1. K стр. 8.

Обобщение результатов с двумерного случая на некоторые случаи систем высшей размерности выполнено Н. Н. Баутиным по предложению А. А. Андронова в 1941 г. (диссертация). Опубликовано в 1948 [1] и 1949 [2] гг. Рассматривались системы общего вида
\[
\dot{x}_{j}=\sum_{k=1}^{3} a_{k}^{(j)} x_{k}+P_{j}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ; \quad j=1,2,3
\]

и
\[
\dot{x}_{j}=\sum_{k=1}^{4} a_{k}^{(l)} x_{k}+P_{j}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) ; \quad j=1,2,3,4
\]
( $P_{j}$ не содержат членов ниже второго порядка), а также $n$-мерная система
\[
\dot{x}_{j}=\sum_{k=1}^{n} Q_{k}^{(j)} x_{k}+P_{j}^{*}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) ; \quad j=1,2, \ldots, n
\]
( $P_{j}$ не содержат членов ниже третьего порядка).
Условия рождения периодических движений в общем $n$-мерном случае (для систем, приведенных к некоторым специальным видам) получены Ю. И. Неймарком [3] и Н. Н. Брушлинской [4].
2. К стр. 17.
Бифуркации, сопровождающиеся появлением замкнутых траекторий, многочисленны и разнообразны. По поводу основных из них смотрите дополнение I.
3. К стр. 89.
Доказательство этой теоремы по существу опирается не непосредственно на теорему Хопфа, а на следующее следствие из нее, которое мы формулируем для случая $R^{2}$ :

Если при значении $\mu=0$ особая точка $O(0,0)$ имеет чисто мнимые характеристические корни, а при $\mu>0$ и $\mu<0$ в некоторой фиксированной окрестности $O(0,0)$ нет замкнутых траекторий, то особая точка $O(0,0)$ является центром.

Для случая $n>2$ аналогичное утверждение справедливо для инвариантного многообразия.
4. K стр. 91 .
В этом разделе при построении «бифуркационного уравнения», т. е. уравнения, различные корни которого соответствуют различным замкнутым траекториям, появляющимся из особой точки $O$, фактически используется метод усреднения Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова $[5,6]$. Этот метод явзяется плодотворным в разных ситуациях, в частности при рассмотрении неавтономных систем. Однако обоснование его далеко не элементарно. В данном случае бифуркационное уравнение получается очень просто интегрированием по $\theta$ правой части рассматриваемого уравнения
\[
\frac{d \rho}{d \theta}=\varepsilon^{2}\left(R_{0}+\varepsilon^{2} R_{1}+\ldots\right) .
\]

Однако в задаче о рождении предельного цикла из негрубого фокуса представляется более целесообразным рассмотрение бифуркационного уравнения, полученного из функции последования, так как в этом случае «бифуркационное уравнение» позволяет рассматривать случай кратных (в частности, двукратных) циклов, а также случай центра, что невозможно (в силу отсутствия соответствующего обоснования) для бифуркационного уравнения, полученного усреднением. О методе усреднения см. также главу 4С настоящей книги.
5. K стр. 110.
$V^{\prime \prime \prime}(0)$ совпадает с первой ляпуновской величиной. Впервые вычисление ляпуновской величины для решения вопроса о рождении из состояния равновесия типа фокус предельного цикла при изменении параметров системы было осуществлено А. А. Андроновым [7] в задаче о катодном генераторе в 1937 г. Первая ляпуновская величина для системы двух уравнений общего вида (без требования выполнения условия 4.4) вычислена в 1938 году [8].

Приведем выражение первой ляпиновской величины для системы трех уравнений. Для системы в каноническом виде
\[
\frac{d \xi_{1}}{d t}=-\lambda \xi_{1}+Q_{1}, \quad \frac{d \xi_{2}}{d t}=-\sqrt{q \xi_{3}}+Q_{2}, \quad \frac{d \xi_{3}}{d t}=\sqrt{q_{2}}+Q_{3} .
\]

где
\[
\begin{array}{l}
Q_{j}=A_{11}^{(j)} \xi_{1}^{2}+A_{22}^{(j)} \xi_{2}^{2}+A_{33}^{(j)} \xi_{3}^{2}+A_{12}^{(j)} \xi_{1} \xi_{2}+2 A_{13}^{(j)} \xi_{1} \xi_{3}+2 A_{23}^{(j)} \xi_{2} \xi_{3}+A_{11}^{(j)} \xi_{1}^{3}+ \\
+A_{222}^{(j)} \xi_{2}^{3}+A_{333}^{(j)} \xi_{3}^{3}+3 A_{112}^{(j)} \xi_{1}^{2} \xi_{2}+3 A_{113}^{(j)} \xi_{1}^{2} \xi_{3}+3 A_{122}^{(j)} \xi_{1} \xi_{2}^{2}+3 A_{223}^{(j)} \xi_{2}^{2} \xi_{3}+ \\
+3 A_{133}^{(j)} \xi_{1} \xi_{3}^{2}+3 A_{233}^{(j)} \xi_{2} \xi_{3}^{2}+6 A_{123}^{(j)} \xi_{1} \xi_{2} \xi_{3}+\ldots
\end{array}
\]

