Стив Шектер

В этой главе мы изучим, как меняются бифуркационные теоремы, если в системе имеется группа симметрий. Такие системы не являются типичными, поэтому здесь мы сталкиваемся с особыми случаями и вырождениями (см. упражнения 1.16 и 4.3). В конце главы мы кратко обсудим применение изложенных здесь идей к течению Куэтта (благодарим Д. Рюэля за консультацию по этому вопросу).

Разделы 0-4 этой главы основаны на работе Рюэля [3]. Этому же вопросу посвящена работа Коппель и Ховарда [3] (см. также Сэттинджер [6]).

В первых частях главы мы ограничимся рассмотрением диффеоморфизмов. Вполне аналогичные результаты имеют место и для векторных полей.
0. Введение

Пусть $E$ – действительное банахово пространство с $C^{l}$ нормой $l \geqslant 3$. (Это означает, что отображение $x \mapsto\|x\|$ класса $C^{l}$ в $E \backslash\{0\}$.) Пусть $G$ – группа Ли и $\Lambda_{a}$-(гладкое) представление $G$ как группы линейных изометрий $E$. Обозначим через $\Lambda_{g}$ элементы $\Lambda_{G}$, где $g \in G$. Рассмотрим диффеоморфизмы $f: E \rightarrow E$, коммутирующие с $\Lambda_{G}$, т. е. удовлетворяющие условию $f \circ \Lambda_{\mathrm{g}}=\Lambda_{\mathrm{g}} \circ f$ для всех $g \in G$.

Если мы знаем точку $f(x)$ и $f$ коммутирует с $\Lambda_{\sigma}$, то для всех $y$, принадлежащих орбите точки $x$ относительно действия $\Lambda_{\sigma}$, опрєделены точки $f(y)$. Например, если $E=\mathbb{R}^{2}$ с евклидовой нормой и $\Lambda_{G}$ – группа вращений плоскости (представлением $G$ является группа $\mathrm{SO}(2)$ ) и если $f$ коммутирует с $\Lambda_{G}$, то $f$ переводит окружности в окружности.
Отметим следующее:
(0.1) Если $f$ и $h$-диффеоморфизмы $E$, которые коммутируют с $\Lambda_{G}$, то $a f+b h$ также коммутирует с $\Lambda_{G}$ для всех $a$, $b \in R$.
(0.2) Если $f$ коммутирует с $\Lambda_{G}$ и $f(0)=0$, то $D f(0)$ коммутирует с $\Lambda_{G}$;

(0.3) Если $\varphi: E \rightarrow \mathbb{R}$ удовлетворяет условию $\varphi \Lambda_{\mathrm{g}}(x)=$ $=\varphi(x)$ для всех $g \in G$ и $x \in E$, а $f$ коммутирует с $\Lambda_{o}$, то $\varphi \circ f$ коммутирует с $\Lambda_{g}{ }^{1}$ ).

Так как норма $E$ класса $C^{t}$, то мы можем построить срезающую $C^{l}$-функцию $\varphi: E \rightarrow \mathbb{R}$, удовлетворяющую условиям: $\varphi=1$ в окрестности точки $0, \varphi=0$ вне большей окрестности 0 и $\varphi$ постоянна на каждой сфере с центром в 0 . Такая функция $\varphi$ будет также удовлетворять условию (0.3). Для данного $C^{t}$-диффеоморфизма $f: E \rightarrow E$ и линейного изоморфизма $A: E \rightarrow E$, который коммутирует с $\Lambda_{\sigma}$ и достаточно близок к $D f(0)$, эти срезающие функции, вместе со свойствами (0.1) и (0.3) позволяют нам построить новый диффеоморфизм $h, C^{l}$-близкий к $f$, коммутирующий с $\Lambda_{G}$ и такой, что $D h(0)=A$.

Пусть $1 \leqslant k \leqslant l$ и $\mathscr{F}$ обозначает пространство сохраняющих слои отображений $f: E \times(-1,1) \rightarrow E \times(-1,1)$, удовлетворяющих условиям:
(a) каждое $f_{\mu}$ есть $C^{t}$-диффеоморфизм $E(\mu \in(-1,1))$;
(б) $f$ класса $C^{k}$ по второй переменной $\mu$;
(в) $f_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$;
(г) $f_{\mu}$ коммутирует с $\Lambda_{G}$ для всех $\mu$;
(д) $D f_{0}(0)$ имеет конечное число изолированных конечнократных собственных значений на окружности $|z|=1$ (так как эти собственные значения изолированы, то остальная часть спектра отделена от окружности $|z|=1$ ).

Мы хотим изучить для типичного $f \in \mathscr{F}$ изменения качественной структуры $f_{\mu}$ около начала координат, когда $\mu$ проходит через 0 . Фактически будет изучено открытое плотное подмножество $\mathscr{F}$, которое будет определено в разд. $2^{2}$ ).
1. Сведение к конечномерному случаю

Пусть $E^{0}$ – конечномерное подпространство $E$, соответствующее собственным значениям $D f_{0}(0)$, лежащим на окружности $|z|=1$.
i) Здесь имеется в виду тождество $\varphi f \Lambda_{g}(x)=\varphi f(x)$. – Прим. перев.
2) $\mathscr{F}$ рассматривается с соответствующей топологией Уитни. Базис открытых множеств $B(f, \varphi)$, содержащих $f \in \mathscr{F}$, определяется заданием строго положительной $C^{0}$-функции $\varphi: E \times(-1,1) \rightarrow \mathrm{R}$ и затем для всех
\[
\begin{array}{l}
(x, \mu), B(f, \varphi)=\left\{h \in \mathscr{F}\|\|(x, \mu)-f(x, \mu)\|<\varphi(x, \mu) ;\| \frac{\partial^{l}}{\partial x^{l}} h(x, \mu)-\right. \\
-\frac{\partial^{l}}{\partial x^{i}} f(x, \mu) \|<\varphi(x, \mu), \quad 1 \leqslant i \leqslant l \text { и }\left\|\frac{\partial^{l}}{\partial \mu^{j}} h(x, \mu)-\frac{\partial^{l}}{\partial \mu^{l}} f(x, \mu)\right\|< \\
<\varphi(x, \mu), 1 \leqslant j \leqslant k\} .
\end{array}
\]

(7.1) Утверждение. (1) $\Lambda_{g} E^{0}=E^{0}$ для всех $g \in G$; (2) на $E^{0}$ можно задать структуру гильбертова пространства таким образом, чтобы $\left.\Lambda_{G}\right|_{E^{0}}=\Lambda_{G}^{0}$ оставалось группой изометрий.

Доказательство. (1) Пусть $c$ – простая замкнутая кривая в $\mathbb{C}$, для которой $\bar{c}=c$ (где $\bar{c}$ означает кривую, комплексно-сопряженную с $c$ ), $\operatorname{Spec} D f_{0}(0) \cap c=\varnothing$ и $\operatorname{Spec} D f_{0}(0) \cap$ $\cap \operatorname{Int} c=\operatorname{Spec} D f_{0}(0) \cap\{z: \quad|z|=1\}$. Пусть $\quad P=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c}(z I-$ $\left.-D f_{0}(0) \otimes I\right)^{-1} d z$ – оператор, действующий в $E \otimes \mathbb{C}^{c}$ – комплексификации $E$. $P$ коммутирует с $\Lambda_{G} \otimes I$, так как он является пределом операторов, обладающих этим свойством. По теореме о спектральном разложении действительного оператора, $P$ является комплексификацией действительного опеparopa $Q: E \rightarrow E$. Ясно, что $Q$ коммутирует с $\Lambda_{G}$, поэтому подпространство $\operatorname{Im} Q^{1}$ ) инвариантно относительно $\Lambda_{G}$. Однако $\operatorname{Im} Q=E^{0}$.
(2) Пусть $\Gamma$-компактная группа, являющаяся замыканием $\Lambda_{G}^{0}$. Требуемое скалярное произведение на $E^{0}$ задается соотношением $(x, y)=\int_{\Gamma} d \gamma\langle x, \gamma y\rangle$, где $d \gamma$-мера Хаара на $\Gamma$, a $\langle$,$\rangle -любое скалярное произведение на E^{0}$.
(7.1) Теорема. Отображение $f \in \mathscr{F}$ имеет вблизи точки $(0,0) \in E \times(-1,1)$ локальное центральное C $^{k}$-многообразие $V$, касающееся $E^{0} \times(-1,1)$ и удовлетворяющее условиям:
(1) Каждое $V_{\mu}\left(V_{\mu}=V \cap(E \times\{\mu\})\right)$-класса $C^{l}$ и $\Lambda_{\sigma}$-инвариантно.
(2) Существует сохраняющая слои карта $\varphi: V \rightarrow E^{0} \times$ $\times(-1,1)$, для которой $\varphi \circ \Lambda_{g}=\Lambda_{\mathrm{g}} \circ \varphi$ рля всех $g \in G$.

