§ 101. Полная энергия тела

Рассмотрим, как изменяется кинетическая и потенциальная энергия тела, брошенного вверх.

При подъеме тела скорость его убывает по закону , где  — начальная скорость,  — время. Кинетическая энергия при этом также убывает, изменяясь по закону

.

Так как начальная кинетическая энергия тела равна , то к моменту  убыль кинетической энергии

.                                              (101.1)

С другой стороны, высота тела в момент  есть

.

Следовательно, приращение потенциальной энергии за время  равно

.                                            (101.2)

Сравнивая это выражение с (101.1), видим, что приращение потенциальной энергии за время  равно убыли кинетической энергии за то же время. Таким образом, при движении тела вверх его кинетическая энергия постепенно превращается в потенциальную. Когда движение вверх прекратилось (наивысшая точка подъема), вся кинетическая энергия полностью превратилась в потенциальную. При движении тела вниз происходит обратный процесс: потенциальная энергия тела превращается в кинетическую.

При этих превращениях полная механическая энергия (т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий) остается неизменной, так как при подъеме убыль кинетической энергии полностью покрывается приращением потенциальной (а при падении — наоборот). Если потенциальную энергию тела у поверхности земли считать равной нулю (§ 97), то сумма кинетической и потенциальной энергий тела на любой высоте во время подъема или падения будет равна

,                                                      (101.3)

т. е. остается равной начальной кинетической энергии тела. Этот вывод представляет собой частный случай одного из важнейших законов природы — закона сохранения энергии.

101.1. С башни высоты 20 м брошен камень со скоростью 15 м/с. Найдите скорость камня при падении его на землю и сравните ее со скоростью падения с той же высоты, но без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь.

101.2. Считая известными формулу (101.2) и зависимость потенциальной энергии от высоты, выведите закон движения тела, брошенного по вертикали.