первая ляпуновская величина будет [2]:
\[
\begin{aligned}
L_{1}= & \frac{\pi}{4 q}\left[2\left(A_{33}^{(2)} A_{33}^{(3)}-A_{22}^{(2)} A_{22}^{(3)}\right)+2 A_{23}^{(2)}\left(A_{22}^{(2)}+A_{22}^{(2)}+A_{33}^{(2)}\right)-\right. \\
& \left.-2 A_{23}^{(3)}\left(A_{22}^{(3)}+A_{33}^{(3)}\right)+3 \sqrt{q}\left(A_{222}^{(2)}+A_{333}^{(3)}+A_{233}^{(2)}+A_{223}^{(3)}\right)\right]+ \\
& +\frac{\pi}{4 \lambda \sqrt{q}\left(\lambda^{2}+4 q\right)}\left\{\lambda ^ { 2 } \left[2 A_{22}^{(1)}\left(3 A_{12}^{(2)}+A_{13}^{(3)}\right)+\right.\right. \\
& \left.+2 A_{33}^{(1)}\left(A_{12}^{(2)}+3 A_{13}^{(3)}\right)+4 A_{23}^{(1)}\left(A_{13}^{(2)}+A_{12}^{(3)}\right)\right]+ \\
& +4 \lambda \sqrt{q}\left[\left(A_{22}^{(1)}-A_{33}^{(1)}\right)\left(A_{13}^{(2)}+A_{12}^{(3)}\right)+2 A_{23}^{(1)}\left(A_{13}^{(3)}-A_{12}^{(2)}\right)\right]+ \\
& \left.+16 q\left(A_{22}^{(1)}+A_{33}^{(1)}\right)\left(A_{12}^{(2)}+A_{13}^{(3)}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Коэффициенты системы общего вида
\[
\frac{d x_{j}}{d t}=Q_{1}^{(j)} x_{1}+Q_{2}^{(j)} x_{2}+Q_{3}^{(j)} x_{3}+P_{j} \quad(j=1,2,3),
\]

