Как мы уже видели в предыдущих главах, в нашем распоряжении имеются, вообще говоря, два метода доказательства бифуркационных теорем. Первый — это исходный метод Хопфа, а второй — использование техники инвариантного многообразия для сведения задачи к конечномерному (часто двумерному) случаю.

Для уравнений с частными производными, таких, как уравнения Навье -.Стокса (см. гл. 1), теоремы в том виде, как они были сформулированы Хопфом (см. гл. 5) или Рюэлем и Такенсом (см. гл. 3,4 ) неприменимы, о чем уже говорилось. Трудность здесь состоит в том, что векторные поля, порождающие потоки, обычно негладкие функции на любом разумно выбранном банаховом пространстве.

И все же метод Хопфа может быть использован для уравнений с частными производными при условии, что уравнения имеют определенный «параболический» тип. Это было сделано Юдовичем [11], Иоссом [3], Джозефом и Сэттинджером [1] и другими ${}^1$ ). В частности, эти методы применимы куравнениям Навье — Стокса. Полученный здесь результат состоит в том, что при выполнении спектральных условий теоремы Хопфа периодическое решение действительно рождается и, более того, применим анализ устойчивости, данный ранее. Главное предположение, необходимое для этого метода это аналитичность решения по $t$.

Здесь мы хотим кратко остановиться на другом методе получения подобных результатов. Фактически предыдущие разделы были написаны таким образом, чтобы сделать этот метод совершенно ясным: вместо использования гладкости порождающего векторного поля или $t$-аналитичности решения мы использовали гладкость потока $F_t^{\mu }$. Нам кажется, что это дает технические преимущества при рассмотрении следующей бифуркации рождения инвариантного тора. Аналитичности по $t$ недостаточно для работы с отображением Пуанкаре периодического решения (см. гл. 2B).
1) См. также Колесов (1],-Прим, перев.

Полезно заметить, что существуют общие результаты, применимые к конкретным эволюционным уравнениям с частными производными, которые позволяют определять гладкость их потоков на соответствующим образом выбранных банаховых пространствах. Эти результаты получены в работе Дорро и Марсдена [1]. Для удобства читателя в главе 8A мы приведем нужные для дальнейшего части этой работы, а также некоторые полезные теоретические сведения по этому вопросу.

Мы сначала сформулируем результаты в общем виде, а затем (в гл. 9) опишем, как эту процедуру можно эффективно применить для уравнений Навье — Стокса. Одновременно мы установим основные результаты, касающиеся существования, единственности и гладкости для уравнений Навье — Стокса, используя метод Като — Фуджиты [1] и результаты Дорро и Марсдена [1] (гл. 8A).

Следует отметить, что и для уравнений с частными производными, отличных от уравнений Навье — Стокса, бифуркационные задачи встречаются весьма часто; например, при изучении химических реакций (см. Коппель и Ховард.[1,2, 5]) и в динамике популяций (см. гл. 10). Задачи из других областей, таких, как теория электрических цепей и теория упругости, вероятно, того же типа (см. Стерн [1], Зиглер [1] и Кнопс и Уилкс [1]). Похоже, что настоящая сила методов теории бифуркаций только начинает реализовываться в приложениях.

Общая схема и основные предположения
Будем рассматривать систему эволюционных уравнений общего вида
$$\frac{dx}{dt}=X_{\mu }(x),x(0)\text{ задано, }$$

где $X_{\mu }$ — зависящий от параметра $\mu$ плотно определенный нелинейный оператор ${}^1$ ) на подходящем функциональном пространстве $E$ (банаховом пространстве). Например, $X_{\mu }$ может быть оператором Навье — Стокса, а $\mu$ — числом Рейнольдса (см. гл. 1). Предполагается, что эта система определяет единственное локальное решение $x(t)$ и, следовательно, полупоток $F_t$, который при фиксированном $\mu$ и $t⩾0$ отображает $x(0)$ в $x(t)$.
1) То есть оператор, определенный на всюду плотном подмножествє соответствующего функционального пространства. — Прим. перев.

