-2 \bar{\zeta} \zeta^{2} \overline{\mathbf{l}} \cdot Q(\mathbf{r}, \overline{\mathbf{r}})\right\} \equiv 0 . \\
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\frac{d I}{d t}=\mu_{2} \varepsilon^{2} \operatorname{Re}\left[\bar{\zeta} \mathbf{\zeta} \cdot L^{\prime}(\zeta r+\bar{\zeta} r)\right]+\varepsilon^{2} \delta_{1}(\zeta, \bar{\zeta})+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]
где $\delta_{1}$ также квадратична по $\zeta$ и $\bar{\zeta}$, т. е. $\frac{d I}{d t}$ имеет порядок $\boldsymbol{\varepsilon}^{2}$. $\left(I_{0}=\frac{1}{2}|\zeta|^{2}\right.$ также почти инвариант, но $\frac{d I_{0}}{d t}$ есть $O(\varepsilon)$, тогда как $\frac{d I}{d t}$ лишь $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Если мы рассмотрим траекторию на центральном многообразии, начинающуюся при $t=0$ в точке $\zeta=\bar{\zeta}=c$, то мы видим из (5А.9), что она с точностью до $O(\varepsilon)$ дается формулой $\zeta=c e^{i t}$; таким образом, через время, приблизительно равное $2 \pi$, она должна каждый раз возвращаться во множество $\operatorname{Im} \zeta=0$. Эта дуга с точностью до $O(\varepsilon)$ является окружностью, но более аккуратно (с точностью до $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ ) она описывается как линия уровня функции $I$ ).

Из (5А.10) видно, что приращение $I$ при однократном обороте вдоль этого пути с точностью до $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ дается формулой
\[
\Delta I=2 \pi\left[\mu_{2} \varepsilon^{2} c^{2} \operatorname{Re}\left(\mathbf{l} \cdot L^{\prime} \mathbf{r}\right)+\boldsymbol{\varepsilon}^{2} c^{4} \boldsymbol{\delta}_{2}\right],
\]

где $\delta_{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \delta_{1}\left(e^{i t}, e^{-i t}\right) d t$. Однако мы знаем, что если $c=1$, то решение является периодическим, и для него $\Delta I=0$; следовательно, $\delta_{2}=-\mu_{2} \operatorname{Re}\left(1 \cdot L^{\prime} r\right)=-\mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)$, как отмечено в I. Таким образом, вообще говоря,
\[
\Delta I=2 \pi \varepsilon^{2} \mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)\left(c^{2}-c^{4}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Так как $c=1$ дает периодическое решение, член $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ также делится на ( $c-1$ ). Получаем, что для $c$, близких к 1 , (5А.12) может быть записано:
\[
\Delta I=2 \pi \varepsilon^{2}(c-1)\left[-2 \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)+O(c-1)\right] .
\]

Для малых $\varepsilon$ каждая траектория на центральном многообразии с $\zeta=0(1)$ должна идти близко к окружности. Однако она не может стать периодической, если не пройдет через точку $\zeta=1$. Следовательно, из (5А.12) вытекает, что при $\mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)>0$ все траектории на центральном многообразии (при фиксированном $\varepsilon$ и, следовательно, $\mu$ ), которые лежат внутри периодического решения, должны накручиваться на него при $t \rightarrow \infty$ (или при $t \rightarrow-\infty$, если $\mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)<0$ ). Так как $I$ приближенно равно $\frac{1}{2}|\zeta|^{2}$, то $\Delta I \cong(\zeta(2 \pi)-c) c$. Таким образом, из (5A.13) следует, что эти траектории асимптотически приближаются к периодическому решению с показателем экспоненты $\beta=-2 \varepsilon^{2} \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)+O\left(\varepsilon_{3}\right)$, который поэтому должен являться наименьшим ненулевым показателем Флоке.

IV.3. Уравнение (5A.12) в действительности дает нам больше; из него следует, что мы можем приближенно описывать траектории на центральном многообразии как медленно расширяющиеся (или сжимающиеся, если $\mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)<0$ ) окружности, радиус которых меняется согласно формуле
\[
c^{2}=\frac{1}{2}\left(1+\operatorname{th}\left(\varepsilon^{2} \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)\left(t-t_{1}\right)\right)\right),
\]

где $t_{1}$-момент времени, для которого $c^{2}=1 / 2$.
IV.4. Функция $I$ может быть также использована для связи вышеизложенного материала с условием «слабого аттрактора» ${ }^{1}$ ). Если положить $\mu=0$, то $n$-мерная система $\dot{\mathrm{x}}=F_{0}(\mathbf{x})$ имеет двумерное центральное многообразие особой точки 0 , касающееся линейного пространства; натянутого на действительную и мнимую части $\mathbf{r}$. Қак и в предыдущем параграфе, положим $\mathbf{x}=\varepsilon(\zeta \mathbf{r}+\bar{\zeta} \overline{\mathbf{r}})+\mathbf{x}_{2}$, где $\mathbf{1} \cdot \mathbf{x}_{2}=\overline{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{x}_{2}=0$. $\mathrm{Ha}$ этом центральном многообразии $\mathbf{x}_{2}=O\left(\varepsilon^{2}\right)$ и по меньшей мере квадратично по $\zeta$ и $\bar{\zeta} ; \varepsilon$ теперь – произвольный масштабный множитель. Для каждой траектории на этом центральном многообразии устанавливается та же самая формула (5A.9), за исключением опущенного члена с $\mu_{2} L^{\prime}$; другие члены, записанные внизу, получаются из зависящих от $\mu$ членов в разложении функции $F_{\mu}$. Если мы теперь рассмотрим функцию $I$ для траектории на центральном многообразии, то снова получим (5А.10) без члена с $\mu_{2}$, но с тем же самым $\delta_{1}$; интегрируя по периоду, получим (5A.11) без члена с $\mu_{2}$, но с тем же самым $\delta_{2}$. Так как $\delta_{2}=-\mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)$, то для траекторий на центральном многообразии при $\mu=0$ с точностью до $\varepsilon^{2}$ имеем
\[
\Delta\left(\frac{1}{2} c^{2}\right)=-2 \pi \varepsilon^{2} \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0) c^{4},
\]

нли
\[
\Delta(\varepsilon c)=-2 \pi \mu_{2} \operatorname{Re} \alpha^{\prime}(0)(\varepsilon c)^{3} .
\]

Так как $\Delta(\varepsilon c)$ есть $V\left(x_{1}\right)$ (отображение Пуанкаре минус тождественное), где $\varepsilon c=x_{1}$ является координатой $\operatorname{Re}(\mathbf{l} \cdot \mathbf{x})$, то
\[
V^{\prime \prime \prime}(0)=-2 \pi \mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right) \cdot 6=-2 \pi \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right) \cdot 3 \mu^{\prime \prime}(0) .
\]

Это связывает проведенные здесь вычисления с вычислениями условий устойчивости в гл. 4.
1) См. п. 3.12 гл. 3. – Прим. ред.