где $P_{i}$ имеют тот же вид, что и $Q_{j}$ (с заменой соответственно $\xi$ на $\boldsymbol{x}$ и $A$ на $a$ с сохранением всех индексов), связаны с коэффициентами системы, приведенной к каноническому внду, соотношениями
\[
\begin{array}{l}
A_{k l}^{(l)}=\frac{1}{\Delta_{0}} \sum_{p=1}^{3} \boldsymbol{a}_{j p}^{\prime}\left[a_{11}^{(p)} \boldsymbol{\alpha}_{1 k} \boldsymbol{a}_{1 l}+a_{22}^{(p)} \boldsymbol{a}_{2 k} \boldsymbol{\alpha}_{2 l}+a_{33}^{(p)} \boldsymbol{\alpha}_{3 k} \boldsymbol{\alpha}_{3 l}+\right. \\
\left.+a_{12}^{(p)}\left(\alpha_{1 k} \alpha_{2 l}+\alpha_{1 l} \alpha_{2 k}\right)+a_{13}^{(p)}\left(\alpha_{1 k} \alpha_{3 l}+\alpha_{1 l} \alpha_{3 k}\right)+a_{23}^{(p)}\left(\alpha_{2 k} \alpha_{3 l}+\alpha_{2 i} \alpha_{3 k}\right)\right] . \\
A_{k l s}^{(l)}=\frac{1}{\Delta_{0}} \sum_{p=1}^{3} \boldsymbol{\alpha}_{j p}^{\prime}\left[a_{111}^{(p)} \boldsymbol{\alpha}_{1 k} \boldsymbol{\alpha}_{1 l} \boldsymbol{\alpha}_{1 s}+a_{222}^{(p)} \boldsymbol{\alpha}_{2 k} \boldsymbol{\alpha}_{2 l} \boldsymbol{\alpha}_{2 s}+a_{333}^{(p)} \boldsymbol{\alpha}_{3 k} \boldsymbol{\alpha}_{3 l} \boldsymbol{\alpha}_{3 s}+\right. \\
+a_{112}^{(p)}\left(\alpha_{1 k} \alpha_{1 l} \alpha_{2 s}+\alpha_{1 k} \alpha_{1 s} \boldsymbol{a}_{2 l}+\alpha_{1 l} \boldsymbol{\alpha}_{1 s} \alpha_{2 k}\right)+a_{113}^{(p)}\left(\alpha_{1 k} \alpha_{1 l} \alpha_{3 s}+\alpha_{1 k} \alpha_{1 s} \alpha_{3 l}+\right. \\
\left.+\boldsymbol{\alpha}_{1 l} \boldsymbol{\alpha}_{1 s} \boldsymbol{\alpha}_{3 k}\right)+a_{233}^{(p)}\left(\alpha_{3 k} \alpha_{3 l} \alpha_{2 s}+\alpha_{3 k} \alpha_{2 l} \alpha_{3 s}+\alpha_{2 k} \alpha_{3 l} a_{3 s}\right)+a_{122}^{(p)}\left(\alpha_{1 s} \alpha_{2 k} \alpha_{2 l}+\right. \\
\left.+\boldsymbol{\alpha}_{1 k} \boldsymbol{\alpha}_{2 l} \boldsymbol{\alpha}_{2 s}+\boldsymbol{\alpha}_{1 l} \boldsymbol{\alpha}_{2 s} \boldsymbol{\alpha}_{2 k}\right)+a_{223}^{(p)}\left(\boldsymbol{\alpha}_{2 k} \boldsymbol{\alpha}_{2 l} \boldsymbol{\alpha}_{3 s}+\boldsymbol{\alpha}_{2 k} \boldsymbol{\alpha}_{2 s} \boldsymbol{\alpha}_{3 l}+\boldsymbol{\alpha}_{2 l} \boldsymbol{\alpha}_{2 s} \boldsymbol{\alpha}_{3 k}\right)+ \\
+a_{133}^{(p)}\left(\alpha_{1 s} \alpha_{3 k} \alpha_{3 l}+\alpha_{1 l} \alpha_{3 s} \alpha_{3 k}+\alpha_{1 k} \alpha_{3 i} \alpha_{3 s}\right)+a_{123}^{(p)}\left(\alpha_{1 k} \alpha_{2 l} \alpha_{3 s}+\alpha_{1 l} \alpha_{2 k} \alpha_{3 s}+\right. \\
\left.\left.+a_{1 k} \boldsymbol{a}_{2 s} \boldsymbol{a}_{3 l}+\boldsymbol{a}_{1 s} \boldsymbol{a}_{2 k} \boldsymbol{\alpha}_{3 l}+\boldsymbol{a}_{1 l} \boldsymbol{a}_{2 s} \boldsymbol{a}_{3 k}+\boldsymbol{a}_{1 s} \boldsymbol{a}_{2 l} \boldsymbol{a}_{3 k}\right)\right] \text {. } \\
\end{array}
\]

Здесь
\[
\begin{aligned}
a_{11} & =\left|\begin{array}{cc}
a_{2}^{(1)} & a_{3}^{(1)} \\
a_{2}^{(2)}+\lambda & a_{3}^{(2)}
\end{array}\right|, \quad \alpha_{21}=\left|\begin{array}{cc}
a_{3}^{(1)} & a_{1}^{(1)}+\lambda \\
a_{3}^{(2)} & a_{1}^{(2)}
\end{array}\right|, \quad \alpha_{31}=\left|\begin{array}{cc}
a_{1}^{(1)}+\lambda & a_{2}^{(1)} \\
a_{1}^{(2)} & a_{2}^{(2)}+\lambda
\end{array}\right|, \\
\alpha_{12} & =\left|\begin{array}{ll}
a_{3}^{(1)} & a_{1}^{(1)} \\
a_{3}^{(3)} & a_{1}^{(3)}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}
a_{2}^{(1)} & a_{1}^{(1)} \\
a_{2}^{(2)} & a_{1}^{(2)}
\end{array}\right|, \quad \alpha_{22}=\left|\begin{array}{cc}
\alpha_{3}^{(2)} & a_{1}^{(2)} \\
\alpha_{3}^{(3)} & a_{1}^{(3)}
\end{array}\right|, \quad \alpha_{32}=\left|\begin{array}{cc}
a_{1}^{(2)} & a_{2}^{(2)} \\
a_{1}^{(3)} & a_{2}^{(3)}
\end{array}\right|, \\
\alpha_{13} & =\left(a_{2}^{(2)}+a_{3}^{(3)}\right) \sqrt{q}, \quad \alpha_{23}=-a_{1}^{(2)} \sqrt{q}, \quad \alpha_{33}=-a_{1}^{(3)} \sqrt{q}, \\
\lambda & =-\left(a_{1}^{(1)}+a_{2}^{(2)}+a_{3}^{(3)}\right), \quad q=\left|\begin{array}{cc}
a_{1}^{(1} & a_{2}^{(1)} \\
a_{1}^{(2)} & a_{2}^{(2)}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}
a_{1}^{(1)} & a_{3}^{(1)} \\
a_{1}^{(3)} & a_{3}^{(3)}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}
a_{2}^{(2 .} & a_{3}^{(2)} \\
a_{2}^{(3)} & a_{3}^{(3)}
\end{array}\right|, \\
\alpha_{j p}^{\prime} & =(-1)^{p+1} \Delta_{1}, \quad \Delta_{0}=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & a_{33}
\end{array}\right|,
\end{aligned}
\]