Вся локальная рекуррентность $f_{\mu}$ около нуля сосредоточена на $V_{\mu}$.

Доказательство. (1) Основной момент здесь состойт в том, что построение центрального многообразия в теореме о центральном многообразии можно сделать способом, инвариантным относительно $\Lambda_{G}$. Для $\Lambda_{G}$-инвариантности $V$ достаточно, чтобы первое «пробное центральное многообразие», использующееся при построении, было $\Lambda_{G}$-инвариантным (см. гл. 2 и теорему о центральном многообразии для потоков). Выберем в качестве первого пробного центрального многообразия подпространство $E$, соответствующее $\qquad$
1) $\operatorname{Im} Q$ – подпространство $E$, являющееся образом $E$ при действии оператора Q. – Прим. перев.

$\operatorname{Spec} D f_{0}(0) \cap\{z:|z| \geqslant 1\}$, которое $\Lambda_{G}$-инвариантно, что следует из п. (1) утверждения $7.1(1)$.
(2) $\varphi=\left(\left.Q\right|_{E}\right) \times I$, где $Q$ определено при доказательстве утверждения 7.1 (1).
2. Типичное поведение

Начиная с этого места, в силу теоремы 7.1 мы можем считать $\left.f\right|_{v}$ действующим в окрестности точки $(0,0)$ пространсгва $E^{0} \times(-1,1)$, например вида $U \times J$, и через $A_{\mu}$ будем обозначать $\left.D f_{\mu}(0)\right|_{E^{*}} \cdot \Lambda_{G}^{0}$ будет тогда группой изометрий гильбертова пространства $E^{0}$. Теперь мы выделим типичное подмножество ${ }^{1}$ ) в $\mathscr{F}$, поддающееся удовлетворительному описанию.

Характеристический полином $A_{0}$ является произведением множителей вида $(x-1),(x+1)$ и $\left(x^{2}-2 \operatorname{Re} \lambda x+\lambda \bar{\lambda}\right)$ с $|\lambda|=1$. Пусть $\lambda$ – комплексное собственное значение $A_{0}$ (аналогичное рассуждение применимо в случае $\lambda= \pm 1$ ), и пусть $F$ – нулевое подпространство оператора ( $A_{0}^{2}-$ — $\left.2 \operatorname{Re} \lambda A_{0}+\lambda \bar{\lambda} I\right)^{k}$, где $k$ – показатель, с которым $\left(x^{2}-\right.$ $-2 \operatorname{Re} \lambda x+\lambda \bar{\lambda})$ входит в характеристический полином $A_{0}$. Тогда $F \Lambda_{G}$-инвариантно, так как оно является нулевым подпространством оператора, который коммутирует с $\Lambda_{G} ; F^{\perp}$ также $\Lambda_{G}$-инвариантно, так как $F$ и $\Lambda_{g}$ сохраняют скалярное произведение.

Пусть $B: E^{0} \rightarrow E^{0}$ – ортогональное проектирование на $F^{\perp}$. Тогда $A_{0}+\varepsilon A_{0} B$ коммутирует с $\Lambda_{G}$ и оставляет $F$ и $F^{\perp}$ инвариантными. Оператор $\left.\left(A_{0}+\varepsilon A_{0} B\right)\right|_{F}$ имеет собственными значениями только $\lambda$ и $\bar{\lambda}$, а при $\varepsilon
eq 0 \quad A_{0}+\left.\varepsilon A_{0} B\right|_{F \perp}$ не имеет собственных значений на окружности $|z|=1$. Используя (0.1) и (0.3), легко построить возмущение диффеоморфизма $\left.f\right|_{U \times J}$ так, чтобы новый оператор $D\left(\left.f\right|_{U \times J}\right)_{0}(0)=A_{0}+\varepsilon A_{0} B$ имел только одну пару собственных значений $\lambda, \bar{\lambda}$ на окружности $|z|=1$. Так как дополнение $E^{0}$ в $E \Lambda_{\sigma}$-инвариантно $\left(E=E^{0} \oplus \operatorname{Ker} Q\right.$ ), то нетрудно продолжить это возмущение $\left.f\right|_{U \times j}$ до такого возмущения $f$, у которого соответствующий $D f_{0}(0)$ имеет собственными значениями только $\lambda$ и $\vec{\lambda}$, лежащие на единичной окружности, каждое конечной кратности. Для этого возмущения размерность $E^{0}$ уменьшается. Если теперь $\operatorname{Spec} A_{\mu}$ для каждого $\mu$, близкого к нулю, состоит не
1) Типичное подмножество пространства – это пересечение счетного числа открытых всюду плотных подмножеств этого пространства. – Прим. перев.

только из одной пары комплексных собственных значений $\lambda_{\mu}$, $\bar{\lambda}_{\mu}$, то мы можем сделать другое возмущение и дальше уменьшить размерность $E^{0}$. Таким образом, мы видим, что сколь угодно малым возмущением мы можем в конце концов добиться того, чтобы $\operatorname{Spec~} A_{\mu}$ состоял или из одного действительного значения $\lambda_{\mu}$ при всех достаточно малых $\mu$, или из пары комплексных собственных значений $\lambda_{\mu}, \bar{\lambda}_{\mu}$, причем зависимость собственных значений от $\mu$ будет класса $C^{k-1}$.

Случай 1. Sрес $A_{\mu}$ при всех малых $\mu$ состоит из одного действительного собственного значения, причем $\lambda_{0}= \pm 1$. Запишем $A_{0}=S+T, S$ – симметричен, $T$ – антисимметричен. Используя тот факт, что $\Lambda_{g}$ – изометрия гильбертова пространства, можно проверить, что $S$ и $T$ коммутируют с $\Lambda_{G}$. Выберем ортонормированный базис в $E^{0}$, в котором $S$ диагонален; тогда в этом базисе $T_{i j}=-T_{i i}$.

Лемма 1. Если $T
eq 0$, то при сколь угодно малом $\varepsilon>0$ $\mathrm{Spec}\left(A_{0}+\varepsilon T\right)$ состоит более чем из одной точки.

Доказательство. Допустим, что $\operatorname{Spec}\left(A_{0}+\varepsilon T\right)$ состоит в точности из одной точки при всех достаточно малых $\varepsilon>0$. Тогда при всех таких $\varepsilon>0$
\[
\operatorname{det}\left(z I-\left(A_{0}+\varepsilon T\right)\right)=(z-\lambda(\varepsilon))^{n},
\]

где $\operatorname{Spec}\left(A_{0}+\varepsilon T\right)=\{\lambda(\varepsilon)\}$ и $n=\operatorname{dim} E^{0}$. Сравнивая коэффициенты при $z^{n-1}$ в обеих частях (2.1) (диагональные члены $\varepsilon T$ равны нулю!), мы видим, что $\operatorname{tr} A_{0}=n \lambda(\varepsilon)$. Но $\operatorname{tr} A_{0}=$ $=n \lambda(0)$. Поэтому $\lambda(\varepsilon)=\lambda(0)$ при всех малых $\varepsilon>0$. Отсюда следует, что $\operatorname{det}\left(z I-\left(A_{0}+\varepsilon T\right)\right)$ не зависит от $\varepsilon$ при малых $\varepsilon>0$. Однако коэффициент при $z^{n-2}$ в этом полиноме равен $\sum_{i<j}\left(S_{i i} \cdot S_{j j}-S_{i j}^{2}\right)+\sum_{i<j}\left(T_{i j}+\varepsilon T_{i j}\right)^{2}$ и, следовательно, не будет равен постоянной, кроме случая $T=0$.

