Как мы уже видели в предыдущих главах, в нашем распоряжении имеются, вообще говоря, два метода доказательства бифуркационных теорем. Первый — это исходный метод Хопфа, а второй — использование техники инвариантного многообразия для сведения задачи к конечномерному (часто двумерному) случаю.

Для уравнений с частными производными, таких, как уравнения Навье -.Стокса (см. гл. 1), теоремы в том виде, как они были сформулированы Хопфом (см. гл. 5) или Рюэлем и Такенсом (см. гл. 3,4 ) неприменимы, о чем уже говорилось. Трудность здесь состоит в том, что векторные поля, порождающие потоки, обычно негладкие функции на любом разумно выбранном банаховом пространстве.

И все же метод Хопфа может быть использован для уравнений с частными производными при условии, что уравнения имеют определенный «параболический» тип. Это было сделано Юдовичем [11], Иоссом [3], Джозефом и Сэттинджером [1] и другими ${ }^{1}$ ). В частности, эти методы применимы куравнениям Навье — Стокса. Полученный здесь результат состоит в том, что при выполнении спектральных условий теоремы Хопфа периодическое решение действительно рождается и, более того, применим анализ устойчивости, данный ранее. Главное предположение, необходимое для этого метода это аналитичность решения по $t$.

Здесь мы хотим кратко остановиться на другом методе получения подобных результатов. Фактически предыдущие разделы были написаны таким образом, чтобы сделать этот метод совершенно ясным: вместо использования гладкости порождающего векторного поля или $t$-аналитичности решения мы использовали гладкость потока $F_{t}^{\mu}$. Нам кажется, что это дает технические преимущества при рассмотрении следующей бифуркации рождения инвариантного тора. Аналитичности по $t$ недостаточно для работы с отображением Пуанкаре периодического решения (см. гл. 2B).
1) См. также Колесов (1],-Прим, перев.

Полезно заметить, что существуют общие результаты, применимые к конкретным эволюционным уравнениям с частными производными, которые позволяют определять гладкость их потоков на соответствующим образом выбранных банаховых пространствах. Эти результаты получены в работе Дорро и Марсдена [1]. Для удобства читателя в главе 8A мы приведем нужные для дальнейшего части этой работы, а также некоторые полезные теоретические сведения по этому вопросу.

Мы сначала сформулируем результаты в общем виде, а затем (в гл. 9) опишем, как эту процедуру можно эффективно применить для уравнений Навье — Стокса. Одновременно мы установим основные результаты, касающиеся существования, единственности и гладкости для уравнений Навье — Стокса, используя метод Като — Фуджиты [1] и результаты Дорро и Марсдена [1] (гл. 8A).

Следует отметить, что и для уравнений с частными производными, отличных от уравнений Навье — Стокса, бифуркационные задачи встречаются весьма часто; например, при изучении химических реакций (см. Коппель и Ховард.[1,2, 5]) и в динамике популяций (см. гл. 10). Задачи из других областей, таких, как теория электрических цепей и теория упругости, вероятно, того же типа (см. Стерн [1], Зиглер [1] и Кнопс и Уилкс [1]). Похоже, что настоящая сила методов теории бифуркаций только начинает реализовываться в приложениях.

Общая схема и основные предположения
Будем рассматривать систему эволюционных уравнений общего вида
\[
\frac{d x}{d t}=X_{\mu}(x), \quad x(0) \text { задано, }
\]

где $X_{\mu}$ — зависящий от параметра $\mu$ плотно определенный нелинейный оператор ${ }^{1}$ ) на подходящем функциональном пространстве $E$ (банаховом пространстве). Например, $X_{\mu}$ может быть оператором Навье — Стокса, а $\mu$ — числом Рейнольдса (см. гл. 1). Предполагается, что эта система определяет единственное локальное решение $x(t)$ и, следовательно, полупоток $F_{t}$, который при фиксированном $\mu$ и $t \geqslant 0$ отображает $x(0)$ в $x(t)$.
1) То есть оператор, определенный на всюду плотном подмножествє соответствующего функционального пространства. — Прим. перев.

