Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Как мы уже видели в предыдущих главах, в нашем распоряжении имеются, вообще говоря, два метода доказательства бифуркационных теорем. Первый – это исходный метод Хопфа, а второй – использование техники инвариантного многообразия для сведения задачи к конечномерному (часто двумерному) случаю. Для уравнений с частными производными, таких, как уравнения Навье -.Стокса (см. гл. 1), теоремы в том виде, как они были сформулированы Хопфом (см. гл. 5) или Рюэлем и Такенсом (см. гл. 3,4 ) неприменимы, о чем уже говорилось. Трудность здесь состоит в том, что векторные поля, порождающие потоки, обычно негладкие функции на любом разумно выбранном банаховом пространстве. И все же метод Хопфа может быть использован для уравнений с частными производными при условии, что уравнения имеют определенный «параболический» тип. Это было сделано Юдовичем [11], Иоссом [3], Джозефом и Сэттинджером [1] и другими ${ }^{1}$ ). В частности, эти методы применимы куравнениям Навье – Стокса. Полученный здесь результат состоит в том, что при выполнении спектральных условий теоремы Хопфа периодическое решение действительно рождается и, более того, применим анализ устойчивости, данный ранее. Главное предположение, необходимое для этого метода это аналитичность решения по $t$. Здесь мы хотим кратко остановиться на другом методе получения подобных результатов. Фактически предыдущие разделы были написаны таким образом, чтобы сделать этот метод совершенно ясным: вместо использования гладкости порождающего векторного поля или $t$-аналитичности решения мы использовали гладкость потока $F_{t}^{\mu}$. Нам кажется, что это дает технические преимущества при рассмотрении следующей бифуркации рождения инвариантного тора. Аналитичности по $t$ недостаточно для работы с отображением Пуанкаре периодического решения (см. гл. 2B). Полезно заметить, что существуют общие результаты, применимые к конкретным эволюционным уравнениям с частными производными, которые позволяют определять гладкость их потоков на соответствующим образом выбранных банаховых пространствах. Эти результаты получены в работе Дорро и Марсдена [1]. Для удобства читателя в главе 8A мы приведем нужные для дальнейшего части этой работы, а также некоторые полезные теоретические сведения по этому вопросу. Мы сначала сформулируем результаты в общем виде, а затем (в гл. 9) опишем, как эту процедуру можно эффективно применить для уравнений Навье – Стокса. Одновременно мы установим основные результаты, касающиеся существования, единственности и гладкости для уравнений Навье – Стокса, используя метод Като – Фуджиты [1] и результаты Дорро и Марсдена [1] (гл. 8A). Следует отметить, что и для уравнений с частными производными, отличных от уравнений Навье – Стокса, бифуркационные задачи встречаются весьма часто; например, при изучении химических реакций (см. Коппель и Ховард.[1,2, 5]) и в динамике популяций (см. гл. 10). Задачи из других областей, таких, как теория электрических цепей и теория упругости, вероятно, того же типа (см. Стерн [1], Зиглер [1] и Кнопс и Уилкс [1]). Похоже, что настоящая сила методов теории бифуркаций только начинает реализовываться в приложениях. Общая схема и основные предположения где $X_{\mu}$ – зависящий от параметра $\mu$ плотно определенный нелинейный оператор ${ }^{1}$ ) на подходящем функциональном пространстве $E$ (банаховом пространстве). Например, $X_{\mu}$ может быть оператором Навье – Стокса, а $\mu$ – числом Рейнольдса (см. гл. 1). Предполагается, что эта система определяет единственное локальное решение $x(t)$ и, следовательно, полупоток $F_{t}$, который при фиксированном $\mu$ и $t \geqslant 0$ отображает $x(0)$ в $x(t)$. Бифуркационные теоремы для уравнений с частными производными 197 Сделаем два важных предположения относительно потока. Первое из них таково. Это как раз то, что мы будем понимать под гладкой полугруппой. Қонечно, мы не требуем гладкости по $t$, так как, вообще говоря, образующая $X_{\mu}$ для $F_{t}$ будет только плотно определенным, а не