Так как $T$ коммутирует с $\Lambda_{G}$, при $T
eq 0$ из леммы 1 следует существование такого возмущения $h$ отображения $\left.f\right|_{U \times J}$, для которого $\operatorname{Spec} D h_{0}(0)$ содержит более одной точки. Это в свою очередь позволяет нам выбрать другое возмущение, которое осуществляет дальнейшее уменьшение размерности $E^{0}$. Поэтому при некотором возмущении $f$ мы должны получить $T=0$. В этой ситуации $A_{0}= \pm I$. Действительно, при некотором возмущении $f$ мы должны получить $A_{\mu}=\lambda_{\mu} I$ для всех достаточно малых $\mu, \lambda_{\mu} \in R, \lambda_{0}= \pm 1$.

Кроме того, для некоторого такого возмущения $f \Lambda_{G}^{0}$ имеет «неприводимый действительный тип», т. е. только кратные $I$ элементы Hom $E^{0} 1$ ) коммутируют с $\Lambda_{G}^{0}$. Чтобы показать это, допустим, что $R \in \operatorname{Hom} E^{0}, R$ коммутирует с $\Lambda_{G}^{0}$ и $R
eq \lambda I$. Тогда $A_{0}+\varepsilon R$ коммутирует с $\Lambda_{G}^{0}$ при всех $\varepsilon$ и не кратно $l$. Следовательно, можно построить возмущение $h$ отображения $\left.f\right|_{U \times J}$, для которого $D h_{0}(0)=A_{0}+\varepsilon R$, а тогда и другое возмущение, приводящее $\operatorname{dim} E^{0}$. Поэтому для некоторого сколь угодно малого возмущения мы получаем:
(1) $\Lambda_{G}^{0}$ имеет неприводимый действительный тип;
(2) $A_{\mu}=\lambda_{\mu} I$ при всех малых $\mu$ и $\lambda_{0}= \pm 1$.

Но множество отображений $f \in \mathscr{F}$, удовлетворяющих (1) и (2), открыто. Поэтому условия (1) и (2) являются типичными.

Случай 2. Sрес $A_{\mu}$ при всех малых $\mu$ состоит из одной пары комплексных собственных значений. Для каждого $\mu$ мы имеем следующую коммутативную диаграмму:
\[
\begin{array}{l}
E^{0} \xrightarrow{i} E^{0} \otimes \mathbb{C} \xrightarrow{\pi_{\mu}} F_{\mu} \\
A_{\mu} \downarrow \quad \downarrow A_{\mu} \otimes I \quad \downarrow A_{\mu} \otimes I 1_{F_{\mu}} \\
E^{0} \xrightarrow{t} E^{0} \otimes \mathbb{C} \xrightarrow{\pi_{\mu}} F_{\mu} \\
\end{array}
\]

Здесь $F_{\mu}$ – нулевое подпространство оператора $\left[\left(A_{\mu} \otimes\right.\right.$ $\left.\otimes I)-\lambda_{\mu} I\right]^{n / 2}$, действующего в $E^{0} \otimes \mathbb{C}$ – комплексном подпространстве комплексной размерности $n / 2, \quad i(x)=x \otimes 1$, $a \pi_{\mu}$ – ортогональное проектирование. Скалярное произведение в $E^{0}$ индуцирует комплексное эрмитово произведение в $E^{0} \otimes \mathbb{C}$, относительно которого $\Lambda_{a}^{0} \otimes I$ – группа унитарных операторов. $F_{\mu}$ инвариантно относительно $\Lambda_{G}^{0} \otimes I$, так как $A_{\mu} \otimes I$ коммутирует с $\Lambda_{G}^{0} \otimes I .\left.A_{\mu} \otimes I\right|_{F_{\mu}}$ сопряжено с $A_{\mu}$ и коммутирует с $\left.\Lambda_{G}^{0} \otimes I\right|_{F_{\mu}}$. Теперь мы работаем с $\left.A_{\mu} \otimes I\right|_{F_{\mu}}$ аналогично случаю 1.
Мы видим, что в общем случае
(1) $\left.\Lambda_{G}^{0} \otimes I\right|_{F_{\mu}}$ неприводимо и
(2) $A_{\mu}=\lambda_{\mu}^{\mu} I$ при малых $\mu$, где $I$ обозначает тождественный огератор в $F_{\mu}=\mathbb{C}^{n / 2}$ и $\lambda_{\mu}$ – комплексное число, $\left|\lambda_{0}\right|=$ $=1$. Другими словами, в общем случае $E^{0}$ можно считать комплексным эрмитовым пространством, а $\Lambda_{a}^{0}$ – неприводимой группой унитарных операторов в $E^{0}$, и в то же время $A_{\mu}=\lambda_{\mu} I$ для всех малых $\mu$ с комплексным $\lambda_{\mu}$ и $\left|\lambda_{0}\right|=1$.
1) $\operatorname{Hom} E^{0}$ – гомоморфизмы банахова пространства $E^{0}$ в себя, т. е. линейные операторы. – Прим. перев.

3. $\mathrm{Df}_{0}(0)$ имеет одну пару комплексных

собственных значений на окружности $|\mathrm{z}|=1$
Основной результат Рюэля, которой мы сформулируем без доказательства, это приведенная ниже теорема 7.2 ; она помогает найти инвариантные многообразия в случае 2 разд. 2. Мы теперь будем считать, что $\left.f\right|_{U \times J}$ определено в окрестности точки $(0,0)$ пространства $F \times J$, где $F$ – конечномерное комплексное эрмитово пространство, а $J$ – интервал из $\mathbb{R}$, содержащий 0 .
(7.2) Лемма. Предположим, что $f \mathrm{l}_{U \times J} \kappa л а с с а C^{l}$ при фиксированном $\mu$ и $C^{k}$ по $\mu, 1 \leqslant k \leqslant l, k \geqslant 3$. Пусть также $D f_{0}(0)=\lambda_{\mu} I,\left|\lambda_{0}\right|=1$, но $\lambda_{0}^{3}
eq 1$ и $\lambda_{0}^{4}
eq 1$ (эти предположения являются типичными). Тогда с помощью зависящей от $\mu$ замены координат (класса $C^{k-3}$ по $\mu$ и С $^{\infty}$ при фиксированном $\mu$ ), коммутирующей с $\Lambda_{G}^{0}$, можно привести $f$ к виду
\[
f_{\mu}^{\prime}(z)=\lambda_{\mu} z+P_{\mu}(z)+Q_{\mu}(z),
\]

где $P_{\mu}$-однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени 1 по $\bar{z}$, a $Q_{\mu}$ порядка o $\left(|z|^{3}\right)$. Фактически $\left|Q_{\mu}(z)\right| \leqslant c(|z|)|z|^{3}$ $\left.u\left|D Q_{\mu}(z) \| \leqslant c(|z|)\right| z\right|^{2}$, где $c(\cdot)$ не зависитот $\mu$ и $\lim _{u \rightarrow 0} c(u)=$ $=0$.

Если $z \in \mathbb{C}^{2}, z=\left(z_{1}, z_{2}\right)$, где каждое $z_{i} \in \mathbb{C}$, то «однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени 1 по $\bar{z}$ » на $\mathbb{C}^{2}$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
P(z)=\left(A z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+B z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}+C z_{2}^{2} \bar{z}_{1}+D z_{1}^{2} \bar{z}_{2}+E z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}+F z_{2}^{2} \bar{z}_{2},\right. \\
\left.Q z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+R z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}+S z_{2}^{2} \bar{z}_{1}+T z_{1}^{2} \bar{z}_{2}+U z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}+V z_{2}^{2} \bar{z}_{2}\right) .
\end{array}
\]

Для мотивировки такого представления можно отметить, что для таких $P(z)$ и $\lambda \in \mathbb{C}$ с $|\lambda|=1$ выполняется равенство $P(\lambda z)=\lambda P(z)$.
(7.2) Теорема. Пусть $\Phi_{\mu}: \mathbb{C}^{n} \longmapsto \mathbb{C}^{n}$ – однопараметрическое семейство $C^{l}$ – диффеоморфизмов, $1 \leqslant l<\infty$, зависящее от действительного параметра $\mu$, изменяющегося на интервале, содержащем 0. Предположим, что $\Phi_{\mu}(z)=\lambda_{\mu} z+$ $+P_{\mu}(z)+Q_{\mu}(z)$, где $\mu \mapsto \lambda_{\mu}$ – непрерывная комплексная функция, $P_{\mu}$-однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени I по $\bar{z}$ с коэффициентами, непрерывными по $\mu$,
\[
\left|Q_{\mu}(z)\right| \leqslant c(|z|)|z|^{\beta} \quad \text { и }\left|D Q_{\mu}(z)\right| \leqslant c(|z|)|z|^{2},
\]