Бифуркационные теоремы для уравнений с частными производными 197
Самым существенным, что необходимо знать относительно потока $F_{t}$ нашей системы, является тот факт, что при любых фиксированных $t$ и $\mu$ поток $F_{t}$ будет $C^{\infty}$-отображением банахова пространства $E$ ( $F_{t}$, вообще говоря, определен только локально по $t$ ). Отметим (см. конец гл. 8A) те свойства, которыми в большинстве случаев обладает $F_{t}$ и которые поэтому будем считать выполненными:
(a) $F_{t}$ определен на открытом подмножестве из
\[
R^{+} \times E, \quad R^{+}=\{t \in R \mid t \geqslant 0\} ;
\]
(б) $F_{t+s}=F_{t} \circ F_{s}$ (там, где это определено);
(в) $F_{t}(x)$ по отдельности (а следовательно, и совместно (гл. 8A)) непрерывен по ( $t, x) \in R^{+} \times E$.

Сделаем два важных предположения относительно потока. Первое из них таково.
(8.1) Условие гладкости. Будем считать, что для каждого фиксированного $t$ отображение $F_{t}$ является $C^{\infty}$-отображением (открытого подмножества) $E$ в $E$.

Это как раз то, что мы будем понимать под гладкой полугруппой. Қонечно, мы не требуем гладкости по $t$, так как, вообще говоря, образующая $X_{\mu}$ для $F_{t}$ будет только плотно определенным, а не гладким отображением $E$ в $E$. Однако, как разъясняется в главе $8 \mathrm{~A}$, не совсем глупо ожидать гладкости по $\mu$ и $t$ при $t>0$ (что является нелинейным аналогом «аналитических полугрупп» и имеет место для уравнений «параболического типа»). Это нам потребуется ниже.

В гл. 9 мы опишем вкратце, как можно проверить это предположение для уравнений Навье — Стокса, используя общий критерий, применимый к широкому классу систем (для систем, подобных нелинейным волновым уравнениям, это хорошо известно из работ Сегала [1] и других).
Приводим второе наше предположение.
(8.2) Условие продолжаемости решений. Пусть $F_{t}(x)$ для фиксированного х лежит в ограниченном множестве пространства $E$ при всех $t$, для которых $F_{t}(x)$ определено. Тогда $F_{t}(x)$ определено при всех $t \geqslant 0$.

Это просто означает, что наша теорема существования для $F_{t}$ достаточно сильна, чтобы гарантировать следующее: орбита может быть не определена только тогда, когда она за конечное время уходит на бесконечность. Такое предположение в большинстве случаев выполняется (в частности, для уравнений Навье — Стокса).

Предположим, что $F_{t}$ имеет неподвижную точку, которой можно считать точку $O \in E$, т. е. $F_{t}(0)=0$ при всех $t \geqslant 0$. Обозначим через $D F_{t}$ производную Фреше отображения $F_{t}$ при фиксированном $t$; тогда ясно, что $G_{t}=D F_{t}(0)$ является линейной полугруппой на $E$. Ее производящий оператор, который формально равен $D X(0)$, является поэтому плотно определенным замкнутым линейным оператором, который определяет линеаризованное уравнение ${ }^{1}$ ). Нижеследующее предположение касается спектра линейной полугруппы $G_{t}$, который при соответствующих условиях (Хилле и Филлипс [1]) является экспоненциалом спектра $D X(0)$ (сравните с гл. 2A).
Переходим к третьему предположению.
(8.3) Спектральное условие. Предположим, что мы имеем семейство $F_{t}^{\mu}$ гладких нелинейных полугрупп, определенных для значений $\mu$ из некоторого интервала, содержащего $0 \in \mathbb{R}$. Допустим, что $F_{t}^{\mu}(x)$ является гладким по $t, x, \mu$ отображением при $t>0$. Предположим также, что
(a) $O$ — неподвижная точка $F_{t}^{\mu}$;
(б) при $\mu<0$ спектр $G_{t}^{\mu}$ содержится во множестве $D=\{z \in \mathbb{C}:|z|<1\}$, где $G_{t}^{\mu}=\left.D_{x} F_{t}^{\mu}(x)\right|_{x=0} ;$
(в) при $\mu=0$ (соответственно $\mu>0$ ) спектр $G_{t}^{\mu}$ имеет два изолированных простых собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ с $|\lambda(\mu)|=1$ (соответственно $|\lambda(\mu)|>1$ ), а остальная часть спектра лежит в $D$ и остается отделенной от единичной окружности;
(г) $\left.\left(\frac{d}{d \mu}\right)|\lambda(\mu)|\right|_{\mu=0}>0$ (собственные значения движутся монотонно, пересекая единичную окружность).

