О. Руиз

Цель этого раздела – изложить общую идею Киршгасснера и Кильхёффера [1], которую они применяли при решении некоторых задач устойчивости и теории бифуркаций.
Модель Тейлора
Имеются два коаксиальных бесконечных цилиндра радиусов $r_{1}^{\prime}$ и $r_{2}^{\prime}\left(r_{1}^{\prime}<r_{2}^{\prime}\right)$, вращающихся с постоянными угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Между цилиндрами находится несжимаемая вязкая жидкость, которая вследствие вязкости вращается. Если $\lambda$ – число Рейнольдса, $\lambda=\frac{r_{1}^{\prime} \omega_{1}\left(r_{2}^{\prime}-r_{1}^{\prime}\right)}{v}(v-$ коэффициент кинематической вязкости), то при малых $\lambda$ мы получаем течение, не зависящее от $\lambda$, называемое течением Куэтта. По мере роста $\lambda$ возникают несколько типов движений жидкости, простейшим из которых является течение, не зависящее от $\varphi$ и периодическое по $z$ ( $r, \varphi, z$ – цилиндрические координаты). Если мы ограничимся такими течениями и потребуем, чтобы решение $v$ было инвариантно относительно действия группы $T_{1}$, порожденной сдвигами $z \rightarrow z+\frac{2 \pi}{\sigma}$ и $\varphi \rightarrow \varphi+2 \pi, \quad \sigma>0$, и рассмотрим «основное» течение $V\left(V_{r}, V_{\varphi}, V_{z}\right), P_{\text {в цилиндрических координатах (предпола- }}$ гая $V$ и $P$ заданными), то мы можем записать уравнения Навье – Стокса в виде
(a) $D_{t} u-\widetilde{\Delta} u+\lambda L(V) u+\lambda
abla q=-\lambda N(u)$,
(б) $
abla \cdot u=0,\left.u\right|_{r=r_{1}, r_{2}}=0, u(T x, t)=u(x, t)$,
(в) $\left.u\right|_{t=0}=u^{0}$,

где $v=V+u, p=P+q, D_{t}=\frac{\partial}{\partial t},
abla=\left(\frac{\partial}{\partial r}, 0, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ (градиент)
\[
\begin{array}{c}
\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \text { (лапласиан), } \tilde{\Delta}_{i k}=\left(\Delta-\left(1-\delta_{i 3}\right) / r^{2}\right) \delta_{i k}, \\
L_{i k}^{0}(V)=-2 V_{\Phi} \delta_{i l} \delta_{2 k} / r+\left(V_{r} \delta_{2 k}+V_{\Phi} \delta_{l k}\right) \delta_{i 2} / r, \\
L(V) u=L^{0}(V) u+(V \cdot
abla) u+(u \cdot
abla) V, \\
Q(u)_{l}=-u_{\Phi}^{2} \delta_{i l} / r+u_{\Phi} u_{r} \delta_{i 2} / r, \\
N(u)=(u \cdot
abla) u+Q(u) .
\end{array}
\]

Модель Бенара
Вязкая жидкость заполняет слой между двумя горизонтальными, плоскостями и движется при наличии сил вязкости и плавучести, причем последняя вызывается нагревом нижней плоскости. Если температура верхней плоскости $T_{1}$, а температура нижней $T_{0}\left(T_{0}>T_{1}\right)$, то при малой величине $T_{0}-T_{1}$ жидкость покоится, а распределение температуры по вертикали линейно. Однако когда $T_{0}-T_{1}$ становится больше критического значения, наблюдаются конвективные движения. Пусть $\alpha, h, g, v, \rho, k$ обозначают соответственно коэффициент объемного расширения, толщину слоя, ускорение силы тяжести, кинематическую вязкость, плотность и коэффициент теплопроводности. Выберем декартовы координаты, в которых ось $x_{3}$ направлена противоположно силе тяжести. Обозначим через $\tilde{\theta}$ температуру, а через $p$ – давление. Из уравнений Навье – Стокса для произвольно взятого течения $V$, $T, P$ получим следующую задачу с начальными данными. Пусть $\omega=(u, \theta), v=V+u, p=P+q, \tilde{\theta}=T+\theta$, тогда
(a) $D_{t} \omega-\widetilde{\Delta} \omega+\lambda L(V) \omega+
abla q=-N(\omega)$,
(б) $
abla \cdot \omega=0,\left.\omega\right|_{x_{3}=n_{0} 1}=0$,
(в) $\left.\omega\right|_{t=0}=\omega^{0}$,