где $c(\cdot)$ не зависит от $\mu$ и $\lim _{u \rightarrow 0} c(u)=0$. Будем также предполагать, что $\left|\lambda_{0}\right|=1 u\left|\lambda_{\mu}\right| \stackrel{u \rightarrow 0}{>} 1 n p u \mu>0$. Допустим, что векторное поле $z \mapsto z+\lambda_{0}^{-1} P_{0}(z)$ имеет компактное инвариантное нормально аиперболическое ${ }^{1}$ ) $к$ нему многообразие $S$. Допустим также, что $S$ инвариантно относительно преобразования $z \mapsto z e^{i \sigma}$ (при всех действительных $\sigma$ ). Тогда для достаточно малых $\mu>0$ существуют отображения $\theta_{\mu} \in$ $\in C^{l}\left(S, \mathbb{C}^{n}\right)$ и многообразия $S_{\mu} \in \mathbb{C}^{n}$, для которых:
(1) $\theta_{\mu}$-диффеоморфизм $S$ на $S_{\mu}$.
(2) $S_{\mu}$ инвариантно относительно $\Phi_{\mu}$, и $\Phi_{\mu}$ нормально гиперболичен $\kappa S_{\mu}$.
(3) $S_{\mu} \rightarrow 0$ при $\mu \rightarrow 0$.
(4) Если $\Lambda$-группа унитарных преобразований $\mathbb{C}^{n}, \Lambda$ коммутирует с $\Phi_{\mu}$ для всех $\mu, a \Lambda S=S$, то $\Lambda S_{\mu}=S_{\mu}$. В действительности каждое $\theta_{\mu}$ коммутирует с $\Lambda$.
(5) Если $\mu \rightarrow \Phi_{\mu}$ – непрерывное отображение из $R$ в пространство $C^{k}, k \leqslant l$, то $\mu \rightarrow \theta_{\mu}$ – непрерывное отображение из $\left\{\mu: 0<\mu<\mu_{0}\right\}$ в $C^{k}\left(\mathcal{S}, \mathbb{C}^{n}\right)$.

Теорема 7.2 дает информацию об инвариантных многообразиях при $\mu>0$. Если предположить $\left|\lambda_{\mu}\right|<1$ при $\mu<0$, то можно получить аналогичную информацию относительно $\mu<0$, применяя теорему 7.2 к $\Phi_{-\mu}^{-1}$. Легко проверить, что
\[
\Phi_{-\mu}^{-1}(z)=\lambda_{-\mu}^{-1} z-\lambda_{-\mu}^{-3} \bar{\lambda}_{-\mu}^{-1} P_{-\mu}(z)+Q_{-\mu}^{\prime}(z) .
\]

Поэтому следует искать инвариантные многообразия векторного поля $z \mapsto z-\lambda_{0}^{-1} P_{0}(z)$.
4. Примеры
1. Пусть $\Lambda_{G}^{0}$ – полная ортогональная группа $E^{0}=\mathbb{R}^{n}$ и $\lambda_{0}=1$ является единственным собственным значением $D f_{0}(0)$ на окружности $|z|=1$. Пусть $h=\left.f\right|_{V}, V$-центральное многообразие $f$ из утверждения 7.1 . В соответствии с тео-
1) Нормальная гиперболичность определяется следующим образом. Пусть $S$ – дифференцируемое подмногообразие нормированного векторного пространства $E$, инвариантное относительно диффеоморфизма $f$ : $E \rightarrow E$. Пусть $B \rightarrow S$ – подрасслоение $\left.T E\right|_{s}$, инвариантное относительно Df. Определим $\rho(D f \mid B)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup \left[\sup _{x \in S}\left\|\left.D f^{n}(x)\right|_{B}\right\|^{1 / n}\right] ;$ называется нормально гиперболическим $\kappa S$, если существует разложение $\left.T E\right|_{s}$, $\left.T E\right|_{s}=N_{+} \oplus T S \oplus N_{-}$, такое, что $\quad \rho\left(\left.D f\right|_{N_{-}}\right)<\min \left\{1, \quad \rho\left(\left.D f\right|_{T S}\right)\right\}, \quad$ а $\rho\left(\left.D f^{-1}\right|_{N_{+}}\right)<\min \left\{1, \rho\left(\left.D f^{-1}\right|_{T S}\right)\right\}$. Это означает, что итерации $D f$ сжимают каждый вектор из $N_{-}$больше, чем $D f$ сжимает любой вектор из $T S$, и итерации $D f$ растягивают каждый вектор из $N_{+}$больше, чем он растягивает любой вектор из TS.

ремой 7.1 мы можем считать $h$ определенным в окрестности точки $(0,0)$ в $\mathbb{R}^{n} \times R$, где
(1) каждое $h_{\mu}$ коммутирует с $\Lambda_{a}^{0}$;
(2) $h_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$;
(3) $D h_{\mu}(0)=\lambda_{\mu} I, \lambda_{0}=1, \lambda_{\mu} \in \mathbb{R}$ для всех $\mu$.
Так как $\Lambda_{G}^{0}$ содержит все отражения, то, как легко видеть, $h_{\mu}(x)$ пропорционально $x$. Кроме того, $h_{\mu}$ переводит множество сфер с центром в нуле в себя. Поэтому $h_{\mu}(x)=$ $=\lambda_{\mu} x+p_{\mu}(|x|) x$, где для каждого $\mu u \mapsto p_{\mu}(u)$ – действительная функция класса $C^{l-1}, p_{\mu}(0)=0$. Запишем $p_{\mu}(|x|)=$ $=a_{\mu}|x|^{2}+o\left(|x|^{2}\right)$. Неблуждающее множество $\left.{ }^{1}\right) h_{\mu}$ вблизи нуля состоит в точности из тех сфер, которые отображаются в себя; каждая такая сфера целиком состоит из неподвижных точек. Если $f$ по меньшей мере класса $C^{3}$ по $\mu$ и $a_{0}<0$ (т. е. $(0,0)$ – слабый аттрактор), мы можем с помощью аналогичного анализа увидеть, что для малых $\mu>0$ существует однопараметрическое семейство таких сфер, по одной для каждого $\mu>0$, которые стремятся к нулю при $\mu \rightarrow 0$.
$2^{2}$ ). Рассмотрим $O(2)$ как группу, порожденную комплексными числами $\alpha$ с $|\alpha|=1$ и отражением $r$. Предположим, что мы находимся в ситуации случая 2 разд. 2 , где $F=\mathbb{C}^{2}$ и $\Lambda_{O}^{0}$ – неприводимое представление $O(2)$ на $\mathbb{C}^{2}$, задаваемое как
\[
\begin{array}{l}
\Lambda_{\alpha}^{0}\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left(\alpha z_{1}, \alpha^{-1} z_{2}\right), \\
\Lambda_{r}^{0}\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left(z_{2}, z_{1}\right) .
\end{array}
\]

Будем считать $f l_{v}$ действующим в окрестности точки $(0,0) \in \mathbb{C}^{2} \times \mathbb{R}$ и обозначим это отображение через $h$. В соответствии с леммой 7.2 после замены координат мы получим новое отображение $h^{\prime}$ :
\[
h_{\mu}^{\prime}(z)=\lambda_{\mu} z+P_{u}(z)+Q_{\mu}(z),
\]

где $P_{\mu}(z)$ однороден степени 2 по $z$ и степени 1 по $\bar{z}$, а $Q_{\mu}(z)$ порядка $o\left(|z|^{3}\right)$ равномерно по $\mu$. Мы будем предполагать, что $\left|\lambda_{0}\right|=1,\left|\lambda_{\mu}\right|>1$ при $\mu>0, \quad\left|\lambda_{\mu}\right|<1$ при $\mu<0$ и $\lambda_{0}^{3}
eq 1, \lambda_{0}^{4}
eq 1$.
1) Точка $x$ топологического пространства $X$ называется неблуждающей точкой отображения $f$, если для любой окрестности $U
i x$ существует $n \in Z \backslash\{0\}$, такое, что $f^{n}(U) \cap U
eq \varnothing$. Объединение неблуждающих точек $f$ называется неблуждающим множеством, или, точнее, множеством неблуждающих точек. – Прим. перев.
2) Этот пример разъяснил нам Дэвид Фрид. Он является переработкой разд. 4.9 работы Рюэля.