гладким отображением $E$ в $E$. Однако, как разъясняется в главе $8 \mathrm{~A}$, не совсем глупо ожидать гладкости по $\mu$ и $t$ при $t>0$ (что является нелинейным аналогом «аналитических полугрупп» и имеет место для уравнений «параболического типа»). Это нам потребуется ниже. В гл. 9 мы опишем вкратце, как можно проверить это предположение для уравнений Навье – Стокса, используя общий критерий, применимый к широкому классу систем (для систем, подобных нелинейным волновым уравнениям, это хорошо известно из работ Сегала [1] и других). Это просто означает, что наша теорема существования для $F_{t}$ достаточно сильна, чтобы гарантировать следующее: орбита может быть не определена только тогда, когда она за конечное время уходит на бесконечность. Такое предположение в большинстве случаев выполняется (в частности, для уравнений Навье – Стокса). Предположим, что $F_{t}$ имеет неподвижную точку, которой можно считать точку $O \in E$, т. е. $F_{t}(0)=0$ при всех $t \geqslant 0$. Обозначим через $D F_{t}$ производную Фреше отображения $F_{t}$ при фиксированном $t$; тогда ясно, что $G_{t}=D F_{t}(0)$ является линейной полугруппой на $E$. Ее производящий оператор, который формально равен $D X(0)$, является поэтому плотно определенным замкнутым линейным оператором, который определяет линеаризованное уравнение ${ }^{1}$ ). Нижеследующее предположение касается спектра линейной полугруппы $G_{t}$, который при соответствующих условиях (Хилле и Филлипс [1]) является экспоненциалом спектра $D X(0)$ (сравните с гл. 2A). При этих условиях имеет место рождение периодических орбит. Они будут устойчивы при следующем условии. Эта процедура может быть применена прямо к векторному полю $X$, поскольку вычисления конечномерны; неограниченность образующей $X$ не вносит дополнительных трудностей. Сформулируем основной результат. Особо отметим, что вблизи периодических орбит решения определены для всех $t \geqslant 0$. Это важный критерий глобального существования решений (см. также Сэттинджер $[1,2])$. Конечно, можно обобщить этот результат: например, рассмотреть случай, когда система зависит от нескольких параметров и несколько собственных значений пересекают окружность, или случай системы с симметрией, рассмотренный ранее (гл. 7). Таким же образом можно доказать рождение инвариантного тора из периодической орбиты. Доказательство теоремы (кабросок). Как показано вгл. 2, теорему о центральном многообразии можно применять к потокам. Таким образом, для гладкого потока $F_{t}(x, \mu)=$ $=\left(F_{t}^{\mu}(x), \mu\right)$ мы можем получить существование локально инвариантного центрального многообразия $C$; это трехмерное многообразие, касающееся оси $\mu$ и двумерного собственного направления оператора $G_{t}^{0}(0)$. (Инвариантное многообразие устойчиво и содержит всю локальную рекуррентность, но $F_{t}$ пока еще только локальный поток на этом многообразии.) Оказывается, существует замечательное свойство гладких полупотоков, которое доказано в гл. 8A (отсылаем к Бохнеру и Монтгомери [1], см. Чернов и Марсден [2]): оно состоит в том, что полупоток $F_{t}$ на конечномерном многообразии $C$ порождается $C^{\infty}$-векторным полем, т. е. исходное поле $X$, ограниченное на $C$, является $C^{\infty}$-векторным полем (oпределенным во всех точках). После этого все немедленно сводится к теореме Хопфа в размерности 2, и за доказательством можно отослать к гл. 3 . Здесь все может быть проделано точно так же, как в гл. 6. Однако, как объяснено в гл. $2 \mathrm{~B}$, необходимо знать, что $F_{t}^{\mu}(x)$ гладко зависит от $t, \mu, x$ для $t>0$. Тогда отображение Пуанкаре для замкнутой орбиты будет корректно определенным и гладким, и после сведения к конечной размерности с помощью теоремы о центральном многообразий, как в гл. 6, оно будет диффеоморфизмом в силу следствия 8А.9. Поэтому мы действительно можем воспользоваться теми же самыми бифуркационными теоремами, что и в гл. 6, для анализа рождения тора. Для проверки предположений гладкости можно использовать результаты гл. 8А и 9.
|
1 |
Оглавление
|