При этих условиях имеет место рождение периодических орбит. Они будут устойчивы при следующем условии.
(8.4) Условие устойчивости. Выполняется неравенство $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$, где $V^{\prime \prime \prime}(0)$ вычисляется в соответствии с процедурой гл. 4 (см. гл. 4A).

Эта процедура может быть применена прямо к векторному полю $X$, поскольку вычисления конечномерны; неограниченность образующей $X$ не вносит дополнительных трудностей.
1) Даже если подгруппа, негладкая, можно придать смысл линеаризации уравнений и потока. Например, поток уравнений Эйлера класса $C^{1}$ как отображение $H^{s}$ в $H^{s-1}$, но производная продолжается до ограниченного оператора на $H^{s-1}$; см. Дорро в Марсден [1].

Сформулируем основной результат.
(8.5) Теорема. При указанных выше предположениях в пространстве $E$ существует окрестность $U$ точки $O$ и число $\varepsilon>0$, такие, что $F_{t}^{\mu}(x)$ определено при всех $t \geqslant 0$ для $\mu \in$ $\in(-\varepsilon, \varepsilon] \quad u \quad x \in U$. Для каждого $\mu>0$ поток $F_{t}^{\mu}$ имеет единственную устойчивую замкнутую орбиту. Эти орбиты при изменении $\mu$ образуют однопараметрическое непрерывно зависящее от $\mu$ семейство. Решения, близкие к ним, определены для всех $t \geqslant 0$. Существует окрестность начала координат, в которой любая замкнутая орбита потока совпадает с одной из орбит семейства.

Особо отметим, что вблизи периодических орбит решения определены для всех $t \geqslant 0$. Это важный критерий глобального существования решений (см. также Сэттинджер $[1,2])$.

Конечно, можно обобщить этот результат: например, рассмотреть случай, когда система зависит от нескольких параметров и несколько собственных значений пересекают окружность, или случай системы с симметрией, рассмотренный ранее (гл. 7). Таким же образом можно доказать рождение инвариантного тора из периодической орбиты.

Доказательство теоремы (кабросок). Как показано вгл. 2, теорему о центральном многообразии можно применять к потокам. Таким образом, для гладкого потока $F_{t}(x, \mu)=$ $=\left(F_{t}^{\mu}(x), \mu\right)$ мы можем получить существование локально инвариантного центрального многообразия $C$; это трехмерное многообразие, касающееся оси $\mu$ и двумерного собственного направления оператора $G_{t}^{0}(0)$. (Инвариантное многообразие устойчиво и содержит всю локальную рекуррентность, но $F_{t}$ пока еще только локальный поток на этом многообразии.)

Оказывается, существует замечательное свойство гладких полупотоков, которое доказано в гл. 8A (отсылаем к Бохнеру и Монтгомери [1], см. Чернов и Марсден [2]): оно состоит в том, что полупоток $F_{t}$ на конечномерном многообразии $C$ порождается $C^{\infty}$-векторным полем, т. е. исходное поле $X$, ограниченное на $C$, является $C^{\infty}$-векторным полем (oпределенным во всех точках). После этого все немедленно сводится к теореме Хопфа в размерности 2, и за доказательством можно отослать к гл. 3 .

Здесь все может быть проделано точно так же, как в гл. 6. Однако, как объяснено в гл. $2 \mathrm{~B}$, необходимо знать, что $F_{t}^{\mu}(x)$ гладко зависит от $t, \mu, x$ для $t>0$. Тогда отображение Пуанкаре для замкнутой орбиты будет корректно определенным и гладким, и после сведения к конечной размерности с помощью теоремы о центральном многообразий, как в гл. 6, оно будет диффеоморфизмом в силу следствия 8А.9. Поэтому мы действительно можем воспользоваться теми же самыми бифуркационными теоремами, что и в гл. 6, для анализа рождения тора. Для проверки предположений гладкости можно использовать результаты гл. 8А и 9.