Легко видеть, что каждое $P_{\mu}(z) \Lambda_{G}^{0}$ – инвариантно. Пусть $P(z)-\Lambda_{G}^{0}$ – инвариантный однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени 1 по $\bar{z}$. Запишем $P(z)=\left(P_{1}(z), P_{2}(z)\right)$, где
\[
P_{1}(z)=A z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+B z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}+C z_{2}^{2} \bar{z}_{1}+D z_{1}^{2} \bar{z}_{2}+E z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}+F z_{2}^{2} \bar{z}_{2}
\]

и
\[
P_{2}(z)=Q z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+R z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}+S z_{2}^{2} \bar{z}_{1}+T z_{1}^{2} \bar{z}_{2}+U z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}+V z_{2}^{2} \bar{z}_{2} .
\]

Так как $P\left(\alpha z_{1}, \alpha^{-1} z_{2}\right)=\left(\alpha P_{1}(z), \alpha^{-1} P_{2}(z)\right)$ для всех $\alpha$ с $|\alpha|=1$, мы видим, что $B=C=D=F=Q=S=T=$ $=U=0$. Так как $P\left(z_{2}, z_{1}\right)=\left(P_{2}(z), P_{1}(z)\right)$, то $A=V$ и $E=$ $=R$. Таким образом,
\[
P(z)=\left(A z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+E z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}, A z_{2}^{2} \bar{z}_{2}+E z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}\right) .
\]

Более подробное вычисление показывает, что можно записать $P(z)$ в виде
\[
\begin{array}{r}
P(z)=a\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)+b\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1},-z_{2}\right) ; \\
a, b \in \mathbb{C} .
\end{array}
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{r}
h_{\mu}^{\prime}(z)=\lambda_{\mu} z+a_{u}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right) z+b_{u}\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1},-z_{2}\right)+ \\
+Q_{\mu}(z) .
\end{array}
\]

В соответствии с теоремой 2 мы теперь должны изучить дифференциальное уравнение
\[
\begin{aligned}
\frac{d z}{d t}=z \pm \lambda_{0}^{-1}\left\{a _ { 0 } \left(\left|z_{1}\right|^{2}+\mid\right.\right. & \left.\left.z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)+ \\
& \left.+b_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1},-z_{2}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Мы найдем инвариантные многообразия $S$ этого дифференциального уравнения, которые также инвариантны относительно действия $\Lambda_{\sigma}^{0}$ и отображений $z \mapsto \alpha z,|\alpha|=1$. Предположим теперь, что $q: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}$ – полином по $z, \bar{z}$, инвариантный относительно $\Lambda_{G}^{0}$ и отображений $z \mapsto \alpha z,|\alpha|=1$ (т. е. $q(z)=q\left(\Lambda_{G}^{0} z\right)$ для всех $g \in G, q(z)=q(\alpha z)$ для всех $\alpha$ с $|\alpha|=1)$. Допустим далее, что $S$ является в точности объединением орбит какой-нибудь любой его точки, порожденных действием $\Lambda_{G}^{0}$ и группы отображений $z \mapsto \alpha z,|\alpha|=1$. Отсюда следует, что $\frac{d}{d t} q(z)=0$ для $z \in S$. Поэтому мы будем искать многообразия $S$ посредством изучения таких полиномов $q(z)$.

При $|\alpha|=1 q\left(z_{1}, z_{2}\right)=q\left(\alpha z_{1}, \alpha^{-1} z_{2}\right)=q\left(\alpha^{2} z_{1}, z_{2}\right)$. Следовательно, при фиксированном $z_{2} q\left(z_{1}, z_{2}\right)$ зависит только от $\left|z_{1}\right|^{2}$. Аналогично, при фиксированном $z_{1} q\left(z_{1}, z_{2}\right)$ зависит только от $\left|z_{2}\right|^{2}$. Так как $q\left(z_{1}, z_{2}\right)=q\left(z_{2}, z_{1}\right)$, то $q$ симметричен по $z_{1}$ и $z_{2}$. Пусть теперь $s\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}, d\left(z_{1}, z_{2}\right)=$ $=2\left|z_{1} z_{2}\right|$. Тогда $s$ и $d^{2}$ образуют базис интересующих нас полиномов над полем $\mathbb{C}$.

Пусть $\alpha=\operatorname{Re}\left(\lambda_{0}^{-1} a_{0}\right)$ и $\beta=\operatorname{Re}\left(\lambda_{0}^{-1} b_{0}\right)$. Пусть $z^{1}, z^{2} \in \mathbb{C}^{2}$, где $z^{1}=\left(z_{1}^{1}, z_{2}^{1}\right), \quad z^{2}=\left(z_{1}^{2}, z_{2}^{2}\right), \quad z_{j}^{1} \in \mathbb{C}$. Положим $\left[z^{1}, z^{2}\right]=$ $=z_{1}^{1} z_{1}^{2}+z_{2}^{1} z_{2}^{2}$. Тогда $s(z)=[z, \bar{z}]$ и
\[
\begin{array}{l}
\frac{d s}{d t}=\left[z, \frac{d \bar{z}}{d t}\right]+\left[\frac{d z}{d t}, \bar{z}\right]= \\
=\left[z, \bar{z} \pm \lambda_{0}\left\{\bar{a}_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(\bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}\right)+\bar{b}_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(\bar{z}_{1},-\bar{z}_{2}\right)\right\}\right]+ \\
\quad+\left[z \pm \lambda_{0}^{-1}\left\{a_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)+\right.\right. \\
\left.\left.\quad+b_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1},-z_{2}\right)\right\}, \bar{z}\right]=2 s \pm\left(2 \alpha s^{2}+2 \beta\left(s^{2}-d^{2}\right)\right) .
\end{array}
\]

Далее, так как $d^{2}=4\left|z_{1}\right|^{2}\left|z_{2}\right|^{2}=4 z_{1} \bar{z}_{1} z_{2} \bar{z}_{2}$, то можно получить, что $\frac{d}{d t} d=2(d \pm s d)$. Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \frac{d s}{d t}=s \pm\left(\alpha s^{2}+\beta\left(s^{2}-d^{2}\right)\right) \\
\frac{1}{2} \frac{d}{d t} d=d \pm \alpha s d .
\end{array}
\]

Мы сделаем предположение о типичности, состоящее в том, что $\alpha, \beta$ и $\alpha+\beta$ не равны нулю. Вспоминая, что $d$ и $s$ – неотрицательные функции, мы видим, что для инвариантных многообразий имеются три возможности:
(1) $d=0, s=0$;
(2) $d=0, s=\mp(\alpha+\beta)^{-1}$;
(3) $d=s=\mp \alpha^{-1}$.
Теперь получаем следующую коммутативную диаграмму:
Так как векторное поле (4.2) липшиц-непрерывно, то его нулям соответствуют особые точки потока. Поэтому их прообраз в $\mathbb{C}_{2}^{2}$ инвариантен относительно потока (4.1). Следовательно, мы нашли следующие инвариантные многообразия (4.1):
(1) $S^{(1)}=\{0\}$;
(2)
\[
\begin{aligned}
S^{(2)} & =\left\{z \in \mathbb{C}^{2}: d=0, s=\mp(a+\beta)^{-1}\right\}= \\
& =\left\{z \in \mathbb{C}^{2}: z_{1}=0,\left|z_{2}\right|^{2}=\mp(\alpha+\beta)^{-1}\right\} \cup \\
& \cup\left\{z \in \mathbb{C}^{2}: z_{2}=0,\left|z_{1}\right|^{2}=\mp(\alpha+\beta)^{-1}\right\}= \\
& =\text { две окружности или } \varnothing .
\end{aligned}
\]
(3) $S^{(3)}=\left\{z \in \mathbb{C}^{2}: s=d= \pm 1 / \alpha\right\}=\left\{z:\left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}=\right.$
\[
=\mp 1 / 2 \alpha\}=\text { тор или } \varnothing \text {. }
\]