и $\Delta_{1}$ получается вычеркиванием из $\Delta_{0} p$-й строки и $j$-го столбца.
Предполагается, что характеристическое уравнение линейной системы первого приближения имеет чисто мнимые корни ( $\lambda q+\Delta=0$, где $\Delta$ определитель системы), и нумерация исходных уравнений такова, что
\[
\left|\begin{array}{cc}
a_{1}^{(1)}+\lambda & a_{2}^{(1)} \\
a_{1}^{(2)} & a_{2}^{(2)}+\lambda
\end{array}\right|
eq 0 \quad\left|\begin{array}{cc}
a_{2}^{(2)}-i \sqrt{q} & a_{3}^{(3 \cdot} \\
a_{2}^{(3)} & a_{3}^{(3)}-i \sqrt{q}
\end{array}\right|
eq 0 .
\]

Такие два различных минора всегда найдутся.
Выражение первой ляпуновской величины через коэффициенты системы четырех уравнений общего вида дано в [2].
6. К стр. 118.
Так как величина $V^{\prime \prime \prime}(0)$ совпадает по знаку с первой ляпуновской величиной, то, разумеется, при исследовачии конкретных задач нет необходимости проделывать каждый раз довольно громоздкие преобразования к специальному виду, описанные авторами. Можно использовать готовые выражения первой ляпуновской величины для уравнений общего вида, приведенные в различных изданиях (например, в $[9,10]$ ).
7. К стр. 119.
Рассуждения авторов о возможности обнаружить методом Хопфа рождение цикла из кривой $x^{2}+y^{2}=4$ выбором системы координат, переводящей окружность радиуса 2 в начало координат, – не убедительны (естественно считать, что, исследуя вопрос о рождении цикла, еще не знают есть ли цикл вообще и тем более-его уравнение). Не меняет дело и сведение заменой $\xi=x, y=\dot{x}+\mu\left(1 / 3 x^{3}-x\right)$ (на которую указывают авторы) к системе того же типа, что и пример в 4В.1, так как здесь параметр $\mu$ будет входить также и при члене с $\xi^{3}$. Здесь цикл также ответвляется от кривой $\xi^{2}+y^{2}=4$ и метод Хопфа его не обнаруживает. Этот результат, однако, весьма просто получить, следуя Л. С. Понтрягину [11].
Если записать уравнение Ван-дер-Поля в виде системы
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-x+\mu q(x, y), \quad q(x, y) \equiv\left(1-x^{2}\right) y,
\]

то радиусы окружностей $x^{2}+y^{2}=h_{0}
eq 0$, от которых ответвляются предельные циклы, находятся из уравнения
\[
\Psi(h) \equiv \iint \frac{\partial q}{\partial y} d x d y=4 \int_{0}^{\sqrt{h}}\left(1-x^{2}\right) \sqrt{h-x^{2}} d x=\frac{\pi h}{4}(4-h)=0 .
\]
8. К стр. 123.

Для вычисления был использован алгоритм определения первой ляпуновской величины через коэффициенты системы общего вида
\[
\dot{x}_{j}=a_{1}^{(j)} x_{1}+a_{2}^{(j)} x_{2}+a_{3}^{(j)} x_{3}+P_{j}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ; \quad j=1,2,3,
\]

данный Н. Н. Баутиным (см. примечание 5).
9. К стр. 175.
В этой главе требуется, чтобы $e^{k \theta(0)}
eq 1$ при $k=1,2,3,4,5$. Однако очевидно, что при наличии большего числа производных у отображения $\Phi_{\mu}$ (в частности, когда $\Phi_{\mu}$ класса $C^{\infty}$ ) необходимо наложить на $\theta(0)$ тем большее число требований, чем большее число членов мы хотим привести к каноническому виду. Именно $e^{k \theta(0)}
eq 1, k=1,2, \ldots, n$ и $n$-любое заданное целое число, если $\Phi_{\mu}$ класса $C^{\infty}$.