где $\lambda=\alpha g\left(T_{0}-T_{1}\right) h^{3} / v^{2}$ (число Рейнольдса или число Грасгоффа),
\[
\begin{array}{c}

abla=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}}, 0\right), \\
\tilde{\Delta}_{i k}=\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}\right)\left(\delta_{i k}+\frac{1}{\operatorname{Pr}} \delta_{i 4}\right), \operatorname{Pr}=\frac{k}{v}, \\
L_{i k}^{0}=-\delta_{i 3} \delta_{k 4}-\frac{1}{\operatorname{Pr}} \delta_{i 4} \delta_{k 3}, \\
L(V) \omega=L^{0} \omega+(V \cdot
abla) \omega+(u \cdot
abla) V, \\
N(\omega)=(u \cdot
abla) \omega .
\end{array}
\]

Экспериментальные исследования показывают, что конвективные движения образуют регулярную структуру в виде замкнутых ячеек, имеющих форму валов. Поэтому мы рассмотрим класс таких решений, что
1) $\omega(T x, t)=\omega(x, t), \quad q(T x, t)=q(x, t)$,

где $T \in T_{1}$, а $T_{1}$ – группа, порожденная сдвигами:
\[
x_{1} \rightarrow x_{1}+\frac{2 \pi}{\alpha}, \quad x_{2} \rightarrow x_{2}+\frac{2 \pi}{\beta} ; \alpha^{2}+\beta^{2}
eq 0 ;
\]

2) $u(T x, t)=T u(x, t), q(T x, t)=q(x, t), \theta(T x, t)=\theta(x, t)$, $T \in T_{2}$, где $T_{2}$ – группа вращений, порожденная операторами
\[
T_{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \text {. }
\]

Замечание. Можно показать, что все дифференциальные операторы в дифференциальных уравнениях инвариантны относительно $T_{1}$ и $T_{2}$. Интересно, что необходимым условием существования нетривиальных решений является равенство $\alpha=\frac{2 \pi}{n}, n \in\{1,2,3,4,6\}$ и что существует только 6 возможных комбинаций, $n, \alpha, \beta$, которые дают различные ячеистые структуры (отсутствие ячеистой структуры, валы, прямоугольники, шестиугольники, квадраты, треугольники).

Функционально-аналитический подход
Аналогия между (9В.1) и (9В.2) в задачах Тейлора и Бенара подсказала авторам работы абстрактную формулировку задачи о бифуркации и устойчивости. В этой части я хочу вкратце описать идею, следуя которой авторы переходят от дифференциальных уравнений (9В.1) и (9В.2) к соответствующим эволюционным уравнениям в некотором гильбертовом пространстве.

Мы можем рассматривать $D$ как открытое подмножество $\mathbb{R}^{3}$ с границей $\partial D$, являющейся двумерным многообразием класса $C^{2} . T_{1}$ будет обозначать группу сдвигов, а $\Omega$ – ее фундаментальную область, которую мы будем считать ограниченной. Допустим, что $D=\bigcup_{T \in T_{1}} T \Omega$. Рассмотрим теперь следующие множества (сl обозначает замыкание): $C^{T, \infty}(\bar{D})=$ $=\left\{\omega \mid \omega: \operatorname{cl}(D) \rightarrow R^{n}\right.$, бесконечно дифференцируемое в $\mathrm{cl}(D)$, $\left.\omega(T x)=\omega(x), T \in T_{1}\right\}$,
\[
\begin{array}{l}
\left.C_{0}^{T, \infty}(D)=\left\{\omega \mid \omega \in C^{T, \infty}(\bar{D}), \text { supp } \omega \subset D\right\}^{1}\right), \\
C_{0, \infty}^{T, \infty}(D)=\left\{\omega \mid \omega \in C_{0}^{T, \infty}(D),
abla \cdot u(x)=0, \omega=(u, v), u \in \mathbb{R}^{3}\right\} .
\end{array}
\]
1) $\operatorname{supp} \omega-$ носитель $\omega$, т. е. замыкание множества тех $x \in R^{3}$, где $\omega(x)
eq 0$. – Прим. перев.