Векторное поле (4.1) нормально гиперболично к каждому из этих многообразий:
(1) производная (4.1) в 0 равна 1;
(2) производная (4.2) на $S^{(2)}$ относительно переменных $s, d$ равна
\[
\left(\begin{array}{rc}
-2 & 0 \\
0 & 2 \beta / \alpha+\beta
\end{array}\right)
\]
(3) производная (4.2) на $S^{(3)}$ относительно переменных $s$, $d$-это матрица
\[
\left(\begin{array}{cc}
-2(1+2 \beta / \alpha) & 4 \beta / \alpha \\
-2 & 0
\end{array}\right),
\]

которая имеет собственные значения -2 и $-4 \beta / \alpha$.
В этом случае, изучая поток (4.2) в $(s, d)$-плоскости, можно увидеть, что векторное поле (4.1) не содержит других компактных инвариантных многообразий. Вследствие определения $s$ и $d$ необходимо только рассмотреть область $0 \leqslant$ $\leqslant d \leqslant s$. Теперь для определенности предположим, что $f_{\mu}: E \rightarrow E$, а $\operatorname{Spec} D f_{\mu}(0)$, за исключением собственных значений $\lambda_{\mu}, \bar{\lambda}_{\mu}$, целиком содержится в круге $|z|<1$. Допустим, что $\left|\lambda_{\mu}\right|<1$ при $\mu<0$, а при $\mu>0\left|\lambda_{\mu}\right|>1$. Будем считать, кроме того, что $\alpha<0$ и $\alpha+\beta<0$ (условия «слабого аттрактора»). Тогда для каждого $\mu>0$ мы имеем следующие инвариантные многообразия:
\[
S_{\mu}^{(1)}=\{0\} \text {, неустойчивое при } \mu>0 .
\]
$S_{\mu}^{(2)}$ – две замкнутые кривые, инвариантные относительно действия $f$ и связной компоненты единицы группы $\Lambda_{\sigma}^{0}$ и переставляемые отражениями. Они устойчивы, если $\beta<0$, и неустойчивы, если $\beta>0$.
$S_{\mu}^{(3)}$ – гор, устойчивый при $\beta>0$, неустойчивый при $\beta<0$.

$S_{\mu}^{(3)}$ можно подвергнуть дальнейшему анализу. Подпространство $\Pi_{\alpha}=\left\{\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathbb{C}^{2}: z_{2}=\alpha z_{1}\right\}$ состоит из точек неподвижных при действии $\Lambda_{r}^{0} \circ \Lambda^{0} \subset \Lambda_{G}^{0}$ (этот оператор действует по формулам $z_{1} \mapsto \alpha z_{2}, z_{2} \mapsto \alpha^{-1} z_{1}$ ). Так как отображение $\theta_{\mu}$ из теоремы 7.2 коммутирует с $\Lambda_{a}^{0}$, мы получаем, что $\theta_{\mu}\left(S^{(3)} \cap \Pi_{\alpha}\right) \subset \Pi_{\alpha}$. Поскольку $h=f \mid v$ также коммутирует с $\Lambda_{G}^{0}$, то $h\left(S_{\mu}^{(3)} \cap \Pi_{\alpha}\right)=S_{\mu}^{(3)} \cap \Pi_{\alpha}$. Таким образом, $S_{\mu}^{(3)}$ состоит из объединения непересекающихся замкнутых кривых вида $S_{\mu}^{(3)} \cap \Pi_{\alpha}$, каждая из них инвариантна относительно $h$, и они переставляются элементами $\Lambda_{G}^{0}$. Видимо, в этом примере «одновременно происходят две бифуркации рождения цикла», в результате чего для каждого $\mu>0$ появляются инвариантные множества вида (точка $U$ замкнутая кривая) $X$ (точка $U$ замкнутая кривая).
5. Поток между цилиндрами

Напомним ситуацию для течения Куэтта: вязкая несжимаемая жидкость заполняет пространство между двумя концентрическими цилиндрами. Пусть $R_{1}$ – радиус внутреннего цилиндра, а $R_{2}$ – радиус внешнего цилиндра. Допустим, что мы вращаем оба цилиндра. Пусть $\Omega_{1}$ – угловая скорость внутреннего цилиндра, а $\Omega_{2}$ – угловая скорость внешнего цилиндра. Будем считать, что $\Omega_{1}>0$ и $\Omega_{2}>0$ (т. е. мы вращаем оба цилиндра против часовой стрелки). При малых значениях $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ можно наблюдать установившийся горизонтальный ламинарный поток, называемый течением Куэтта. Действительно, при произвольных $\Omega_{1}, \Omega_{2}$ течение Куэтта является явным решением уравнений Навье – Стокса, которое в цилиндрических координатах $(r, \varphi, z)$ задается следующим образом (см. гл. 1):
\[
V_{\theta}=\frac{\Omega_{2} R_{2}^{2}-\Omega_{1} R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}} r+\frac{\left(\Omega_{1}-\Omega_{2}\right) R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}} \frac{1}{r} .
\]

Чтобы получить это решение, мы должны игнорировать особые явления, возникающие на концах цилиндров. Мы сделаем это, отождествляя концы цилиндров, так что пространство $A$, в котором заключена наша жидкость, будет прямым произведением кольца и окружности.

Пусть $E$ – пространство $C^{r}$-векторных полей $Y$ на $A$ с $C^{r}$-топологией, удовлетворяющих условиям $\operatorname{div} Y=0$ и $\left.Y\right|_{\partial A}=0$. Мы будем считать $\Omega_{1}$ малой фиксированной величиной, а $\Omega_{2}$ переменной: $\Omega_{2}$ будет нашим бифуркационным параметром $\mu$. Для каждого $\mu$ пусть $Z_{\mu}$ означает соответствующее векторное поле Куэтта на $A$. Тогда для каждого $\mu$ векторные поля $Y$ на $A$, удовлетворяющие условиям $\operatorname{div} Y=0$, $Y$ неподвижно относительно $\partial A$, образуют пространство $E_{\mu}$; его можно мыслить себе как $Z_{\mu}+E$. Будем очевидным образом отождествлять каждое $E_{\mu}$ с $E$. Будем считать, что уравнения Навье – Стокса определяют для каждого $\mu$ векторное поле $X_{\mu}$ на $E$. Сделаем предположение (вообще говоря, неверное), что векторное поле $X: E \times \mathbb{R} \rightarrow E$, задаваемое равенством $X(Y, \mu)=X_{\mu}(Y)$, удовлетворяет условиям работы Рюэля ‘). Отметим, что точка $(0, \mu) \in E \times \mathbb{R}$ соответствует векторному полю Куэтта $Z_{\mu}$. Так как течение Куэтта – стационарное решение уравнений Навье – Стокса, то $X_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$.

Пусть $G=S O(2) \times O(2)$ – произведение группы вращений кольца на полную ортогональную группу окружности. Это естественная группа симметрий задачи. Отметим, что векторное поле, соответствующее течению Куэтта, $G$-инвариантно. Для каждого $g \in G$ определим $\Lambda_{g}: E \rightarrow E$ как $\left(\Lambda_{g} Y\right)(x)=D g Y\left(g^{-1}(x)\right)$, где $x \in A$. Так как каждое $g$ является изометрией $A$ и $D^{k} g=D^{k} g^{-1}=0$ при $k>1$, то легко проверить, что каждое $\Lambda_{g}$ – линейная изометрия $E$. Таким образом, $\Lambda_{G}=\left\{\Lambda_{g}: g \in G\right\}$ – это группа линейных изометрий $E$. Физические симметрии задачи означают, что $X_{\mu} \Lambda_{g}=$ $=\Lambda_{g} X_{\mu}$ при всех $g \in G$.