Бифуркационные теоремы для уравнений с частными производными 197
Самым существенным, что необходимо знать относительно потока $F_t$ нашей системы, является тот факт, что при любых фиксированных $t$ и $\mu$ поток $F_t$ будет $C^{\mathrm{\infty }}$-отображением банахова пространства $E$ ( $F_t$, вообще говоря, определен только локально по $t$ ). Отметим (см. конец гл. 8A) те свойства, которыми в большинстве случаев обладает $F_t$ и которые поэтому будем считать выполненными:
(a) $F_t$ определен на открытом подмножестве из
$$R^{+}\times E,R^{+}=\{t\in R\mid t⩾0\};$$
(б) $F_{t+s}=F_t\circ F_s$ (там, где это определено);
(в) $F_t(x)$ по отдельности (а следовательно, и совместно (гл. 8A)) непрерывен по ( $t,x)\in R^{+}\times E$.

Сделаем два важных предположения относительно потока. Первое из них таково.
(8.1) Условие гладкости. Будем считать, что для каждого фиксированного $t$ отображение $F_t$ является $C^{\mathrm{\infty }}$-отображением (открытого подмножества) $E$ в $E$.

Это как раз то, что мы будем понимать под гладкой полугруппой. Қонечно, мы не требуем гладкости по $t$, так как, вообще говоря, образующая $X_{\mu }$ для $F_t$ будет только плотно определенным, а не гладким отображением $E$ в $E$. Однако, как разъясняется в главе $8\mathrm{A}$, не совсем глупо ожидать гладкости по $\mu$ и $t$ при $t>0$ (что является нелинейным аналогом «аналитических полугрупп» и имеет место для уравнений «параболического типа»). Это нам потребуется ниже.

В гл. 9 мы опишем вкратце, как можно проверить это предположение для уравнений Навье — Стокса, используя общий критерий, применимый к широкому классу систем (для систем, подобных нелинейным волновым уравнениям, это хорошо известно из работ Сегала [1] и других).
Приводим второе наше предположение.
(8.2) Условие продолжаемости решений. Пусть $F_t(x)$ для фиксированного х лежит в ограниченном множестве пространства $E$ при всех $t$, для которых $F_t(x)$ определено. Тогда $F_t(x)$ определено при всех $t⩾0$.

Это просто означает, что наша теорема существования для $F_t$ достаточно сильна, чтобы гарантировать следующее: орбита может быть не определена только тогда, когда она за конечное время уходит на бесконечность. Такое предположение в большинстве случаев выполняется (в частности, для уравнений Навье — Стокса).

Предположим, что $F_t$ имеет неподвижную точку, которой можно считать точку $O\in E$, т. е. $F_t(0)=0$ при всех $t⩾0$. Обозначим через $D{F}_t$ производную Фреше отображения $F_t$ при фиксированном $t$; тогда ясно, что $G_t=D{F}_t(0)$ является линейной полугруппой на $E$. Ее производящий оператор, который формально равен $DX(0)$, является поэтому плотно определенным замкнутым линейным оператором, который определяет линеаризованное уравнение ${}^1$ ). Нижеследующее предположение касается спектра линейной полугруппы $G_t$, который при соответствующих условиях (Хилле и Филлипс [1]) является экспоненциалом спектра $DX(0)$ (сравните с гл. 2A).
Переходим к третьему предположению.
(8.3) Спектральное условие. Предположим, что мы имеем семейство $F_t^{\mu }$ гладких нелинейных полугрупп, определенных для значений $\mu$ из некоторого интервала, содержащего $0\in \mathbb{R}$. Допустим, что $F_t^{\mu }(x)$ является гладким по $t,x,\mu$ отображением при $t>0$. Предположим также, что
(a) $O$ — неподвижная точка $F_t^{\mu }$;
(б) при $\mu <0$ спектр $G_t^{\mu }$ содержится во множестве $D=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$, где $G_t^{\mu }={D_x{F}_t^{\mu }(x)|}_{x=0};$
(в) при $\mu =0$ (соответственно $\mu >0$ ) спектр $G_t^{\mu }$ имеет два изолированных простых собственных значения $\lambda (\mu )$ и $\overline{\lambda (\mu )}$ с $|\lambda (\mu )|=1$ (соответственно $|\lambda (\mu )|>1$ ), а остальная часть спектра лежит в $D$ и остается отделенной от единичной окружности;
(г) ${\left(\frac{d}{d\mu }\right)|\lambda (\mu )||}_{\mu =0}>0$ (собственные значения движутся монотонно, пересекая единичную окружность).