Определим
\[
(v, \omega)_{m}=\sum_{|\gamma| \leqslant m}\left(D^{\gamma} v, D_{\omega}^{\gamma}\right),|v|_{m}=\left\{(v, v)_{m}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где
\[
\left(D^{\gamma} v, D^{\gamma} \omega\right)_{2}=\int_{\omega}\left(D^{\gamma} v(x) \cdot D^{\gamma} \omega(x)\right) d x
\]

а $\gamma$-мультииндекс длины 3. При этом получаются следующие гильбертовы пространства:
$L_{2}^{T}$ – замыкание пространства $C_{0}^{T, \infty}(D)$ по норме $\mid$ lo,
${ }^{\circ} T$ – замыкание пространства $C_{0, \sigma}^{T, \infty}(D)$ по норме $\mid$ 10,
$\stackrel{\circ}{H}_{1, \sigma}^{T}$ – замыкание пространства $C_{0, \sigma}^{T, \infty}(D)$ по норме ||$_{1}$,
$H_{m}^{T}$ – замыкание пространства $C^{T, \infty}(\bar{D})$ по норме $\mid l_{m}$,
Для задачи Тейлора $n=3, D=\left(r_{1}, r_{2}\right) \times[0,2 \pi), \Omega=$ $=\left(r_{1}, r_{2}\right) \times[0,2 \pi) \times[0,2 \pi / \sigma)$, а для задачи Бенара $n=4$, $D=R^{2} \times(0,1), R$ – действительные числа, $\Omega=[0,2 \pi / \alpha) \times$ $\times[0,2 \pi / \beta) \times(0,1)$. Мы можем считать, что операторы в дифференциальных уравнениях (9В.1) или (9В.2) действуют в $L_{2}^{T}$.

В силу леммы Вейля $L_{2}^{T}$ можно представить в виде $L_{2}^{T}=$ $=\stackrel{\circ}{J}^{T} \oplus G^{T}$, где $G^{T}$ содержит множества вида $
abla q$, для которых $q \in H_{1}^{T}$. Используя ортогональную проекцию $P: L_{2}^{T} \rightarrow \AA_{J}^{T}$, перейдем от дифференциального уравнения $D_{t} \omega-\grave{\Delta} \omega+$ $+\lambda L(V) \omega+\lambda
abla q=-\lambda N(\omega)$ с дополнительным условием периодичности и граничными условиями к дифференциальному уравнению на $J^{T}$. Если мы выберем $q \in H_{1}^{T}$, то $P
abla q 0$, а так как для решений на $J^{T}$, как мы видели, $P u=u$, то можно
\[
\frac{d \omega}{d t}+P \grave{\Delta} \omega+\lambda P L(V) \omega=-\lambda P N(\omega)
\]

с начальным условием $\omega \mid t=0=\omega^{0}$.
Авторы работы записывают (9В.3) в виде
\[
\frac{d \omega}{d t}+\tilde{A}(\lambda) \omega+h(\lambda) R(\omega)=0,\left.\omega\right|_{t=0}=\omega^{0},
\]

где $\tilde{A}(\lambda)=P \dot{\Delta}+\lambda P L(V), R(\omega)=P N(\omega)$, а $h(\lambda)=\lambda$ для задачи Тейлора и $h(\lambda)=1$ для задачи Бенара. Используя результаты Като – Фуджиты, они показывают, что можно определить дробные степени оператора $\tilde{A}(\lambda)$ :
\[
\dot{A}(\lambda)^{-\beta}=\frac{1}{\Gamma(\beta)} \int_{0}^{\infty} \exp [-\check{A}(\lambda) t] t^{\beta-1} d t, \quad \beta>0,
\]

причем этот оператор обратим. Этот факт полезен при решении некоторых бифуркационных задач в стационарном случае. Если $A=P \hat{\Delta}, M(V)=P L(V)$, то стационарное уравнение, получаемое из уравнения (9B.3), таково:
\[
A \omega+\lambda M(V) \omega+h(\lambda) R(\omega)=0,
\]