Предположим, что при малых $\mu$ точка 0 является устойчивой особой точкой $X_{\mu}$ (на самом деле это можно доказать, см. Серрин [1,2] и гл. 2А и 9). Данное предположение согласуется с известным экспериментальным фактом, что течение Куэтта устойчиво при малых $\boldsymbol{\Omega}_{1}, \Omega_{2}$. Допустим, что в первой точке бифуркации $\mu_{0}>0$ только конечное число собственных значений оператора $D X_{\mu}(0)$ достигает мнимой оси, причем каждое имеет конечную кратность. Тогда, в общем случае, устойчивое многообразие $V \subset E \times \mathbb{R}$ в момент бифуркации должно касаться $E^{0} \times \mathbb{R}$ в точке $\left(0, \mu_{0}\right)$, где $E^{0}$ – подпространство $E$, в котором $\Lambda_{G}$ действует неприводимо.
Допустим, что:
(1) $E^{0} \cong \mathbb{R}^{2}$;
(2) если $g \in S O(2) \times 1$, то каждая точка $E^{0}$ неподвижна относительно действия $\Lambda_{\mathrm{g}}$;
(3) если $g \in 1 \times O(2)$, то $\Lambda_{g}$ действует на $E^{0}$ точно так же, как соответствующий элемент полной ортогональной группы пространства $\mathbb{R}^{2}$.
1) Чтобы все это сделать корректно, можно использовать методы гл. 8 и 9.

Таким образом, по существу $\Lambda_{G}^{0}$ – это полная ортогональная группа плоскости. Если $\left(0, \mu_{0}\right)$ – «слабый аттрактор» для $X_{\mu}$, то, согласно примеру 1 п. 4 (приспособленному для векторного поля), для каждого малого $\mu>\mu_{0}$ мы ожидаем существование следующих инвариантных множеств вблизи начала $E \times\{\mu\}$ (см. рис. 7.1):
(1) Начало координат – неустойчивый нуль поля $X_{\mu}$.
(2) Замкнутая кривая $S_{\mu}$ нулей поля $X_{\mu}$ в многообразии $V_{\mu}$; каждая $S_{\mu}$ инвариантна относительно $\Lambda_{G}, S_{\mu} \rightarrow 0$ при
Рис. 7.1.
$\mu \rightarrow 0$, и каждая $S_{\mu}$ является притягивающим множеством в $E \times\{\mu\}$.

Предположим, что $Y_{1}, Y_{2} \in S_{\mu}$ и $Y_{1}=\Lambda_{g} Y_{2}, g \in 1 \times O(2)$. Тогда $Y_{1}(x)=D g Y_{2}\left(g^{-1} x\right)$. Это означает, что $Y_{1}$ и $Y_{2}$ отличаются только вертикальным сдвигом и (или) отражением $A$. Кроме того, так как $\Lambda_{S O(2) \times 1}$ действует тождественно на $E^{0}$, мы видим, что каждое $Y \in S_{\mu}$ неподвижно относительно элементов $\Lambda_{S O(2) \times 1}$, т. е. каждое $Y \in S_{\mu}$ обладает горизонтальной вращательной симметрией. Такое описание $S_{\mu}$ согласуется с экспериментально наблюдаемым явлением – вихрями Тейлора. Когда $\mu$ проходит некоторое критическое значение, обычно наблюдается, что течение Куэтта разбивается на ячейки, внутри которых жидкость движется радиально от внутреннего цилиндра к внешнему и обратно и в то же время продолжает свое круговое движение вокруг вертикальной оси (рис. 7.2). Для уравнений Навье-Стокса вихри Тейлора
являются устойчивым решением с горизонтальной вращательной симметрией. Так как любая картина вихрей Тейлора может встретиться с той же вероятностью, что и ее сдвиг в вертикальном направлении на любое расстояние (предполагая, что концы цилиндра отождествлены), мы видим, почему из течения Куэтта рождается целая окружность неподвижных точек, которые переставляются операторами $\Lambda_{1 \times 0(2)}$. Когда $\mu$ возрастает, $S_{\mu}$ на нашем рисунке все сильнее удаляется от точки $(0, \mu)$; это соответствует тому, что вихри Тейлора «усиливаются», т.е. усиливается радиальное движение. Отметим, что при $\mu>\mu_{0}$ течение Куэтта остается нулем поля $X_{\mu}$, однако этот нуль неустойчив.
(Вышесказанное происходит не из-за того, что векторное поле вихрей Тейлора инвариантно относительно конечного числа вертикальных сдвигов или, в нашей модели, относительно нетривиальной подгруппы группы $\Delta_{1 \times}$ so(2). Чтобы получить этот результат. нужно предположить, что для $g \in 1 \times O(2)$,

Рис. 7.2. $\Lambda_{g}$ действует на $E^{0} \cong R^{2}$ следующим образом: рассмотрим $O(2)$ как группу, образованную числами $\theta$, $0 \leqslant \theta<2 \pi$, где $\theta$ задает угол поворота, и отражением $r$. Представим тогда $1 \times O(2)$ в $O(2)$ (изометриях $\mathbb{R}^{2}$ ) с помощью гомоморффизма $(1, \theta) \longmapsto n \theta,(1, r) \longmapsto r$. Так как это гомоморфизм на, мы получаем, как и выше, $S_{\mu}$. Теперь, однако, каждое $Y_{\mu} \in S_{\mu}$ инвариантно относительно $\Lambda_{H}$, где $H=S O(2) \times$ $X\{0,2 \pi / n, 4 \pi / n, \ldots, 2(n-1) \pi / n\}$. Эта дополнительная инвариантность относительно новой $\Lambda_{Q}^{0}$ будет сохраняться и в дальнейшем.)

Теперь мы изучим вторую бифуркацию $X_{\mu}$. Ситуация усложняется тем обстоятельством, что при $\mu>\mu_{0}$ нули $X_{\mu}$, которыми мы интересуемся, образуют одномерные множества. Мы предположим, что уже сделана такая замена координат, что $S_{\mu} \subset E^{0} \times\{\mu\}$.

Пусть $Y_{\mu} \in S_{\mu}$. При малых $\mu>\mu_{0}, D X_{\mu}\left(Y_{\mu}\right)$ имеет соб ственное значение 0 кратности 1 , а остальная часть спектра лежит в полуплоскости $\operatorname{Re} z<0$. Отметим, что если также $Y_{\mu}^{\prime} \in S_{\mu}$, то $Y_{\mu}^{\prime}=\Lambda_{g} Y_{\mu}$ для некоторого $g \in 1 \times O(2)$, поэтому $X\left(Y_{\mu}^{\prime}\right)=X \Lambda_{g}\left(Y_{\mu}\right)=\Lambda_{g} X\left(Y_{\mu}\right) . \quad$ Следовательно,$\quad D X\left(Y_{\mu}^{\prime}\right) \cdot \Lambda_{g}=$ $=\Lambda_{g} \cdot D X\left(Y_{\mu}\right)$, т. e. $D X\left(Y_{\mu}^{\prime}\right)$ и $D X\left(Y_{\mu}\right)$ сопряжены. Таким образом, Spec $D X\left(Y_{\mu}\right)=\operatorname{Spec} D X\left(Y_{\mu}^{\prime}\right)$.

Предполагая, что $\Lambda_{1 \times 0 \text { (2) действует }}$ на $E^{0}$ подобно полной ортогональной группе плоскости, получаем, что $Y_{\mu}$ неподвижно относительно в точности двух элементов $\Lambda_{1 \times 0 \text { (2) }}$, именно $\Lambda_{(1,1)}$ и $\Lambda_{(\mathrm{i}, r)}$, где $\Lambda_{(1, r)}^{0}$ – как раз отражение относительно прямой, определенной $Y_{\mu}$. Так как $E^{0}$ неподвижно в каждой точке относительно $\Lambda_{S O(2) \times 1}$, то подгруппа группы $\Lambda_{G}$, которая оставляет на месте $Y_{\mu}$, – это $\Lambda_{\text {so(2) }} \times\{1, r\}$. Поэтому $D X\left(Y_{\mu}\right) \cdot \Lambda_{g}=\Lambda_{g} \cdot D X\left(Y_{\mu}\right)$ для всех $g \in S O(2) \times\{1, r\}$.