При этих условиях имеет место рождение периодических орбит. Они будут устойчивы при следующем условии.
(8.4) Условие устойчивости. Выполняется неравенство $V^{\prime \prime \prime }(0)<0$, где $V^{\prime \prime \prime }(0)$ вычисляется в соответствии с процедурой гл. 4 (см. гл. 4A).

Эта процедура может быть применена прямо к векторному полю $X$, поскольку вычисления конечномерны; неограниченность образующей $X$ не вносит дополнительных трудностей.
1) Даже если подгруппа, негладкая, можно придать смысл линеаризации уравнений и потока. Например, поток уравнений Эйлера класса $C^1$ как отображение $H^s$ в $H^{s-1}$, но производная продолжается до ограниченного оператора на $H^{s-1}$; см. Дорро в Марсден [1].

Сформулируем основной результат.
(8.5) Теорема. При указанных выше предположениях в пространстве $E$ существует окрестность $U$ точки $O$ и число $\epsilon >0$, такие, что $F_t^{\mu }(x)$ определено при всех $t⩾0$ для $\mu \in$ $\in (-\epsilon ,\epsilon ]ux\in U$. Для каждого $\mu >0$ поток $F_t^{\mu }$ имеет единственную устойчивую замкнутую орбиту. Эти орбиты при изменении $\mu$ образуют однопараметрическое непрерывно зависящее от $\mu$ семейство. Решения, близкие к ним, определены для всех $t⩾0$. Существует окрестность начала координат, в которой любая замкнутая орбита потока совпадает с одной из орбит семейства.

Особо отметим, что вблизи периодических орбит решения определены для всех $t⩾0$. Это важный критерий глобального существования решений (см. также Сэттинджер $[1,2])$.

Конечно, можно обобщить этот результат: например, рассмотреть случай, когда система зависит от нескольких параметров и несколько собственных значений пересекают окружность, или случай системы с симметрией, рассмотренный ранее (гл. 7). Таким же образом можно доказать рождение инвариантного тора из периодической орбиты.

Доказательство теоремы (кабросок). Как показано вгл. 2, теорему о центральном многообразии можно применять к потокам. Таким образом, для гладкого потока $F_t(x,\mu )=$ $=(F_t^{\mu }(x),\mu )$ мы можем получить существование локально инвариантного центрального многообразия $C$; это трехмерное многообразие, касающееся оси $\mu$ и двумерного собственного направления оператора $G_t^0(0)$. (Инвариантное многообразие устойчиво и содержит всю локальную рекуррентность, но $F_t$ пока еще только локальный поток на этом многообразии.)

Оказывается, существует замечательное свойство гладких полупотоков, которое доказано в гл. 8A (отсылаем к Бохнеру и Монтгомери [1], см. Чернов и Марсден [2]): оно состоит в том, что полупоток $F_t$ на конечномерном многообразии $C$ порождается $C^{\mathrm{\infty }}$-векторным полем, т. е. исходное поле $X$, ограниченное на $C$, является $C^{\mathrm{\infty }}$-векторным полем (oпределенным во всех точках). После этого все немедленно сводится к теореме Хопфа в размерности 2, и за доказательством можно отослать к гл. 3 .

Здесь все может быть проделано точно так же, как в гл. 6. Однако, как объяснено в гл. $2\mathrm{B}$, необходимо знать, что $F_t^{\mu }(x)$ гладко зависит от $t,\mu ,x$ для $t>0$. Тогда отображение Пуанкаре для замкнутой орбиты будет корректно определенным и гладким, и после сведения к конечной размерности с помощью теоремы о центральном многообразий, как в гл. 6, оно будет диффеоморфизмом в силу следствия 8А.9. Поэтому мы действительно можем воспользоваться теми же самыми бифуркационными теоремами, что и в гл. 6, для анализа рождения тора. Для проверки предположений гладкости можно использовать результаты гл. 8А и 9.