где $V$-любое известное стационарное решение, $V$ принадлежит области определения $A$.
Сделаем замену $A^{3 / 4} \omega=v$ и обозначим
\[
K(V)=A^{-1 / 4} M\left(Y^{\prime}\right) A^{-3 / 4}, T(v)=A^{-1 / 4} R\left(A^{-3 / 4} v\right) .
\]

Тогда можно записать уравнение (SP) в виде
\[
v+\lambda K(V) v+h(\lambda) T(v)=0 .
\]

Пользуясь теоремой Красносельского, можно доказать следующую теорему:

Теорема 4.1. Пусть $\lambda_{j} \in \mathbb{R}, \lambda_{j}
eq 0$ и $\left(-\lambda_{j}\right)^{-1}$ – нечетнократное собственное значение оператора $K$. Тогда
(1) в каждой окрестности точки $\left(\lambda_{l}, 0\right)$ в $\mathbb{R} \times$ j $^{T}$ существует точка $(\lambda, \omega), 0
eq \omega \in D(A)$, такая, что $\omega$ является решением стационарного уравнения (SP);
(2) если $\left(-\lambda_{j}\right)^{-1}$ – простое собственное значение, то существует единственная кривая $(\lambda(\alpha), \omega(\alpha))$, такая, что $\omega(\alpha)
eq 0$ при $\alpha
eq 0$, ивляется решением уравнения (SP), причем $(\lambda(0), \omega(0))=\left(\lambda_{i}, 0\right)$.

Если теперь мы предположим, что $V \in C(\bar{\Omega}), a \partial D$ является $C^{\infty}$-многообразием (это выполняется для задач Тейлора и Бенара), и рассмотрим решения (SP) в пространстве $H_{m+2} \cap H_{1, \sigma}, m>3 / 2$, то уравнение (SP) можно записать в виде
\[
\left(\mathrm{SP}^{\prime}\right) \quad A_{m} \omega+\lambda M \omega+h(\lambda) R(\omega)=0,
\]

где $A_{m}$ – оператор, область определения которого $D\left(A_{m}\right)=$ $=H_{m+2} \cap H_{1, \sigma} \subset P H_{m}, A_{m}(\omega)=A \omega, \omega \in D(A)$. Если в дополнение к этому мы рассмотрим в равенстве $R(\omega)=P N(\omega)$ в качестве $N(\omega)$ произвольный полиномиальный оператор от операторов дифференцирования до второго порядка и положим $K_{m}=M A_{m}^{-1}$, то мы можем получить следующую теорему:

Теорема 4.2. Пусть $V \in C(\bar{D})$ и $\partial D-C^{\infty}$-многообразие. Предположим, что существуют постоянные $C_{1}, C_{2}$, такие, что
\[
|M \omega|_{m+1} \leqslant C_{1}|\omega|_{m+2},\left|M A_{m}^{-1} \omega\right|_{m+1} \leqslant C_{2}|\omega|_{m} .
\]

Тогда для каждого нечетнократного собственного значения $\left(-\lambda_{j}\right)^{-1}$ оператора $K_{m}, \lambda_{j}
eq 0$, точка $\left(\lambda_{j}, 0\right)$ является точкой бифуркации уравнения ( $\left.\mathrm{S}^{\prime}\right)$. Решение $\omega$ принадлежит $C(\bar{D})$ и удовлетворяет граничному условию $\left.\omega\right|_{\partial р}=0$.

Эта теорема показывает, что для ответвляющихся решений можно получить сильную регулярность. Отметим также, что теоремы 4.1 и 4.2 сводят вопрос существования решений уравнения (SP) к изучению спектра операторов $K$ или $K_{m}$.

Применим теперь эти теоремы к задачам Тейлора и Бенара.