Допустим, что для $\mu_{0}<\mu<\mu_{1}$ и $Y_{\mu} \in S_{\mu}$. Spec $D X_{\mu}\left(Y_{\mu}\right)$ содержится в полуплоскости $\operatorname{Re} z<0$, за исключением одного собственного значения 0 кратности 1. Допустим также, что для $Y_{\mu_{1}} \in S_{\mu_{1}} \operatorname{Spec} D X_{\mu_{1}}\left(Y_{\mu_{1}}\right) \cap(\operatorname{Re} z=0)$ состоит из конечного числа изолированных собственных значений (включая 0), каждое из которых имеет конечную кратность. Зафиксируем $Y_{\mu_{1}} \in S_{\mu_{1}}$, и пусть $r$ теперь обозначает единственный элемент группы $O(2)$, для которого $Y_{\mu_{1}}$. неподвижно относительно $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}} . X$ имеет центральное многообразие $W$ в точке $Y_{\mu}$ касающееся $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{i}} \oplus E^{1} \oplus\{\mu$-ось $\}, \quad$ где $E^{1}$ – конечномерное подпространство $T_{Y_{\mu_{1}}} \oplus E^{1}$ инвариантно относительно $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$. Так как $W$ содержит всю локальную рекуррентность поля $X$ около точки $Y_{\mu_{1}}$, то $W$ содержит все точки $\bigcup_{\mu} S_{\mu}$ в окрестности $Y_{\mu_{1}}$.

Пусть $\Pi: E \times \mathbb{R} \rightarrow E$ – проекция на первый сомножитель. Тогда для каждого $\mu$, близкого к $\mu_{1}$, существует единственное $Y_{\mu} \in S_{\mu}$, для которого $\Pi Y_{\mu} /\left\|Y_{\mu}\right\|=\Pi Y_{\mu_{1}} /\left\|Y_{\mu_{1}}\right\|$. Возьмем теперь это в качестве определения $Y_{\mu}$. Тогда подгруппа $\Lambda_{c}$, которая оставляет $Y_{\mu}$ неподвижным, в точности есть $\Lambda_{S O(2) \times 1, r}$

Как в п. 1, мы можем отождествить окрестность $Y_{\mathrm{u}_{1}}$ в $W$ с окрестностью $U$ точки $\left(Y_{\mu_{1}}, 0,0\right)$ в $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{1}} \oplus E^{1} \bigoplus\{\mu$-ось $\}$, и $\left.X\right|_{v}-$ с векторным полем на $U$ (которое снова назовем $X$ ) таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:
(1) $Y_{\mu}$ соответствует $\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$;
(2) $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$ действует как группа гильбертовых изометрий $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{1}} \oplus E^{\mathrm{I}}$;
(3) $X$ на $U$ коммутирует с $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$. В частности, $D X_{\mu}\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$ коммутирует с $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$.
В общем случае мы имеем одну из двух возможностей:
(1) Spec $D X_{\mu}\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$ состоит из собственного значения 0 c собственным подпространством $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{1}}$ и единственного действительного собстввенного значения $\lambda_{\mu}$ с $\lambda_{\mu_{1}}=0$.
(2) $\operatorname{Spec} D X_{\mu}\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$ состоит из собственного значения 0 с собственным подпространством $T_{Y_{\mu}} S_{\tilde{\mu}^{\prime}}$ и одной пары комплексно-сопряженных собственных значений $\lambda_{\mu}, \bar{\lambda}_{\mu}$ с $\operatorname{Re} \lambda_{\mu_{1}}=0$.

Предположим, что выполняется (2). Тогда для каждого $\mu$, близкого к $\mu_{1}$, существует единственное подпространство $E_{\mu}^{2} \subset T_{\left(Y_{\mu_{1}, 0, \mu}\right)} U$, такое, что $D X\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$ оставляет $E_{\mu}^{2}$ инвариантным и $\left.D X\left(Y_{u_{1}}, 0, \mu\right)\right|_{E_{\mu}^{2}}$ имеет собственными значениями только $\lambda_{\mu}, \bar{\lambda}_{\mu}$. Если мы теперь будем считать $E_{u}^{2}$ подпространством $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{1}} \oplus E^{1} \oplus\{\mu$-ось $\}$, то $E_{\mu}^{2}$ инвариантно относительно действия $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$, так как этим свойством обладает $D X\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$.

В типичном случае $\Lambda_{S O(2) \times(1, r)}$ действует неприводимо на $E_{\mu_{1}}^{2}$. Допустим, $E_{\mu_{1}}^{2} \cong \mathrm{R}^{2}$, тогда $E^{1} \cong \mathrm{R}^{2}$ и каждое $E_{\mu}^{2} \cong \mathrm{R}^{2}$. Предположим, что $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r}$ действует на $E_{\mu_{1}}^{2}$ подобно вращениям плоскости. Другими словами, предположим, что каждая точка $E_{\mu_{1}}^{2}$ неподвижна относительно $\Lambda_{(1, r) \text { и }}$ $\Lambda_{S O(2) \times 1}$ действует на $E_{\mu,}^{2}$ вращениями плоскости. Так как $\Lambda_{(1, r)}$ оставляет $E_{\mu_{1}}^{2}$ неподвижной в каждой точке, то $E_{\mu_{1}}^{2}$ инвариантна относительно $X_{u_{1}}$. Так как $E_{\mu}^{2}$ почти параллельна $E_{\mu_{4}}^{2}$ и $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$-инвариантна, мы можем заключить, что $E_{\mu}^{2}$ на самом деле параллельна $E_{\mu_{1}}^{2}$ и, следовательно, $E_{\mu}^{2} X_{\mu}$-инвариантно.
Рис. 7.3.
Из результатов последнего параграфа следует, что мы могли бы рассмотреть бифуркацию векторного поля $X^{\prime}$, опре деленного на $E_{\mu_{1}}^{2} X\{\mu$-ось $\}$, где $X_{\mu}^{\prime}=\left.X\right|_{E_{\mu}^{2}}$ (здесь мы отождествляем $\quad E_{\mu}^{2}$ с $\left.E_{\mu_{1}}^{2} \times\{\mu\}\right) . \quad X_{\mu}^{\prime}$ коммутирует с вращениями $E_{\mu_{1}}^{2} \cong R^{2}$, и Spec $D X_{\mu}^{\prime}(0, \mu)=\{\lambda, \bar{\lambda}\}$, где $\operatorname{Re} \lambda<0$ при $\mu<\mu_{1}$, $\operatorname{Re} \lambda=0$ при $\mu=\mu_{1}$. Предположим что $\operatorname{Re} \lambda>0$ при $\mu>\mu_{1}$. Если мы допустим, что $\left(0, \mu_{1}\right)$ – слабый аттрактор для $X_{\mu_{1}}^{\prime}$, то получим «бифуркацию рождения цикла с симметрией»: замкнутые орбиты $X_{\mu}^{\prime}$, которые появляются при $\mu>\mu_{1}$, являются геометрическими окружностями (они инвариантны относительно поворотов) и движение на этих окружностях происходит с постоянной скоростью.

Глобально окружность неподвижных точек $S_{\mu_{1}}$ бифурцирует в устойчивый тор $T_{\mu}$ для $\mu>\mu_{1}, T_{\mu}$ составлен из замкнутых орбит ${ }^{1}$ ), каждая из которых рождается из одной неподвижной точки $S_{\mu_{1}}$. Замкнутые орбиты инвариантны относи-
1) Аналогичное инвариантное множество существует и для течения ва цилиндром.

тельно $\Lambda_{S O(2) \times(1, r)}$ и переставляются элементами $\Lambda_{1 \times O(2)}$. Эта бифуркация соответствует следующему экспериментальному наблюдению; когда $\mu$ возрастает, вихри Тейлора становятся «дважды периодическими», т.е. наводятся горизональные волны, и эта волновая структура вращается горизонтально с постоянной скоростью (см. рис. 7.3).

Это рассуждение не учитывает горизонтальной периодичности, часто наблюдаемой в волновой картине. Эта периодичность может быть объяснена, если предположить, что представление $S O(2) \times 1$ в $O(2)$ (группе изометрий $E_{\mu_{1}}^{2} \cong \mathbb{R}^{2}$ ) имеет вид $(\theta, 1) \mapsto n \theta$. Более серьезной проблемой является то, что из нашего рассуждения вытекает сохранение симметрии относительно вертикального отражения после второй бифуркации: элементы $T_{\mu}$ инвариантны относительно $\Lambda_{(1, r)}$. Эта симметрия не наблюдается экспериментально. В целом ситуация требует дальнейшего изучения. Методы, оссуждавшиеся здесь, кажутся очень плодотворными для продвижения в этом направлении.