Задача Тейлора. Выберем здесь $K=A^{-1 / 4} M\left(v^{0}\right) A^{-3 / 4}$, где $v^{0}$ – решение Куэтта. В цилиндрических координатах это решение есть $v^{0}\left(0, v_{\varphi}^{0}, 0\right)$, где $v_{\varphi}^{0}=a r+\frac{b}{r}$,
\[
a=\frac{1}{r_{1} \omega_{1}} \frac{\omega_{2} r_{2}^{2}-\omega_{1} r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}, b=\frac{1}{r_{1} \omega_{1}} \frac{\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) r_{1}^{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}} .
\]

Для $a \geqslant 0, v_{\varphi}^{0} \geqslant 0$ Синг показал, что течение Куэтта локально устойчиво. Для $a<0, v_{\varphi}^{0}(r)>0$ Вельте и Юдович для оператора $K$ доказали следующую теорему:

Теорема 4.3. Пусть $a<0, v_{\varphi}^{0}(r)>0$ при $r \in\left(r_{1}, r_{2}\right), T_{1}-$ группа сдвигов, порожденная отображениями $z \rightarrow z+2 \pi / \sigma$, $\varphi \rightarrow \varphi+2 \pi, \sigma>0$. Тогда для всех $\sigma>0$, за исключением не более чем счетного множества положительных чисел, существует счетное множество действительных простых собственных значений $\left(-\lambda_{i}\right)^{-1}$ оператора К. Каждая точка $\left(\lambda_{i}, 0\right) \in$ $\in \mathbb{R} \times D(A)$ для стационарной задачи является точкой бифуркации, в которой появляется в точности одно нетривиальное решение $(\lambda(\alpha), \omega(\alpha))$. Эти решения являются вихрями Tейлора ${ }^{1}$ ).

Экспериментальные данные свидетельствуют, что все решения, ветвящиеся из точки ( $\left.\lambda_{i}, 0\right)$, при $\lambda_{i}
eq \lambda_{1}$ неустойчивы, однако доказательство этого утверждения неизвестно.
1) Вихрю Тейлора соответствует первая точка бифуркации $\left(\lambda_{1}, 0\right)$. Прим. перев.

Задача Бенара. Если $\lambda=\alpha g\left(T_{0}-T_{1}\right) h^{3} / v^{2}, \sigma=\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)^{1 / 2}$, $\alpha, \beta$ как на стр. 247 , то, как известно, существует некоторое $\lambda_{1}(\sigma)$, такое, что при $\lambda \in\left[0, \lambda_{1}\right] \omega=0$ является единственным решением стационарной задачи. Бифуркационная картина здесь определяется спектром оператора $K=A^{-1 / 4} M\left(v^{0}\right) A^{-3 / 4}$, где $v^{0}$ в декартовых координатах задается выражением
\[
v^{0}=0, P\left(x_{3}\right)=-\frac{g h^{3}}{v^{2}}\left(x_{3}+a\left(T_{0}-T_{1}\right)\right), \theta_{0}\left(x_{3}\right)=-x_{3} .
\]

Чтобы сделать собственные значения простыми, В. И. Юдович вводит четные решения $u(-x)=\left(-u_{1}(x),-u_{2}(x), u_{3}(x)\right)$, $\theta(-x)=\theta(x), q(-x)=-q(x)$, и доказывает в работах «О возникновении конвекции» (Юдович [6]) и «Свободная конвекция и ветвление» (ПММ, 1967, т. 31, вып. 1) следующую теорему:

Теорема 4.6. (1) $B$ задаче Бенара для почти всех $\alpha и \beta$ существует счетное множество простых положительных характеристических чисел $\lambda_{i}$. Точки $\left(\lambda_{i}, 0\right) \in \mathbb{R} \times D(A)$ являются точками бифуркации.
(2) Eсли $n, \alpha, \beta$ выбраны в соответствии с замечанием на стр. 247, то ветвям, выходящим из точки ( $\left.\lambda_{i}, 0\right)$, соответствуют: дважды периодические ячейки, валы, шестиугольные, прлмоугольные и треугольнєе ячейки.
(3) Если $\lambda_{1}$ обозначает наименьшее характеристическое число, то нетривиальное решение появляется справа от $\lambda_{1}$ (по $\lambda$ ) и с помощью замены параметра его можно записать в виде $\omega(\lambda)= \pm\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{1 / 2} F(\lambda)$, где $F: R \rightarrow D(A)$ голоморфная по $\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{1 / 2}$ функция.

Интересно отметить следующий факт: поскольку характеристические числа определяются только значением $\sigma$, то мы можем рассматривать различные $\alpha, \beta$ с одним и тем же $\sigma$ и получать решения любой возможной пространственной структуры, появляющиеся в точке бифуркации.

Устойчивость
Я хочу дать краткий обзор основных результатов, относящихся к этой теме. Известно, что основное решение теряет устойчивость при некотором $\lambda_{c} \in\left(0, \lambda_{1}\right], \lambda_{1}$ определено в предыдущем разделе. В предположении, что $\lambda_{c}=\lambda_{1}$ и $\lambda_{1}$ – простое, рождающееся нетривиальное решение устойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$. Этот результат можно получить, используя степень Лере – Шаудера или аналитические методы теории возмущений.
Более точно, если мы выберем $V=v_{0}+\omega^{+}$, где $\omega^{+}$- ста-

для оператора $A(\lambda)=A+\lambda M(V)$ решение $\omega=0$ устойчиво относительно строгих решений из $D\left(A^{\beta}\right), 3 / 4<\beta<1$ (строгие решения понимаются в смысле статьи Като и Фуджиты); $V$ называется неустойчивым, если оно не является устойчивым B $\stackrel{\circ}{J}^{T}$.

Рассмотрим случай, когда ветвь нетривиального решения $(\lambda(\alpha), V(\alpha))$ в $R \times{ }^{\circ}$ при $|\alpha| \leqslant 1,(\lambda(0), V(0))=\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)$ может быть записана в виде
\[
\begin{array}{l}
\alpha(\lambda)= \pm c_{1}\left|\lambda-\lambda_{1}\right|^{1 / r}, \\
V(\lambda)=v_{0}+\left|\lambda-\lambda_{1}\right|^{1 / r} F(\lambda), \\
r \in N, \\
\end{array}
\]

где $F: R \rightarrow D(A)$ аналитично относительно $\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{1 / r}$ и $F\left(\lambda_{1}\right)
eq 0$ (эти условия выполнены для задач Бенара и Тейлора в силу теоремы 4.6 и следствия 4.4). Тогда имеет место следующее утверждение (лемма 5.6 рассматриваемой работы).

Лемма 5.6. Допустим, что $\lambda_{c}=\lambda_{1} u \operatorname{Re} \mu \geqslant \alpha>0$ для всех ненулевых $\mu$ из спектра $\sigma\left(\tilde{A}\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)\right)$. Пусть $\lambda_{1}$ – простое характеристическое значение оператора $K\left(v_{0}\right)$, а 0 – простое собственное значение оператора $\tilde{A}\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)$.

Тогда существует окрестность $\lambda_{1}$, такая, что для $\lambda$, лежащих в этой окрестности,
(1) $v_{0}$ устойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$;
(2) $V(\lambda)$ устойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$.
Для задачи Бенара условия леммы 5.6 выполняются при фиксированных $n, \alpha, \beta: \lambda_{1}$ – простое характеристическое значение $K\left(v_{0}\right)$ по теореме 4.6 , а условие $\lambda_{c}=\lambda_{1}$ следует из леммы 4.5 рассматриваемой работы.

Для задачи Тейлора известна только простота характеристического значения $\lambda_{1}$ оператора $K\left(v_{0}\right)$. Простота же $\mu=0$ в $\sigma\left(\tilde{A}\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)\right)$ является открытой проблемой.
Тем не менее можно получить следующую теорему:
Теорема 5.7. (1) Для задачи Бенара каждое решение с заданной формой ячейки (фиксированные $h, \alpha, \beta$ ) существует в некоторой правой полуокрестности точки $\lambda_{\text {, }}$ и асимптотически устойчиво в $D\left(A^{\beta}\right), \beta \in(3 / 4,1)$. Основное решение $v_{0}$ асимптотически устойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$.
(2) Для задачи Тейлора предположим, что условия леммь 5.6 на спектр $\tilde{A}\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)$ выполняются. Тогда для каждого периода ( $\sigma$ фиксировано) решение $V(\lambda)$, если оно существует, асимптотически устойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$.

Наконец, заметим, что эти результаты можно также получить, используя технику инвариантного многообразия (см., например, упр. 4.3). Возможность этого уже отмечалась Рюэлем и Такенсом [1] в их элегантном и простом доказательстве теоремы Вельте.

Укажем также, что основные результаты Проди, касающиеся спектральных свойств и устойчивости уравнений Навье – Стокса, следуют из свойств гладкости потока (гл.9) и результатов гл. $2 \mathrm{~A}$.